Bài viết hướng dẫn phương pháp giải các bài toán lãi đơn, bài toán lãi kép thường gặp trong chương trình Giải tích 12 và đề thi trắc nghiệm THPT Quốc gia môn Toán.
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
DẠNG TOÁN 1. BÀI TOÁN LÃI ĐƠN.
1) Kiến thức cần ghi nhớ
Định nghĩa: Số tiền lãi chỉ tính trên số tiền gốc mà không tính trên số tiền lãi do số tiền gốc sinh ra.
Công thức tính lãi đơn: $T = M(1 + r.n).$
Trong đó:
$T$: Số tiền cả vốn lẫn lãi sau $n$ kì hạn.
$M$: Tiền gửi ban đầu.
$n$: Số kì hạn tính lãi.
$r$: Lãi suất định kì, tính theo $\% .$
Ví dụ: Khi ta gửi tiền tiết kiệm $100$ triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất là $6,8\% $/năm thì sau một năm ta nhận được số tiền là lãi là: $100.6,8\% = 6,8$ triệu đồng.
Số tiền lãi này như nhau và được cộng vào hằng năm. Kiểu tính lãi này được gọi là lãi đơn.
Sau hai năm thì chúng ta nhận được số tiền cả gốc lẫn lãi là:
$100 + 2.6,8 = 113,6$ triệu đồng.
Sau $10$ năm thì chúng ta nhận được số tiền cả gốc lẫn lãi là:
$100 + 10.6,8 = 168$ triệu đồng.
2) Ví dụ minh họa
Câu 1. Ông Tài gửi tiết kiệm vào ngân hàng số tiền $a$ đồng, với lãi suất $r\% $/tháng, theo phương thức lãi đơn. Hỏi sau $n$ tháng ông Tài nhận được số tiền cả gốc và lãi được tính theo công thức nào?
A. $a + nar\% .$
B. $nar\% .$
C. $a{(1 + r\% )^n}.$
D. $na(1 + r\% ).$
Hướng dẫn giải:
Đây là bài toán lãi đơn nên từ giả thiết ta có số tiền lãi là $nar\% .$ Do đó, số tiền cả gốc và lãi là $a + nar\% .$
Chọn đáp án A.
Câu 2. Chị Tình gửi ngân hàng $3350000$ đồng, theo phương thức lãi đơn, với lãi suất $4\% $ trên nửa năm. Hỏi sau thời gian ít nhất bao lâu thì chị Tình rút được cả vốn lẫn lãi là $4020000$ đồng?
A. $30$ tháng.
B. $5$ năm.
C. $3$ năm.
D. $24$ tháng.
Hướng dẫn giải:
Gọi $n$ là số chu kì gửi ngân hàng, áp dụng công thức lãi đơn ta có: $4020000 = 3350000(1 + n.0,04)$ $ \Rightarrow n = 5$ (chu kì). Vậy thời gian là $30$ tháng.
Chọn đáp án A.
Câu 3. Sinh viên A gửi tiền vào ngân hàng theo phương thức lãi đơn. Để sau $2,5$ năm bạn A rút được cả vốn lẫn lãi số tiền là 10892000 đồng với lãi suất $\frac{5}{3}\% $ một quý thì bạn A phải gửi tiết kiệm số tiền là bao nhiêu?
A. $9336000$ đồng.
B. $10456000$ đồng.
C. $617 000$ đồng.
D. $2108000$ đồng.
Hướng dẫn giải:
Phân tích: Đây là bài toán lãi đơn với chu kì là một quý. Vậy $2,5$ năm ứng với $10$ chu kì.
Gọi $x$ (đồng) là số tiền mà bạn A gửi tiết kiệm.
Khi đó: $10892000 = x\left( {1 + 10.\frac{5}{3}\% } \right)$ $ \Rightarrow x = 9336000.$
Chọn đáp án A.
Câu 4. Bạn Lan gửi $1500$ USD với theo phương thức lãi suất đơn cố định theo quý. Sau $3$ năm, số tiền bạn ấy nhận được cả gốc lẫn lãi là $2320$ USD. Hỏi lãi suất tiết kiệm là bao nhiêu một quý? (làm tròn đến hàng phần nghìn).
A. $0,046.$
B. $0,182.$
C. $0,015.$
D. $0,037.$
Hướng dẫn giải:
Phân tích: Đây là bài toán lãi đơn, chu kì là một quý. Áp dụng công thức $T = M(1 + r.n)$, ta có: $2320 = 1500(1 + 12r\% )$, suy ra $r\% \approx 0,046$ một quý.
Chọn đáp án A.
DẠNG TOÁN 2. BÀI TOÁN LÃI KÉP.
1) Kiến thức cần ghi nhớ
Định nghĩa: Sau một đơn vị thời gian lãi được gộp vào vốn và được tính lãi vào thời gian kế tiếp. Loại lãi này được gọi là lãi kép.
Các hình thức lãi kép và bài toán về tiền gửi:
• Lãi kép, gửi một lần: $T = M{(1 + r)^n}.$
Trong đó:
$T$: Số tiền cả vốn lẫn lãi sau $n$ kì hạn.
$M$: Tiền gửi ban đầu.
