Bài viết trình bày lý thuyết và một số bài tập điển hình có lời giải chi tiết chủ đề vectơ trong không gian – đây là nội dung thuộc chương trình Hình học 11 chương 3.
Kiến thức cần nắm vững:
Cho các vectơ $\vec a$, $\vec b$, $\vec c$ trong không gian và $l,k \in R.$
1. Phép cộng vectơ:
Lấy $O$ tùy ý trong không gian.
Vẽ $\overrightarrow {OA} = \vec a$, $\overrightarrow {AB} = \vec b$ thì $\overrightarrow {OB} = \vec a + \vec b.$
Quy tắc ba điểm: Cho ba điểm bất kì $M$, $N$, $K$ thì $\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MK} + \overrightarrow {KN} .$
2. Phép trừ vectơ:
$\vec a – \vec b = \vec a + ( – \overrightarrow b ).$
Quy tắc ba điểm: $\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {KN} – \overrightarrow {KM} .$
3. Tích của một vectơ với một số:
Tích vectơ $\vec a$ với số thực $k$ là một vectơ kí hiệu $k\vec a$:
+ Cùng hướng $\vec a$ nếu $k > 0.$
+ Ngược hướng $\vec a$ nếu $k < 0.$
+ $\left| {k\overrightarrow a } \right| = \left| k \right|\left| {\overrightarrow a } \right|.$
Tính chất:
$k(\vec a + \vec b) = k\vec a + k\vec b.$
$(l + k)\vec a = l\overrightarrow a + k\vec a.$
Hệ quả: Nếu $I$ là trung điểm của $AB$, $O$ tùy ý thì $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = 2\overrightarrow {OI} .$
4. Tích vô hướng của hai vectơ:
Định nghĩa: $\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|\left| {\overrightarrow b } \right|\cos \widehat {\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)}.$
Hệ quả:
$\vec a \bot \vec b \Leftrightarrow \vec a.\vec b = 0.$
${\vec a^2} = \vec a.\vec a = {\left| {\vec a} \right|^2}.$
Tính chất:
$\vec a(\vec b + \vec c) = \overrightarrow a \overrightarrow b + \overrightarrow a \overrightarrow c .$
$\vec a(k\vec b) = (k\vec a)\vec b = k(\vec a.\vec b).$
${(\vec a + \vec b)^2} = {\left| {\vec a} \right|^2} + 2\vec a.\vec b + {\left| {\vec b} \right|^2}.$
5. Sự đồng phẳng của các vectơ:
Ba vectơ $\vec a$, $\vec b$, $\vec c$ gọi là đồng phẳng nếu giá của chúng cùng song song hoặc nằm trên một mặt phẳng.
Cho $\vec a$, $\vec b$ không cùng phương: $\vec a$, $\vec b$, $\vec c$ đồng phẳng $ \Leftrightarrow \exists !m,n \in R:\vec c = m\vec a + n\vec b.$
Nếu ba vectơ $\vec a$, $\vec b$, $\vec c$ không đồng phẳng thì mọi vectơ đều được biểu diễn dưới dạng $\vec d = m\vec a + n\vec b + k\vec c$ với $m$, $n$, $k$ xác định duy nhất.
Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Gọi $M$, $N$, $P$ lần lượt là trung điểm các cạnh $BC$, $CA$, $AB$ của $ΔABC$ và $O$ là điểm bất kì trong không gian. Chứng minh: $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OM} + \overrightarrow {ON} + \overrightarrow {OP} .$
Do $M$ là trung điểm $BC$, ta có: $\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} $ $ = (\overrightarrow {OM} + \overrightarrow {MB} ) + (\overrightarrow {OM} + \overrightarrow {MC} )$ $ = 2\overrightarrow {OM} + (\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} ) = 2\overrightarrow {OM} $ $(1).$
Tương tự:
$\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = 2\overrightarrow {OP} $ $(2).$
$\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} = 2\overrightarrow {ON} $ $(3).$
Lấy $(1) + (2) + (3)$ ta được: $2(\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} )$ $ = 2(\overrightarrow {OM} + \overrightarrow {OP} + 2\overrightarrow {ON} )$ $ \Rightarrow \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} $ $ = \overrightarrow {OM} + \overrightarrow {OP} + \overrightarrow {ON} .$
Ví dụ 2: Cho tứ diện $ABCD$ và mặt phẳng $(P).$ Gọi $E$, $F$ lần lượt là trung điểm $AB$ và $CD.$ Gọi $I$ là trung điểm $EF.$
a) Chứng minh: $\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {ID} = \vec 0.$
b) Trên mặt phẳng $(P)$ tìm điểm $M$ sao cho $\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} } \right|$ đạt giá trị nhỏ nhất.
