Giải bài tập SGK Hình học 12 cơ bản: Ôn tập chương II


Bài viết hướng dẫn giải các bài tập trong phần câu hỏi và bài tập và phần luyện tập của sách giáo khoa Hình học 12 cơ bản: Ôn tập chương II.

CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

Bài 1. Cho ba điểm $A$, $B$, $C$ cùng thuộc một mặt cầu và cho biết $\widehat {ACB} = {90^0}.$ Trong các khẳng định sau khẳng định nào là đúng?
a) Đường tròn qua ba điểm $A$, $B$, $C$ nằm trên mặt cầu.
b) $AB$ là đường kính của mặt cầu đã cho.
c) $AB$ không phải là đường kính của mặt cầu.
d) $AB$ là đường kính của đường tròn giao tuyến tạo bởi mặt cầu và mặt phẳng $(ABC).$

Lời giải:
Khẳng định a “Đường tròn qua ba điểm $A$, $B$, $C$ nằm trên mặt cầu là khẳng định đúng”.
Khẳng định d là khẳng định đúng.

Bài 2. Cho tứ diện $ABCD$ có cạnh $AD$ vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$ và cạnh $BD$ vuông góc với $BC.$ Biết $AB = AD = a.$ Tính diện tích xung quanh của hình nón và thể tích của khối nón được tạo thành khi quay đường gấp khúc $BDA$ quanh $AB.$

Lời giải:

Khi quay đường gấp khúc $BDA$ quanh cạnh $AB$ ta được mặt nón có đỉnh $B$, đường sinh $BD.$
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{AD \bot (ABC)}\\
{BC \bot BD}
\end{array}} \right..$
$ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{BC \bot AD}\\
{BC \bot BD}
\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow BC \bot BA.$
Do vậy tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên $\widehat {BAC} < {90^0}$ và mặt đáy của mặt nón không nằm trên mặt phẳng $(ACD).$
Ta có: $BD = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}} = a\sqrt 2 $ (do tam giác $ABD$ vuông tại $A$).
Diện tích xung quanh của mặt nón là: ${S_{xq}} = \pi r.l$ $ = \pi .AD.BD = \pi {a^2}\sqrt 2 .$
Thể tích của khối nón tạo bởi mặt nón nói trên là:
$V = \frac{1}{3}\pi .{r^2}.h$ $ = \frac{1}{3}\pi .A{D^2}.AB = \frac{{\pi {a^3}}}{3}.$

Bài 3. Chứng minh một hình chóp có tất cả các mặt bên bằng nhau nội tiếp được trong một mặt cầu.

Lời giải:

Gọi $O$ là hình chiếu của $S$ lên mặt đáy. Do các cạnh bên của hình chóp bằng nhau nên $O$ cách đều các đỉnh của đa giác đáy. Như vậy đáy của hình chóp là một đa giác nội tiếp đường tròn tâm $O$ và nhận $SO$ làm trục.
Gọi $I$ là giao điểm của $SO$ và mặt phẳng trung trực của một cạnh bên, ta có $I$ cách đều tất cả các đỉnh của hình chóp một đoạn $r = SI.$
Vậy hình chóp luôn nội tiếp một mặt cầu $S(I;r).$

Bài 4. Hình chóp $SABC$ có một mặt cầu tiếp xúc với các cạnh bên $SA$, $SB$, $SC$ và tiếp xúc với ba cạnh $AB$, $BC$, $CA$ tại trung điểm của mỗi cạnh. Chứng minh rằng hình chóp đó là hình chóp tam giác đều.

Lời giải:

Giả sử mặt cầu $(S)$ tiếp xúc với các cạnh $SA$, $SB$, $SC$ tại $Q$, $R$, $L$ và tiếp xúc với $AB$, $BC$, $CA$ tại các trung điểm $M$, $N$, $P$, ta có: $SQ$, $SR$, $SL$ là tiếp tuyến của $(S)$ kẻ từ $S$ nên: $SQ = SR = SL = a.$
Tương tự, ta có:
$AQ = AM = AP = b.$
$BM = BR = BN = c.$
$CN = CP = CL = d.$
Mặt khác do $M$, $N$, $P$ là trung điểm của $AB$, $BC$, $CA$, suy ra:
$AP = PC \Rightarrow b = d.$
$AM = BM \Rightarrow b = c.$
$ \Rightarrow AB = BC = CA$ $ = 2b = 2c = 2d.$
Hay $\Delta ABC$ là tam giác đều $(1).$
Ta có: $SA = a + b$, $SB = a + c$, $SC = a + d.$
Suy ra $SA = SB = SC$ $(2).$
Từ $(1)$ và $(2)$ ta có $S.ABC$ là hình chóp tam giác đều.

