TOANMATH.com giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh lớp 12 đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán 12 THPT chuyên năm học 2024 – 2025 sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Thừa Thiên Huế. Kỳ thi được diễn ra vào thứ Sáu ngày 04 tháng 10 năm 2024.
Trích dẫn Đề học sinh giỏi tỉnh Toán 12 chuyên năm 2024 – 2025 sở GD&ĐT Thừa Thiên Huế:
+ Cho p là số nguyên tố lớn hơn 5. Đặt N = 2^2p + 1. a) Chứng minh N không chia hết cho 25. b) Chứng minh N có ít nhất hai ước nguyên tố lớn hơn 5. c) Với q > 5 là ước nguyên tố của N, chứng minh m = 4p là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho 2^m – 1 chia hết cho q.
+ Cho đường tròn (O) và dây BC cố định không đi qua O. Gọi A là điểm thay đổi trên (O) sao cho ABC là tam giác nhọn. Đường phân giác trong góc BAC cắt BC và (O) lần lượt tại D và M (M khác A). Gọi E là điểm trên cạnh AC sao cho AOE = ABM. a) Chứng minh khi A thay đổi trên (O) thì bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AOE không đổi. b) Gọi K là hình chiếu vuông góc của D trên BM, H là giao điểm thứ hai của đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD với CK; N là giao điểm của AH và EM. Chứng minh khi A thay đổi trên (O) thì điểm N luôn thuộc một đường tròn cố định.
+ Cho tập hợp S gồm 12 số nguyên dương. Với số nguyên dương n ≥ 2, ta gọi n là “số phù hợp” nếu tồn tại n tập con T1, T2, …, Tn của S thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau: i) Mỗi tập hợp Tk (k thuộc {1, 2, …, n}) chứa đúng 6 phần tử. ii) Giao của hai tập hợp Ti, Tj (1 =< i < j =< n) tùy ý chứa không quá 2 phần tử. a) Chứng minh 4 là một “số phù hợp”. b) Tìm giá trị lớn nhất của n sao cho n là “số phù hợp”.
