Bài viết hướng dẫn phương pháp xét dấu của tam thức bậc hai và cách giải các dạng toán liên quan đến tam thức bậc hai, kiến thức và các ví dụ trong bài viết được tham khảo từ các tài liệu bất đẳng thức và bất phương trình xuất bản trên TOANMATH.com.
A. LÝ THUYẾT VỀ DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI
1. Tam thức bậc hai:
• Tam thức bậc hai (đối với $x$) là biểu thức dạng $a{{x}^{2}}+bx+c$, trong đó $a$, $b$, $c$ là những số cho trước với $a\ne 0.$
• Nghiệm của phương trình $a{{x}^{2}}+bx+c=0$ được gọi là nghiệm của tam thức bậc hai $f\left( x \right)=a{{x}^{2}}+bx+c.$
• $\Delta ={{b}^{2}}-4ac$ và $\Delta’=b’^{2}-ac$ theo thứ tự được gọi là biệt thức và biệt thức thu gọn của tam thức bậc hai $f\left( x \right)=a{{x}^{2}}+bx+c.$
2. Dấu của tam thức bậc hai:
Dấu của tam thức bậc hai được thể hiện trong các bảng sau:
• Trường hợp 1: $Δ<0$ (tam thức bậc hai vô nghiệm).
• Trường hợp 2: $Δ=0$ (tam thức bậc hai có nghiệm kép ${x_0} = – \frac{b}{{2a}}$).
• Trường hợp 3: $Δ>0$ (tam thức bậc hai có hai nghiệm ${x_1}$ và ${x_2}$ $\left( {{x_1} < {x_2}} \right)$).
Cho tam thức bậc hai $a{x^2} + bx + c$, ta có:
• $a{x^2} + bx + c > 0$, $\forall x \in R$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a > 0\\
\Delta < 0
\end{array} \right.$
• $a{x^2} + bx + c \ge 0$, $\forall x \in R$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a > 0\\
\Delta \le 0
\end{array} \right.$
• $a{x^2} + bx + c < 0$, $\forall x \in R$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a < 0\\
\Delta < 0
\end{array} \right.$
• $a{x^2} + bx + c \le 0$, $\forall x \in R$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a < 0\\
\Delta \le 0
\end{array} \right.$
B. CÁC DẠNG TOÁN VỀ DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI VÀ VÍ DỤ MINH HỌA
Dạng toán 1. Xét dấu của biểu thức chứa tam thức bậc hai.
Phương pháp giải toán: Dựa vào định lí về dấu của tam thức bậc hai để xét dấu của biểu thức chứa tam thức bậc hai.
• Đối với đa thức bậc cao $P(x)$ ta làm như sau:
+ Phân tích đa thức $P\left( x \right)$ thành tích các tam thức bậc hai (hoặc có cả nhị thức bậc nhất).
+ Lập bảng xét dấu của $P\left( x \right).$
• Đối với phân thức $\frac{P(x)}{Q(x)}$ (trong đó $P\left( x \right)$, $Q\left( x \right)$ là các đa thức) ta làm như sau:
+ Phân tích đa thức $P\left( x \right)$, $Q\left( x \right)$ thành tích các tam thức bậc hai (hoặc có cả nhị thức bậc nhất).
+ Lập bảng xét dấu của $\frac{P(x)}{Q(x)}.$
Ví dụ 1. Xét dấu của các tam thức bậc hai sau:
a) $3{{x}^{2}}-2x+1.$
b) $-{{x}^{2}}+4x+5.$
c) $-4{{x}^{2}}+12x-9.$
d) $3{{x}^{2}}-2x-8.$
e) $25{{x}^{2}}+10x+1.$
f) $-2{{x}^{2}}+6x-5.$
a) Ta có $\Delta’=-2<0$, $a=3>0$ suy ra $3{{x}^{2}}-2x+1>0$, $\forall x\in \mathbb{R}.$
b) Ta có $ – {x^2} + 4x + 5 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = – 1}\\
{x = 5}
\end{array}} \right.$
Bảng xét dấu:
Suy ra $-{{x}^{2}}+4x+5>0$ $\Leftrightarrow x\in \left( -1;5 \right)$ và $-{{x}^{2}}+4x+5<0$ $\Leftrightarrow x\in \left( -\infty ;-1 \right)\cup \left( 5;+\infty \right).$
c) Ta có $\Delta’=0$, $a<0$ suy ra $-4{{x}^{2}}+12x-9<0$, $\forall x\in \mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{3}{2} \right\}.$
d) Ta có $3{{x}^{2}}-2x-8=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
x=2 \\
x=-\frac{4}{3} \\
\end{matrix} \right.$
Bảng xét dấu:
Suy ra $3{{x}^{2}}-2x-8>0$ $\Leftrightarrow x\in \left( -\infty ;-\frac{4}{3} \right)\cup \left( 2;+\infty \right)$ và $3{{x}^{2}}-2x-8<0$ $\Leftrightarrow x\in \left( -\frac{4}{3};2 \right).$