Bài 5. Cho tứ diện đều $ABCD$ cạnh $a.$ Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên mặt phẳng $(BCD).$
a) Chứng minh rằng $H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $BCD.$ Tính độ dài $AH.$
b) Tính diện tích xung quanh và thể tích của khối trụ có đường tròn đáy ngoại tiếp tam giác $BCD$ và chiều cao $AH.$

Lời giải:

a) Xét ba tam giác $AHB$, $AHC$, $AHD$ có chung cạnh $AH$ và $AB = AC = AD = a$ $ \Rightarrow \Delta AHB = \Delta AHC = \Delta AHD.$
$ \Rightarrow HB = HC = HD$ hay $H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta BCD.$
Do $\Delta BCD$ là tam giác đều và $BM$ là trung trực của $\Delta BCD$ nên $BM$ cũng là trung tuyến.
$ \Rightarrow BM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$ $ \Rightarrow BH = \frac{2}{3}BM = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}.$
Xét tam giác vuông $ABH$, ta có:
$AH = \sqrt {A{B^2} – B{H^2}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}.$
b) Hình trụ có đường tròn đáy ngoại tiếp $\Delta BCD$ và chiều cao $AH$ thì bán kính hình trụ là:
$r = BH = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}$ $ \Rightarrow {S_{xq}} = 2\pi .r.AH$ $ = 2\pi .\frac{{a\sqrt 6 }}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{3}$ $ = \frac{{2\pi {a^2}\sqrt 2 }}{3}.$
Thể tích của khối trụ là: $V = \pi .{r^2}.AH$ $ = \pi {\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)^2}.\frac{{a\sqrt 6 }}{3}$ $ \Rightarrow V = \frac{{\pi {a^3}\sqrt 6 }}{9}.$

Bài 6. Cho hình vuông $ABCD$ cạnh $a.$ Từ tâm $O$ của hình vuông dựng đường thẳng $\Delta $ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD).$ Trên $\Delta $ lấy điểm $S$ sao cho $OS = \frac{a}{2}.$ Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD.$ Tính diện tích của mặt cầu và thể tích của khối cầu được tạo nên bởi mặt cầu đó.

Lời giải:

Do $O$ là tâm của hình vuông $ABCD$ cũng là tâm của đường tròn ngoại tiếp hình vuông $ABCD$ nên đường thẳng $\Delta $ là trục của đường tròn đó.
Gọi $I$ là giao điểm của đường thẳng $\Delta $ và mặt phẳng trung trực của cạnh $SA$, khi đó $IS = IA = IB = IC = ID = r$ hay mặt cầu $S(I;r)$ là mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD.$
Ta có $\Delta SMI$ đồng dạng $\Delta SOA.$
$ \Rightarrow \frac{{SI}}{{SA}} = \frac{{SM}}{{SO}}$ $ \Leftrightarrow SI = \frac{{SA.SM}}{{SO}} = \frac{{S{A^2}}}{{2SO}}$ (trong đó $S{A^2} = O{A^2} + S{O^2}$ $ = {\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} + \frac{{{a^2}}}{4}$ $ = \frac{{3{a^2}}}{4}$).
Suy ra bán kính $r = SI = \frac{{\frac{{3{a^2}}}{4}}}{{2.\frac{a}{2}}} = \frac{{3a}}{4}.$
Diện tích mặt cầu $S(I;r)$ là: $S = 4\pi {r^2} = \frac{{9\pi {a^2}}}{4}.$
Thể tích của khối cầu là: $V = \frac{4}{3}\pi {r^3} = \frac{{9\pi {a^3}}}{{16}}.$

Bài 7. Cho hình trụ có bán kính $r$, trục $OO’ = 2r$ và mặt cầu đường kính $OO’.$
a) Hãy so sánh diện tích mặt cầu và diện tích xung quanh của mặt trụ.
b) Hãy so sánh thể tích khối trụ và thể tích khối cầu tạo nên bởi hình trụ và mặt cầu đã cho.

