Bài viết hướng dẫn phương pháp giải bài toán tìm hệ số hoặc số hạng chứa ${x^h}$ trong khai triển chứa điều kiện, đây là dạng toán thường gặp trong chương trình Đại số và Giải tích 11: Tổ hợp và xác suất.
1. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Các bài toán loại này thường chưa biết $n$ trong khai triển, do đó ta thực hiện các bước:
+ Từ điều kiện bài toán tìm $n$ (hoặc các ẩn liên quan).
+ Sau đó thực hiện tương tự bài toán tìm hệ số của số hạng chứa ${x^h}$ trong khai triển biết $n$ đã được đề cập trước đó trên TOANMATH.com.
2. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Cho $n$ là số nguyên dương thỏa mãn: $5C_n^{n – 1} = C_n^3.$ Tìm số hạng chứa ${x^5}$ trong khai triển nhị thức Niu-tơn của ${\left( {\frac{{n{x^2}}}{{14}} – \frac{1}{x}} \right)^n}$ với $x \ne 0.$
Lời giải:
Xét phương trình $5C_n^{n – 1} = C_n^3.$
Điều kiện: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{n \ge 3}\\
{n \in Z}
\end{array}} \right..$
Phương trình $ \Leftrightarrow 5.\frac{{n!}}{{(n – 1)!}} = \frac{{n!}}{{3!(n – 3)!}}$ $ \Leftrightarrow 5n = \frac{{n(n – 1)(n – 2)}}{6}.$
$ \Leftrightarrow 30 = {n^2} – 3n + 2$ $ \Leftrightarrow {n^2} – 3n – 28 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{n = 7}\\
{n = – 4\,\,{\rm{(loại)}}}
\end{array}} \right..$
Khi đó: ${\left( {\frac{{n{x^2}}}{{14}} – \frac{1}{x}} \right)^n}$ $ = {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} – \frac{1}{x}} \right)^7}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^7 {C_7^k} {\left( {\frac{{{x^2}}}{2}} \right)^{7 – k}}.{\left( { – \frac{1}{x}} \right)^k}.$
Số hạng tổng quát trong khai triển là:
${T_{k + 1}}$ $ = C_7^k{\left( {\frac{{{x^2}}}{2}} \right)^{7 – k}}.{\left( { – \frac{1}{x}} \right)^k}$ $ = C_7^k.\frac{{{x^{14 – 2k}}}}{{{2^{7 – k}}}}.\frac{{{{( – 1)}^k}}}{{{x^k}}}$ $ = C_7^k.\frac{{{{( – 1)}^k}}}{{{2^{7 – k}}}}.{x^{14 – 3k}}.$
Nếu hạng tử ${T_{k + 1}}$ chứa ${x^5}$ thì: $14 – 3k = 5$ $ \Leftrightarrow k = 3.$
Vậy số hạng chứa ${x^5}$ là số hạng thứ $4$ trong khai triển là:
${T_6} = C_7^3.\frac{{{{( – 1)}^3}}}{{{2^4}}}.{x^5} = – \frac{{35}}{{16}}{x^5}.$
Bài 2: Tìm hệ số của số hạng chứa ${x^{10}}$ trong khai triển nhị thức Niutơn của ${(2 + x)^n}$, biết ${3^n}C_n^0 – {3^{n – 1}}C_n^1$ $ + {3^{n – 2}}C_n^2 – {3^{n – 3}}C_n^3$ $ + … + {( – 1)^n}C_n^n = 2048.$
Lời giải:
Ta có: ${(3 + x)^n}$ $ = C_n^0{3^n} + C_n^1{3^{n – 1}}x$ $ + C_n^2{3^{n – 2}}{x^2} + \ldots + C_n^n{x^n}.$
Chọn $x = – 1$, ta được:
${3^n}C_n^0 – {3^{n – 1}}C_n^1$ $ + {3^{n – 2}}C_n^2 – {3^{n – 3}}C_n^3$ $ + … + {( – 1)^n}C_n^n$ $ = {(3 – 1)^n} = {2^n}.$
Từ giả thiết suy ra: ${2^n} = 2048 = {2^{11}}$ $ \Leftrightarrow n = 11.$
Suy ra: ${(2 + x)^n}$ $ = {(2 + x)^{11}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{11} {C_{11}^k} {2^{11 – k}}{x^k}.$
Số hạng tổng quát trong khai triển là: $C_{11}^k{2^{11 – k}}{x^k}.$
Cho $k =10$, ta được hệ số của ${x^{10}}$ trong khai triển là: $C_{11}^{10}.2 = 22.$
Bài 3: Trong khai triển nhị thức ${\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^n}$, hệ số của số hạng thứ ba lớn hơn hệ số của số hạng thứ hai là $35.$ Tìm số hạng không chứa $x$ trong khai triển nói trên (với $n \in {N^*}$).
