Bài viết hướng dẫn phương pháp tính thể tích khối chóp thông qua các dạng toán với giả thiết khác nhau.
Phương pháp tính thể tích khối chóp
Công thức tính thể tích khối chóp: $V = \frac{1}{3}B.h$, trong đó $B$ là diện tích đáy, $h$ là chiều cao của khối chóp.
Để tính thể tích khối chóp $S.{A_1}{A_2}…{A_n}$ ta đi tính đường cao và diện tích đáy. Khi xác định chân đường cao của hình chóp cần chú ý:
• Hình chóp đều thì chân của đường cao là tâm của đáy.
• Hình chóp có mặt bên $(S{A_i}{A_k})$ vuông góc với mặt đáy thì chân đường cao của tam giác $S{A_i}{A_k}$ hạ từ $S$ là chân đường cao của hình chóp.
• Nếu có hai mặt phẳng đi qua đỉnh và cùng vuông góc với đáy thì giao tuyến của hai mặt phẳng đó vuông góc với đáy.
• Nếu các cạnh bên của hình chóp bằng nhau thì hình chiếu của đỉnh là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy.
• Nếu các mặt bên tạo với đáy một góc bằng nhau thì hình chiếu của đỉnh là tâm đường tròn nội tiếp đáy.
Các dạng toán tính thể tích khối chóp
Dạng 1: Khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy
Dưới đây là một cách dựng các loại khoảng cách và các loại góc thường gặp trong một hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy.
Xét hình chóp $S.ABC$ trong đó $SA \bot \left( {ABC} \right)$
Dựng $AE \bot BC, (E \in BC)$, ta có: góc giữa hai mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ và $\left( {ABC} \right)$ là $\widehat {SEA}$, $\left( {SA,\left( {SBC} \right)} \right) = \widehat {ASE}$, $AE = d\left( {SA,BC} \right).$
Dựng $AH \bot SE \left( {H \in SE} \right)$ $ \Rightarrow AH = d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right).$
$\left( {SB,\left( {ABC} \right)} \right) = \widehat {SBA}$, $\left( {SC,\left( {ABC} \right)} \right) = \widehat {SCA}.$
Dựng $CF \bot AB \left( {F \in AB} \right)$ $ \Rightarrow CF \bot \left( {SAB} \right)$ $ \Rightarrow CF = d\left( {C,\left( {SAB} \right)} \right).$
Dựng $FK \bot SB \left( {K \in SB} \right)$, suy ra góc giữa hai mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {SBC} \right)$ là $\widehat {CKF}.$
Dựng $BI \bot AC \left( {I \in AC} \right)$ suy ra $BI = d\left( {B,\left( {SAC} \right)} \right).$
Dựng $IJ \bot SC \left( {J \in SC} \right)$ suy ra góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $\left( {SAC} \right)$ là $\widehat {BJI}.$
Xét hình chóp $S.ABCD$ trong đó $SA \bot \left( {ABCD} \right)$
Dựng $AE \bot CD \left( {E \in CD} \right)$, $AK \bot BC \left( {K \in BC} \right).$
$ \Rightarrow AK = d\left( {SA,{\rm{ }}BC} \right)$, $AE = d\left( {SA,{\rm{ }}CD} \right)$, $\left( {\left( {SCD} \right),\left( {ABCD} \right)} \right) = \widehat {SEA}$, $\left( {\left( {SBC} \right),\left( {ABCD} \right)} \right) = \widehat {SKA}.$
Dựng $AH \bot SK \left( {H \in SK} \right)$, $AF \bot SE \left( {F \in SE} \right).$
$ \Rightarrow AH \bot \left( {SBC} \right), AF \bot \left( {SCD} \right).$
$ \Rightarrow AH = d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right)$, $AF = d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right)$, $\left( {\left( {SBC} \right),\left( {SCD} \right)} \right) = \left( {AH,AF} \right).$
Dựng $CI \bot AD \left( {I \in AD} \right)$ $ \Rightarrow CI = d\left( {C,\left( {SAD} \right)} \right).$
Dựng $IJ \bot SD \left( {J \in SD} \right)$ $ \Rightarrow \left( {\left( {SAD} \right),\left( {SCD} \right)} \right) = \widehat {IJC}.$
$d\left( {C,\left( {SAB} \right)} \right)$, $\left( {\left( {SAB} \right),\left( {SBC} \right)} \right)$ được xác định tương tự như trên.
Ví dụ 1: Cho hình chóp $S.ABC$ có $SB = SC = BC = CA = a$. Hai mặt $(ABC)$ và $(ASC)$ cùng vuông góc với $(SBC)$. Tính thể tích hình chóp.
Ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{(ABC) \bot (SBC)}\\
{(ASC) \bot (SBC)}
\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow AC \bot (SBC).$
Do đó $V = \frac{1}{3}{S_{SBC}}.AC$ $ = \frac{1}{3}\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}a = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}.$
Ví dụ 2: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$ với $AC = a$ biết $SA$ vuông góc với đáy $(ABC)$ và $SB$ hợp với đáy một góc $60°$.
1. Chứng minh các mặt bên là tam giác vuông.
2. Tính thể tích hình chóp.
1. $SA \bot (ABC)$ $ \Rightarrow SA \bot AB$ và $SA \bot AC.$
Mà $BC \bot AB \Rightarrow BC \bot SB.$
Vậy các mặt bên của hình chóp là tam giác vuông.
2. Ta có $SA \bot (ABC)$ $ \Rightarrow AB$ là hình chiếu của $SB$ trên $(ABC).$
Do đó $\widehat {\left( {SB,\left( {ABC} \right)} \right) = }\widehat {SAB} = {60^o}.$
$\Delta ABC$ vuông cân nên $BA = BC = \frac{a}{{\sqrt 2 }}.$
${S_{ABC}} = \frac{1}{2}BA.BC = \frac{{{a^2}}}{4}.$
$\Delta SAB$ vuông tại $A$ nên $ \Rightarrow SA = AB.{\mathop{\rm t}\nolimits} a{\rm{n6}}{0^o} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}.$
Vậy: $V = \frac{1}{3}{S_{ABC}}.SA$ $ = \frac{1}{3}\frac{{{a^2}}}{4}\frac{{a\sqrt 6 }}{2} = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{24}}.$
Ví dụ 3: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$, biết $SA$ vuông góc với đáy $(ABC)$ và $(SBC)$ hợp với đáy $(ABC)$ một góc $60°$. Tính thể tích hình chóp.
Gọi $M$ là trung điểm của $BC$, vì tam giác $ΔABC$ đều nên $AM ⊥ BC$ $⇒SA ⊥ BC$ (định lý ba đường vuông góc).
Do đó: $\widehat {\left( {\left( {SBC} \right);\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {SMA} = {60^o}.$
$\Delta SAM$ vuông tại $A$ nên $ \Rightarrow SA = AM\tan {60^o} = \frac{{3a}}{2}.$
Vậy $V = \frac{1}{3}{S_{ABC}}.SA = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8}.$
Dạng 2: Khối chóp có một mặt bên vuông góc với đáy
Ví dụ 4: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông có cạnh $a.$ Mặt bên $SAB$ là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy $(ABCD).$
1. Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh $AB.$
2. Tính thể tích khối chóp $S.ABCD.$
1. Gọi $H$ là trung điểm của $AB.$
$\Delta SAB$ đều $ \Rightarrow SH \bot AB.$
Mà $(SAB) \bot (ABCD) \Rightarrow SH \bot (ABCD).$
Do đó $H$ là chân đường cao của khối chóp.
2. Ta có tam giác $SAB$ đều nên $SH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.$
Suy ra $V = \frac{1}{3}{S_{ABCD}}.SH = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}.$
[ads]
Ví dụ 5: Cho tứ diện $ABCD$ có $ABC$ là tam giác đều, $BCD$ là tam giác vuông cân tại $D$, $(ABC) ⊥ (BCD)$ và $AD$ hợp với $(BCD)$ một góc $60°$. Tính thể tích tứ diện $ABCD.$
Gọi $H$ là trung điểm của $BC.$
Ta có tam giác $ABC$ đều nên $AH \bot BC.$
Mà $(ABC) ⊥ (BCD)$ nên $AH \bot (BCD).$
Ta có $ΔAHD$ vuông tại $H$ nên $AH = AD.tan{60^o} = a\sqrt 3 $ và $HD = AD.cot{60^o} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}.$
$\Delta BCD$ vuông tại $D$ nên $BC = 2HD = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}.$
Vậy $V = \frac{1}{3}{S_{BCD}}.AH$ $ = \frac{1}{3}.\frac{1}{2}BC.HD.AH = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{9}.$
Ví dụ 6: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, tam giác $SAB$ là tam giác đều cạnh $a$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Mặt phẳng $(SAC)$ và $(SCD)$ tạo với đáy lần lượt các góc ${60^0}$ và ${30^0}.$ Tính thể tích khối chóp $S.ABCD.$