$n$: Số kì hạn tính lãi.
$r$: Lãi suất định kì, tính theo $\% .$
Từ công thức $T = M{(1 + r)^n}$, bằng phép lấy logarit hai vế, ta có thể tìm được các thông số như sau:
+ Số tiền gửi ban đầu.
+ Số kì hạn gửi.
+ Lãi suất định kì.
• Lãi kép, gửi định kì:
Trường hợp 1: Tiền được gửi vào cuối mỗi tháng.
+ Cuối tháng thứ nhất cũng là lúc người đó bắt đầu gửi tiền: ${T_1} = M.$
+ Cuối tháng thứ $2$, người đó có số tiền là: $M(1 + r) + M$ $ = M[(1 + r) + 1]$ $ = \frac{M}{{[(1 + r) – 1]}}\left[ {{{(1 + r)}^2} – 1} \right]$ $ = \frac{M}{r}\left[ {{{(1 + r)}^2} – 1} \right].$
+ Cuối tháng thứ $3:$ $\frac{M}{r}\left[ {{{(1 + r)}^2} – 1} \right](1 + r) + \frac{M}{r}.r$ $ = \frac{M}{r}\left[ {{{(1 + r)}^3} – 1} \right].$
… ….
+ Cuối tháng thứ $n$, người đó có số tiền là: ${T_n} = \frac{M}{r}\left[ {{{(1 + r)}^n} – 1} \right].$
Chú ý: Chúng ta có thể tìm công thức tổng quát bằng cách sau:
+ Tiền gửi tháng thứ nhất sau $n-1$ kì hạn ($n-1$ tháng) thành: $M{(1 + r)^{n – 1}}.$
+ Tiền gửi tháng thứ nhất sau $n–2$ kì hạn ($n – 2$ tháng) thành: $M{(1 + r)^{n – 2}}.$
+ Tiền gửi tháng cuối cùng là: $M{(1 + r)^0}.$
Vậy áp dụng công thức tổng cấp số nhân, số tiền cuối tháng $n$ là:
$M{(1 + r)^{n – 1}}$ $ + M{(1 + r)^{n – 2}}$ $ + \ldots + M{(1 + r)^0}$ $ = M\frac{{{{(1 + r)}^n} – 1}}{{1 + r – 1}}$ $ = M\frac{{{{(1 + r)}^n} – 1}}{r}.$
Ta cũng được công thức trên: ${T_n} = \frac{M}{r}\left[ {{{(1 + r)}^n} – 1} \right].$
Trường hợp 2: Tiền gửi vào đầu mỗi tháng.
+ Cuối tháng thứ nhất, người đó có số tiền là:
${T_1} = M + Mr$ $ = M(1 + r).$
+ Đầu tháng thứ hai, người đó có số tiền là:
${T_2} = M(1 + r) + M$ $ = M[(1 + r) + 1]$ $ = \frac{M}{r}\left[ {{{(1 + r)}^2} – 1} \right].$
+ Cuối tháng thứ hai, người đó có số tiền là:
${T_3} = \frac{M}{r}\left[ {{{(1 + r)}^2} – 1} \right]$ $ + \frac{M}{r}\left[ {{{(1 + r)}^2} – 1} \right]r$ $ = \frac{M}{r}\left[ {{{(1 + r)}^2} – 1} \right](1 + r).$
Tương tự lập luận như trên ta cũng có công thức tính số tiền nhận được vào cuối tháng thứ $n$ là: ${T_n} = \frac{M}{r}\left[ {{{(1 + r)}^n} – 1} \right](1 + r).$
2) Ví dụ minh họa
Ví dụ: Thầy Tài muốn sau $5$ năm sẽ có $1$ tỉ (đồng) để mua một chiếc xế hộp CX5. Hỏi rằng thầy Tài phải gửi ngân hàng (số tiền gửi không đổi) vào đầu tháng là bao nhiêu để được số tiền như trên? Biết lãi suất được tính theo lãi kép và mỗi tháng là $0,5\% .$
Hướng dẫn giải:
Áp dụng công thức ${T_n} = \frac{M}{r}\left[ {{{(1 + r)}^n} – 1} \right](1 + r)$ với ${T_{60}} = 1000000000$, $r = 0,5\% .$ Ta có:
${T_{60}} = \frac{M}{r}\left[ {{{(1 + r)}^{60}} – 1} \right](1 + r)$ $ \Leftrightarrow M = \frac{{r{T_{60}}}}{{\left[ {{{(1 + r)}^{60}} – 1} \right](1 + r)}}.$
$ = \frac{{0,5\% .1000000000}}{{1,005\left( {1,{{005}^{60}} – 1} \right)}}$ $ = 14261494.$
Vậy mỗi tháng Thầy Tài phải gửi tiết kiệm vào ngân hàng khoảng tiền là $14 261 494$ (đồng), liên tục trong $5$ năm thì ước nguyện của Thầy Tài sẽ thành hiện thực.
