Bài viết trình bày tóm tắt lý thuyết và một số dạng bài tập lũy thừa với số mũ hữu tỉ, lũy thừa với số mũ thực, hàm số lũy thừa.
A. TÓM TẮT SÁCH GIÁO KHOA
I. Lũy thừa với số mũ nguyên:
1. Định nghĩa:
a. Lũy thừa với số mũ nguyên dương:
Cho $a \in R$, $n \in N$, $n \ge 1$, ta định nghĩa: ${a^n} = \underbrace {a.a.a \ldots a}_{n{\rm{\:thừa\:số\:}}a}.$
(${a^n}$ là lũy thừa bậc $n$ của $a$, $a$ gọi là cơ số, $n$ là số mũ).
b. Lũy thừa với số mũ $0$ và mũ nguyên âm:
Cho $a \ne 0$ và $n$ là số nguyên dương. Ta định nghĩa:
${a^0} = 1$, ${a^{ – n}} = \frac{1}{{{a^n}}}$ (lưu ý: ${0^0}$ và ${0^{ – n}}$ không có nghĩa).
2. Tính chất lũy thừa với số mũ nguyên:
a. Định lí 1: Cho $a \ne 0$, $b \ne 0$ và $m,n \in Z$, ta có:
1. ${a^m}.{a^n} = {a^{m + n}}.$
2. $\frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{m – n}}.$
3. ${\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{mn}}.$
4. ${(ab)^n} = {a^n}{b^n}.$
5. ${\left( {\frac{a}{b}} \right)^n} = \frac{{{a^n}}}{{{b^n}}}.$
b. Định lí 2: (tính chất bất đẳng thức):
Cho $m,n \in Z$. Khi đó:
1. Với $a > 1$: ${a^m} > {a^n} \Leftrightarrow m > n.$
2. Với $0 < a < 1$: ${a^m} > {a^n} \Leftrightarrow m < n.$
Hệ quả 1: Với $0 < a < b$, $m \in Z$ ta có:
1. ${a^m} < {b^m} \Leftrightarrow m > 0.$
2. ${a^m} > {b^m} \Leftrightarrow m < 0.$
Hệ quả 2: Với $n$ là số tự nhiên lẻ: $a < b \Rightarrow {a^n} < {b^n}.$
II. Căn bậc $n$ và lũy thừa số mũ hữu tỉ:
1. Căn bậc $n$:
a. Định nghĩa: Cho $a \in R$, $n \in {Z^ + }$, ta gọi số thực $b$ là căn bậc $n$ của số $a$ nếu ${b^n} = a.$
Nhận xét:
+ Mỗi số thực $a$ có duy nhất một căn bậc $n$ lẻ, kí hiệu là $\sqrt[n]{a}.$
+ Mỗi số thực $a>0$ có đúng hai căn bậc $n$ chẵn đối nhau, kí hiệu: giá trị dương là $\sqrt[n]{a}$ và giá trị âm là $ – \sqrt[n]{a}.$
b. Tính chất:
Cho $a,b \in R$, $m,n \in {Z^ + }$, $p,q \in Z$. Với các điều kiện của $a$, $b$ để các biểu thức có nghĩa, ta có:
1. $\sqrt[n]{{ab}} = \sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}.$
2. $\sqrt[n]{{\frac{a}{b}}} = \frac{{\sqrt[n]{a}}}{{\sqrt[n]{b}}}$ $(a,b > 0).$
3. $\sqrt[n]{{{a^p}}} = {\left( {\sqrt[n]{a}} \right)^p}$ $(a \ne 0).$
4. $\sqrt[m]{{\sqrt[n]{a}}} = \sqrt[{mn}]{a}.$
5. Nếu $\frac{p}{n} = \frac{q}{m}$ thì $\sqrt[n]{{{a^p}}} = \sqrt[m]{{{a^q}}}$ $(a \ne 0).$ Đặc biệt: $\sqrt[n]{a} = \sqrt[{mn}]{{{a^m}}}$ $(a \ne 0).$
2. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ:
a. Định nghĩa:
Cho số thực $a$ dương, $r$ là số hữu tỉ có dạng $r = \frac{m}{n}$ với $m \in Z$ và $n \in {Z^ + }.$
Ta định nghĩa: ${a^r} = {a^{\frac{m}{n}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}}.$
b. Tính chất của lũy thừa với số mũ hữu tỉ:
Lũy thừa số mũ hữu tỉ có đầy đủ các tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên đã nêu ở phần I.
