Bài viết hướng dẫn giải các bài tập trong phần câu hỏi và bài tập và phần luyện tập của sách giáo khoa Hình học 12 cơ bản: Hệ toạ độ trong không gian.
CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP
Các bài tập sau đây đều xét trong không gian Oxyz.
Bài 1. Cho ba vectơ $\overrightarrow a = (2; – 5;3)$, $\overrightarrow b = (0;2; – 1)$, $\overrightarrow c = (1;7;2).$
a) Tính tọa độ của vectơ $\overrightarrow d = 4\overrightarrow a – \frac{1}{3}\overrightarrow b + 3\overrightarrow c .$
b) Tính tọa độ của vectơ $\vec e = \vec a – 4\vec b – 2\vec c.$
Lời giải:
a) Ta có $\overrightarrow d = 4(2; – 5;3)$ $ – \frac{1}{3}(0;2; – 1) + 3(1;7;2).$
$ = \left( {4.2 – \frac{1}{3}.0 + 3.1;4.( – 5) – \frac{1}{3}.2 + 3.7;4.3 – \frac{1}{3} \cdot ( – 1) + 3.2} \right).$
$ = \left( {11;\frac{1}{3};\frac{{55}}{3}} \right).$
b) Ta có $\overrightarrow e = \overrightarrow a – 4\overrightarrow b – 2\overrightarrow c $ $ = (2; – 5;3) – 4(0;2; – 1) – 2(1;7;2).$
$ = (2 – 4.0 – 2.1; – 5 – 4.2 – 2.7;3 – 4.( – 1) – 2.2)$ $ = (0; – 27;3).$
Bài 2. Cho ba điểm $A(1; – 1;1)$, $B(0;1;2)$, $C(1;0;1).$ Tìm tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC.$
Lời giải:
Gọi $G\left( {{x_G};{y_G};{z_G}} \right)$ là tọa độ trong tâm tam giác $ABC.$
Ta có $\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \vec 0.$ Mà:
$\overrightarrow {GA} = \left( {1 – {x_G}; – 1 – {y_G};1 – {z_G}} \right).$
$\overrightarrow {GB} = \left( {0 – {x_G};1 – {y_G};2 – {z_G}} \right).$
$\overrightarrow {GC} = \left( {1 – {x_G};0 – {y_G};1 – {z_G}} \right).$
Suy ra $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{1 – {x_G} + \left( { – {x_G}} \right) + 1 – {x_G} = 0}\\
{ – 1 – {y_G} + 1 – {y_G} – {y_G} = 0}\\
{1 – {z_G} + 2 – {z_G} + 1 – {z_G} = 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_G} = \frac{2}{3}}\\
{{y_G} = 0}\\
{{z_G} = \frac{4}{3}}
\end{array}} \right..$
Vậy $G\left( {\frac{2}{3};0;\frac{4}{3}} \right).$
Bài 3. Cho hình hộp $ABCD.A’B’C’D’$ biết $A = (1;0;1)$, $B = (2;1;2)$, $D = (1; – 1;1)$, $C’ = (4;5; – 5).$ Tính tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp.