Lời giải:
Ta có: ${\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^n}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} {x^{n – k}}{\left( {\frac{1}{x}} \right)^k}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} {x^{n – 2k}}.$
Hệ số của số hạng thứ $k + 1$ trong khai triển là: ${T_{k + 1}} = C_n^k.$
Theo giả thiết ta có: $C_n^2 – C_n^1 = 35$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{n \ge 2,n \in N}\\
{\frac{{n!}}{{2!(n – 2)!}} – n = 35}
\end{array}} \right..$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{n \ge 2,n \in N}\\
{\frac{{n(n – 1)}}{2} – n = 35}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{n \ge 2,n \in N}\\
{{n^2} – 3n – 70 = 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow n = 10.$
Do đó: ${\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^{10}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {x^{10 – 2k}}.$
Số hạng không chứa $x$ trong khai triển là: $C_{10}^k$ với $10 – 2k = 0$ $ \Leftrightarrow k = 5.$
Vậy số hạng không chứa $x$ trong khai triển là: $C_{10}^5 = 252.$
Bài 4: Tìm số hạng không chứa $x$ trong khai triển nhị thức ${\left( {{x^2} + \frac{1}{{{x^3}}}} \right)^n}$, biết rằng $C_n^1 + C_n^3 = 13n$ ($n$ là số tự nhiên lớn hơn $2$ và $x$ là số thực khác $0$).
Lời giải:
Ta có: $C_n^1 + C_n^3 = 13n$ $ \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{(n – 1)!}} + \frac{{n!}}{{3!(n – 3)!}} = 13n$ $ \Leftrightarrow n + \frac{{n(n – 1)(n – 2)}}{6} = 13n.$
$ \Leftrightarrow 1 + \frac{{(n – 1)(n – 2)}}{6} = 13$ $ \Leftrightarrow {n^2} – 3n – 70 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{n = 10}\\
{n = – 7\,\,{\rm{(loại)}}}
\end{array}} \right..$
Do đó: ${\left( {{x^2} + \frac{1}{{{x^3}}}} \right)^n}$ $ = {\left( {{x^2} + \frac{1}{{{x^3}}}} \right)^{10}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {\left( {{x^2}} \right)^{10 – k}}{\left( {{x^{ – 3}}} \right)^k}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {x^{20 – 5k}}.$
Số hạng tổng quát trong khai triển $C_{10}^k{x^{20 – 5k}}.$
Hệ số không chứa $x$ trong khai triển là: $C_{10}^k$ với $k$ thỏa mãn $20 – 5k = 0$ $ \Leftrightarrow k = 4.$
Vậy số hạng không chứa $x$ trong khai triển là: $C_{10}^4 = 210.$
Bài 5: Khai triển biểu thức ${(1 – 2x)^n}$ ta được đa thức có dạng ${a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + \ldots + {a_n}{x^n}.$ Tìm hệ số của ${x^5}$ biết rằng: ${a_0} + {a_1} + {a_2} = 71.$
Lời giải:
Ta có: ${(1 – 2x)^n}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} .{( – 2x)^k}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} .{( – 2)^k}{x^k}.$
Do đó: ${a_k} = C_n^k.{( – 2)^k}$, $\forall k = \overline {0..n} .$
Khi đó ${a_0} + {a_1} + {a_2} = 71$ $ \Leftrightarrow C_n^0 – 2C_n^1 + 4C_n^2 = 71.$
$ \Leftrightarrow 1 – 2n + 4\frac{{n(n – 1)}}{2} = 71$ $ \Leftrightarrow {n^2} + 2n – 35 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{n = 5}\\
{n = – 7\,\,{\rm{(loại)}}}
