Bài viết hướng dẫn phương pháp giải các bài toán đếm liên quan đến hình học, đây là dạng toán thường gặp trong chương trình Đại số và Giải tích 11: Tổ hợp và xác suất.
1. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Phương pháp chung để tính số hình $(H)$ nào đó:
+ Xác định các yếu tố cấu thành hình $(H)$, chẳng hạn đường thẳng tạo từ $2$ điểm phân biệt, tam giác tạo từ $3$ điểm phân biệt không thẳng hàng hay $3$ đường thẳng cắt nhau đôi một ….
+ Lựa chọn bởi công thức số tổ hợp hay số chỉnh hợp cho phù hợp với việc chọn các yếu tố cấu thành hình $(H).$
+ Loại trừ một số hình không phải $(H)$ (nếu có).
2. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Cho một đa giác đều $n$ đỉnh, $n \in N$, $n \ge 3.$ Tìm $n$ biết rằng đa giác đã cho có $27$ đường chéo.
Lời giải:
Số đường thẳng tạo thành từ $n$ đỉnh của đa giác là: $C_n^2.$
Trong các đường thẳng đó có $n$ đường thẳng là cạnh của đa giác, suy ra số đường chéo của đa giác là: $C_n^2 – n.$
Theo đề bài ta có: $C_n^2 – n = 27$ $ \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{2!(n – 2)!}} – n = 27$ $ \Leftrightarrow \frac{{n(n – 1)}}{2} – n = 27.$
$ \Leftrightarrow {n^2} – 3n – 54 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{n = 9}\\
{n = – 6\,\,{\rm{(loại)}}}
\end{array}} \right..$
Vậy $n=9.$
Bài 2: Cho đa giác đều ${A_1}{A_2} \ldots {A_{2n}}$ ($n \ge 2$, $n$ nguyên) nội tiếp đường tròn $(O).$ Biết rằng số tam giác có các đỉnh là $3$ trong $2n$ điểm ${A_1},{A_2}, \ldots ,{A_{2n}}$ nhiều gấp $20$ lần số hình chữ nhật có các đỉnh là $4$ trong $2n$ điểm ${A_1},{A_2}, \ldots ,{A_{2n}}.$ Tìm $n.$
Lời giải:
Số tam giác có các đỉnh là $3$ trong $2n$ điểm ${A_1},{A_2}, \ldots ,{A_{2n}}$ là: $C_{2n}^3.$
Gọi đường chéo của đa giác đều ${A_1}{A_2} \ldots {A_{2n}}$ đi qua tâm đường tròn $(O)$ là đường chéo lớn. Khi đó đa giác đã cho có $n$ đường chéo lớn.
Mỗi hình chữ nhật có các đỉnh là $4$ trong $2n$ đỉnh ${A_1},{A_2}, \ldots ,{A_{2n}}$ đều có $2$ đường chéo là hai đường chéo lớn của đa giác đều ${A_1}{A_2} \ldots {A_{2n}}.$
Ngược lại: Cứ hai đường chéo lớn bất kỳ của đa giác ${A_1}{A_2} \ldots {A_{2n}}$ đều có $4$ đầu mút là $4$ đỉnh của một hình chữ nhật.
Vậy số hình chữ nhật tạo từ $2n$ điểm ${A_1},{A_2}, \ldots ,{A_{2n}}$ là số cách chọn $2$ đường chéo bất kỳ trong $n$ đường chéo lớn, tức là có: $C_n^2$ hình chữ nhật.
Theo đề ta có: $C_{2n}^3 = 20C_n^2$ $ \Leftrightarrow \frac{{(2n)!}}{{3!(2n – 3)!}} = 20.\frac{{n!}}{{2!(n – 2)!}}.$
$ \Leftrightarrow \frac{{2n(2n – 1)(2n – 2)}}{6} = 20.\frac{{n(n – 1)}}{2}$ $ \Leftrightarrow 2n – 1 = 15$ $ \Leftrightarrow n = 8.$
Bài 3: Cho $2$ đường thẳng ${d_1}$, ${d_2}$ song song với nhau. Trên đường thẳng ${d_1}$ cho $10$ điểm phân biệt, trên đường thẳng ${d_2}$ cho $8$ điểm phân biệt. Hỏi có thể lập được bao nhiêu tam giác mà $3$ đỉnh của mỗi tam giác lấy từ $18$ điểm đã cho.
