TOANMATH.com giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh đề kiểm tra chọn đội tuyển học sinh giỏi môn Toán cấp trường năm học 2023 – 2024 trường THPT chuyên Nguyễn Trãi, tỉnh Hải Dương; kỳ thi được diễn ra vào ngày 04 tháng 09 năm 2023; đề thi có đáp án và lời giải chi tiết.
Trích dẫn Đề HSG Toán cấp trường năm 2023 – 2024 trường chuyên Nguyễn Trãi – Hải Dương:
+ Cho tam giác ABC có đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với BC, CA, AB tại D, E, F. H là hình chiếu của A trên BC. N là trung điểm của AH. Đường thẳng qua D, N cắt CA, AB lần lượt tại J, S; BJ cắt CS tại P. Các đường thẳng DA, DP lần lượt cắt (I) tại G, L. Gọi EF cắt BC tại X. a) Chứng minh rằng A, P, X thẳng hàng. b) Gọi K, T theo thứ tự là giao điểm thứ hai của DI, DN và (I). Chứng minh: K, T, X thẳng hàng. c) Chứng minh rằng bốn điểm B, C, G, L cùng nằm trên một đường tròn.
+ Cho số nguyên dương n và p là số nguyên tố lẻ. Giả sử n = qp + r với 0 =< r =< p − 1 và q nguyên dương. Đặt. Sn. a) Khi p = 3, chỉ ra một giá trị n nguyên dương lớn hơn 5 sao cho Sn chia hết cho p. b) Chứng minh rằng nếu p là ước của Sn thì q là số lẻ.
+ Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho có thể phân chia tập {1; 2; …; 3n} thành n tập con 3 phần tử rời nhau {a; b; c} sao cho b – a và c − b là các số khác nhau trong tập {n − 1; n; n + 1}.