e) Ta có $\Delta’=0$, $a>0$ suy ra $25{{x}^{2}}+10x+1>0$, $\forall x\in \mathbb{R}\backslash \left\{ -\frac{1}{5} \right\}.$
f) Ta có $\Delta’=-1<0$, $a<0$ suy ra $-2{{x}^{2}}+6x-5<0$, $\forall x\in \mathbb{R}.$
Ví dụ 2. Tùy theo giá trị của tham số $m$, hãy xét dấu của các biểu thức $f(x)={{x}^{2}}+2mx+3m-2.$
Tam thức $f(x)$ có $a=1>0$ và $\Delta’={{m}^{2}}-3m+2.$
• Nếu $1<m<2$ $\Rightarrow \Delta'<0$ $\Rightarrow f(x)>0$, $\forall x\in R.$
• Nếu $\left[ \begin{align}
& m=1 \\
& m=2 \\
\end{align} \right.$ $\Rightarrow \Delta’=0$ $\Rightarrow f(x)\ge 0$, $\forall x\in R$ và $f(x)=0$ $\Leftrightarrow x=-m.$
• Nếu $\left[ \begin{align}
& m>2 \\
& m<1 \\ \end{align} \right.$ $\Rightarrow \Delta’>0$ $\Rightarrow f(x)$ có hai nghiệm: ${{x}_{1}}=-m-\sqrt{{{m}^{2}}-3m+2}$ và ${{x}_{2}}=-m+\sqrt{{{m}^{2}}-3m+2}$. Khi đó:
+ $f(x)>0$ $\Leftrightarrow x\in (-\infty ;{{x}_{1}})\cup ({{x}_{2}};+\infty ).$
+ $f(x)<0$ $\Leftrightarrow x\in ({{x}_{1}};{{x}_{2}}).$
Ví dụ 3. Xét dấu của các biểu thức sau:
a) $\left( -{{x}^{2}}+x-1 \right)\left( 6{{x}^{2}}-5x+1 \right).$
b) $\frac{{{x}^{2}}-x-2}{-{{x}^{2}}+3x+4}.$
c) ${{x}^{3}}-5x+2.$
d) $x-\frac{{{x}^{2}}-x+6}{-{{x}^{2}}+3x+4}.$
a) Ta có:
$-{{x}^{2}}+x-1=0$ vô nghiệm.
$6{{x}^{2}}-5x+1=0$ $\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}$ hoặc $x=\frac{1}{3}.$
Bảng xét dấu:
Suy ra $\left( -{{x}^{2}}+x-1 \right)\left( 6{{x}^{2}}-5x+1 \right)$ dương khi và chỉ khi $x\in \left( \frac{1}{3};\frac{1}{2} \right)$, $\left( -{{x}^{2}}+x-1 \right)\left( 6{{x}^{2}}-5x+1 \right)$ âm khi và chỉ khi $x\in \left( -\infty ;\frac{1}{3} \right)\cup \left( \frac{1}{2};+\infty \right).$
b) Ta có:
${{x}^{2}}-x-2=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
x=-1 \\
x=2 \\
\end{matrix} \right.$
$-{{x}^{2}}+3x+4=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
x=-1 \\
x=4 \\
\end{matrix} \right.$
Bảng xét dấu:
Suy ra $\frac{{{x}^{2}}-x-2}{-{{x}^{2}}+3x+4}$ dương khi và chỉ khi $x\in \left( 2;4 \right)$, $\frac{{{x}^{2}}-x-2}{-{{x}^{2}}+3x+4}$ âm khi và chỉ khi $x\in \left( -\infty ;-1 \right)\cup \left( -1;2 \right)\cup \left( 4;+\infty \right).$
[ads]
c) Ta có:
${{x}^{3}}-5x+2=\left( x-2 \right)\left( {{x}^{2}}+2x-1 \right).$
${{x}^{2}}+2x-1=0\Leftrightarrow x=-1\pm \sqrt{2}.$
Bảng xét dấu:
Suy ra ${{x}^{3}}-5x+2$ dương khi và chỉ khi $x\in \left( -1-\sqrt{2};-1+\sqrt{2} \right)\cup \left( 2;+\infty \right)$, ${{x}^{3}}-5x+2$ âm khi và chỉ khi $x\in \left( -\infty ;-1-\sqrt{2} \right)\cup \left( -1+\sqrt{2};2 \right).$
d) Ta có:
$x-\frac{{{x}^{2}}-x+6}{-{{x}^{2}}+3x+4}$ $=\frac{-{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}+5x-6}{-{{x}^{2}}+3x+4}$ $=\frac{\left( x-1 \right)\left( -{{x}^{2}}+x+6 \right)}{-{{x}^{2}}+3x+4}.$
$-{{x}^{2}}+x+6=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
x=-2 \\
x=3 \\
\end{matrix} \right.$
$-{{x}^{2}}+3x+4=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
x=-1 \\
x=4 \\
\end{matrix} \right.$
Bảng xét dấu:
Suy ra $x-\frac{{{x}^{2}}-x+6}{-{{x}^{2}}+3x+4}$ dương khi và chỉ khi $x\in \left( -2;-1 \right)\cup \left( 1;3 \right)\cup \left( 4;+\infty \right)$, $x-\frac{{{x}^{2}}-x+6}{-{{x}^{2}}+3x+4}$ âm khi và chỉ khi $x\in \left( -\infty ;-2 \right)\cup \left( -1;1 \right)\cup \left( 3;4 \right).$
Dạng toán 2. Bài toán chứa tham số liên quan đến dấu của tam thức bậc hai.