III. Lũy thừa với số mũ thực:
1. Định nghĩa:
Cho số thực $a>0$ và $\alpha $ là một số vô tỉ.
Ta luôn có một dãy các số hữu tỉ ${r_1},{r_2},{r_3}, \ldots ,{r_n}, \ldots $ mà $\lim {r_n} = \alpha .$
Xét dãy số những lũy thừa của $a$ tương ứng: ${a^{{r_1}}},{a^{{r_2}}},{a^{{r_3}}}, \ldots ,{a^{{r_n}}}, \ldots .$
Người ta chứng minh được rằng dãy số ${a^{{r_1}}},{a^{{r_2}}},{a^{{r_3}}}, \ldots ,{a^{{r_n}}}, \ldots $ có giới hạn xác định (không phụ thuộc vào dãy hữu tỉ $\left( {{r_n}} \right)$ đã chọn) khi $n \to + \infty .$
Giới hạn đó được gọi là lũy thừa với số mũ vô tỉ $\alpha $ của số dương $a.$
Kí hiệu là ${a^\alpha }.$
Vậy ${a^\alpha } = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {a^{{r_n}}}.$
Chú ý về cơ số của lũy thừa ${a^r}$:
Nếu $r \in {Z^ + }$ thì cơ số $a \in R.$
Nếu $r \in Z$ thì cơ số $a \ne 0.$
Nếu $r \in R$ thì cơ số $a > 0.$
2. Tính chất lũy thừa với số mũ thực:
Lũy thừa với số mũ thực có đầy đủ tính chất như lũy thừa với số mũ nguyên.
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Vấn đề 1: Tính toán – rút gọn các biểu thức lũy thừa.
1. PHƯƠNG PHÁP:
Áp dụng các tính chất của lũy thừa để tính giá trị của biểu thức, rút gọn một biểu thức, chứng minh một biểu thức không phụ thuộc tham số …
Cần lưu ý:
+ Với $a \in R$, $n \in N$, $n \le 1$ thì $\sqrt[{2n}]{{{a^{2n}}}} = \left| a \right|.$
+ Ngược lại với $A \ge 0$ thì $a\sqrt[{2n}]{A} = \left\{ \begin{array}{l}
\sqrt[{2n}]{{{a^{2n}}.A}}{\rm{\:khi\:}}a \ge 0\\
– \sqrt[{2n}]{{{a^{2n}}.A}}{\rm{\:khi\:}}a < 0
\end{array} \right..$
2. CÁC VÍ DỤ:
Ví dụ 1: Tính giá trị các biểu thức:
a) $A = {\left( {\frac{1}{{256}}} \right)^{ – 0,75}} + {\left( {\frac{1}{{27}}} \right)^{ – \frac{4}{3}}}.$
b) $B = {\left( {\frac{1}{{49}}} \right)^{ – 1,5}} – {\left( {\frac{1}{{125}}} \right)^{ – \frac{2}{3}}}.$
a) Ta có: $A = {\left( {\frac{1}{{256}}} \right)^{ – 0,75}} + {\left( {\frac{1}{{27}}} \right)^{ – \frac{4}{3}}}$ $ = {\left( {{4^{ – 4}}} \right)^{ – \frac{3}{4}}} + {\left( {{3^{ – 3}}} \right)^{ – \frac{4}{3}}}$ $ = {4^3} + {3^4} = 91.$
b) Ta có: $B = {\left( {\frac{1}{{49}}} \right)^{ – 1,5}} – {\left( {\frac{1}{{125}}} \right)^{ – \frac{2}{3}}}$ $ = {\left( {{7^{ – 2}}} \right)^{\frac{{ – 3}}{2}}} – {\left( {{5^{ – 3}}} \right)^{\frac{{ – 2}}{3}}}$ $ = {7^3} – {5^2} = 318.$