B. BÀI TOÁN TRẮC NGHIỆM LÃI ĐƠN – LÃI KÉP
Câu 1. Anh Tài gửi tiết kiệm vào ngân hàng Vietcombank số tiền $50$ triệu đồng, với lãi suất $0,79\% $/tháng, theo phương thức tính lãi kép. Tính số tiền cả vốn lẫn lãi Anh Tài nhận được sau $2$ năm? (làm tròn đến hàng nghìn).
A. $60393000$ đồng.
B. $50793000$ đồng.
C. $50790000$ đồng.
D. $59480000$ đồng.
Hướng dẫn giải:
Phân tích: Đây là bài toán lãi kép với chu kì là một tháng và gửi một lần, ta áp dụng công thức $T = A{(1 + r\% )^n}$ với $A = 50$ triệu đồng, $r\% = 0,79\% $ và $n = 2.12 = 24$ tháng.
Chọn đáp án A.
Câu 2. Một người gửi tiết kiệm $50$ triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất $7\% $ một năm. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm, số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu. Sau $5$ năm mới rút lãi thì người đó thu được số tiền lãi là:
A. $20,128$ triệu đồng.
B. $70,128$ triệu đồng.
C. $3,5$ triệu đồng.
D. $50,7$ triệu đồng.
Hướng dẫn giải:
Phân tích: Đây là bài toán lãi kép với chu kì là một năm. Dùng công thức $T = A{(1 + r\% )^n}.$ Ta có:
Sau $5$ năm, người đó thu được cả vốn lẫn lãi là:
$50{(1 + 7\% )^5} = 70,128$ (triệu đồng).
Vậy, sau $5$ năm mới rút lãi thì người đó thu được số tiền lãi là:
$70,128 – 50 = 20,128$ (triệu đồng).
Chọn đáp án A.
Câu 3. Một người gửi tiết kiệm số tiền $100 000 000$ VNĐ vào ngân hàng với lãi suất $8\% $/năm và lãi hằng năm được nhập vào vốn. Hỏi sau $15$ năm số tiền người ấy nhận về là bao nhiêu? (làm tròn đến đơn vị nghìn đồng).
A. $117 217 000$ VNĐ.
B. $417 217 000$ VNĐ.
C. $317 217 000$ VNĐ.
D. $217 217 000$ VNĐ.
Hướng dẫn giải:
Phân tích: Đây là bài toán lãi kép với chu kì là một năm, ta áp dụng công thức $T = A{(1 + r\% )^n}$, với $A=100$ triệu đồng, $r\% = 8\% $ và $n = 15$ năm.
Vậy, sau $15$ năm số tiền người ấy nhận về là:
${10^8}{(1 + 0,08)^{15}} \approx 317217000.$
Chọn đáp án C.
Câu 4. Một người gửi gói tiết kiệm linh hoạt của ngân hàng cho con đang đi du học ở nước ngoài, với số tiền là $500 000 000$ VNĐ, lãi suất $7\% $/năm. Biết rằng người ấy không lấy lãi hằng năm theo định kì sổ tiết kiệm. Hỏi sau $18$ năm, số tiền người ấy nhận về là bao nhiêu? (Biết rằng, theo định kì rút tiền hằng năm, nếu không lấy lãi thì số tiền sẽ được nhập vào thành tiền gốc và sổ tiết kiệm sẽ chuyển thành kì hạn $1$ năm tiếp theo).
A. $4 689 966 000$ VNĐ.
B. $3 689 966 000$ VNĐ.
C. $2 689 966 000$ VNĐ.
D. $1 689 966 000$ VNĐ.
Hướng dẫn giải:
Phân tích: Đây là bài toán lãi kép với chu kì là một năm, ta áp dụng công thức $T = A{(1 + r\% )^n}$ với $A=500$ triệu đồng, $r\% = 7\% $ và $n = 18$ năm. Vậy, sau $18$ năm số tiền người ấy nhận về là:
${5.10^8}.{(1 + 0,07)^{18}}$ $ \approx 1689966000.$
Chọn đáp án D.
Câu 5. Bà A gửi $100$ triệu vào ngân hàng theo thể thức lãi kép (đến kì hạn mà người gửi không rút lãi ra thì tiền lãi được tính vào vốn của kì kế tiếp) với lãi suất $7\% $ một năm. Hỏi sau $2$ năm bà A thu được lãi là bao nhiêu (giả sử lãi suất không thay đổi)?
A. $15$ triệu đồng.
B. $14,49$ triệu đồng.
C. $20$ triệu đồng.
D. $14,50$ triệu đồng.
Hướng dẫn giải:
Phân tích: Đây là bài toán lãi kép với chu kì là một năm, ta áp dụng công thức $T = A{(1 + r\% )^n}$ với $A=100$ triệu đồng, $r\% = 7\% $ và $n=2$ năm.
Vậy, sau $2$ năm bà A thu được lãi: $100{(1 + 0,07)^2} – 100 \approx 14,49$ (triệu đồng).
Chọn đáp án B.
Câu 6. Một người gửi tiết kiệm $A$ đồng với lãi suất $7,56\% $ một năm và lãi hằng năm được nhập vào vốn. Hỏi sau bao nhiêu năm người đó sẽ có ít nhất số tiền gấp đôi số tiền ban đầu, giả sử lãi suất không thay đổi.
