TOANMATH.com giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh lớp 12 đề thi chọn đội tuyển dự thi học sinh giỏi Quốc gia môn Toán THPT năm học 2024 – 2025 sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Bắc Ninh; kỳ thi được diễn ra vào ngày 21 tháng 08 năm 2024.
Trích dẫn Đề chọn đội tuyển thi HSG QG môn Toán THPT năm 2024 – 2025 sở GD&ĐT Bắc Ninh:
+ Gọi a là nghiệm dương của phương trình x2 + x – 5 = 0. Với số nguyên dương n nào đó, gọi c0, c1, c2, …, cn là các số nguyên không âm thỏa mãn đẳng thức c0 + c1a + c2a2 + … + cnan = 2025. a) Chứng minh rằng c0 + c1 + c2 + … + cn chia hết cho 3. b) Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng T = c0 + c1 + c2 + … + cn.
+ Cho tam giác ABC nhọn, không cân. Gọi O, N lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, tâm đường tròn Ơle của tam giác ABC. Tiếp tuyến tại B, C của (O) cắt nhau tại A’. Gọi A1 là trung điểm của OA’. Tương tự dựng B1, C1. a) Chứng minh các đường thẳng AA1, BB1, CC1 đồng quy tại điểm K là điểm liên hợp đẳng giác của N trong tam giác ABC. b) Gọi A2, B2, C2 lần lượt là giao điểm của AK, BK, CK với (O). Các điểm A3, B3, C3 lần lượt là các điểm đối xứng của A2, B2, C2 qua BC, CA, AB. Chứng minh các điểm O, H, A3, B3, C3 cùng thuộc một đường tròn.
+ Cho n là số nguyên dương. Một hoán vị a1, a2, …, an của dãy 1, 2, …, n được gọi là tốt nếu thỏa mãn a1 ≤ 2a2 ≤ 3a3 ≤ … ≤ nan. a) Chứng minh nếu a1, a2, …, an là một hoán vị tốt thì hoặc an = n hoặc an – 1 = n và an = n – 1. b) Tìm số các hoán vị tốt.