Lời giải:
a) Ta có: Diện tích xung quanh của hình trụ là ${S_{xq}} = 2\pi .r.h = 4\pi {r^2}.$
Diện tích mặt cầu bán kính $r$ là: $S = 4\pi .{r^2}.$
Vậy diện tích mặt cầu và diện tích xung quanh của hình trụ nói trên là bằng nhau.
b) Thể tích của khối trụ là: ${V_T} = \pi .{r^2}.h = 2\pi {r^3}.$
Thể tích của khối cầu là: ${V_C} = \frac{4}{3}\pi {r^3}$ $ \Rightarrow \frac{{{V_T}}}{{{V_C}}} = \frac{{2\pi {r^3}}}{{\frac{4}{3}\pi {r^3}}} = \frac{3}{2}.$

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM CHƯƠNG II

A. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
1. Cho hình lập phương $ABCD.A’B’C’D’$ có cạnh bằng $a.$ Gọi $S$ là diện tích xung quanh của hình trụ có hai đường tròn đáy ngoại tiếp hai hình vuông $ABCD$ và $A’B’C’D’.$ Diện tích $S$ là:
(A) ${\pi {a^2}.}$
(B) ${\pi {a^2}\sqrt 2 .}$
(C) ${\pi {a^2}\sqrt 3 .}$
(D) ${\frac{{\pi {a^2}\sqrt 2 }}{2}.}$

2. Gọi $S$ là diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay được sinh bởi đoạn thẳng $AC’$ của hình lập phương $ABCD.A’B’C’D’$ có cạnh $b$ khi quay xung quanh trục $AA’.$ Diện tích $S$ là:
(A) $\pi {b^2}.$
(B) $\pi {b^2}\sqrt 2 .$
(C) $\pi {b^2}\sqrt 3 .$
(D) $\pi {b^2}\sqrt 6 .$

3. Hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác $ABC$ vuông tại $A$, có $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$ và có $SA = a$, $AB = b$, $AC = c.$ Mặt cầu đi qua các đỉnh $S$, $A$, $B$, $C$ có bán kính $r$ bằng:
(A) $\frac{{2(a + b + c)}}{3}.$
(B) $2\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .$
(C) $\frac{1}{2}\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .$
(D) $\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .$

4. Cho hai điểm cố định $A$, $B$ và một điểm $M$ di động trong không gian nhưng luôn thỏa mãn điều kiện $\widehat {MAB} = \alpha $ với ${0^0} < \alpha < {90^0}.$ Khi đó $M$ thuộc mặt nào trong các mặt sau:
(A) Mặt nón.
(B) Mặt trụ.
(C) Mặt cầu.
(D) Mặt phẳng.

5. Số mặt cầu chứa một đường tròn cho trước là:
(A) $0.$
(B) $1.$
(C) $2.$
(D) Vô số.

6. Trong các đa diện sau đây đa diện nào không luôn luôn nội tiếp được trong mặt cầu:
(A) Hình chóp tam giác (tứ diện).
(B) Hình chóp ngũ giác đều.
(C) Hình chóp tứ giác.
(D) Hình hộp chữ nhật.

7. Cho tứ diện $ABCD$ có cạnh $AD$ vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$ và cạnh $BD$ vuông góc với $BC.$ Khi quay các cạnh của tứ diện đó xung quanh trục là cạnh $AB$ có bao nhiêu hình nón được tạo thành?
(A) $1.$
(B) $2.$
(C) $3.$
(D) $4.$

8. Cho hình lập phương $ABCD.A’B’C’D’$ có cạnh bằng $a.$ Một hình nón có đỉnh là tâm của hình vuông $ABCD$ và có đường tròn đáy ngoại tiếp hình vuông $A’B’C’D’.$ Diện tích xung quanh của hình nón đó là:
(A) $\frac{{\pi {a^2}\sqrt 3 }}{3}.$
(B) $\frac{{\pi {a^2}\sqrt 2 }}{2}.$
(C) $\frac{{\pi {a^2}\sqrt 3 }}{2}.$
(D) $\frac{{\pi {a^2}\sqrt 6 }}{2}.$

9. Cho tam giác đều $ABC$ cạnh $a$ quay xung quanh đường cao $AH$ tạo nên một hình nón. Diện tích xung quanh của hình nón đó là:
(A) ${\pi {a^2}.}$
(B) ${2\pi {a^2}.}$
(C) ${\frac{1}{2}\pi {a^2}.}$
(D) ${\frac{3}{4}\pi {a^2}.}$

10. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai?
(A) Mặt trụ và mặt nón có chứa các đường thẳng.
(B) Mọi hình chóp luôn luôn nội tiếp trong mặt cầu.
(C) Có vô số mặt phẳng cắt mặt cầu theo những đường tròn bằng nhau.
(D) Luôn luôn có hai đường tròn có bán kính khác nhau cùng nằm trên một mặt nón.