Ví dụ 2: Tính giá trị các biểu thức:
a) $A = \sqrt[3]{{\frac{{125}}{{64}}}}.\sqrt[4]{{81}}.$
b) $B = \frac{{\sqrt[5]{{98}}.\sqrt[5]{{343}}}}{{\sqrt[5]{{64}}}}.$
a) Ta có: $A = \sqrt[3]{{\frac{{125}}{{64}}}}.\sqrt[4]{{81}}$ $ = \frac{{\sqrt[3]{{{5^3}}}.\sqrt[4]{{{3^4}}}}}{{\sqrt[3]{{{4^3}}}}}$ $ = \frac{{5.3}}{4} = \frac{{15}}{4}.$
b) Ta có: $B = \frac{{\sqrt[5]{{98}}.\sqrt[5]{{343}}}}{{\sqrt[5]{{64}}}}$ $ = \sqrt[5]{{\frac{{98.343}}{{64}}}}$ $ = \sqrt[5]{{\frac{{{{2.7}^2}{{.7}^3}}}{{{2^6}}}}} = \sqrt[5]{{\frac{{{7^5}}}{{{2^5}}}}} = \frac{7}{2}.$
Ví dụ 3: Tính giá trị các biểu thức:
a) $A = {4^{\frac{{17}}{7}}}:{4^{\frac{3}{7}}} – {2^{\frac{{11}}{5}}}{.2^{\frac{4}{5}}}.$
b) $B = \left( {{4^{3 + \sqrt 3 }} – {4^{\sqrt 3 – 1}}} \right){2^{ – 2\sqrt 3 }}.$
c) $C = \left( {{3^{\frac{{1 – \sqrt 5 }}{{1 + \sqrt 5 }}}}} \right){.3^{\frac{{3\sqrt 5 }}{2}}}.$
a) Ta có: $A = {4^{\frac{{17}}{7}}}:{4^{\frac{3}{7}}} – {2^{\frac{{11}}{5}}}{.2^{\frac{4}{5}}}$ $ = {4^{\frac{{17}}{7} – \frac{3}{7}}} – {2^{\frac{{11}}{5} + \frac{4}{5}}}$ $ = {4^2} – {2^3} = 8.$
b) Ta có: $B = \left( {{4^{3 + \sqrt 3 }} – {4^{\sqrt 3 – 1}}} \right){.2^{ – 2\sqrt 3 }}$ $ = \left( {{2^{6 + 2\sqrt 3 }} – {2^{2\sqrt 3 – 2}}} \right){.2^{ – 2\sqrt 3 }}$ $ = {2^{6 + 2\sqrt 3 – 2\sqrt 3 }} – {2^{2\sqrt 3 – 2 – 2\sqrt 3 }}$ $ = {2^6} – {2^{ – 2}}$ $ = 64 – \frac{1}{4} = \frac{{255}}{4}.$
c) Áp dụng tính chất: ${\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{mn}}$, ta có:
$C = {\left( {{3^{\frac{{1 – \sqrt 5 }}{{1 + \sqrt 5 }}}}} \right)^{ – 3}}{.3^{\frac{{3\sqrt 5 }}{2}}}$ $ = {3^{\frac{{(1 – \sqrt 5 )( – 3)}}{{1 + \sqrt 5 }}}}{.3^{\frac{{3\sqrt 5 }}{2}}}$ $ = {3^{\frac{{ – 3 + 3\sqrt 5 }}{{1 + \sqrt 5 }} + \frac{{3\sqrt 5 }}{2}}}$ $ = {3^{\frac{{9 – 3\sqrt 5 }}{2} + \frac{{3\sqrt 5 }}{2}}}$ $ = {3^{\frac{9}{2}}} = 81\sqrt 3 .$
Ví dụ 4: Rút gọn các biểu thức rồi tính:
a) $A = \frac{{{a^{\frac{3}{2}}}\sqrt[3]{{{a^2}}}}}{{\sqrt[6]{a}}} + \sqrt[3]{a}.\sqrt[9]{{{a^6}}}$, $a>0$ (áp dụng với $a = 1$, $a = 3$).
b) $B = \frac{{\sqrt b }}{{\sqrt[6]{b}}} + \sqrt[3]{{\frac{{27}}{{{b^6}}}}}\left( {\frac{{{b^3}}}{{\sqrt[4]{{81}}}} – \sqrt[3]{{{b^7}}}} \right)$, $b>0$ (áp dụng với $b = 27$).