Lời giải:
Một tam giác được tạo thành là một cách chọn $3$ điểm không thẳng hàng trong các điểm thuộc ${d_1}$ và ${d_2}.$
Chọn $3$ điểm không thẳng hàng có các trường hợp sau:
Chọn $2$ điểm thuộc đường thẳng ${d_1}$ và $1$ điểm thuộc đường thẳng ${d_2}$ có: $C_{10}^2C_8^1 = 360$ cách chọn.
Chọn $1$ điểm thuộc đường thẳng ${d_1}$ và $2$ điểm thuộc đường thẳng ${d_2}$ có: $C_{10}^1C_8^2 = 280$ cách chọn.
Vậy theo quy tắc cộng có: $360 + 280 = 640$ tam giác được tạo thành.
Bài 4:
1) Tìm số giao điểm tối đa của:
a) $10$ đường thẳng phân biệt.
b) $6$ đường tròn phân biệt.
2) Từ kết quả của câu 1, hãy suy ra số giao điểm tối đa của tập hợp các đường nói trên.
Lời giải:
1)
a) Cứ hai đường thẳng phân biệt thì có tối đa $1$ giao điểm, nên số giao điểm chính là số cách chọn $2$ đường thẳng bất kỳ trong $10$ đường thẳng phân biệt.
Vậy số giao điểm tối đa của $10$ đường thẳng phân biệt là $C_{10}^2 = 45.$
b) Hai đường tròn phân biệt có tối đa $2$ giao điểm $ \Rightarrow $ Số giao điểm tối đa của $6$ đường tròn phân biệt là $2.C_6^2 = 30$ điểm.
2) Số giao điểm tối đa của tập hợp gồm $10$ đường thẳng và $6$ đường tròn chia thành $3$ loại sau:
+ Loại 1: Số giao điểm tối đa của $10$ đường thẳng phân biệt là $45.$
+ Loại 2: Số giao điểm tối đa của $6$ đường tròn phân biệt là $30.$
+ Loại 3: Số giao điểm tối đa của $10$ đường thẳng phân biệt và $6$ đường tròn phân biệt được tính như sau:
Cứ $1$ đường thẳng và một đường tròn có tối đa $2$ giao điểm.
Vậy số giao điểm tối đa của $10$ đường thẳng phân biệt và $6$ đường tròn phân biệt là: $2.C_{10}^1.C_6^1 = 120.$
Vậy tất cả có: $45 + 30 + 120 = 195$ giao điểm tối đa.
Bài 5: Cho mặt phẳng cho đa giác đều $H$ có $20$ cạnh. Xét các tam giác có ba đỉnh được lấy từ các đỉnh của $H.$
a/ Có tất cả bao nhiêu tam giác như vậy? Có bao nhiêu tam giác có đúng hai cạnh là cạnh của $H$?.
b/ Có bao nhiêu tam giác có đúng một cạnh là cạnh của $H$? Có bao nhiêu tam giác không có cạnh nào là cạnh của $H$?
Lời giải:
a) Số tam giác được tạo thành có $3$ đỉnh được lấy từ các đỉnh của đa giác $H$ là: $C_{20}^3 = 1140.$
Xét một cạnh bất kỳ của đa giác cùng với $2$ cạnh kề sát nó lập được $2$ tam giác.
Suy ra số tam giác là $20.2 = 40.$
Mà trong $40$ tam giác đó cứ $1$ tam giác đã được đến $2$ lần.
Vậy số tam giác có đúng $2$ cạnh là cạnh của đa giác $H$ là: $20.$
b) Tam giác có đúng $1$ cạnh là cạnh của đa giác được tạo thành từ việc chọn như sau:
Lấy một cạnh bất kỳ của đa giác có $20$ cách chọn.