a)
Do $E$ là trung điểm $AB$ nên $\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} = 2\overrightarrow {IE} .$
Do $F$ là trung điểm $CD$ nên $\overrightarrow {IC} + \overrightarrow {ID} = 2\overrightarrow {IF} .$
Vậy $(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} ) + (\overrightarrow {IC} + \overrightarrow {ID} )$ $ = 2\overrightarrow {IE} + 2\overrightarrow {IF} $ $ = 2(\overrightarrow {IE} + \overrightarrow {IF} )$ $ = \vec 0$ (do $I$ là trung điểm $EF$).
b)
Ta có: $(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} ) + (\overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} )$ $ = 2\overrightarrow {ME} + 2\overrightarrow {MF} $ $ = 2(\overrightarrow {ME} + \overrightarrow {MF} ) = 4\overrightarrow {MI} .$
Do đó: $\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} } \right|$ $ = \left| {4\overrightarrow {MI} } \right| = 4MI.$
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $I$ lên mặt phẳng $(P)$ ta có $IM ≥ IH.$
Vậy MÁ + MB + MG + MD] ngắn nhất $\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} } \right|$ ngắn nhất $ \Leftrightarrow MI$ ngắn nhất $ \Leftrightarrow M \equiv H.$
Ví dụ 3: Cho ba điểm $A$, $B$, $C$ cố định trên mặt phẳng $(α)$ và $M$ di động trong không gian.
a) Xác định điểm $I$ sao cho $3\overrightarrow {IA} – 2\overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} = \vec 0.$
b) Cho điểm $N$ sao cho $\overrightarrow {MN} = 3\overrightarrow {MA} – 2\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} .$ Chứng minh đường thẳng $MN$ luôn qua một điểm cố định.
a) Ta có: $3\overrightarrow {IA} – 2\overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} = \vec 0$ $ \Leftrightarrow 3\overrightarrow {IA} – 2(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {AB} ) + (\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {AC} ) = \vec 0$ $ \Leftrightarrow 2\overrightarrow {IA} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AB} – \overrightarrow {AC} $ $ \Leftrightarrow 2\overrightarrow {IA} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CB} $ $ \Leftrightarrow 2\overrightarrow {AI} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} = 2\overrightarrow {BE} $ (với $E$ là trung điểm $AC$).
Vậy $I$ là điểm cố định sao cho $\overrightarrow {AI} = \overrightarrow {BE} .$
b) Ta có: $\overrightarrow {MN} = 3\overrightarrow {MA} – 2\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} $ $ \Leftrightarrow \overrightarrow {MN} = 3(\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} )$ $ – 2(\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} ) + (\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IC} )$ $ \Leftrightarrow \overrightarrow {MN} = 2\overrightarrow {MI} + (3\overrightarrow {IA} – 2\overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} )$ $ \Leftrightarrow \overrightarrow {MN} = 2\overrightarrow {MI} .$
Do đó ba điểm $M$, $N$, $I$ thẳng hàng nên đường thẳng $MN$ luôn qua điểm $I$ cố định.
Ví dụ 4: Cho tứ diện $ABCD$ có $I$ và $J$ là trung điểm $AB$ và $CD.$ Gọi $M$ và $N$ là hai điểm chia đoạn $BC$ và $AD$ theo tỉ số $k.$ Chứng minh $I$, $J$, $M$ và $N$ cùng nằm trên mặt phẳng.