Ví dụ 4. Chứng minh rằng với mọi giá trị của $m$ thì:
a) Phương trình $m{{x}^{2}}-\left( 3m+2 \right)x+1=0$ luôn có nghiệm.
b) Phương trình $\left( {{m}^{2}}+5 \right){{x}^{2}}-\left( \sqrt{3}m-2 \right)x+1=0$ luôn vô nghiệm.
a)
Với $m=0$ phương trình trở thành $-2x+1=0$ $\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}$ suy ra phương trình có nghiệm.
Với $m\ne 0$, ta có $\Delta ={{\left( 3m+2 \right)}^{2}}-4m$ $=9{{m}^{2}}+8m+4.$
Vì tam thức $9{{m}^{2}}+8m+4$ có ${{a}_{m}}=9>0$, $\Delta’_{m}=-20<0$ nên $9{{m}^{2}}+8m+4>0$ với mọi $m.$
Do đó phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi $m.$
b) Ta có $\Delta ={{\left( \sqrt{3}m-2 \right)}^{2}}-4\left( {{m}^{2}}+5 \right)$ $=-{{m}^{2}}-4\sqrt{3}m-16.$
Vì tam thức $-{{m}^{2}}-4\sqrt{3}m-8$ có ${{a}_{m}}=-1<0$, $\Delta’_{m}=-4<0$ nên $-{{m}^{2}}-4\sqrt{3}m-8<0$ với mọi $m.$
Do đó phương trình đã cho luôn vô nghiệm với mọi $m.$
Ví dụ 5. Tìm các giá trị của $m$ để biểu thức sau luôn âm:
a) $f\left( x \right)=m{{x}^{2}}-x-1.$
b) $g\left( x \right)=\left( m-4 \right){{x}^{2}}+\left( 2m-8 \right)x+m-5.$
a)
Với $m=0$ thì $f\left( x \right)=-x-1$ lấy cả giá trị dương (chẳng hạn $f\left( -2 \right)=1$) nên $m=0$ không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Với $m\ne 0$ thì $f\left( x \right)=m{{x}^{2}}-x-1$ là tam thức bậc hai, do đó: $f\left( x \right)<0$, $\forall x$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a=m<0 \\
\Delta =1+4m<0 \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
m<0 \\
m>-\frac{1}{4} \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow -\frac{1}{4}<m<0.$
Vậy với $-\frac{1}{4}<m<0$ thì biểu thức $f\left( x \right)$ luôn âm.
b)
Với $m=4$ thì $g\left( x \right)=-1<0$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Với $m\ne 4$ thì $g\left( x \right)=\left( m-4 \right){{x}^{2}}+\left( 2m-8 \right)x+m-5$ là tam thức bậc hai, do đó: $g\left( x \right)<0$, $\forall x$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a=m-4<0 \\
\Delta’={{\left( m-4 \right)}^{2}}-\left( m-4 \right)\left( m-5 \right)<0 \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
m<4 \\
m-4<0 \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow m<4.$
Vậy với $m\le 4$ thì biểu thức $g\left( x \right)$ luôn âm.