\end{array}} \right..$
Suy ra: ${(1 – 2x)^7}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^7 {C_7^k.} {( – 2)^k}.{x^k}.$
Vậy hệ số của ${x^5}$ trong khai triển là: $C_7^5{( – 2)^5} = – 672.$
Bài 6: Tìm hệ số của ${x^{26}}$ trong khai triển nhị thức Newton của ${\left( {\frac{1}{{{x^4}}} + {x^7}} \right)^n}$, biết rằng $C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^2 + \ldots + C_{2n + 1}^n$ $ = {2^{20}} – 1.$
Lời giải:
Xét khai triển ${(1 + x)^{2n + 1}}$ $ = C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1x$ $ + C_{2n + 1}^2{x^2} + C_{2n + 1}^3{x^3}$ $ + \ldots + C_{2n + 1}^{2n + 1}{x^{2n + 1}}.$
Chọn $x = 1$, ta được: $C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1$ $ + C_{2n + 1}^2 + C_{2n + 1}^3$ $ + \ldots + C_{2n + 1}^{2n + 1} = {2^{2n + 1}}$ $(*).$
Áp dụng công thức $C_{2n + 1}^k = C_{2n + 1}^{2n + 1 – k}$, ta có:
$(*) \Leftrightarrow C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1$ $ + C_{2n + 1}^2 + \ldots + C_{2n + 1}^n$ $ + C_{2n + 1}^n + C_{2n + 1}^{n – 1}$ $ + \ldots + C_{2n + 1}^0 = {2^{2n + 1}}.$
$ \Leftrightarrow 2\left( {C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^2 + \ldots + C_{2n + 1}^n} \right) = {2^{2n + 1}}.$
$ \Leftrightarrow C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^2 + \ldots + C_{2n + 1}^n = {2^{2n}}.$
$ \Leftrightarrow C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^2 + \ldots + C_{2n + 1}^n$ $ = {2^{2n}} – 1.$
Từ giả thiết ta có: ${2^{2n}} – 1 = {2^{20}} – 1$ $ \Leftrightarrow n = 10.$
Khi đó: ${\left( {\frac{1}{{{x^4}}} + {x^7}} \right)^n}$ $ = {\left( {\frac{1}{{{x^4}}} + {x^7}} \right)^{10}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {\left( {{x^{ – 4}}} \right)^{10 – k}}{\left( {{x^7}} \right)^k}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {x^{11k – 40}}.$
Số hạng tổng quát trong khai triển là: $C_{10}^k{x^{11k – 40}}.$
Hệ số của ${x^{26}}$ trong khai triển là $C_{10}^k$ với $k$ thỏa mãn $11k – 40 = 26$ $ \Leftrightarrow k = 6.$
Vậy hệ số của ${x^{26}}$ trong khai triển là $C_{10}^6 = 210.$
Bài 7: Tìm hệ số chứa ${x^7}$ trong khai triển thành đa thức của ${(2 – 3x)^{2n}}$, trong đó $n$ là số nguyên dương thỏa mãn: $C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^3$ $ + C_{2n + 1}^5 + \ldots + C_{2n + 1}^{2n + 1} = 1024.$
Lời giải:
Ta có: ${(1 + x)^{2n + 1}}$ $ = C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1x$ $ + C_{2n + 1}^2{x^2} + C_{2n + 1}^3{x^3}$ $ + \ldots + C_{2n + 1}^{2n + 1}{x^{2n + 1}}.$
Chọn $x = 1$, ta được: $C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1$ $ + C_{2n + 1}^2 + C_{2n + 1}^3$ $ + \ldots + C_{2n + 1}^{2n + 1} = {2^{2n + 1}}$ $(*).$
Chọn $x = -1$, ta được: $C_{2n + 1}^0 – C_{2n + 1}^1$ $ + C_{2n + 1}^2 – C_{2n + 1}^3$ $ + \ldots – C_{2n + 1}^{2n + 1} = 0.$
$ \Leftrightarrow C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^2$ $ + C_{2n + 1}^4 + \ldots + C_{2n + 1}^{2n}$ $ = C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^3$ $ + C_{2n + 1}^5 + \ldots + C_{2n + 1}^{2n + 1}.$