Sau đó lấy thêm $1$ đỉnh cùng với cạnh trên lập được một tam giác sao cho đỉnh đó không gần kề với $2$ đỉnh trong cạnh đã chọn thì có $16$ đỉnh.
Vậy số tam giác có đúng một cạnh là cạnh của đa giác là: $20.16 =320.$
Trong các tam giác được lập từ $3$ đỉnh của đa giác được chia thành $3$ loại:
Loại 1: Có đúng $2$ cạnh là cạnh của đa giác $H.$
Loại 2: Có đúng $1$ cạnh là cạnh của đa giác $H.$
Loại 3: Không có cạnh nào là cạnh của đa giác $H.$
Vậy số tam giác loại $3$ là: $1140 – 20 – 320 = 800.$
Bài 6: Cho đa giác lồi $n$ cạnh. Xác định $n$ để đa giác có số đường chéo gấp đôi số cạnh.
Lời giải:
Số đường thẳng đi qua hai đỉnh bất kỳ của đa giác là: $C_n^2.$
Trong các đường thẳng đó có $n$ đường thẳng chứa cạnh của đa giác.
Suy ra số đường chéo của đa giác là: $C_n^2 – n.$
Theo đề bài ta có: $C_n^2 – n = 2n$ $ \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{2!(n – 2)!}} – 3n = 0.$
$ \Leftrightarrow \frac{{n(n – 1)}}{2} – 3n = 0$ $ \Leftrightarrow \frac{{n – 1}}{2} – 3 = 0$ $ \Leftrightarrow n = 7.$
Vậy đa giác có $7$ cạnh.
Bài 7: Xét hình $(H)$ được tạo thành bởi $7$ đường ngang và $8$ đường dọc. Có bao nhiêu hình chữ nhật trong hình $(H).$
Lời giải:
Mỗi hình chữ nhật được tạo thành là một cách chọn $2$ đường ngang và $2$ đường dọc.
Vậy số hình chữ nhật trong hình $(H)$ là: $C_7^2.C_8^2 = 588.$
Bài 8: Cho đa giác lồi $(H)$ không có $3$ đường chéo nào đồng quy. Gọi $c$ là số giao điểm của hai đường chéo nằm bên trong $(H)$ và $v$ là số véc tơ khác véc tơ $\vec 0$ mà điểm đầu và điểm cuối lấy từ các đỉnh của $(H).$ Hỏi $(H)$ có bao nhiêu cạnh biết rằng $\frac{c}{v} = \frac{5}{4}.$
Lời giải:
Giả sử đa giác $(H)$ có $n$ cạnh, tương ứng có $n$ đỉnh.
Số tứ giác tạo thành từ $n$ đỉnh của đa giác là: $C_n^4.$
Mỗi tứ giác tạo thành có $2$ đường chéo cắt nhau tại $1$ điểm.
Vậy số giao điểm của hai đường chéo là số tứ giác được tạo thành, do đó: $c = C_n^4.$
Số véc tơ được tạo thành khác véc tơ $\vec 0$ từ các đỉnh của $(H)$ là: $v = A_n^2.$
Theo đề bài ta có: $\frac{c}{v} = \frac{5}{4}$ $ \Leftrightarrow \frac{{C_n^4}}{{A_n^2}} = \frac{5}{4}$ $ \Leftrightarrow 4C_n^4 = 5A_n^2.$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{n \ge 4,n \in N}\\
{4.\frac{{n!}}{{4!(n – 4)!}} = 5.\frac{{n!}}{{(n – 2)!}}}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{n \ge 4,n \in N}\\
{\frac{1}{6} = \frac{5}{{(n – 2)(n – 3)}}}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{n \ge 4,n \in N}\\
{(n – 2)(n – 3) = 30}
\end{array}} \right..$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{n \ge 4,n \in N}\\
{{n^2} – 5n – 24 = 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{n \ge 4,n \in N}\\
{{n^2} – 5n – 24 = 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow n = 8.$
Vậy đa giác $(H)$ có $8$ cạnh.