a) Sử dụng tính chất $\sqrt[n]{{{a^m}}} = {a^{\frac{m}{n}}}$ của căn thức và các tính chất lũy thừa ta có:
$A = \frac{{{a^{\frac{3}{2}}}\sqrt[3]{{{a^2}}}}}{{\sqrt[6]{a}}} + \sqrt[3]{a}.\sqrt[9]{{{a^6}}}$ $ = \frac{{{a^{\frac{3}{2}}}.{a^{\frac{2}{3}}}}}{{{a^{\frac{1}{6}}}}} + {a^{\frac{1}{3}}}.{a^{\frac{6}{9}}}$ $ = \frac{{{a^{\frac{{13}}{6}}}}}{{{a^{\frac{1}{6}}}}} + {a^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}}} = {a^2} + a.$
Do đó:
+ Với $a = 1$, ta có $A = {1^2} + 1 = 2.$
+ Với $a = 3$ thì $A = {3^2} + 3 = 12.$
b) $B = \frac{{\sqrt b }}{{\sqrt[6]{b}}} + \sqrt[3]{{\frac{{27}}{{{b^6}}}}}\left( {\frac{{{b^3}}}{{\sqrt[4]{{81}}}} – \sqrt[3]{{{b^7}}}} \right)$ $ = \frac{{{b^{\frac{1}{2}}}}}{{{b^{\frac{1}{6}}}}} + \frac{{\sqrt[3]{{{3^3}}}}}{{\sqrt[3]{{{b^6}}}}}\left( {\frac{{{b^3}}}{3} – \sqrt[3]{{{b^7}}}} \right)$ $ = {b^{\frac{1}{3}}} + \frac{3}{{{b^2}}}\left( {\frac{{{b^3}}}{3} – {b^{\frac{7}{3}}}} \right)$ $ = {b^{\frac{1}{3}}} + b – 3{b^{\frac{1}{3}}} = b – 2{b^{\frac{1}{3}}}.$
Khi $b = 27$ thì $B = 27 – {2.27^{\frac{1}{3}}} = 27 – 2.3 = 21.$
Ví dụ 5: Cho biểu thức $M = \left( {\frac{{{a^{\frac{1}{4}}} – {a^{\frac{9}{4}}}}}{{{a^{\frac{1}{4}}} – {a^{\frac{5}{4}}}}}:\frac{{{b^{ – \frac{1}{2}}} – {b^{\frac{3}{2}}}}}{{{b^{\frac{1}{2}}} + {b^{ – \frac{1}{2}}}}}} \right)\sqrt[3]{{\frac{a}{{{b^4}}}}}.\sqrt[6]{{\frac{{{b^{14}}}}{{{a^2}}}}}.$
a) Rút gọn $M.$
b) Tính giá trị của $M$ khi $a = 5$, $b = -2.$
a) Ta có:
$M = \left( {\frac{{{a^{\frac{1}{4}}} – {a^{\frac{9}{4}}}}}{{{a^{\frac{1}{4}}} – {a^{\frac{5}{4}}}}}:\frac{{{b^{ – \frac{1}{2}}} – {b^{\frac{3}{2}}}}}{{{b^{\frac{1}{2}}} + {b^{ – \frac{1}{2}}}}}} \right)\sqrt[3]{{\frac{a}{{{b^4}}}}}.\sqrt[6]{{\frac{{{b^{14}}}}{{{a^2}}}}}$ $ = \left( {\frac{{{a^{\frac{1}{4}}}\left( {1 – {a^2}} \right)}}{{{a^{\frac{1}{4}}}(1 – a)}}:\frac{{{b^{ – \frac{1}{2}}}\left( {1 – {b^2}} \right)}}{{{b^{ – \frac{1}{2}}}(1 + b)}}} \right).\frac{{{a^{\frac{1}{3}}}}}{{{b^{\frac{4}{3}}}}}.\frac{{{b^{\frac{{14}}{6}}}}}{{{a^{\frac{2}{6}}}}}.$
Suy ra $M = \left[ {(1 + a):(1 – b)} \right].{b^{\frac{{14}}{6} – \frac{4}{3}}}.{a^{\frac{1}{3} – \frac{2}{6}}}$ $ = \left( {\frac{{1 + a}}{{1 – b}}} \right).b.$
b) Khi $a = 5$ và $b = -2$ thì $M = \left[ {\frac{{1 + 5}}{{1 – ( – 2)}}} \right].( – 2)$ $ = \frac{6}{3}.( – 2) = – 4.$