Ta có: $M$ chia đoạn $BC$ theo tỉ số $k$ $ \Leftrightarrow \overrightarrow {MB} = k\overrightarrow {MC} .$
$N$ chia đoạn $AD$ theo tỉ số $k$ $ \Leftrightarrow \overrightarrow {NA} = k\overrightarrow {ND} .$
Ta có: $\overrightarrow {JI} = \frac{1}{2}(\overrightarrow {JA} + \overrightarrow {JB} )$ $ = \frac{1}{2}(\overrightarrow {JD} + \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {JC} + \overrightarrow {CB} )$ $ = \frac{1}{2}(\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {CB} )$ $ = \frac{1}{2}(\overrightarrow {NA} – \overrightarrow {ND} + \overrightarrow {MB} – \overrightarrow {MC} )$ $ = \frac{1}{2}(k\overrightarrow {ND} – \overrightarrow {ND} + k\overrightarrow {MC} – \overrightarrow {MC} )$ $ = \frac{{k – 1}}{2}(\overrightarrow {NJ} + \overrightarrow {JD} + \overrightarrow {MJ} + \overrightarrow {JC} )$ $ = \frac{{k – 1}}{2}(\overrightarrow {NJ} + \overrightarrow {MJ} ).$
Do đó $\overrightarrow {JI} $, $\overrightarrow {JN} $, $\overrightarrow {JM} $ đồng phẳng.
Suy ra $J$, $I$, $M$, $N$ cùng thuộc một mặt phẳng.
Ví dụ 5: Cho hình hộp $ABCD.A’B’C’D’.$ Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm $CD$ và $DD’.$ Gọi $G$ và $G’$ lần lượt là trọng tâm tứ diện $A’D’MN$ và $BCC’D’.$ Chứng minh $GG’$ song song mặt phẳng $(ABB’A’).$
Đặt $\overrightarrow {AB} = \vec a$, $\overrightarrow {AD} = \vec b$, $\overrightarrow {AA’} = \vec c.$
Ta có: $G$ trọng tâm tứ diện $A’D’MN$ $ \Leftrightarrow \overrightarrow {GA’} + \overrightarrow {GD’} + \overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GN} = \vec 0.$
Do đó: $4\overrightarrow {AG} = \overrightarrow {AG} + \overrightarrow {AG} + \overrightarrow {AG} + \overrightarrow {AG} $ $ \Leftrightarrow 4\overrightarrow {AG} = \left( {\overrightarrow {AA’} + \overrightarrow {A’G} } \right)$ $ + \left( {\overrightarrow {AD’} + \overrightarrow {D’G} } \right)$ $ + (\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MG} )$ $ + (\overrightarrow {AN} + \overrightarrow {NG} )$ $ \Leftrightarrow 4\overrightarrow {AG} = \overrightarrow {AA’} + \overrightarrow {AD’} + \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {AN} $ $ \Leftrightarrow 4\overrightarrow {AG} = \vec c + (\vec b + \vec c) + \left( {\vec b + \frac{{\vec a}}{2}} \right) + \left( {\vec b + \frac{{\vec c}}{2}} \right)$ $ \Leftrightarrow 4\overrightarrow {AG} = 3\vec b + \frac{5}{2}\vec c + \frac{{\vec a}}{2}.$
Tương tự: $4\overrightarrow {AG’} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AC’} + \overrightarrow {AD’} $ $ \Leftrightarrow 4\overrightarrow {AG’} = \vec a + (\vec a + \vec b)$ $ + (\vec a + \vec b + \vec c) + (\vec b + \vec c)$ $ \Leftrightarrow 4\overrightarrow {AG’} = 3(\overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c ).$
Do đó: $4\left( {\overrightarrow {AG} – \overrightarrow {AG’} } \right) = – \frac{5}{2}\vec a – \frac{1}{2}\vec c$ $ \Leftrightarrow 4\overrightarrow {G’G} = \frac{5}{2}\overrightarrow {AB} – \frac{1}{2}\overrightarrow {A{A^\prime }} .$
Vậy ba vectơ $\overrightarrow {G’G} $, $\overrightarrow {AB} $, $\overrightarrow {AA’} $ đồng phẳng.
Mặt khác $G \notin mp\left( {ABB’A’} \right).$
Do đó $GG’//mp\left( {ABB’A’} \right).$
Ví dụ 6: Cho hình lập phương $ABCD.A’B’C’D’.$ Lấy hai điểm $M$ và $N$ lần lượt trên hai cạnh $B’C’$ và $CD$ sao cho $B’M = CN.$ Chứng minh $AM$ vuông góc $BN.$
Gọi $a$ là cạnh hình lập phương.