Gọi $H$ là trung điểm của $AB$ $\Rightarrow SH \bot AB.$
Mà $(SAB) \bot (ABCD)$ $ \Rightarrow SH \bot (ABCD)$ $ \Rightarrow {V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SH.{S_{ABCD}}.$
Vẽ $HK \bot AC$ $ \Rightarrow AC \bot (SHK)$ $ \Rightarrow \widehat {SKH}$ là góc giữa hai mặt phẳng $(SAC)$ và mặt đáy nên $\widehat {SKH} = {60^0}.$
Vẽ $HE \bot CD$ $ \Rightarrow CD \bot (SHE)$ $ \Rightarrow \widehat {SEH}$ là góc giữa hai mặt phẳng $\left( {SCD} \right)$ và mặt đáy nên $\widehat {SEH} = {30^0}.$
Đặt $AB = x$, trong tam giác $SHE$ ta có: $SH = HE.\tan {30^0} = \frac{{x\sqrt 3 }}{3}$ $(1).$
Ta có $\Delta AKH \sim \Delta ABC$ $ \Rightarrow \frac{{KH}}{{BC}} = \frac{{AH}}{{AC}}$ $ \Rightarrow KH = \frac{{ax}}{{2\sqrt {{a^2} + {x^2}} }}.$
Trong tam giác $SHK$ ta có: $SH = HK\tan {60^0}$ $ = \frac{{ax\sqrt 3 }}{{2\sqrt {{a^2} + {x^2}} }}$ $(2).$
Từ $(1)$ và $(2)$, suy ra: $\frac{{x\sqrt 3 }}{3} = \frac{{ax\sqrt 3 }}{{2\sqrt {{a^2} + {x^2}} }}$ $ \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + {a^2}} = \frac{{3a}}{2}$ $ \Rightarrow x = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}.$
Vậy thể tích khối chóp $S.ABCD$ là: $V = \frac{1}{3}SH.AB.AD$ $ = \frac{1}{3}.\frac{{x\sqrt 3 }}{3}.a.x = \frac{{5{a^3}\sqrt 3 }}{{36}}.$
Dạng 3: Khối chóp đều
Hình chóp tam giác đều
Hình chóp tứ giác đều
Ta có:
• $SO = h $ là chiều cao của hình chóp.
• $\widehat {SAO}$ là góc giữa cạnh bên và đáy.
• $E$ là trung điểm của $BC$, $\widehat {SEO}$ là góc giữa mặt bên và đáy.
• $\widehat {SBC}$ là góc ở đáy của một mặt bên.
• $\widehat {OSE}$ là góc giữa $SO$ và mặt bên.
• Dựng $OH$ vuông góc với $SE$ tại $H$ thì $OH$ là khoảng cách từ $O$ đến mặt phẳng $\left( {SBC} \right).$
Ví dụ 7: Cho tứ diện đều $SABC$ có cạnh bằng $a$, đường cao $SH.$
1. Chứng minh $SA$ vuông góc với $BC.$
2. Tính thể tích của khối chóp $SABC.$
3. Gọi $O$ là trung điểm của đoạn $SH.$ Chứng minh rằng $OA, OB, OC$ đôi một vuông góc với nhau.
1. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $BC$, vì các tam giác $ABC, SBC$ là các tam giác đều nên $\left\{ \begin{array}{l}
AM \bot BC\\
SM \bot BC
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow BC \bot \left( {SAM} \right) \Rightarrow BC \bot SA.$
2. Theo tính chất của hình chóp đều ta có $H$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ $ \Rightarrow H \in AM$; $AH = \frac{2}{3}AM = \frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}$; $SH \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SH \bot AH.$
Trong tam giác vuông $SHA$ (vuông tại $H$): $S{H^2} = S{A^2} – A{H^2}$ $ = {a^2} – \frac{{3{a^2}}}{9} = \frac{{6{a^2}}}{9}$ $ \Rightarrow SH = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}.$
Thể tích của khối chóp $SABC$: $V = \frac{1}{3}{S_{ABC}}.SH$ $ = \frac{1}{3}\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\frac{{a\sqrt 6 }}{3} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}.$
3. $O$ thuộc trục $SH$ của tam giác $ABC$ nên $OA = OB = OC.$
Trong tam giác vuông $OHA$: $O{A^2} = A{H^2} + O{H^2}$ $ = {\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)^2} + {\left( {\frac{{a\sqrt 6 }}{6}} \right)^2} = \frac{{{a^2}}}{2}.$
Trong tam giác cân $OAB$: $O{A^2} + O{B^2} = \frac{{{a^2}}}{2} + \frac{{{a^2}}}{2}$ $ = {a^2} = A{B^2}.$
$ \Rightarrow \Delta OAB$ vuông tại $O$, tức là $OA \bot OB.$
Chứng minh tương tự ta có $OA, OB, OC$ đôi một vuông góc.
