Chuyên đề Bất đẳng thức – Điểm rơi và kỹ thuật chứng minh được biên soạn bởi tác giả Mai Thành Luân, gồm 213 trang, bồi dưỡng học sinh giỏi Toán THCS – THPT.
LỜI NÓI ĐẦU:
VÌ SAO BẤT ĐẲNG THỨC KHÓ?
Bất đẳng thức là một trong những nội dung khó nhất của chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi. Khó không phải vì thiếu công cụ: bất đẳng thức AM–GM, bất đẳng thức Cauchy–Schwarz hay bất đẳng thức Schur đều có thể phát biểu gọn trong vài dòng. Khó là vì cùng một bài toán chấp nhận rất nhiều đường đi, mà phần lớn các đường ấy dẫn tới ngõ cụt sau vài bước biến đổi.
Kinh nghiệm giảng dạy cho thấy phần lớn các ngõ cụt ấy có chung một nguyên nhân: người giải sử dụng một đánh giá trung gian làm mất dấu đẳng thức. Khi một đánh giá trung gian đạt dấu đẳng thức tại những bộ giá trị khác với bộ giá trị làm cho bất đẳng thức ban đầu trở thành đẳng thức, chuỗi đánh giá sẽ cho một kết quả yếu hơn điều cần chứng minh, và mọi cố gắng tiếp tục theo chuỗi ấy đều không dẫn tới kết luận.
Khi bài toán có khả năng đạt dấu đẳng thức, việc dự đoán trước điểm rơi — bộ giá trị của các biến làm cho dấu đẳng thức xảy ra — nên là một trong những bước đầu tiên, trước khi chọn công cụ đánh giá.
Cần nói thêm rằng điểm rơi là thuật ngữ sư phạm quen dùng trong tài liệu tiếng Việt và được giữ lại trong sách này; nó tương ứng với khái niệm trường hợp dấu đẳng thức (equality case) của tài liệu quốc tế, chứ không phải một thuật ngữ đã được chuẩn hoá.
HAI LƯU Ý KÈM THEO:
Nguyên tắc trên cần được hiểu kèm hai lưu ý:
+ Thứ nhất. Một bài toán có thể có nhiều điểm rơi: do tính thuần nhất, các điểm rơi thường lập thành cả một họ tỉ lệ; cũng có bài mà dấu đẳng thức xảy ra tại nhiều bộ giá trị rời nhau. Vì vậy, đối tượng cần xác định nói cho đủ là tập điểm rơi (còn gọi là họ dấu đẳng thức) của bài toán, và trong sách, cụm từ điểm rơi được hiểu theo nghĩa ấy.
+ Thứ hai. Có những bài toán không có điểm rơi nào: với bất đẳng thức nghiêm, hoặc với bài toán mà cận cần tìm không đạt được, thay cho việc tìm điểm rơi ta phải khảo sát dáng điệu của biểu thức trên biên miền xác định cùng các giới hạn của nó.
PHÂN TÍCH TRƯỚC, LỜI GIẢI SAU:
Toàn bộ cuốn sách này được tổ chức quanh nguyên tắc ấy. Trong mỗi ví dụ, phần Phân tích luôn đi trước phần Lời giải: ở đó chúng tôi dự đoán điểm rơi, lập sơ đồ điểm rơi khi cần, và chỉ ra vì sao một đánh giá cụ thể được chọn. Chỉ sau khi đường đi đã rõ, phần tính toán mới được trình bày đầy đủ.
MỤC LỤC:
Lời nói đầu 4.
Chương 1. Đại cương và kỹ thuật biến đổi tương đương 5.
A. Kiến thức trọng tâm 5.
B. Kỹ thuật và ví dụ minh hoạ 8.
C. Bài tập có lời giải 13.
Chương 2. Bất đẳng thức AM–GM và kỹ thuật điểm rơi 24.
A. Kiến thức trọng tâm 24.
B. Kỹ thuật và ví dụ minh hoạ 26.
C. Bài tập có lời giải 34.
Chương 3. Kỹ thuật tách, ghép và thêm bớt trong AM–GM 44.
A. Kiến thức trọng tâm 44.
B. Kỹ thuật và ví dụ minh hoạ 46.
C. Bài tập có lời giải 52.
Chương 4. Kỹ thuật Cauchy ngược dấu 63.
A. Kiến thức trọng tâm 63.
B. Kỹ thuật và ví dụ minh hoạ 64.
C. Bài tập có lời giải 71.
Chương 5. Bất đẳng thức Cauchy–Schwarz và dạng Engel 83.
A. Kiến thức trọng tâm 83.
B. Kỹ thuật và ví dụ minh hoạ 85.
C. Bài tập có lời giải 92.
Chương 6. Phương pháp phản chứng và nguyên lý Dirichlet 103.
A. Kiến thức trọng tâm 103.
B. Kỹ thuật và ví dụ minh hoạ 104.
C. Bài tập có lời giải 110.
Chương 7. Kỹ thuật hệ số bất định U.C.T 120.
A. Kiến thức trọng tâm 120.
B. Kỹ thuật và ví dụ minh hoạ 122.
C. Bài tập có lời giải 130.
Chương 8. Bất đẳng thức Schur và phương pháp p, q, r 140.
A. Kiến thức trọng tâm 140.
B. Kỹ thuật và ví dụ minh hoạ 143.
C. Bài tập có lời giải 151.
Chương 9. Kỹ thuật phân tích bình phương S.O.S 164.
A. Kiến thức trọng tâm 164.
B. Kỹ thuật và ví dụ minh hoạ 168.
C. Bài tập có lời giải 175.
Chương 10. Ứng dụng đạo hàm: phương pháp tiếp tuyến và dồn biến 187.
A. Kiến thức trọng tâm 187.
B. Kỹ thuật và ví dụ minh hoạ 190.
C. Bài tập có lời giải 199.
Phụ lục. Sổ tay bất đẳng thức và bổ đề 212.