Ví dụ 6: Cho biểu thức: $A = {\left[ {\frac{{4a – 9{a^{ – 1}}}}{{2{a^{\frac{1}{2}}} – 3{a^{ – \frac{1}{2}}}}} + \frac{{a – 4 + 3{a^{ – 1}}}}{{{a^{\frac{1}{2}}} – {a^{ – \frac{1}{2}}}}}} \right]^2}.$ Rút gọn và tính giá trị của $A$ khi $a = 4.$
Điều kiện bài toán: $0 < a \ne 1;\frac{3}{2}.$
Ta có: $A = {\left[ {\frac{{4a – 9{a^{ – 1}}}}{{2{a^{\frac{1}{2}}} – 3{a^{ – \frac{1}{2}}}}} + \frac{{a – 4 + 3{a^{ – 1}}}}{{{a^{\frac{1}{2}}} – {a^{ – \frac{1}{2}}}}}} \right]^2}$ $ = {\left[ {\frac{{4{a^2} – 9}}{{(2a – 3)\sqrt a }} + \frac{{{a^2} – 4a + 3}}{{(a – 1)\sqrt a }}} \right]^2}.$
$ \Rightarrow A = {\left[ {\frac{{2a + 3}}{{\sqrt a }} + \frac{{a – 3}}{{\sqrt a }}} \right]^2}$ $ = {\left( {\frac{{3a}}{{\sqrt a }}} \right)^2} = 9a.$
Khi $a = 4 \Rightarrow A = 36.$
Ví dụ 7: Rút gọn biểu thức: $M = \frac{{{{\left( {{a^{\sqrt 5 + 1}}} \right)}^{\sqrt 5 – 1}}}}{{{a^{7 – \sqrt 2 }}.{a^{ – 3 + \sqrt 2 }}}}$ $(a > 0).$
$M = \frac{{{{\left( {{a^{\sqrt 5 + 1}}} \right)}^{\sqrt 5 – 1}}}}{{{a^{7 – \sqrt 2 }}.{a^{ – 3 + \sqrt 2 }}}}$ $ = \frac{{{a^{(\sqrt 5 + 1)(\sqrt 5 – 1)}}}}{{{a^{7 – \sqrt 2 – 3 + \sqrt 2 }}}} = \frac{{{a^{5 – 1}}}}{{{a^4}}} = 1.$
Ví dụ 8: Rút gọn biểu thức: $X = \frac{{{a^{\frac{4}{3}}}b + a{b^{\frac{4}{3}}}}}{{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}}$ $(a,b > 0).$
Ta có: $X = \frac{{{a^{\frac{4}{3}}}b + a{b^{\frac{4}{3}}}}}{{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}}$ $ = \frac{{ab\left( {{a^{\frac{1}{3}}} + {b^{\frac{1}{3}}}} \right)}}{{{a^{\frac{1}{3}}} + {b^{\frac{1}{3}}}}} = ab.$
Ví dụ 9: Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào $b$:
$B = \left( {1 – 2\sqrt {\frac{b}{a}} + \frac{b}{a}} \right):{\left( {{a^{\frac{1}{2}}} – {b^{\frac{1}{2}}}} \right)^2}$ $(a > 0,b \ge 0,a \ne b).$
Ta có: $B = \left( {1 – 2\sqrt {\frac{b}{a}} + \frac{b}{a}} \right):{\left( {{a^{\frac{1}{2}}} – {b^{\frac{1}{2}}}} \right)^2}$ $ = {\left( { – \sqrt {\frac{b}{a}} + 1} \right)^2}:{(\sqrt a – \sqrt b )^2}$ $ = {\left( {1 – \frac{{\sqrt b }}{{\sqrt a }}} \right)^2}:{(\sqrt a – \sqrt b )^2}$ $ = \frac{{{{(\sqrt a – \sqrt b )}^2}}}{{{{(\sqrt a )}^2}}}:{(\sqrt a – \sqrt b )^2}$ $ = \frac{1}{{{{(\sqrt a )}^2}}} = \frac{1}{a}.$
Ví dụ 10: Chứng minh đẳng thức $\sqrt[3]{{7 + 5\sqrt 2 }} + \sqrt[3]{{7 – 5\sqrt 2 }} = 2.$
Đặt $a = \sqrt[3]{{7 + 5\sqrt 2 }}$, $b = \sqrt[3]{{7 – 5\sqrt 2 }}$.