11. Cho hình trụ có bán kính đáy bằng $r.$ Gọi $O$ và $O’$ là tâm của hai đáy với $OO’ = 2r.$ Một mặt cầu $(S)$ tiếp xúc với hai đáy của hình trụ tại $O$ và $O’.$ Trong các mệnh đề dưới đây mệnh đề nào sai?
(A) Diện tích mặt cầu bằng diện tích xung quanh của hình trụ.
(B) Diện tích mặt cầu bằng $\frac{2}{3}$ diện tích toàn phần của hình trụ.
(C) Thể tích khối cầu bằng $\frac{3}{4}$ thể tích của khối trụ.
(D) Thể tích khối cầu bằng $\frac{2}{3}$ thể tích của khối trụ.

12. Một hình hộp chữ nhật nội tiếp mặt cầu và có ba kích thước là $a$, $b$, $c.$ Khi đó bán kính $r$ của mặt cầu bằng:
(A) $\frac{1}{2}\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .$
(B) $\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .$
(C) $\sqrt {2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)} .$
(D) $\frac{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}{3}.$

13. Một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn nội tiếp hai mặt của hình lập phương cạnh $a.$ Thể tích của khối trụ là:
(A) $\frac{1}{2}{a^3}\pi .$
(B) $\frac{1}{4}{a^3}\pi .$
(C) $\frac{1}{3}{a^3}\pi .$
(D) ${a^3}\pi .$

14. Một hình tứ diện đều cạnh $a$ có một đỉnh trùng với đỉnh của hình nón, ba đỉnh còn lại nằm trên đường tròn đáy của hình nón. Khi đó diện tích xung quanh của hình nón là:
(A) $\frac{1}{2}\pi {a^2}\sqrt 3 .$
(B) $\frac{1}{3}\pi {a^2}\sqrt 2 .$
(C) $\frac{1}{3}\pi {a^2}\sqrt 3 .$
(D) $\pi {a^2}\sqrt 3 .$

15. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai?
(A) Có một mặt cầu ngoại tiếp một tứ diện bất kì.
(B) Có một mặt cầu ngoại tiếp một hình chóp đều.
(C) Có một mặt cầu ngoại tiếp một hình hộp.
(D) Có một mặt cầu ngoại tiếp một hình hộp chữ nhật.

16. Người ta bỏ ba quả bóng bàn cùng kích thước vào trong một chiếc hộp hình trụ có đáy bằng hình tròn lớn của quả bóng bàn và chiều cao bằng $3$ lần đường kính quả bóng bàn. Gọi ${S_1}$ là tổng diện tích của $3$ quả bóng bàn, ${S_2}$ là diện tích xung quanh của hình trụ. Tỉ số $\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}}$ bằng:
(A) $1.$
(B) $2.$
(C) $1,5.$
(D) $1,2.$

17. Người ta xếp $7$ viên bi có cùng bán kính vào một cái lọ hình trụ sao cho tất cả các viên bi đều tiếp xúc với đáy, viên bi nằm chính giữa tiếp xúc với $6$ viên bi xung quanh và mỗi viên bi xung quanh đều tiếp xúc với các đường sinh của lọ hình trụ. Khi đó diện tích đáy của lọ hình trụ là:
(A) ${16\pi {r^2}.}$
(B) ${18\pi {r^2}.}$
(C) ${9\pi {r^2}.}$
(D) ${36{\pi ^2}.}$

18. Cho ba điểm $A$, $B$, $C$ nằm trên một mặt cầu, biết rằng góc $ACB = {90^0}.$ Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là đúng?
(A) $AB$ là một đường kính của mặt cầu.
(B) Luôn luôn có một đường tròn nằm trên mặt cầu ngoại tiếp tam giác $ABC.$
(C) Tam giác $ABC$ vuông cân tại $C.$
(D) Mặt phẳng $(ABC)$ cắt mặt cầu theo một giao tuyến là đường tròn lớn.

B. ĐÁP ÁN

Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Đáp án B D C A D C B C C
Câu 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Đáp án B C A B B C A C B


Ghi chú: Quý thầy, cô hoặc bạn đọc muốn đóng góp tài liệu cho TOANMATH.com, vui lòng gửi về:
Fanpage: TOÁN MATH
Email: toanmath.com@gmail.com