Bài 9: Trong mặt phẳng cho $n$ đường thẳng cắt nhau từng đôi một, nhưng không có $3$ đường nào đồng quy. Hỏi có bao nhiêu giao điểm? Có bao nhiêu tam giác được tạo thành?
Lời giải:
Mỗi giao điểm được tạo thành là một cách chọn hai đường thẳng bất kỳ trong $n$ đường thẳng.
Vậy số giao điểm là: $C_n^2 = \frac{{n!}}{{2!(n – 2)!}}$ $ = \frac{{n(n – 1)}}{2}.$
Tam giác được tạo thành có $3$ cạnh là $3$ đường thẳng được chọn từ $n$ đường thẳng.
Vậy số tam giác là: $C_n^3 = \frac{{n!}}{{3!(n – 3)!}}$ $ = \frac{{n(n – 1)(n – 2)}}{6}.$
Bài 10: Cho $10$ điểm trong không gian, trong đó không có $3$ điểm nào thẳng hàng.
a) Có bao nhiêu đường thẳng đi qua từng cặp điểm?
b) Có bao nhiêu vectơ nối từng cặp điểm?
c) Có bao nhiêu tam giác có đỉnh là $3$ trong $10$ điểm trên?
d) Nếu trong $10$ điểm trên không có $4$ điểm nào đồng phẳng, thì có bao nhiêu tứ diện được tạo thành?
Lời giải:
a) Mỗi đường thẳng được tạo thành là một cách chọn $2$ điểm bất kỳ trong $10$ điểm.
Vậy số đường thẳng là: $C_{10}^2 = 45.$
b) Một véc tơ được tạo thành là một cách chọn có thứ tự (phân biệt điểm đầu và điểm cuối) $2$ điểm bất kỳ trong $10$ điểm.
Vậy số véc tơ nối từng cặp điểm là: $A_{10}^2 = 90.$
c) Một tam giác được tạo thành là một cách chọn $3$ điểm không thẳng hàng trong $10$ điểm.
Vậy số tam giác là: $C_{10}^3 = 120.$
d) Một tứ diện được tạo thành là một cách chọn $4$ điểm phân biệt không đồng phẳng trong $10$ điểm.
Vậy số tứ diện là: $C_{10}^4 = 210.$
Bài 11: Cho đa giác lồi có $n$ cạnh $(n \ge 4).$
a) Tìm $n$ để đa giác có số đường chéo bằng số cạnh?
b) Giả sử $3$ đường chéo cùng đi qua $1$ đỉnh thì không đồng qui. Hãy tính số giao điểm (không phải là đỉnh) của các đường chéo ấy?
Lời giải:
a) Số đường thẳng đi qua $2$ điểm bất kỳ từ $n$ đỉnh của đa giác là: $C_n^2.$
Trong các đường thẳng đó được chia thành hai loại, một loại là cạnh và một loại là đường chéo.
Vì đa giác có $n$ cạnh nên số đường chéo của đa giác là: $C_n^2 – n.$
Theo đề bài ta có: $C_n^2 – n = n.$
$ \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{2!(n – 2)!}} – n = n$ $ \Leftrightarrow \frac{{n(n – 1)}}{2} – 2n = 0$ $ \Leftrightarrow {n^2} – 5n = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{n = 0\,\,{\rm{(loại)}}}\\
{n = 5}
\end{array}} \right..$
Vậy đa giác trên có $5$ cạnh.
b) Giao điểm của $2$ đường chéo của $1$ đa giác lồi (không phải là đỉnh) chính là giao điểm của $2$ đường chéo một tứ giác mà $4$ đỉnh của nó là $4$ đỉnh của đa giác. Vậy số giao điểm phải tìm bằng số tứ giác với $4$ đỉnh thuộc $n$ đỉnh của đa giác: $C_n^4.$
Bài 12: Cho một đa giác lồi có $n$-cạnh $(n \in N,n \ge 3).$ Tìm số đường chéo của đa giác. Hãy chỉ ra $1$ đa giác có số cạnh bằng số đường chéo? Từ đó tính:
a) Số tam giác có đỉnh trùng với đỉnh của đa giác?
b) Số giao điểm (không trùng với đỉnh) giữa các đường chéo?