Ta có:
${a^3} = 7 + 5\sqrt 2 $, ${b^3} = 7 – 5\sqrt 2 $ và $ab = \sqrt[3]{{(7 + 5\sqrt 2 )(7 – 5\sqrt 2 )}} = – 1.$
Đặt $x = a + b$. Ta có:
${x^3} = {(a + b)^3}$ $ = {a^3} + {b^3} + 3ab(a + b)$ $ = 14 – 3(a + b) = 14 – 3x.$
$ \Rightarrow {x^3} + 3x – 14 = 0.$
$ \Leftrightarrow (x – 2)\left( {{x^2} + 2x + 7} \right) = 0.$
$ \Leftrightarrow x = 2.$
Vậy $a + b = 2$ hay $\sqrt[3]{{7 + 5\sqrt 2 }} + \sqrt[3]{{7 – 5\sqrt 2 }} = 2.$
3. BÀI TẬP:
1. Thực hiện phép tính sau:
a. ${16^{ – 0,75}} + {\left( {\frac{1}{{125}}} \right)^{ – \frac{1}{3}}} – {\left( {\frac{1}{{243}}} \right)^{ – \frac{3}{5}}}.$
b. ${0,001^{ – \frac{1}{3}}} – {( – 2)^{ – 2}}{64^{\frac{2}{3}}} – {27^{ – 1\frac{1}{3}}} + {\left( {{7^0}} \right)^2}.$
c. ${64^{\frac{2}{3}}} + {\left( {\frac{1}{{81}}} \right)^{ – 0,75}} – {25^{ – 0,5}}.$
d. ${( – 0,5)^{ – 4}} – {625^{0,25}} – {\left( {2\frac{1}{4}} \right)^{ – 1\frac{1}{2}}} + 19{( – 3)^{ – 3}}.$
2. Viết các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ:
a. $\sqrt[4]{{{x^2}\sqrt[3]{{x\sqrt x }}}}$ $(x > 0).$
b. $\sqrt[5]{{\frac{b}{a}\sqrt[3]{{\frac{a}{b}\sqrt {\frac{a}{b}} }}}}$ $(a > 0,b > 0).$
c. $\sqrt[3]{{\frac{2}{3}\sqrt[3]{{\frac{2}{3}\sqrt {\frac{2}{3}} }}}}.$
d. $\sqrt {a\sqrt {a\sqrt {a\sqrt a } } } :{a^{\frac{{11}}{{16}}}}$ $(a > 0).$
3. Đơn giản các biểu thức sau $(a,b > 0):$
a. $\frac{{{{\left( {\sqrt[4]{{{a^3}{b^2}}}} \right)}^4}}}{{\sqrt[3]{{\sqrt {{a^{12}}{b^6}} }}}}.$
b. $\frac{{{a^{\frac{1}{3}}} – {a^{\frac{7}{3}}}}}{{{a^{\frac{1}{3}}} – {a^{\frac{4}{3}}}}} – \frac{{{a^{ – \frac{1}{3}}} – {a^{\frac{5}{3}}}}}{{{a^{\frac{2}{3}}} + {a^{ – \frac{1}{3}}}}}.$
4. Đơn giản các biểu thức sau $(a,b > 0).$
a. $\frac{{\sqrt a – \sqrt b }}{{\sqrt[4]{a} – \sqrt[4]{b}}} – \frac{{\sqrt a + \sqrt[4]{{ab}}}}{{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}}}.$
b. $\frac{{a – b}}{{\sqrt[3]{a} – \sqrt[3]{b}}} – \frac{{a + b}}{{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}}.$
c. $\left( {\frac{{a + b}}{{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}} – \sqrt[3]{{ab}}} \right):{\left( {\sqrt[3]{a} – \sqrt[3]{b}} \right)^2}.$
d. $\frac{{a – 1}}{{{a^{\frac{3}{4}}} + {a^{\frac{1}{2}}}}}.\frac{{\sqrt a + \sqrt[4]{a}}}{{\sqrt a + 1}}.{a^{\frac{1}{4}}} + 1.$
5. Đơn giản các biểu thức sau:
a. $\frac{{{{\left( {{a^{\sqrt 3 – 1}}} \right)}^{\sqrt 3 + 1}}}}{{{a^{\sqrt 5 – 3}}.{a^{4 – \sqrt 5 }}}}.$
b. ${a^{\sqrt 2 }}.{\left( {\frac{1}{a}} \right)^{\sqrt 2 – 1}}.$
