TOANMATH.com giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh lớp 12 đề thi chọn đội tuyển dự thi học sinh giỏi cấp Quốc gia môn Toán THPT năm học 2024 – 2025 sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Đồng Tháp; kỳ thi được diễn ra vào ngày 08 tháng 08 năm 2024; đề thi có đáp án và hướng dẫn chấm điểm.
Trích dẫn Đề chọn đội tuyển thi HSG QG môn Toán THPT năm 2024 – 2025 sở GD&ĐT Đồng Tháp:
+ Cho số thực dương a. Xét dãy số (xn) xác định bởi x1 = a và xn+1 = xn3 − xn2 + 1 với mọi n ≥ 1. a) Khi a = 1/2, chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n, ta có: xn ≥ (2n − 1)/2n. b) Chứng minh rằng dãy số (xn) có giới hạn hữu hạn khi và chỉ khi a ≤ 1.
+ Cho tam giác nhọn, không cân ABC có các đường cao BE, CF. Đường tròn đường kính BE và đường tròn đường kính CF cắt nhau tại các điểm X, Y. Đoạn thẳng BE cắt đường tròn đường kính CF tại điểm N. Đoạn thẳng CF cắt đường tròn đường kính BE tại điểm P. Các đường thẳng XY và EF cắt nhau tại M. Chứng minh rằng: a) Các đường thẳng BE, CF, XY đồng quy. b) MN = MP.
+ Kí hiệu S là tập hợp 2024 số nguyên dương đầu tiên. Hỏi có tất cả bao nhiêu tập con khác rỗng của của S mà tổng tất cả các số thuộc mỗi tập con đều chia hết cho 256?