Lời giải:
Chọn $2$ trong $n$ đỉnh của đa giác ta lập được $1$ cạnh hoặc đường chéo.
Số cạnh và đường chéo là $C_n^2.$ Suy ra số đường chéo là $C_n^2 – n.$
Ta có: $C_n^2 – n = n$ $ \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{2!(n – 2)!}} – n = n.$
$ \Leftrightarrow n(n – 1) = 4n$ $ \Leftrightarrow n = 5.$
Vậy đa giác có $5$ cạnh.
a) Mỗi tam giác được tạo thành là một cách chọn $3$ đỉnh bất kỳ trong $5$ đỉnh của đa giác.
Vậy có $C_5^3 = 10$ tam giác.
b) Cứ hai đường chéo cắt nhau (không trùng với đỉnh) thì $4$ đầu mút của chúng tạo thành một tứ giác.
Suy ra số giao điểm không trùng với đỉnh của đa giác là số tứ giác được tạo thành từ $5$ đỉnh của đa giác.
Vậy số giao điểm cần tìm là: $C_5^4 = 5.$
Bài 13: Cho tam giác $ABC.$ Xét bộ gồm $4$ đường thẳng song song với $AB$, $5$ đường thẳng song song với $BC$ và $6$ đường thẳng song song với $CA$ trong đó không có ba đường thẳng nào đồng quy. Hỏi các đường thẳng trên tạo được bao nhiêu tam giác và bao nhiêu tứ giác (không kể hình bình hành).
Lời giải:
Mỗi tam giác được tạo thành bởi ba đường thẳng thuộc ba nhóm khác nhau $ \Rightarrow $ Số tam giác là $4.5.6 = 120.$
Mỗi hình thang không phải hình bình hành được tạo thành bởi hai đường thẳng thuộc nhóm này và một đường thẳng thuộc mỗi nhóm còn lại $ \Rightarrow $ Số hình thang là $C_4^2.C_5^1.C_6^1 + C_4^1.C_5^2.C_6^1 + C_4^1.C_5^1.C_6^2 = 720$ hình thang.
Bài 14: Cho hai đường thẳng song song $({d_1})$, $({d_2}).$ Trên $({d_1})$ lấy $17$ điểm phân biệt, trên $({d_2})$ lấy $20$ điểm phân biệt. Tính số tam giác có các đỉnh là $3$ điểm trong số $37$ điểm đã chọn trên $({d_1})$ và $({d_2}).$
Lời giải:
Mỗi tam giác được tạo thành là một cách chọn $2$ điểm thuộc đường thẳng $\left( {{d_1}} \right)$ và $1$ điểm thuộc đường thẳng $\left( {{d_2}} \right)$ hoặc $1$ điểm thuộc đường thẳng $\left( {{d_1}} \right)$ và $2$ điểm thuộc đường thẳng $\left( {{d_2}} \right).$
Chọn $2$ điểm thuộc đường thẳng $\left( {{d_1}} \right)$ và $1$ điểm thuộc đường thẳng $\left( {{d_2}} \right)$ có: $C_{17}^2C_{20}^1 = 2720$ cách chọn.
Chọn $1$ điểm thuộc đường thẳng $\left( {{d_1}} \right)$ và $2$ điểm thuộc đường thẳng $\left( {{d_2}} \right)$ có: $C_{17}^1C_{20}^2 = 3230$ cách chọn.
Vậy số tam giác tạo thành là: $2720 + 3230 = 5950.$
Bài 15: Có $10$ điểm $A$, $B$, $C$, … trên mặt phẳng trong đó không có $3$ điểm nào thẳng hàng.
a/ Nối chúng lại ta được bao nhiêu đường thẳng? Trong đó có bao nhiêu đường không đi qua $A$ hay $B$?
b/ Có bao nhiêu tam giác đỉnh bởi các điểm trên? Bao nhiêu tam giác có đỉnh là $A$? Bao nhiêu tam giác có cạnh $AB$?