Từ $(*)$ suy ra: $2\left( {C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^3 + C_{2n + 1}^5 + \ldots + C_{2n + 1}^{2n + 1}} \right)$ $ = {2^{2n + 1}}.$
$ \Leftrightarrow C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^3$ $ + C_{2n + 1}^5 + \ldots + C_{2n + 1}^{2n + 1} = {2^{2n}}.$
Theo giả thiết ta có: ${2^{2n}} = 1024 = {2^{10}}$ $ \Leftrightarrow n = 5.$
Từ đó suy ra: ${(2 – 3x)^{2n}}$ $ = {(2 – 3x)^{10}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {{{( – 1)}^k}} C_{10}^k{2^{10 – k}}{(3x)^k}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {{{( – 1)}^k}} {.3^k}.C_{10}^k{2^{10 – k}}{x^k}.$
Số hạng tổng quát trong khai triển là: ${( – 1)^k}{.3^k}.C_{10}^k{2^{10 – k}}.{x^k}.$
Để có hệ số chứa ${x^7}$ tương ứng với giá trị của $k$ thỏa mãn $k =7.$
Vậy hệ số chứa ${x^7}$ trong khai triển là: ${( – 1)^7}{.3^7}.C_{10}^7{.2^3}$ $ = – C_{10}^7{3^7}{2^3} = 2099520.$
Bài 8: Tìm hệ số chứa ${x^8}$ trong khai triển nhị thức Newton ${\left( {\frac{1}{{{x^3}}} + \sqrt {{x^5}} } \right)^n}$, biết rằng $C_{n + 4}^{n + 1} – C_{n + 3}^n$ $ = 7(n + 3)$ ($n$ nguyên dương, $x>0$).
Lời giải:
Ta có: $C_{n + 4}^{n + 1} – C_{n + 3}^n$ $ = 7(n + 3)$ $ \Leftrightarrow \frac{{(n + 4)!}}{{3!(n + 1)!}} + \frac{{(n + 3)!}}{{3!n!}}$ $ = 7(n + 3).$
$ \Leftrightarrow \frac{{(n + 4)(n + 3)(n + 2)}}{6}$ $ – \frac{{(n + 3)(n + 2)(n + 1)}}{6}$ $ = 7(n + 3).$
$ \Leftrightarrow \frac{{(n + 4)(n + 2)}}{6}$ $ – \frac{{(n + 2)(n + 1)}}{6} = 7$ $ \Leftrightarrow (n + 4)(n + 2) – (n + 2)(n + 1) = 42.$
$ \Leftrightarrow 3n + 6 = 42$ $ \Leftrightarrow n = 12.$
Khi đó: ${\left( {\frac{1}{{{x^3}}} + \sqrt {{x^5}} } \right)^n}$ $ = {\left( {{x^{ – 3}} + {x^{\frac{5}{2}}}} \right)^{12}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{12} {C_{12}^k} {\left( {{x^{ – 3}}} \right)^k}{\left( {{x^{\frac{5}{2}}}} \right)^{12 – k}}.$
Số hạng tổng quát trong khai triển là: $C_{12}^k{\left( {{x^{ – 3}}} \right)^k}{\left( {{x^{\frac{5}{2}}}} \right)^{12 – k}}$ $ = C_{12}^k{x^{\frac{{60 – 11k}}{2}}}.$
Để có hệ số chứa ${x^8}$ thì $\frac{{60 – 11k}}{2} = 8$ $ \Leftrightarrow 60 – 11k = 16$ $ \Leftrightarrow k = 4.$
Vậy hệ số chứa ${x^8}$ trong khai triển là $C_{12}^4 = \frac{{12!}}{{4!(12 – 4)!}} = 495.$
Bài 9: Cho khai triển ${\left( {{2^{\frac{{x – 1}}{2}}} + {2^{\frac{{ – x}}{3}}}} \right)^n}$ $ = C_n^0{\left( {{2^{\frac{{x – 1}}{2}}}} \right)^n}$ $ + C_n^1{\left( {{2^{\frac{{x – 1}}{2}}}} \right)^{n – 1}}\left( {{2^{\frac{{ – x}}{3}}}} \right)$ $ + \ldots + C_n^{n – 1}\left( {{2^{\frac{{x – 1}}{2}}}} \right){\left( {{2^{\frac{{ – x}}{3}}}} \right)^{n – 1}}$ $ + C_n^n{\left( {{2^{\frac{{ – x}}{3}}}} \right)^n}$ ($n$ là số nguyên dương). Biết rằng trong khai triển đó có $C_n^3 = 5C_n^1$ và số hạng thứ tư bằng $140.$ Tìm $n$ và $x.$
Lời giải:
Xét phương trình ${C_n^3 = 5C_n^1}$ (điều kiện ${n \ge 3}$).
