Bài viết hướng dẫn giải các bài tập trong phần câu hỏi và bài tập và phần luyện tập của sách giáo khoa Hình học 12 nâng cao: Mặt nón, hình nón và khối nón.
CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP
Bài 17. Trong mỗi trường hợp sau, gọi tên hình tròn xoay:
a) Sinh bởi ba cạnh của một tam giác cân khi quay quanh trục đối xứng của tam giác đó.
b) Sinh bởi một tam giác vuông (kể cả điểm trong) khi quay quanh đường thẳng chứa một cạnh góc vuông.
Lời giải:
a)
Hình tròn xoay sinh bởi ba cạnh của một tam giác cân khi quay quanh trục đối xứng của tam giác đó là hình nón.
b)
Hình tròn xoay sinh bởi một tam giác (kể cả điểm trong) khi quay quanh đường thẳng chứa một cạnh góc vuông gọi là khối nón.
Bài 18. Cho điểm $A$ nằm ngoài mặt cầu $S.$ Chứng minh rằng các đường thẳng đi qua $A$ tiếp xúc với mặt cầu $S$ luôn luôn nằm trên một mặt nón xác định.
Lời giải:
Giả sử $At$ là một tiếp tuyến của mặt cầu $S(I;R)$ với tiếp điểm $M.$
Khi đó gọi $\Delta $ là đường thẳng $AI$ và $\alpha $ là góc hợp bởi đường thẳng $At$ và $\Delta $ thì $\alpha = \widehat {MAI}$ và do đó $\sin \alpha = \frac{{MI}}{{IA}} = \frac{R}{{IA}}.$
Suy ra góc $\alpha $ không đổi.
Vậy $At$ là đường sinh của mặt nón có đỉnh $A$, trục $\Delta $ và góc ở đỉnh bằng $2\alpha .$
Bài 19. Một mặt cầu gọi là ngoại tiếp hình nón nếu mặt cầu đó đi qua đỉnh của hình nón và đi qua đường tròn đáy của hình nón. Hình nón như vậy gọi là nội tiếp mặt cầu đó.
a) Chứng minh rằng mọi hình nón đều có mặt cầu ngoại tiếp duy nhất.
b) Một hình nón có chiều cao $h$ và bán kính đáy bằng $r.$ Tìm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình nón đó.
c) Cho hình nón nội tiếp mặt cầu bán kính $R.$ Nếu hình nón đó có chiều cao bằng $h$ thì bán kính đáy của nó bằng bao nhiêu? Tính diện tích xung quanh của hình nón đó.
Lời giải:
a) Giả sử hình nón $(N)$ có đỉnh $S$ và đường tròn đáy $(O;r)$ (Hình vẽ). Lấy điểm $M$ bất kỳ trên $(O; r)$ thì tam giác $SOM$ vuông ở $O.$ Trong mặt phẳng $(SOM)$ trung trực của đoạn thẳng $SM$ cắt $SO$ tại $I.$ Khi đó ta có $IS = IM$, ngoài ra do $I$ nằm trên trục của đường tròn $(O;r)$ nên $I$ cách đều mọi điểm của đường tròn. Do $I$ tồn tại duy nhất khi $M$ thay đổi trên $(O)$, suy ra một mặt cầu tâm $I$ bán kính $R = IS$ chính là mặt cầu duy nhất ngoại tiếp hình nón.