A. $7$ năm.
B. $8$ năm.
C. $9$ năm.
D. $10$ năm.
Hướng dẫn giải:
Từ công thức $T = A{(1 + r)^N}$, $T = 2A.$ Suy ra $2 = {(1 + 0,0756)^N}.$
Lấy lôgarit hai vế, ta được $N \approx 9,51.$ Vậy sau khoảng $10$ năm.
Chọn đáp án D.
Câu 7. Anh Tài muốn mua một ngôi nhà trị giá $500$ triệu đồng sau $3$ năm nữa. Biết rằng lãi suất hằng năm vẫn không đổi là $8\% $ một năm. Vậy ngay từ bây giờ số tiền ít nhất anh Tài phải gửi tiết kiệm vào ngân hàng theo phương thức tính theo lãi kép để có đủ tiền mua nhà (kết quả làm tròn đến hàng triệu) là bao nhiêu?
A $397$ triệu đồng.
B. $396$ triệu đồng.
C. $395$ triệu đồng.
D. $394$ triệu đồng.
Hướng dẫn giải:
Từ công thức $T = A{(1 + r)^n}$ $ \Rightarrow A = \frac{T}{{{{(1 + r)}^n}}}$ với $T = 500$, $n = 3$, $r = 8\% .$
Suy ra $A \approx 397$ triệu đồng.
Chọn đáp án A.
Câu 8. Một người gửi $88$ triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép kì hạn $1$ quý với lãi suất $1,68\% $ (mỗi quý). Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm người đó có được $100$ triệu cả vốn lẫn lãi từ số vốn ban đầu (giả sử rằng lãi suất không đổi)?
A. $1,5$ năm.
B. $8$ năm.
C. $2,25$ năm.
D. $2$ năm.
Hướng dẫn giải:
Từ công thức $T = A{(1 + r)^n}$ $ \Rightarrow n = {\log _{1 + r}}\left( {\frac{T}{A}} \right)$ với $A = 88$, $T = 100$ và $r = 1,68\% .$
Suy ra $n \approx 8.$
Mà một năm có $4$ quý nên $8$ quý bằng $2$ năm.
Vậy sau $2$ năm người đó có được $100$ triệu cả vốn lẫn lãi từ số vốn ban đầu.
Chọn đáp án D.
Câu 9. Thầy Tình gửi $15,625$ triệu đồng vào ngân hàng MB thì sau $3$ năm, thầy Tình rút được cả vốn lẫn lãi số tiền là $19,683$ triệu đồng theo phương thức lãi kép là $r\% $/năm? Hỏi lãi suất là bao nhiêu?
A. $8\% .$
B. $9\% .$
C. $0,75\% .$
D. $\frac{2}{3}\% .$
Hướng dẫn giải: Gọi $r$ là lãi suất cần tìm. Áp dụng công thức lãi kép $T = M{(1 + r)^n}$, ta có:
$19,683 = 15,625{(1 + r)^3}$ $ \Rightarrow r = 0,08 = 8\% .$
Chọn đáp án A.
Câu 10. Anh Tài mua vé số và may mắn trúng thưởng được $125$ triệu đồng. Sau khi trích ra $20\% $ số tiền để chiêu đãi các chiến hữu và làm từ thiện thì anh Tài gửi số tiền còn lại vào ngân hàng MB với lãi suất $0,31\% $ một tháng. Dự kiến $10$ năm sau, anh Tài rút hết số tiền cả vốn lẫn lãi cho con gái đi du học ở Mỹ. Hỏi khi đó, anh Tài rút được bao nhiêu tiền? (làm tròn đến hàng nghìn).
A. $144980000$ đồng.
B. $103144000$ đồng.
C. $181225000$ đồng.
D. $137200000$ đồng.
Hướng dẫn giải:
Số tiền anh Tài gửi vào ngân hàng MB là:
$125.80\% = 100$ triệu đồng.
Sau $10$ năm là $120$ tháng, số tiền nhận được cả vốn lẫn lãi là:
$100{(1 + 0,0031)^{120}}$ $ \approx 144980000$ (đồng).
Chọn đáp án A.
Câu 11. Ông Tình gửi số tiền $100$ triệu đồng (VND) vào một ngân hàng kì hạn $1$ năm với lãi suất $6,8\% $/năm theo phương thức lãi kép. Sau một năm ông ấy rút ra cả vốn lẫn lãi rồi ông Tình gửi thêm $20$ triệu đồng cùng với số tiền đã rút ra ở trên vào ngân hàng để sớm đạt được mục tiêu là $300$ triệu đồng. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm thì ông Tinh thực hiện được mục tiêu của mình, giả sử lãi suất các năm đều không đổi?
A. $15$ năm.
B. $14$ năm.
C. $13$ năm.
D. $16$ năm.
Hướng dẫn giải:
Sau một năm, ông Tình nhận được số tiền cả vốn lẫn lãi là:
$T = M{(1 + r)^n}$ $ = 100{\left( {1 + \frac{{6,8}}{{100}}} \right)^1}$ $ = 106,8$ triệu đồng.
