Bài viết hướng dẫn giải các bài tập trong phần câu hỏi và bài tập và phần luyện tập của sách giáo khoa Giải tích 12 cơ bản: Phương trình bậc hai với hệ số thực.
CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP
Bài 1. Tìm các căn bậc hai phức của các số sau: $-7$; $-8$; $-12$; $-20$; $-121.$
Lời giải:
Căn bậc hai phức của $-7$ là $ \pm i\sqrt 7 .$
Căn bậc hai phức của $-8$ là $ \pm i\sqrt 8 .$
Căn bậc hai phức của $-12$ là $ \pm i\sqrt {12} .$
Căn bậc hai phức của $-20$ là $ \pm i2\sqrt 5 .$
Căn bậc hai phức của $-121$ là $ \pm 11i.$
Bài 2. Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:
a) $ – 3{z^2} + 2z – 1 = 0.$
b) $7{z^2} + 3z + 2 = 0.$
c) $5{z^2} – 7z + 11 = 0.$
Lời giải:
a) $ – 3{z^2} + 2z – 1 = 0$ $ \Leftrightarrow 3{z^2} – 2z + 1 = 0.$
$\Delta ‘ = {( – 1)^2} – 3.1 = – 2 < 0.$
Vậy phương trình có hai nghiệm phức là: ${z_{1,2}} = \frac{{1 \pm i\sqrt 2 }}{3}.$
b) $7{z^2} + 3z + 2 = 0.$
$\Delta = 9 – 4.7.2 = – 47 < 0.$
Vậy phương trình có hai nghiệm phức là: ${z_{1,2}} = \frac{{ – 3 \pm i\sqrt {47} }}{{14}}.$
c) $5{z^2} – 7z + 11 = 0.$
$\Delta = 49 – 4.5.11 = – 171 < 0.$
Vậy phương trình có hai nghiệm phức là: ${z_{1,2}} = \frac{{7 \pm i\sqrt {171} }}{{10}}.$
Bài 3. Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:
a) ${z^4} + {z^2} – 6 = 0.$
b) ${z^4} + 7{z^2} + 10 = 0.$
Lời giải:
a) ${z^4} + {z^2} – 6 = 0.$
Đặt ${z^2} = t$, ta thu được phương trình: ${t^2} + t – 6 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t = 2}\\
{t = – 3}
\end{array}.} \right.$
Với $t = 2$, theo cách đặt ta có: ${z^2} = 2$ $ \Leftrightarrow z = \pm \sqrt 2 .$
Với $t = -3$, theo cách đặt ta có: ${z^2} = – 3$ $ \Leftrightarrow z = \pm i\sqrt 3 .$
Vậy phương trình có bốn nghiệm là: ${z_1} = \sqrt 2 $, ${z_2} = – \sqrt 2 $, ${z_3} = i\sqrt 3 $ và ${z_4} = – i\sqrt 3 .$
b) ${z^4} + 7{z^2} + 10 = 0.$
Đặt ${z^2} = t$, ta thu được phương trình: ${t^2} + 7t + 10 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t = – 5}\\
{t = – 2}
\end{array}} \right..$
Với $t = -5$, theo cách đặt ta có: ${z^2} = – 5$ $ \Leftrightarrow z = \pm i\sqrt 5 .$
Với $t = -2$, theo cách đặt ta có: ${z^2} = – 2$ $ \Leftrightarrow z = \pm i\sqrt 2 .$
Vậy phương trình có bốn nghiệm là: ${z_1} = i\sqrt 5 $, ${z_2} = – i\sqrt 5 $, ${z_3} = i\sqrt 2 $, ${z_4} = – i\sqrt 2 .$
Bài 4. Cho $a,b,c \in R$, $a \ne 0$, ${z_1}$, ${z_2}$ là hai nghiệm (thực hoặc phức) của phương trình $a{z^2} + bz + c = 0.$ Hãy tính ${z_1} + {z_2}$ và ${z_1}{z_2}$ theo các hệ số $a$, $b$, $c.$
Lời giải:
Xét phương trình bậc hai: $a{z^2} + bz + c = 0$, $a \ne 0$ và $a,b,c \in R.$
Ta có: $\Delta = {b^2} – 4ac.$
+ Nếu $\Delta \ge 0$, phương trình có hai nghiệm thực ${z_1}$, ${z_2}.$ Theo định lí Vi-ét ta có: ${z_1} + {z_2} = – \frac{b}{a}$ và ${z_1}{z_2} = \frac{c}{a}.$
+ Nếu $\Delta < 0$, phương trình có hai nghiệm phức:
${z_1} = \frac{{ – b – i\sqrt {|\Delta |} }}{{2a}}$, ${z_2} = \frac{{ – b + i\sqrt {|\Delta |} }}{{2a}}.$
Suy ra:
${z_1} + {z_2}$ $ = \frac{{ – b – i\sqrt {|\Delta |} – b + i\sqrt {|\Delta |} }}{{2a}}$ $ = – \frac{b}{a}.$
${z_1}{z_2}$ $ = \frac{{( – b – i\sqrt {|\Delta |} )( – b + i\sqrt {|\Delta |} )}}{{4{a^2}}}$ $ = \frac{c}{a}.$
Tóm lại: Cho $a,b,c \in R$, $a \ne 0$, ${z_1}$, ${z_2}$ là hai nghiệm (thực hoặc phức) của phương trình $a{x^2} + bx + c = 0.$ Ta luôn luôn có: ${z_1} + {z_2} = – \frac{b}{a}$ và ${z_1}{z_2} = \frac{c}{a}.$
Bài 5. Cho $z = a + bi$ là một số phức. Hãy tìm một phương trình bậc hai với hệ số thực nhận $z$ và $\overline z $ làm nghiệm.
Lời giải:
Giả sử $z = a + bi$ và $\bar z = a – bi$ là hai nghiệm của phương trình hệ số thực: $A{x^2} + Bx + C = 0$ $(A \ne 0)$ $ \Leftrightarrow {x^2} – \frac{B}{A}x + \frac{C}{A} = 0.$
Theo bài 4 ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{z + \overline z = 2a = – \frac{B}{A}}\\
{z\overline z = {a^2} + {b^2} = \frac{C}{A}}
\end{array}} \right..$
Vậy phương trình cần tìm là: ${x^2} + 2ax + {a^2} + {b^2} = 0.$