Ví dụ 8: Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có khoảng cách từ tâm $O$ của đáy đến mặt bên là $a$, góc giữa đường cao và mặt bên là ${30^0}.$ Tính thể tích của khối chóp $S.ABCD.$
Gọi $I$ là trung điểm của cạnh $BC$, ta có $BC \bot \left( {SOI} \right)$ (do $BC \bot OI, BC \bot SO$), suy ra $\left( {SBC} \right) \bot \left( {SOI} \right).$
Dựng $OH \bot SI \left( {S \in I} \right)$ thì $OH \bot \left( {SBC} \right)$ và hình chiếu vuông góc của đường thẳng $SO$ lên mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ là đường thẳng $SI$, do đó $OH = d\left( {O,\left( {SBC} \right)} \right) = a$ và $\left( {SO,\left( {SBC} \right)} \right) = \widehat {OSI} = {30^0}$ (theo giả thiết).
Trong tam giác vuông $SOE$: $SO = \frac{{OH}}{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in3}}{0^0}}} = 2a$, $OI = SO\tan {30^0} = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}.$
Suy ra $AB = 2OI = \frac{{4a\sqrt 3 }}{3}.$
Thể tích của khối chóp $S.ABCD$: $V = \frac{1}{3}{S_{ABCD}}.SO = \frac{1}{3}A{B^2}.SO$ $ = \frac{1}{3}{\left( {\frac{{4a\sqrt 3 }}{3}} \right)^2}.2a = \frac{{32{a^3}}}{9}.$
Dạng 4: Khối chóp và phương pháp tỷ số thể tích
Cho hình chóp tam giác $S.ABC$, $M, N, K$ lần lượt là các điểm nằm trên các cạnh $SA, SB, SC$.
Khi đó ta có: $\frac{{{V_{S.MNK}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SM}}{{SA}}.\frac{{SN}}{{SB}}.\frac{{SK}}{{SC}}.$
Ví dụ 9: Cho hình chóp $S.ABC$ có tam giác $ABC$ vuông cân ở $B$, $AC = a\sqrt 2 $, $SA$ vuông góc với đáy $ABC$, $SA = a.$
1. Tính thể tích của khối chóp $S.ABC.$
2. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $SBC$, mặt phẳng $(α)$ qua $AG$ và song song với $BC$ cắt $SC, SB$ lần lượt tại $M, N$. Tính thể tích của khối chóp $S.AMN.$
1. Ta có: $ΔABC$ vuông cân tại $B$ có $AC = a\sqrt 2 $, suy ra $AB = BC = a.$
${V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}{S_{ABC}}.SA$ $ = \frac{1}{3}.\frac{1}{2}AB.BC.SA = \frac{{{a^3}}}{6}.$
2. Gọi $I$ là trung điểm $BC.$
Vì $G$ là trọng tâm tam giác $ΔSBC$ nên ta có: $\frac{{SG}}{{SI}} = \frac{2}{3}.$
Vì $(α) // BC$ nên $MN // BC$, do đó: $\frac{{SM}}{{SB}} = \frac{{SN}}{{SC}} = \frac{{SG}}{{SI}} = \frac{2}{3}.$
$ \Rightarrow \frac{{{V_{S.AMN}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SA}}{{SA}}.\frac{{SM}}{{SB}}.\frac{{SN}}{{SC}} = \frac{4}{9}.$
Vậy ${V_{S.AMN}} = \frac{4}{9}.{V_{S.ABC}} = \frac{{2{a^3}}}{{27}}.$
Ví dụ 10: Cho khối chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có thể tích là $V_{0}$. Một mặt phẳng $(α)$ qua $A, B$ và trung điểm $M$ của $SC$ cắt $SD$ tại $N$. Tính thể tích khối chóp $S.ABMN$.
Dễ thấy $N$ là trung điểm của $SD.$
Ta có: $\frac{{{V_{S.ANB}}}}{{{V_{S.ADB}}}} = \frac{{SA}}{{SA}}.\frac{{SN}}{{SD}}.\frac{{SB}}{{SB}} = \frac{1}{2}$ $ \Rightarrow {V_{S.ANB}} = \frac{1}{2}.{V_{S.ADB}} = \frac{1}{4}.{V_{S.ABCD}}.$ $= \frac{1}{4}.{V_{0}}.$
Tương tự: ${V_{S.BMN}} = \frac{1}{4}.{V_{S.BCD}} = \frac{1}{8}.{V_0}.$
Do đó: ${V_{S.ABMN}} = {V_{S.ANB}} + {V_{S.BMN}} = \frac{3}{8}.{V_0}.$