Gọi $n$ (năm) là kì hạn mà ông Tình tiếp tục gửi sau khi đáo hạn thì: $(106,8 + 20){\left( {1 + \frac{{6,8}}{{100}}} \right)^n} \ge 300$ $ \Leftrightarrow n \ge 13,826.$ Vậy Ông Tình phải mất ít nhất $14$ năm mới có thể đạt được mục tiêu $300$ triệu đồng.
Chọn đáp án A.
Câu 12. Ông Năm có $320$ triệu đồng được chia làm hai phần $a$ (triệu đồng) và phần $b$ (triệu đồng) rồi gửi vào hai ngân hàng X và Y theo phương thức lãi kép. Ông Năm gửi số tiền $a$ (triệu đồng) vào ngân hàng X với lãi suất $2,1\% $ một quý trong thời gian $15$ tháng. Số tiền $b$ (triệu đồng), ông Năm gửi vào ngân hàng Y với lãi suất $0,73\% $ một tháng trong thời gian $9$ tháng. Tổng lợi tức đạt được ở hai ngân hàng là $27 507 768,13$ đồng (chưa làm tròn). Hỏi số tiền ông Năm lần lượt gửi ở ngân hàng X và Y là bao nhiêu?
A. $a=140$ triệu và $b = 180$ triệu.
B. $a = 180$ triệu và $b = 140$ triệu.
C. $a = 200$ triệu và $b = 120$ triệu.
D. $a = 120$ triệu và $b =200$ triệu.
Hướng dẫn giải:
Tổng số tiền cả vốn và lãi (lãi chính là lợi tức) ông Năm nhận được từ cả hai ngân hàng là $347,50776813$ triệu đồng.
Gọi $a$ (triệu đồng) là số tiền gửi ở ngân hàng X, khi đó $320-a$ (triệu đồng) là số tiền gửi ở ngân hàng Y. Theo giả thiết ta có:
$a{(1 + 0,021)^5}$ $ + (320 – a){(1 + 0,0073)^9}$ $ = 347,50776813.$
Ta được $a=140.$ Vậy ông Năm gửi $140$ triệu ở ngân hàng X và $180$ triệu ở ngân hàng Y.
Chọn đáp án A.
Chú ý:
+ Đối với ngân hàng X thì lãi suất tính theo quý và ông Năm gửi trong $15$ tháng nên có $5$ quý, tức là $n = 5.$
+ Còn đối với ngân hàng Y thì lãi suất tính theo tháng nên $n = 9.$
Câu 13. Chị A gửi ngân hàng $155$ triệu đồng, với lãi suất $1,02\% $ một quý. Hỏi sau một năm số tiền lãi chị A nhận được là bao nhiêu? (làm tròn đến hàng nghìn).
A. $6421000$ đồng.
B. $6324000$ đồng.
C. $1581000$ đồng.
D. $161421000$ đồng.
Hướng dẫn giải:
Số tiền lãi chính là tổng số tiền cả gốc lẫn lãi trừ đi số tiền gốc, nên chị A nhận được số tiền lãi là:
$\left[ {155.{{(1 + 0,0102)}^4} – 155} \right]{.10^6}$ $ \approx 6421000$ (đồng).
Chọn đáp án A.
Câu 14. Một khách hàng có $100 000 000$ đồng gửi ngân hàng kì hạn 3 tháng (1 quý) với lãi suất $0,65\% $ một tháng theo phương thức lãi kép (tức là người đó không rút lãi trong tất cả các quý định kì). Hỏi vị khách này sau bao nhiêu quý mới có số tiền lãi lớn hơn số tiền gốc ban đầu gửi ngân hàng?
A. $12$ quý.
B. $24$ quý.
C. $36$ quý.
D. Không thể có.
Hướng dẫn giải: Giả sử khách hàng có $A$ đồng gửi vào ngân hàng X với lãi suất $d = a\% $ một tháng theo phương thức lãi kép. Sau $n$ tháng ta nhận được số tiền cả gốc và lãi là $B$ đồng. Khi đó ta có:
+ Sau một tháng số tiền là ${B_1} = A + A.d$ $ = A(1 + d).$
+ Sau hai tháng số tiền là ${B_2} = A(1 + d) + A(1 + d)d$ $ = A{(1 + d)^2}.$
… …
+ Sau $n$ tháng số tiền là: $B = A{(1 + d)^n}.$
Áp dụng công thức $B = A{(1 + d)^n}$ ta có: $A = 100 000 000$, $d = 0,65\% .$
Cần tìm $n$ để $A{(1 + d)^n} – A > A.$
$ \Leftrightarrow {(1 + d)^n} > 2$ $ \Leftrightarrow n > {\log _{1 + d}}2$ $ = {\log _{1,0065}}2 \approx 107.$
Vậy sau $107$ tháng $ \approx 36$ quý (tức là $3$ năm) người đó sẽ có số tiền lãi lớn hơn số tiền gốc ban đầu gửi ngân hàng.
Chọn đáp án C.
Câu 15. Một khách hàng gửi ngân hàng $20$ triệu đồng, kì hạn $3$ tháng, với lãi suất $0,65\% $ một tháng theo phương thức lãi kép. Hỏi sau bao lâu vị khách này mới có số tiền lãi nhiều hơn số tiền gốc ban đầu gửi ngân hàng? Giả sử người đó không rút lãi ở tất cả các định kì.