b) Gọi $SS’$ là đường kính mặt cầu ngoại tiếp hình nón $(SS’ > h).$
Tam giác vuông $SMS’$ vuông tại $M$, có đường cao $OM.$
$O{M^2} = OS.OS’ = h\left( {SS’ – h} \right).$
Suy ra $SS’ = \frac{{{r^2}}}{h} + h$ $ = \frac{{{r^2} + {h^2}}}{h}.$
Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình nón là $R = \frac{{{r^2} + {h^2}}}{{2h}}.$
c) Nếu hình nón có chiều cao $h$, bán kính đáy $r$, nội tiếp mặt cầu bán kính $R$ thì ${r^2} = h(2R – h).$
Vậy $r = \sqrt {h(2R – h)} .$
Khi đó độ dài đường sinh là $l = SM$ $ = \sqrt {SS’.SO} = \sqrt {2R.h} .$
Từ đó suy ra: ${S_{xq}} = \pi rl$ $ = \pi \sqrt {h(2R – h)} .\sqrt {2Rh} $ $ = \pi h\sqrt {2R(2R – h)} .$
Bài 20. Một mặt cầu gọi là nội tiếp hình nón nếu nó tiếp xúc với mặt đáy của hình nón và tiếp xúc với mọi đường sinh của hình nón. Khi đó hình nón được gọi là ngoại tiếp mặt cầu.
a) Chứng minh rằng mọi hình nón đều có mặt cầu nội tiếp duy nhất.
b) Một hình nón có chiều cao $h$ và bán kính đáy bằng $r.$ Hãy tính bán kính mặt cầu nội tiếp.
Lời giải:
a)
Giả sử hình nón đỉnh $S$ và có đáy là đường tròn $C(O;R)$ (Hình vẽ). Lấy điểm $A$ nào đó trên đường tròn và gọi $I$ là điểm nằm trên $SO$ sao cho $AI$ là phân giác của góc $\widehat {SAO}.$ Khi đó khoảng cách từ $I$ tới mọi đường sinh của hình nón bằng nhau và bằng khoảng cách $IO$ từ $I$ tới mặt phẳng đáy. Suy ra mặt cầu tâm $I$ bán kính $r = IO$ chính là mặt cầu nội tiếp hình nón. Do $I$ xác định duy nhất nên mặt cầu nội tiếp hình nón tồn tại duy nhất.
b) Ta có: $SA = \sqrt {O{S^2} + O{A^2}} $ $ = \sqrt {{h^2} + {r^2}} .$ Theo tính chất đường phân giác ta có: $\frac{{IO}}{{IS}} = \frac{{OA}}{{SA}}$ $ \Rightarrow \frac{{IO}}{{OI + IS}} = \frac{{OA}}{{OA + SA}}$ $ \Rightarrow \frac{{IO}}{h} = \frac{r}{{r + \sqrt {{h^2} + {r^2}} }}.$
Vậy bán kính mặt cầu nội tiếp là: $R = IO$ $ = \frac{{rh}}{{r + \sqrt {{h^2} + {r^2}} }}.$
Bài 21. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, $AB = c$, $AC = b.$ Tính thể tích của khối tròn xoay sinh bởi tam giác đó (kể cả các điểm trong) khi quay quanh đường thẳng $BC.$
Lời giải:
Gọi $(H)$ là hình tạo bởi tam giác $ABC$ (kể cả các điểm trong) khi quay quanh đường thẳng $BC$ (Hình vẽ).
Nếu gọi $AH$ là đường cao của tam giác $ABC$ thì tam giác $BAH$ và tam giác $CAH$ khi quay quanh $BC$ lần lượt tạo thành hai khối nón $(H1)$ và $(H2).$ Gọi ${V_1}$ và ${V_2}$ lần lượt là thể tích hai khối nón đó ta có:
${V_H} = {V_1} + {V_2}$ $ = \frac{1}{3}\pi A{H^2}.BH + \frac{1}{3}\pi A{H^2}.CH.$
$ = \frac{1}{3}\pi A{H^2}.BC$ $ = \frac{1}{3}\pi .\frac{{{b^2}{c^2}}}{{{b^2} + {c^2}}}.\sqrt {{b^2} + {c^2}} $ $ = \frac{{\pi {b^2}{c^2}}}{{3\sqrt {{b^2} + {c^2}} }}.$
Vậy ${V_H} = \frac{{\pi {b^2}{c^2}}}{{3\sqrt {{b^2} + {c^2}} }}.$