Ta có: $C_n^3 = 5C_n^1$ $ \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{3!(n – 3)!}} = 5\frac{{n!}}{{(n – 1)!}}$ $ \Leftrightarrow \frac{{n(n – 1)(n – 2)}}{6} = 5n.$
$ \Leftrightarrow \frac{{(n – 1)(n – 2)}}{6} = 5$ $ \Leftrightarrow {n^2} – 3n – 28 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{n = 7}\\
{n = – 4\,\,({\rm{loại}})}
\end{array}} \right..$
Số hạng thứ tư trong khai triển là: $C_n^3{\left( {{2^{\frac{{x – 1}}{2}}}} \right)^{n – 3}}{\left( {{2^{\frac{{ – x}}{3}}}} \right)^3}$ $ = C_7^3{\left( {{2^{\frac{{x – 1}}{2}}}} \right)^4}{\left( {{2^{\frac{{ – x}}{3}}}} \right)^3}.$
Theo đề bài ta có: $C_7^3{\left( {{2^{\frac{{x – 1}}{2}}}} \right)^4}{\left( {{2^{\frac{{ – x}}{3}}}} \right)^3} = 140$ $ \Leftrightarrow {35.2^{2x – 2}}{.2^{ – x}} = 140$ $ \Leftrightarrow {2^{x – 2}} = 4$ $ \Leftrightarrow x – 2 = 2$ $ \Leftrightarrow x = 4.$
Vậy $n = 7$ và $x = 4.$
Bài 10: Với $n$ là số nguyên dương, gọi ${a_{3n – 3}}$ là hệ số của ${x^{3n – 3}}$ trong khai triển thành đa thức của ${\left( {{x^2} + 1} \right)^n}{(x + 2)^n}.$ Tìm $n$ để ${a_{3n – 3}} = 26n.$
Lời giải:
Ta có: ${\left( {{x^2} + 1} \right)^n}$ $ = C_n^0{x^{2n}} + C_n^1{x^{2n – 2}}$ $ + C_n^2{x^{2n – 4}} + \ldots + C_n^n$ $(1).$
Và ${(x + 2)^n}$ $ = C_n^0{x^n} + 2C_n^1{x^{n – 1}}$ $ + {2^2}C_n^2{x^{n – 2}} + {2^3}C_n^3{x^{n – 3}}$ $ + \ldots + {2^n}C_n^n$ $(2).$
Với $n = 1$, ta có: ${\left( {{x^2} + 1} \right)^n}{(x + 2)^n}$ $ = \left( {{x^2} + 1} \right)(x + 2)$ $ = {x^3} + 2{x^2} + x + 2$ không thỏa mãn hệ thức ${a_{3n – 3}} = 26n.$
Tương tự với $n = 2$, cũng không thỏa mãn.
Với $n \ge 3$, ta có: ${x^{3n – 3}} = {x^{2n}}.{x^{n – 3}}$ $ = {x^{2n – 2}}.{x^{n – 1}}.$
Suy ra hệ số chứa ${x^{3n – 3}}$ bằng tổng của tích hệ số chứa ${x^{2n}}$ trong $(1)$ với hệ số chứa ${x^{n – 3}}$ trong $(2)$ và tích hệ số chứa ${x^{2n – 2}}$ trong $(1)$ với hệ số chứa ${x^{n – 1}}$ trong $(2).$
Hay ta có: ${a_{3n – 3}} = {2^3}.C_n^0.C_n^3 + 2.C_n^1.C_n^1$ $ \Leftrightarrow {2^3}.1.\frac{{n!}}{{3!(n – 3)!}} + 2{n^2} = 26n.$
$ \Leftrightarrow \frac{{4n(n – 1)(n – 2)}}{3} + 2{n^2} = 26n$ $ \Leftrightarrow \frac{{2(n – 1)(n – 2)}}{3} + n = 13.$
$ \Leftrightarrow 2{n^2} – 3n – 35 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{n = 5}\\
{n = – \frac{7}{2}\,\,{\rm{(loại)}}}
\end{array}} \right..$
Vậy $n = 5.$