A. $9$ năm.
B. $19$ tháng.
C. $18$ tháng.
D. $8$ năm $11$ tháng.
Hướng dẫn giải:
Lãi suất theo kì hạn $3$ tháng là $3.0,65\% = 1,95\% .$
Gọi $n$ là số kì hạn cần tìm. Theo giả thiết ta có $n$ là số tự nhiên nhỏ nhất thỏa $20{(1 + 0,0195)^n} – 20 > 20.$ Ta được $n=36$ chu kì, một chu kì là $3$ tháng, nên thời gian cần tìm là $108$ tháng, tức là $9$ năm.
Chọn đáp án A.
Câu 16. Bà Hai gửi tiết kiệm $53$ triệu đồng theo kì hạn $3$ tháng. Sau $2$ năm, bà ấy nhận được số tiền cả gốc và lãi là $61$ triệu đồng. Hỏi lãi suất ngân hàng là bao nhiêu $\% $/tháng (làm tròn đến hàng phần nghìn)? Biết rằng trong các tháng của kì hạn, chỉ cộng thêm lãi chứ không cộng vốn và lãi tháng trước để tính lãi tháng sau; hết một kì hạn lãi sẽ được cộng vào vốn để tính lãi trong đủ một kì hạn tiếp theo.
A. $0,006.$
B. $0,018.$
C. $0,073.$
D. $0,019.$
Hướng dẫn giải:
Áp dụng công thức: $T = M{\left( {1 + \frac{r}{{100}}} \right)^n}$ ta có: $61 = 53{(1 + r\% )^8}$ ta được lãi suất một quý là $r\% .$
Do đó, lãi suất một tháng là $r\% :3 \approx 0,006.$
Chọn đáp án A.
Câu 17. Bà Ba gửi tiết kiệm $75$ triệu đồng vào ngân hàng Agribank theo kì hạn $3$ tháng và lãi suất $0,59\% $ một tháng. Nếu bà Ba không rút tiền lãi ở tất cả các định kì thì sau $3$ năm bà ấy nhận được số tiền cả vốn lẫn lãi là bao nhiêu (làm tròn tới hàng nghìn)? Biết rằng trong các tháng của kì hạn, chỉ cộng thêm lãi chứ không cộng vốn và lãi tháng trước để tính lãi tháng sau; hết một kì hạn lại sẽ được cộng vào vốn để tính lãi trong đó một kì hạn tiếp theo.
A. $92576000$ đồng.
B. $80486000$ đồng.
C. $92690000$ đồng.
D. $90930000$ đồng.
Hướng dẫn giải:
Đây là bài toán lãi kép, chu kì một quý, với lãi suất $3.0,59\% = 1,77\% $ một quý.
Sau $3$ năm là $12$ quý, số tiền thu được cả gốc và lãi là:
${10^6}.75{(1 + 0,0177)^{12}}$ $ \approx 92576000$ (đồng).
Chọn đáp án A.
Câu 18. Một khu rừng có trữ lượng gỗ ${4.10^5}$ mét khối. Biết tốc độ sinh trưởng của các cây ở khu rừng đó là $4\% $ mỗi năm. Vậy sau $5$ năm, số mét khối gỗ của khu rừng đó là:
A. ${4.10^5}{.4^5}$ ${m^3}.$
B. ${4.10^5}.10,{4^5}$ ${m^3}.$
C. ${4.10^5}.1,{05^4}$ ${m^3}.$
D. ${4.10^5}.1,{04^5}$ ${m^3}.$
Sử dụng công thức $T = A{(1 + r)^n}$ $ = {4.10^5}{(1 + 0,04)^5}$ $ = {4.10^5}.1,{04^5}.$
Chọn đáp án D.
Câu 19. Một nhà côn trùng học khảo sát thấy số côn trùng ban đầu ở một đàn là $500$ con, tỉ lệ tăng trưởng của côn trùng này là $14\% $ mỗi tuần. Hỏi sau $22$ tuần, số côn trùng sẽ có là bao nhiêu?
A. Khoảng $1248$ con.
B. Khoảng $8931$ con.
C. Khoảng $9635$ con.
D. Khoảng $6915$ con.
Hướng dẫn giải:
Áp dụng công thức: ${S_n} = A{(1 + r)^n}.$
Trong đó: $A = 500$, $r = 14\% $, $n = 22.$
Sau $22$ tuần, số côn trùng sẽ có: $8931$ con.
Chọn đáp án B.
Câu 20. Một người hằng tháng gửi vào ngân hàng một số tiền là $A$ đồng, với lãi suất $m\% $ một tháng. Nếu người này không rút tiền lãi ra thì cuối $N$ tháng số tiền nhận được cả gốc và lãi được tính theo công thức nào?
A. $\frac{A}{{m\% }}\left[ {{{\left( {1 + m\% } \right)}^{N + 1}} – (1 + m\% )} \right].$
B. $\frac{A}{{m\% }}\left[ {{{(1 + m\% )}^N} – 1} \right].$
C. $A{(1 + m\% )^N}.$
D. $A + 2Am\% + \ldots + NAm\% .$
Hướng dẫn giải:
Đầu tháng thứ nhất gửi $A$ (đồng) thì cuối tháng thứ $N$ nhận được số tiền cả vốn lẫn lãi là $A{(1 + m\% )^N}$ (đồng).