Ví dụ 6. Tìm các giá trị của $m$ để biểu thức sau luôn dương:
a) $h\left( x \right)=\frac{-{{x}^{2}}+4\left( m+1 \right)x+1-4{{m}^{2}}}{-4{{x}^{2}}+5x-2}.$
b) $k\left( x \right)=\sqrt{{{x}^{2}}-x+m}-1.$
a) Tam thức $-4{{x}^{2}}+5x-2$ có $a=-4<0$, $\Delta =-7<0$ suy ra $-4{{x}^{2}}+5x-2<0$, $\forall x.$
Do đó $h\left( x \right)$ luôn dương khi và chỉ khi $-{{x}^{2}}+4\left( m+1 \right)x+1-4{{m}^{2}}$ luôn âm $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a=-1<0 \\
\Delta’=4{{\left( m+1 \right)}^{2}}+\left( 1-4{{m}^{2}} \right)<0 \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow 8m+5<0$ $\Leftrightarrow m<-\frac{5}{8}.$
Vậy với $m<-\frac{5}{8}$ thì biểu thức $h\left( x \right)$ luôn dương.
b) Biểu thức $k\left( x \right)$ luôn dương $\Leftrightarrow \sqrt{{{x}^{2}}-x+m}-1>0$ $\Leftrightarrow \sqrt{{{x}^{2}}-x+m}>1$ $\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x+m>0$, $\forall x$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a=1>0 \\
\Delta =1-4m<0 \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow m>\frac{1}{4}.$
Vậy với $m>\frac{1}{4}$ thì biểu thức $k\left( x \right)$ luôn dương.
Ví dụ 7. Chứng minh rằng hàm số sau có tập xác định là $\mathbb{R}$ với mọi giá trị của $m.$
a) $y=\frac{mx}{\left( 2{{m}^{2}}+1 \right){{x}^{2}}-4mx+2}.$
b) $y=\sqrt{\frac{2{{x}^{2}}-2\left( m+1 \right)x+{{m}^{2}}+1}{{{m}^{2}}{{x}^{2}}-2mx+{{m}^{2}}+2}}.$
a) Điều kiện xác định: $\left( 2{{m}^{2}}+1 \right){{x}^{2}}-4mx+2\ne 0.$
Xét tam thức bậc hai $f\left( x \right)=\left( 2{{m}^{2}}+1 \right){{x}^{2}}-4mx+2$, ta có: $a=2{{m}^{2}}+1>0$, $\Delta’=4{{m}^{2}}-2\left( 2{{m}^{2}}+1 \right)=-2<0.$
Suy ra với mọi $m$ ta có $f\left( x \right)=\left( 2{{m}^{2}}+1 \right){{x}^{2}}-4mx+2>0$, $\forall x\in \mathbb{R}.$
Do đó với mọi $m$ ta có $\left( 2{{m}^{2}}+1 \right){{x}^{2}}-4mx+2\ne 0$, $\forall x\in \mathbb{R}.$
Vậy tập xác định của hàm số là $D=\mathbb{R}.$
b) Điều kiện xác định: $\frac{2{{x}^{2}}-2\left( m+1 \right)x+{{m}^{2}}+1}{{{m}^{2}}{{x}^{2}}-2mx+{{m}^{2}}+2}\ge 0$ và ${{m}^{2}}{{x}^{2}}-2mx+{{m}^{2}}+2\ne 0.$
Xét tam thức bậc hai $f\left( x \right)=2{{x}^{2}}-2\left( m+1 \right)x+{{m}^{2}}+1$, ta có: ${{a}_{f}}=2>0$, ${{\Delta }_{f}}’={{\left( m+1 \right)}^{2}}-2\left( {{m}^{2}}+1 \right)$ $=-{{m}^{2}}+2m-1$ $=-{{\left( m-1 \right)}^{2}}\le 0.$
Suy ra với mọi $m$ ta có $f\left( x \right)=2{{x}^{2}}-2\left( m+1 \right)x+{{m}^{2}}+1\ge 0$, $\forall x\in \mathbb{R}$ $(1).$
Xét tam thức bậc hai $g\left( x \right)={{m}^{2}}{{x}^{2}}-2mx+{{m}^{2}}+2.$
+ Với $m=0$ ta có $g\left( x \right)=2>0.$
+ Với $m\ne 0$ ta có ${{a}_{g}}={{m}^{2}}>0$, ${{\Delta }_{g}}’={{m}^{2}}-{{m}^{2}}\left( {{m}^{2}}+2 \right)$ $=-{{m}^{2}}\left( {{m}^{2}}+1 \right)<0.$
Suy ra với mọi $m$ ta có $g\left( x \right)={{m}^{2}}{{x}^{2}}-2mx+{{m}^{2}}+2>0$, $\forall x\in \mathbb{R}$ $(2).$
Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra với mọi $m$ thì $\frac{2{{x}^{2}}-2\left( m+1 \right)x+{{m}^{2}}+1}{{{m}^{2}}{{x}^{2}}-2mx+{{m}^{2}}+2}\ge 0$ và ${{m}^{2}}{{x}^{2}}-2mx+{{m}^{2}}+2\ne 0$ đúng với mọi giá trị của $x.$
Vậy tập xác định của hàm số là $D=\mathbb{R}.$