Gọi $\vec u = \overrightarrow {AB} $, $\vec v = \overrightarrow {AD} $, $\vec w = \overrightarrow {AA’} $ thì $|\vec u| = |\vec v| = |\vec w| = a.$
Đặt $x = B’M = CN$ $(0 \le x \le a).$
Ta có: $B’M = \frac{x}{a} \cdot B’C’$ và $M$ nằm giữa hai điểm $B’$ và $C’$ nên $\overrightarrow {B’M} = \frac{x}{a}\overrightarrow {B’C’} = \frac{x}{a}.\overrightarrow v .$
Tương tự: $\overrightarrow {CN} = \frac{x}{a} \cdot \overrightarrow {CD} = – \frac{x}{a} \cdot \vec u.$
Vậy $\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AA’} + \overrightarrow {A’B’} + \overrightarrow {B’M} $ $ = \vec w + \vec u + \frac{x}{a}\vec v$ và $\overrightarrow {BN} = \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CN} = \vec v – \frac{x}{a} \cdot \vec u.$
Do đó: $\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BN} = \left( {\vec w + \vec u + \frac{x}{a}\vec v} \right).\left( {\vec v – \frac{x}{a}\vec u} \right)$ $ = \overrightarrow w .\overrightarrow v – \frac{x}{a}\overrightarrow w .\overrightarrow u + \overrightarrow u .\overrightarrow v $ $- \frac{x}{a}.{\overrightarrow u ^2} + \frac{x}{a}.{\overrightarrow v ^2} – \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}\overrightarrow v .\overrightarrow u .$
Mà $\vec u \bot \vec v$, $\vec u \bot \overrightarrow w $ và $\vec w \bot \vec v$ nên $\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BN} = – \frac{x}{a}|\vec u{|^2} + \frac{x}{a}|\vec v{|^2}$ $ = – xa + xa = 0.$
Do đó: $AM \bot BN.$
Ví dụ 7: Cho bốn điểm $A$, $B$, $C$, $D$ tùy ý trong không gian. Chứng minh:
a) $AB ⊥ CD$ khi và chỉ khi $A{C^2} + B{D^2} = A{D^2} + B{C^2}.$
b) Nếu $AB ⊥ CD$ và $AD ⊥ BC$ thì $AC ⊥ BD.$
a) Ta có: $A{C^2} + B{D^2} = {\overrightarrow {AC} ^2} + {\overrightarrow {BD} ^2}$ $ = {(\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DC} )^2} + {(\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} )^2}$ $ = {\overrightarrow {AD} ^2} + {\overrightarrow {DC} ^2} + 2\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {DC} $ $ + {\overrightarrow {BC} ^2} + {\overrightarrow {CD} ^2} + 2\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {CD} $ $ = A{D^2} + B{C^2} + 2{\overrightarrow {DC} ^2}$ $ + 2\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {DC} – 2\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {DC} $ $ = A{D^2} + B{C^2} + 2\overrightarrow {DC} (\overrightarrow {DC} + \overrightarrow {AD} – \overrightarrow {BC} )$ $ = A{D^2} + B{C^2} + 2\overrightarrow {DC} (\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {CB} )$ $ = A{D^2} + B{C^2} + 2\overrightarrow {DC} .\overrightarrow {AB} .$
Do $AB \bot CD \Leftrightarrow \overrightarrow {DC} .\overrightarrow {AB} = 0$ nên $AB \bot CD$ $ \Leftrightarrow A{C^2} + B{D^2} = A{D^2} + B{C^2}.$
b) Ta có: $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {DB} $ $ = \overrightarrow {AB} (\overrightarrow {AD} – \overrightarrow {AC} )$ $ + \overrightarrow {AD} (\overrightarrow {AC} – \overrightarrow {AB} )$ $ + \overrightarrow {AC} (\overrightarrow {AB} – \overrightarrow {AD} )$ $ = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} – \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} $ $ + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AC} – \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB} $ $ + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} – \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} $ $=0$ (đây là hệ thức Euler) $(*).$
Do đó $AB \bot CD$ và $AD \bot BC$ thì $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BC} = 0.$
Từ $(*)$ suy ra $\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {DB} = 0$ $ \Rightarrow AC \bot DB.$
Ví dụ 8: Cho $ABCD.A’B’C’D’$ là hình lập phương cạnh có độ dài $1.$ Trên $BB’$, $CD$, $A’D’$ lấy $M$, $N$, $P$ sao cho $B’M = CN = D’P = a$ $(0 < a < 1).$ Chứng minh:
a) $\overrightarrow {MN} = – a\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + (a – 1)\overrightarrow {AA} .$
b) $AC’$ vuông góc với $MN$ và $NP.$
Đặt $\overrightarrow {AB} = \vec u$, $\overrightarrow {AD} = \vec v$, $\overrightarrow {AA’} = \vec w.$
a) Ta có: $\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CN} .$
Ta có: $\frac{{MB}}{{BB’}} = \frac{{1 – a}}{1}$ $ \Rightarrow \overrightarrow {MB} = (1 – a)\overrightarrow {B’B} = (a – 1)\overrightarrow {AA’} $ và $\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AD} .$
Ta có: $\frac{{CN}}{{CD}} = \frac{a}{1}$ $ \Rightarrow \overrightarrow {CN} = a\overrightarrow {CD} = – a\overrightarrow {AB} .$
Do đó: $\overrightarrow {MN} = (a – 1)\overrightarrow {AA’} + \overrightarrow {AD} – a\overrightarrow {AB} .$
b) Ta có: $\overrightarrow {AC’} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD’} $ $ = \overrightarrow {AB} + \left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA’} } \right)$ $ = \vec u + \vec v + \vec w.$
Mà $\overrightarrow {MN} = (a – 1)\vec w + \vec v – a\vec u.$
Do đó: $\overrightarrow {AC’} .\overrightarrow {MN} $ $ = (\vec u + \vec v + \vec w).[(a – 1)\vec w + \vec v – a\vec u]$ $ = – a + 1 + (a – 1) = 0$ $(1)$ (do $\vec u.\vec w = 0$, $\vec u.\vec v = 0$, $\vec w.\vec v = 0$, $|\vec u| = |\vec v| = |\vec w| = 1.$)
Tương tự: $\overrightarrow {NP} = \overrightarrow {ND} + \overrightarrow {DD’} + \overrightarrow {D’P} $ $ = (a – 1)\vec v + \vec w – a\vec u$ nên $\overrightarrow {AC’} .\overrightarrow {NP} $ $ = (\vec u + \vec v + \vec w)[(a – 1)\vec v + \vec w – a\vec u]$ $ = – a + (a – 1) + 1 = 0.$
Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra $AC’ \bot MN$ và $AC’ \bot NP.$
Ví dụ 9: Cho tam giác $ABC$ trong không gian.
a) Cho điểm $M$ thỏa: $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CM} = \overrightarrow {CB} .\overrightarrow {AM} $. Chứng minh $BM$ vuông góc $AC.$
b) Gọi $AD$ là đường phân giác trong của $\widehat {BAC}$. Hãy biểu diễn $\overrightarrow {AD} $ theo $\overrightarrow {AB} $, $\overrightarrow {AC} .$
a) Ta có: $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CM} = \overrightarrow {CB} .\overrightarrow {AM} $ $ \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} .(\overrightarrow {AM} – \overrightarrow {AC} ) = \overrightarrow {CB} .\overrightarrow {AM} $ $ \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AM} – \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} – \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {CB} = \vec 0$ $ \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} (\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} ) – \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 0$ $ \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AC} – \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 0$ $ \Leftrightarrow \overrightarrow {AC} (\overrightarrow {AM} – \overrightarrow {AB} ) = 0$ $ \Leftrightarrow \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BM} = 0$ $ \Leftrightarrow AC \bot BM.$
b) Gọi $AB = c$, $AC = b$, $BC = a.$
Do tính chất chân đường phân giác trong nên: $\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}} \Leftrightarrow DB = \frac{c}{b}DC.$
Mà $D$ nằm giữa $B$ và $C$ nên $\overrightarrow {DB} = – \frac{c}{b}\overrightarrow {DC} $ $ \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} – \overrightarrow {AD} = – \frac{c}{b}(\overrightarrow {AC} – \overrightarrow {AD} )$ $ \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} + \frac{c}{b}\overrightarrow {AC} $ $ = \left( {1 + \frac{c}{b}} \right)\overrightarrow {AD} $ $ = \frac{{b + c}}{b}\overrightarrow {AD} $ $ \Leftrightarrow \overrightarrow {AD} = \frac{b}{{b + c}}\overrightarrow {AB} + \frac{c}{{b + c}}\overrightarrow {AC} .$
