Bài viết hướng dẫn giải các bài tập trong phần câu hỏi và bài tập và phần luyện tập của sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao: Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng.
CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP
Bài 26. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \sin x + 1$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 0$ và $x = \frac{{7\pi }}{6}.$
Lời giải:
Ta thấy $\sin x + 1 \ge 0$, $\forall x \in \left( {0;\frac{{7\pi }}{6}} \right)$ nên diện tích $S$ cần tìm bằng:
$S = \int_0^{\frac{{7\pi }}{6}} | \sin x + 1|dx$ $ = \int_0^{\frac{{7\pi }}{6}} {(\sin x + 1)dx} $ $ = \left. {( – \cos x + x)} \right|_0^{\frac{{7\pi }}{6}}.$
$ = \left( { – \cos \frac{{7\pi }}{6} + \frac{{7\pi }}{6}} \right)$ $ – ( – \cos 0 + 0)$ $ = \frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{{7\pi }}{6} + 1.$
Bài 27. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
a) Đồ thị hàm số $y = {\cos ^2}x$, trục hoành, trục tung và đường thẳng $x = \pi .$
b) Đồ thị hai hàm số $y = \sqrt x $ và $y = \sqrt[3]{x}.$
c) Đồ thị hai hàm số $y = 2{x^2}$ và $y = {x^4} – 2{x^2}$ trong miền $x > 0.$
Lời giải:
a) Diện tích $S$ cần tìm:
$S = \int_0^\pi {{{\cos }^2}} xdx$ $ = \int_0^\pi {\frac{{1 + \cos 2x}}{2}dx} $ $ = \left. {\frac{1}{2}x} \right|_0^\pi + \left. {\frac{{\sin 2x}}{4}} \right|_0^\pi $ $ = \frac{\pi }{2}.$
b) Hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số $y = \sqrt x $ và $y = \sqrt[3]{x}$ là nghiệm của phương trình:
$\sqrt x = \sqrt[3]{x}$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x^3} = {x^2}}\\
{x \ge 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0}\\
{x = 1}
\end{array}} \right..$
Diện tích cần tìm $S = \int_0^1 | \sqrt x – \sqrt[3]{x}|dx$ $ = \int_0^1 {(\sqrt[3]{x} – \sqrt x )dx} .$
$ = \int_0^1 {\left( {{x^{\frac{1}{3}}} – {x^{\frac{1}{2}}}} \right)dx} $ $ = \left. {\left( {\frac{{{x^{\frac{4}{3}}}}}{{\frac{4}{3}}} – \frac{{{x^{\frac{3}{2}}}}}{{\frac{3}{2}}}} \right)} \right|_0^1$ $ = \frac{3}{4} – \frac{2}{3} = \frac{1}{{12}}.$
c) Phương trình hoành độ giao điểm đồ thị hai hàm số: $y = 2{x^2}$ và $y = {x^4} – 2{x^2}$ (với $x > 0$).
$2{x^2} = {x^4} – 2{x^2}$ $ \Leftrightarrow {x^4} – 4{x^2} = 0$ $ \Leftrightarrow {x^2}\left( {{x^2} – 4} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0}\\
{x = 2}
\end{array}} \right..$
Vậy diện tích cần tìm $S = \int_0^2 {\left| {{x^4} – 2{x^2} – 2{x^2}} \right|dx} $ $ = \int_0^2 {\left| {{x^4} – 4{x^2}} \right|dx} .$
$ = \int_0^2 {{x^2}} \left| {{x^2} – 4} \right|dx$ $ = \int_0^2 {{x^2}} \left( {4 – {x^2}} \right)dx$ $ = \int_0^2 {\left( {4{x^2} – {x^4}} \right)dx} .$
$ = \left. {\left( {\frac{{4{x^3}}}{3} – \frac{{{x^5}}}{5}} \right)} \right|_0^2$ $ = \frac{{32}}{3} – \frac{{32}}{5} = \frac{{64}}{{15}}.$
Bài 28. Tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi:
a) Đồ thị các hàm số $y = {x^2} – 4$, $y = – {x^2} – 2x$ và hai đường thẳng $x = – 3$, $x = – 2.$
b) Đồ thị hai hàm số $y = {x^2} – 4$ và $y = – {x^2} – 2x.$
c) Đồ thị hàm số $y = {x^3} – 4x$, trục hoành, đường thẳng $x = -2$ và đường thẳng $x = 4.$
Lời giải:
a) Dựa vào hình vẽ ta thấy diện tích hình phẳng cần tìm là:
$S = \int_{ – 3}^2 {\left| {\left( {{x^2} – 4} \right) – \left( { – {x^2} – 2x} \right)} \right|dx} .$
$ = \int_{ – 3}^{ – 2} {\left[ {\left( {{x^2} – 4} \right) – \left( { – {x^2} – 2x} \right)} \right]dx.} $
$ = \int_{ – 3}^2 {\left( {2{x^2} + 2x – 4} \right)dx} .$
$ = \left. {\left( {2\frac{{{x^3}}}{3} + 2\frac{{{x^2}}}{2} – 4x} \right)} \right|_{ – 3}^{ – 2}$ $ = \frac{{11}}{3}.$
Chú ý: Ở câu này, nếu không vẽ hình thì phải chứng tỏ được rằng $\forall x \in [ – 3; – 2]$ thì $\left( {{x^2} – 4} \right) – \left( { – {x^2} – 2x} \right) \ge 0$ để phá được dấu giá trị tuyệt đối.
b) Phương trình hoành độ giao điểm đồ thị hai hàm số đã cho là:
${x^2} – 4 = – {x^2} – 2x$ $ \Leftrightarrow {x^2} + x – 2 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1}\\
{x = – 2}
\end{array}} \right..$
Dựa vào hình vẽ ở câu a ta có:
$S = \int_{ – 2}^1 {\left| {\left( {{x^2} – 4} \right) – ( – {x^2} – 2x)} \right|dx} $ $ = \int_{ – 2}^1 {\left[ { – \left( {2{x^2} + 2x – 4} \right)} \right]dx} .$
$ = \left. {\left( { – 2\frac{{{x^3}}}{3} – 2\frac{{{x^2}}}{2} + 4x} \right)} \right|_{ – 2}^1 = 9.$
c) Diện tích cần tìm $S = \int_{ – 2}^4 {\left| {{x^3} – 4x} \right|dx} .$
Ta có: ${x^3} – 4x = x\left( {{x^2} – 4} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0}\\
{x = \pm 2}
\end{array}} \right..$
Bảng xét dấu:
Vậy $S = \int_{ – 2}^0 {\left( {x_ – ^3 – 4x} \right)dx} $ $ + \int_0^2 {\left[ { – \left( {{x^3} – 4x} \right)} \right]dx} $ $ + \int_2^4 {\left( {{x^3} – 4x} \right)dx} .$
$ = \left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} – 4\frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_{ – 2}^0$ $ + \left. {\left( {\frac{{ – {x^4}}}{4} + \frac{{4{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^2$ $ + \left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} – 4\frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_2^4 = 44.$