Đầu tháng thứ hai gửi $A$ (đồng) thì cuối tháng thứ $N$ nhận được số tiền cả vốn lẫn lãi là $A{(1 + m\% )^{N – 1}}$ (đồng).
… …
Đầu tháng thứ $N$ gửi $A$ (đồng) thì cuối tháng thứ $N$ nhận được số tiền cả vốn lẫn lãi là $A(1 + m\% )$ (đồng).
Hằng tháng gửi $A$ đồng thì cuối $N$ tháng nhận được số tiền cả vốn lẫn lãi là:
$A{(1 + m\% )^N}$ $ + A{(1 + m\% )^{N – 1}}$ $ + \ldots + A(1 + m\% ).$
$ = A\left[ {{{\left( {1 + m\% } \right)}^N} + {{(1 + m\% )}^{N – 1}} + \ldots + \left( {1 + m\% } \right)} \right]$ $ = A\frac{{{{\left( {1 + m\% } \right)}^{N + 1}} – \left( {1 + m\% } \right)}}{{m\% }}$ $(*).$
Chọn đáp án A.
Câu 21. Một người hằng tháng gửi vào ngân hàng số tiền là $1000000$ đồng, với lãi suất $0,8\% $ một tháng. Sau một năm người ấy rút cả vốn và lãi để mua vàng thì số chỉ vàng mua được là bao nhiêu? Biết giá vàng là $3 575 000$ đồng/chỉ.
A. $3$ chỉ.
B. $4$ chỉ.
C. $6$ chỉ.
D. $5$ chỉ.
Hướng dẫn giải:
Đây là bài toán gửi tiết kiệm hằng tháng một số tiền như nhau.
Áp dụng công thức $(*)$, ta có sau một năm số tiền nhận được cả vốn lẫn lãi là:
$B = {10^6}.\frac{{1,{{008}^{13}} – 1,008}}{{0,008}}$ (đồng).
Số chỉ vàng có thể mua được là $B:3575000 \approx 3,5$ nên số chỉ vàng có thể mua được là $3.$
Chọn đáp án A.
Câu 22. Bạn Hùng muốn có $3000$ USD để đi du lịch châu Âu. Để sau $4$ năm thực hiện được ý định thì hằng tháng bạn Hùng phải gửi tiết kiệm bao nhiêu (làm tròn đến hàng đơn vị)? Biết lãi suất $0,83\% $ một tháng.
A. $51$ USD.
B. $61$ USD.
C. $62$ USD.
D. $42$ USD.
Hướng dẫn giải:
Gọi $X$ (USD) là số tiền hằng tháng gửi tiết kiệm.
Áp dụng công thức $(*)$ ta có: $3000 = X\frac{{1,{{0083}^{49}} – 1,0083}}{{0,0083}}$, bấm máy tính ta được $X \approx 50,7$ (USD).
Do đó, mỗi tháng phải gửi $51$ USD.
Chọn đáp án A.
Câu 23. Chị Hoa muốn mua một chiếc xe máy Sirius giá $25$ triệu đồng. Nếu sau $3$ năm trả hết nợ thì mỗi tháng chị Hoa phải gửi vào ngân hàng số tiền như nhau là bao nhiêu (làm tròn tới hàng nghìn)? Biết lãi suất $0,39\% $ một tháng.
A. $646000$ đồng.
B. $645000$ đồng.
C. $604000$ đồng.
D. $603000$ đồng.
Hướng dẫn giải:
Gọi $X$ (đồng) là số tiền hằng tháng gửi ngân hàng.
Áp dụng công thức $(*)$, ta có: ${25.10^6} = \frac{{1,{{0039}^{37}} – 1,0039}}{{0,0039}}$, bấm máy tính ta được $X \approx 646000$ (đồng).
Chọn đáp án A.
Câu 24. Một sinh viên muốn có $12$ triệu đồng để mua laptop nên mỗi tháng gửi vào ngân hàng $250000$ đồng với lãi suất $0,72\% $ một tháng. Hỏi sau bao nhiêu tháng anh ta đủ tiền mua laptop?
A. $42$ tháng.
B. $36$ tháng.
C. $41$ tháng.
D. $37$ tháng.
Hướng dẫn giải:
Gọi $n$ là số tháng cần tìm.
Áp dụng công thức $(*)$ ta có: $12 = 0,25.\frac{{1,{{0072}^{n + 1}} – 1,0072}}{{0,0072}}.$
Bấm máy tính ta được $n \approx 41,1.$ Do đó, thời gian gửi tiết kiệm là $42$ tháng.
Chọn đáp án A.