Lời giải:
a) Mỗi đường thẳng tạo thành là một cách chọn $2$ điểm bất kỳ trong $10$ điểm.
Vậy số đường thẳng là: $C_{10}^2 = 45.$
Trong $10$ điểm đã cho ta loại $2$ điểm $A$, $B$ còn $8$ điểm. Từ đó chọn $2$ điểm bất kỳ trong $8$ điểm đó để lập một đường thẳng không đi qua $A$ hoặc $B.$
Vậy số đường thẳng không đi qua $A$ hoặc $B$ là: $C_8^2 = 28.$
b) Số tam giác tạo thành là số cách chọn $3$ điểm bất kỳ, vậy có: $C_{10}^3 = 120$ tam giác.
Số tam giác có đỉnh $A$ là số cách chọn $2$ đỉnh còn khác $A$ trong các điểm đã cho.
Vậy có: $C_9^2 = 36$ tam giác có đỉnh $A.$
Số tam giác có cạnh $AB$ là số cách chọn $1$ đỉnh còn lại khác $A$ và $B$ trong các điểm đã cho.
Vậy có: $C_8^1 = 8$ tam giác có cạnh $AB.$
Bài 16: Trên các cạnh $AB$, $BC$, $CD$ và $DA$ của hình vuông $ABCD$ lần lượt cho $1$ điểm, $2$ điểm, $3$ điểm và $10$ điểm phân biệt khác $A$, $B$, $C$, $D.$ Tìm số tam giác có $3$ đỉnh lấy từ $16$ đỉnh đã cho?
Lời giải:
Số cách chọn $3$ điểm phân biệt trong $16$ điểm là: $C_{16}^3 = 560.$
Trong số các cách chọn trên thì số cách chọn $3$ điểm phân biệt thẳng hàng là:
Chọn $3$ điểm thuộc cạnh $CD$ có $1$ cách chọn.
Chọn $3$ điểm thuộc cạnh $DA$ có $C_{10}^3 = 120$ cách chọn.
Tức là có $1 + 120 = 121$ cách chọn $3$ điểm thẳng hàng trong $16$ điểm đã cho.
Vậy có: $560 – 121 = 439$ cách chọn $3$ điểm phân biệt không thẳng hàng từ $16$ điểm đã cho.
Mỗi cách chọn đó hình thành một tam giác.
Vậy số tam giác tạo thành từ $16$ điểm đã cho là: $439$ tam giác.
Bài 17: Cho $p$ điểm trong không gian trong đó có $q$ điểm đồng phẳng, số còn lại không có $4$ điểm nào đồng phẳng. Dựng tất cả các mặt phẳng chứa $3$ trong $p$ điểm đó. Hỏi:
a/ Có bao nhiêu mặt phẳng khác nhau?
b/ Chúng tạo ra bao nhiêu tứ diện?
Lời giải:
a) Một mặt phẳng xác định khi biết $3$ điểm phân biệt không thẳng hàng.
Số mặt phẳng xác định bởi $3$ điểm trong $p$ điểm là: $C_p^3.$
Nhưng trong $p$ điểm đã cho có $q$ điểm đồng phẳng, thì $q$ điểm này chỉ xác định được một mặt phẳng, và số cách chọn $3$ điểm trong $q$ điểm này là: $C_q^3.$
Vậy số mặt phẳng cần tìm là: $C_p^3 – C_q^3 + 1.$
b) Mỗi tứ diện được tạo thành là một cách chọn $4$ điểm phân biệt không đồng phẳng trong $p$ điểm.
Số cách chọn $4$ điểm trong $p$ điểm là: $C_p^4.$
Trong các cách chọn đó có $C_q^4$ cách chọn $4$ điểm mà không tạo thành một tứ diện (vì $4$ điểm này đồng phẳng).
Vậy có: $C_p^4 – C_q^4$ tứ diện được tạo thành.