Lời giải:
Do $ABCD.A’B’C’D’$ là hình hộp, nên: $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {A’B’} = \overrightarrow {D’C’} = \overrightarrow {DC} .$
Ta có: $\overrightarrow {AB} = (2 – 1;1 – 0;2 – 1)$ $ = (1;1;1)$ $ \Rightarrow \overrightarrow {D’C’} = (1;1;1).$
Tọa độ điểm $D’ = (4 – 1;5 – 1; – 5 – 1)$ $ = (3;4; – 6).$
Ta có $\overrightarrow {DC} = (1;1;1).$
Tọa độ điểm $C = (1 + 1;1 – 1;1 + 1)$ $ = (2;0;2).$
Do $\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {A’D’} = \overrightarrow {B’C’} $ $ = (1 – 1; – 1 – 0;1 – 1)$ $ = (0; – 1;0).$
Suy ra tọa độ điểm $A’ = (3 – 0;4 + 1; – 6 – 0)$ $ = (3;5; – 6).$
Tọa độ điểm $B’ = (4 – 0;5 + 1; – 5 – 0)$ $ = (4;6; – 5).$
Bài 4. Tính:
a) $\vec a.\vec b$ với $\vec a = (3;0; – 6)$, $\vec b = (2; – 4;0).$
b) $\overrightarrow c .\overrightarrow d $ với $\overrightarrow c = (1; – 5;2)$, $\overrightarrow d = (4;3; – 5).$
Lời giải:
a) Ta có $\overrightarrow a .\overrightarrow b = 3.2 + 0.( – 4) + ( – 6).0 = 6.$ Vậy $\overrightarrow a .\overrightarrow b = 6.$
b) Ta có $\overrightarrow c .\overrightarrow d = 1.4 + ( – 5).3 + 2.( – 5)$ $ = 4 – 15 – 10 = – 21.$
Vậy $\overrightarrow c .\overrightarrow d = – 21.$
Bài 5. Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu có phương trình sau đây:
a) ${x^2} + {y^2} + {z^2} – 8x – 2y + 1 = 0.$
b) $3{x^2} + 3{y^2} + 3{z^2} – 6x + 8y + 15z – 3 = 0.$
Lời giải:
a) Ta có ${x^2} + {y^2} + {z^2} – 8x – 2y + 1 = 0.$
$ \Leftrightarrow {(x – 4)^2} + {(y – 1)^2} + {z^2} = 16.$
Suy ra mặt cầu có tâm $I(4;1;0)$, bán kính $r = 4.$
b) Ta có: $3{x^2} + 3{y^2} + 3{z^2} – 6x + 8y + 15z – 3 = 0.$
$ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} – 2x + \frac{8}{3}y + 5z – 1 = 0.$
$ \Leftrightarrow {(x – 1)^2} + {\left( {y + \frac{4}{3}} \right)^2} + {\left( {z + \frac{5}{2}} \right)^2} = {\left( {\frac{{17}}{6}} \right)^2}.$
Vậy mặt cầu có tâm $I\left( {1; – \frac{4}{3}; – \frac{5}{2}} \right)$, bán kính $R = \frac{{17}}{6}.$
Bài 6. Lập phương trình mặt cầu trong hai trường hợp sau:
a) Có đường kính $AB$ với $A(4; – 3;7)$, $B(2;1;3).$
b) Đi qua điểm $A(5; – 2;1)$ và có tâm $C(3; – 3;1).$
Lời giải:
a) Ta có $\overrightarrow {AB} = (2 – 4;1 + 3;3 – 7)$ $ = ( – 2;4; – 4).$
$ \Rightarrow AB = \sqrt {{{( – 2)}^2} + {4^2} + {4^2}} = 6.$
Gọi $I$ là trung điểm $AB$ $ \Rightarrow I = \left( {\frac{{4 + 2}}{2};\frac{{ – 3 + 1}}{2};\frac{{7 + 3}}{2}} \right)$ $ \Rightarrow I = (3; – 1;5).$
Suy ra mặt cầu đường kính $AB$ có tâm $I(3; – 1;4)$, bán kính $R = 3.$
Phương trình mặt cầu là: ${(x – 3)^2} + {(y + 1)^2} + {(z – 4)^2} = 9.$
b) Do mặt cầu đi qua điểm $A(5; – 2;1)$ và có tâm $C(3; – 3;1)$, suy ra bán kính mặt cầu là: $R = CA = |\overrightarrow {CA} |$ $ = \sqrt {{{(5 – 3)}^2} + {{( – 2 + 3)}^2} + {{(1 – 1)}^2}} $ $ = \sqrt 5 .$
Suy ra mặt cầu có phương trình ${(x – 3)^2} + {(y + 3)^2} + {(z – 1)^2} = 5.$