Câu 25. Chú Tư gửi vào ngân hàng $50$ triệu đồng với lãi suất $0,6\% $/tháng. Sau mỗi tháng, chú Tư đến ngân hàng rút mỗi tháng $3$ triệu đồng để chi tiêu cho đến khi hết tiền thì thôi. Sau một số tròn tháng thì chú Tư rút hết tiền cả gốc lẫn lãi. Biết trong suốt thời gian đó, ngoài số tiền rút mỗi tháng chú Tư không rút thêm một đồng nào kể cả gốc lẫn lãi và lãi suất không đổi. Vậy tháng cuối cùng chú Tư sẽ rút được số tiền là bao nhiêu (làm tròn đến đồng)?
A. $1840270$ đồng.
B. $3000000$ đồng.
C. $1840269$ đồng.
D. $1840268$ đồng.
Hướng dẫn giải:
Áp dụng công thức tính số tiền còn lại sau $n$ tháng:
${S_n} = A{\left( {1 + \frac{r}{{100}}} \right)^n}$ $ – X\frac{{{{\left( {1 + \frac{r}{{100}}} \right)}^n} – 1}}{{\frac{r}{{100}}}}.$
Với $A = 50$ triệu đồng, $r = 0,6$ và $X=3$ triệu đồng ta được:
${S_n} = 50.1,{006^n} – 3.\frac{{1,{{006}^n} – 1}}{{0,006}}.$
Để rút hết số tiền thì ta tìm số nguyên dương $n$ nhỏ nhất sao cho:
${S_n} \le 0$ $ \Leftrightarrow 50.1,{006^n} – 3.\frac{{1,{{006}^n} – 1}}{{0,006}} \le 0$ $ \Leftrightarrow 500 – 450.1,{006^n} \le 0.$
$ \Leftrightarrow n \ge {\log _{1,006}}\frac{{500}}{{450}} \approx 17,62$ $ \Rightarrow n = 18.$
Khi đó số tiền tháng cuối cùng mà chú Tư rút là:
${S_{17}}.1,006$ $ = \left[ {50.1,{{006}^{17}} – 3.\frac{{1,{{006}^{17}} – 1}}{{0,006}}} \right].1,006$ $ \approx 1,84026983$ triệu đồng.
$ \approx 1840270$ đồng.
Chọn đáp án A.
Câu 26. Ông Năm gửi vào ngân hàng $G$ đồng, lãi suất $d\% $ một tháng theo phương thức lãi kép. Mỗi tháng ông Năm rút ra $X$ đồng vào ngày ngân hàng tính lãi. Hỏi sau $n$ tháng số tiền còn lại được tính theo công thức nào sau đây:
A. $G{(1 + d\% )^n} – X\frac{{{{(1 + d\% )}^n} – 1}}{{d\% }}$ đồng.
B. $G(1 + nd\% ) – X\frac{{{{(1 + d\% )}^n} – 1}}{{d\% }}$ đồng.
C. $G{(1 + d\% )^n} – nX$ đồng.
D. $(G – nX)d\% $ đồng.
Hướng dẫn giải:
Số tiền còn lại của ông Năm sau mỗi tháng định kì được tính như sau:
Sau tháng thứ nhất là:
$G(1 + d\% ) – X.$
Sau tháng thứ hai là:
$(G(1 + d\% ) – X)(1 + d\% ) – X$ $ = G{(1 + d\% )^2} – X[(1 + d\% ) + 1].$
Sau tháng thứ ba là:
$\left( {G{{(1 + d\% )}^2} – X((1 + d\% ) + 1)} \right)(1 + d\% ) – X.$
$ = G{(1 + d\% )^3}$ $ – X\left[ {{{(1 + d\% )}^2} + (1 – d\% )} \right] + 1.$
… …
Theo giả thiết quy nạp, sau tháng thứ $n$ là:
$G{(1 + d\% )^n}$ $ – X\left[ {{{(1 + d\% )}^{n – 1}} + \ldots + (1 + d\% ) + 1} \right].$
$ = G{(1 + d\% )^n}$ $ – X\frac{{{{(1 + d\% )}^n} – 1}}{{d\% }}.$
Vậy ta có công thức tính số tiền còn lại sau khi rút là:
$S = G{(1 + d\% )^n} – X\frac{{{{(1 + d\% )}^n} – 1}}{{d\% }}.$
Chọn đáp án A.
Chú ý: Đây là bài toán tổng quát về việc gửi tiền ngân hàng và rút dần. Chúng ta nhớ công thức tổng quát này để tính toán các bài toán sau được nhanh hơn.
Câu 27. Lãi suất tiền gửi tiết kiệm của một số ngân hàng cổ phần thương mại hiện nay là $8,2\% $ một năm đối với kì hạn một năm. Để khuyến mãi, ngân hàng thương mại A đưa ra dịch vụ mới như sau: nếu khách hàng gửi tiết kiệm năm đầu thì lãi suất là $8,2\% $ một năm. Sau đó, lãi suất năm sau hơn lãi suất năm trước đó là $0,12\% .$ Hỏi nếu một khách hàng nào đó gửi $1,5$ triệu đồng theo dịch vụ như trên thì sau $7$ năm số tiền mà khách hàng này sẽ nhận được cả gốc và lãi là bao nhiêu? (làm tròn đến hàng đơn vị).
A. $2665463$ đồng.
B. $2665464$ đồng.
C. $2609233$ đồng.
D. $2609234$ đồng.
Chọn đáp án A.