Bài 18: Xét đa giác đều có $n$ cạnh, biết số đường chéo gấp đôi số cạnh. Tính số cạnh của đa giác đều đó.
Lời giải:
Chọn $2$ trong $n$ đỉnh của đa giác ta lập được $1$ cạnh hoặc đường chéo.
Số cạnh và đường chéo là $C_n^2.$ Suy ra số đường chéo là $C_n^2 – n.$
Ta có: $C_n^2 – n = 2n$ $ \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{2!(n – 2)!}} – n = 2n.$
$ \Leftrightarrow n(n – 1) = 6n$ $ \Leftrightarrow n = 7.$
Vậy có $7$ cạnh.
Bài 19: Tính số hình chữ nhật được tạo thành từ $4$ trong $20$ đỉnh của đa giác đều có $20$ cạnh nội tiếp đường tròn tâm $O.$
Lời giải:
Nhận thấy các hình chữ nhật được tạo thành có $2$ đường chéo là đường kính của đường tròn.
Vẽ đường thẳng $d$ qua tâm $O$ và không qua đỉnh của đa giác đều thì $d$ chia đa giác thành $2$ phần, mỗi phần có $10$ đỉnh.
Suy ra số đường chéo của đa giác đi qua tâm $O$ là $10.$
Chọn $2$ trong $10$ đường chéo thì lập được $1$ hình chữ nhật.
Vậy có $C_{10}^2 = 45$ hình chữ nhật.
Bài 20: Cho đa giác đều có $2n$ cạnh nội tiếp đường tròn tâm $O.$ Biết số tam giác có các đỉnh là $3$ trong $2n$ đỉnh của đa giác nhiều gấp $20$ lần số hình chữ nhật có các đỉnh là $4$ trong $2n$ đỉnh của đa giác. Tính số hình chữ nhật.
Lời giải:
Nhận thấy các hình chữ nhật được tạo thành có $2$ đường chéo là đường kính của đường tròn. Vẽ đường thẳng $d$ qua tâm $O$ và không qua đỉnh của đa giác đều thì $d$ chia đa giác thành $2$ phần, mỗi phần có $10$ đỉnh. Suy ra số đường chéo của đa giác đi qua tâm $O$ là $n.$ Chọn $2$ trong $n$ đường chéo thì lập được $1$ hình chữ nhật.
Vậy số hình chữ nhật là: $C_n^2.$
Số tam giác tạo thành từ $3$ trong $2n$ đỉnh của đa giác là $C_{2n}^3.$
Từ giả thiết ta có: $C_{2n}^3 = 20C_n^2$ $ \Leftrightarrow \frac{{(2n)!}}{{3!(2n – 3)!}} = 20\frac{{n!}}{{2!(n – 2)!}}.$
$ \Leftrightarrow \frac{{2n(2n – 1)(2n – 2)}}{6} = 20\frac{{n(n – 1)}}{2}$ $ \Leftrightarrow n = 8.$
Vậy có $C_8^2 = 28$ hình chữ nhật.
Bài 21: Trong mặt phẳng cho $5$ đường thẳng song song cắt $8$ đường thẳng song song khác. Hỏi có bao nhiêu hình bình hành tạo thành từ các đường thẳng trên.
Lời giải:
Mỗi hình bình hành được tạo thành là một cách chọn $4$ đường thẳng trong đó có $2$ đường thẳng song song này cắt $2$ đường thẳng song song kia.
Vậy số hình bình hành là: $C_5^2C_8^2 = 280.$
Bài 22: Trên mặt phẳng cho $1$ thập giác lồi. Xét các tam giác mà $3$ đỉnh của nó là $3$ đỉnh của thập giác. Hỏi trong số các tam giác đó có bao nhiêu tam giác mà $3$ cạnh của nó đều không phải là $3$ cạnh của thập giác.
Lời giải:
Số tam giác lập từ các đỉnh của thập giác là: $C_{10}^3 = 120.$
Xét một cạnh bất kỳ của đa giác cùng với $2$ cạnh kề sát nó lập được $2$ tam giác.
