TOANMATH.com giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh lớp 12 đề thi lập đội tuyển của tỉnh dự thi chọn học sinh giỏi Quốc gia môn Toán THPT năm học 2024 – 2025 sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Quảng Ninh; kỳ thi được diễn ra vào ngày 17 và 18 tháng 09 năm 2024.
Trích dẫn Đề lập đội tuyển thi HSG QG môn Toán THPT năm 2024 – 2025 sở GD&ĐT Quảng Ninh:
+ Một thầy giáo ra đề thi thử học kỳ I môn Toán cho 16 bạn học sinh. Đề thi chung cho tất cả 16 học sinh, có n câu hỏi, mỗi câu hỏi có 4 phương án trả lời A, B, C, D; mỗi học sinh chỉ được chọn một phương án trả lời cho mỗi câu hỏi. Sau khi thi xong, thầy giáo nhận thấy 2 học sinh bất kì có nhiều nhất một câu hỏi có phương án trả lời giống nhau. a) Với n = 3, hãy chỉ ra một ví dụ về phương án trả lời của 16 bạn học sinh thỏa mãn các điều kiện của bài toán. b) Tính giá trị lớn nhất của n.
+ Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp (I). Lấy M dịch chuyển trên tia đối tia CI và N dịch chuyển trên tia đối tia DI sao cho MN // DC. Tiếp tuyến tại M của đường tròn ngoại tiếp tam giác MBC cắt tiếp tuyến tại N của đường tròn ngoại tiếp tam giác NAD tại K. a) Chứng minh rằng I, K liên hợp đẳng giác trong tứ giác ABMN. b) Chứng minh rằng K dịch chuyển trên một đường thẳng cố định khi M, N dịch chuyển.
+ Cho tập hợp X gồm 2n số nguyên dương. Một cách chia đẹp đối với tập X là một cách chia 2n số này thành n cặp sao cho tích của hai số trong cùng một cặp không là số chính phương. Giả sử có tồn tại một cách chia đẹp đối với tập X. Hỏi có ít nhất bao nhiêu cách chia đẹp đối với tập X khi: a) n = 2. b) n = 2025. Lưu ý: Hai cách chia được gọi là khác nhau nếu có hai số cùng cặp trong cách chia này nhưng lại không cùng cặp trong cách chia còn lại.