Suy ra số tam giác là $10.2 = 20.$
Mà trong $20$ tam giác đó cứ $1$ tam giác đã được đếm $2$ lần.
Vậy số tam giác có đúng $2$ cạnh là cạnh của đa giác là: $10.$
Tam giác có đúng $1$ cạnh là cạnh của đa giác được tạo thành từ việc chọn như sau:
Lấy một cạnh bất kỳ của thập giác có $10$ cách chọn.
Sau đó lấy thêm $1$ đỉnh cùng với cạnh trên lập được một tam giác sao cho đỉnh đó không gần kề với $2$ đỉnh trong cạnh đã chọn thì có $6$ đỉnh.
Vậy số tam giác có đúng một cạnh là cạnh của đa giác là: $10.6 = 60.$
Trong các tam giác được lập từ $3$ đỉnh của đa giác được chia thành $3$ loại:
Loại 1: Có đúng $2$ cạnh là cạnh của thập giác.
Loại 2: Có đúng $1$ cạnh là cạnh của thập giác.
Loại 3: Không có cạnh nào là cạnh của thập giác.
Vậy số tam giác loại $3$ là: $120 – 10 – 60 = 50.$
Bài 23: Cho $60$ điểm tạo bởi đầu mút của $30$ đường kính của một hình tròn.
a) Có bao nhiêu hình chữ nhật?
b) Có bao nhiêu tứ giác nội tiếp và tam giác nội tiếp đường tròn?
c) Có bao nhiêu đường chéo?
Lời giải:
a) Gọi $O$ là tâm đường tròn, có tất cả $30$ đường thẳng đi qua $O$ là đường kính đường tròn.
Mỗi cách chọn $2$ đường thẳng là đường kính ta được một hình chữ nhật.
Vậy số hình chữ nhật tạo thành là: $C_{30}^2 = 435.$
b) Số tứ giác nội tiếp tạo thành là số cách chọn $4$ điểm trong $60$ điểm đã cho.
Suy ra có $C_{60}^4 = 487635$ tứ giác nội tiếp đường tròn tâm $O.$
Số tam giác nội tiếp tạo thành là số cách chọn $3$ điểm từ $60$ điểm đã cho.
Suy ra có $C_{60}^3 = 34220$ tam giác nội tiếp đường tròn tâm $O.$
c) Số đoạn thẳng tạo thành từ $60$ điểm đã cho là: $C_{60}^2 = 1770.$
Trong các đoạn thẳng trên thì có $60$ đoạn thẳng là cạnh của đa giác $60$ đỉnh.
Suy ra số đường chéo là: $1770 – 60 = 1710.$
Bài 24: Cho tam giác $ABC$, trong tam giác từ $A$ chia thành $7$ tam giác nhỏ, từ $B$ kẻ đường thẳng cắt tất cả các cạnh của tam giác. Hỏi có bao nhiêu tam giác?.
Lời giải:
Số tam giác tạo bởi $8$ đường thẳng từ $A$ và các đoạn thẳng trên cạnh $BC$ (kể cả $BC$) là số cách chọn $2$ đường thẳng từ $8$ đường thẳng xuất phát từ $A.$
Suy ra có: $C_8^2 = 28$ tam giác.
Số tam giác tạo bởi $8$ đường thẳng từ $A$ và các đoạn thẳng trên cạnh $BM$ (kể cả $BM$) là số cách chọn $2$ đường thẳng từ $8$ đường thẳng xuất phát từ $A.$
Suy ra có: $C_8^2 = 28$ tam giác.
Số tam giác tạo bởi $7$ đường thẳng từ $A$ (trừ $AB$) và các đoạn thẳng trên cạnh $BC$, $BM$ (kể cả $BC$, $BM$) là số cách chọn $1$ đường thẳng từ $8$ đường thẳng xuất phát từ $A.$
Suy ra có: $C_7^1 = 7$ tam giác.
Vậy tất cả có: $28 + 28 + 7 = 63$ tam giác được tạo thành.