6. Đơn giản các biểu thức sau:
a. ${a^{ – 2\sqrt 2 }}{\left( {\frac{1}{{{a^{ – \sqrt 2 – 1}}}}} \right)^{\sqrt 2 + 1}}.$
b. ${\left( {\frac{{{a^{\sqrt 3 }}}}{{{b^{\sqrt 3 – 1}}}}} \right)^{\sqrt 3 + 1}}.\frac{{{a^{ – 1 – \sqrt 3 }}}}{{{b^{ – 2}}}}.$
c. $\frac{{{a^{2\sqrt 2 }} – {b^{2\sqrt 3 }}}}{{{{\left( {{a^{\sqrt 2 }} – {b^{\sqrt 3 }}} \right)}^2}}} + 1.$
d. $\sqrt {{{\left( {{x^\pi } + {y^\pi }} \right)}^2} – {{\left( {{4^{\frac{1}{\pi }}}xy} \right)}^\pi }} .$
7. Chứng minh:
a. $\sqrt {4 + 2\sqrt 3 } – \sqrt {4 – 2\sqrt 3 } = 2.$
b. $\sqrt[3]{{9 + \sqrt {80} }} + \sqrt[3]{{9 – \sqrt {80} }} = 3.$
8. Chứng minh rằng biểu thức $M = ab\frac{{\sqrt[n]{{\frac{{{a^{1 – n}}}}{{{b^n}}} – \frac{{{a^{ – n}}}}{{{b^{n – 1}}}}}}}}{{\sqrt[n]{{a – b}}}}$ với $0 < b < a$ không phụ thuộc vào giá trị của $a$ và $b.$
9. Cho biểu thức $M = \frac{{a{b^{ – 2}}{{\left( {a{b^{ – 1}}} \right)}^2}\left( {{a^{ – 1}}{b^2}} \right)}}{{{a^{ – 2}}b{{\left( {{a^{ – 2}}{b^{ – 1}}} \right)}^3}}}.$
a) Chứng minh $M$ không phụ thuộc vào $b.$
b) Tính giá trị của $M$ khi $a = 2.$
Vấn đề 2: So sánh các lũy thừa hay căn số.
1. PHƯƠNG PHÁP:
So sánh hai lũy thừa có cùng cơ số $a$ ta áp dụng kết quả sau:
+ Với $a > 1$ thì ${a^{{x_1}}} > {a^{{x_2}}} \Leftrightarrow {x_1} > {x_2}.$
+ Với $0 < a < 1$ thì ${a^{{x_1}}} > {a^{{x_2}}} \Leftrightarrow {x_1} < {x_2}.$
So sánh hai lũy thừa có cùng số mũ $x$, ta áp dụng kết quả sau:
Với $a,b \ne 1$ và $0 < {b^x} < {a^x}$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x > 0 \Leftrightarrow {b^x} < {a^x}}\\
{x < 0 \Leftrightarrow {b^x} > {a^x}}
\end{array}} \right..$
Với các biểu thức chứa căn, ta cần đưa về các căn cùng bậc.
2. VÍ DỤ:
Ví dụ: Hãy so sánh các số $m$ và $n$ sau:
a. $m = \sqrt {42} $ và $n = \sqrt[3]{{51}}.$
b. $m = {16^{\sqrt 3 }}$ và $n = {4^{3\sqrt 2 }}.$
c. $m = {(0,2)^{\sqrt {16} }}$ và $n = {(0,2)^{\sqrt[3]{{60}}}}.$
d. ${2^m} > 1$ và ${5^n} < 1.$
a. Ta có: $m = \sqrt {42} = \sqrt[6]{{{{42}^3}}} > \sqrt[6]{{{{40}^3}}}$ và $n = \sqrt[3]{{51}} = \sqrt[6]{{{{51}^2}}} < \sqrt[6]{{{{60}^2}}}.$
Mà ${40^3} = 64000 > 3600 = {60^2}$ nên $m > n.$
b. Ta có: $m = {16^{\sqrt 3 }} = {\left( {{4^2}} \right)^{\sqrt 3 }}$ $ = {4^{2\sqrt 3 }} = {4^{\sqrt {12} }}$ và $n = {4^{3\sqrt 2 }} = {4^{\sqrt {18} }}.$
Mà cơ số $a = 4>1$, $12< 18$ nên $m < n.$
c. Ta có: $m = {(0,2)^{\sqrt {16} }} = {(0,2)^4} = {(0,2)^{\sqrt[3]{{64}}}}$, mà $\sqrt[3]{{64}} > \sqrt[3]{{60}}$ và $a = 0,2 < 1$ nên ${(0,2)^{\sqrt {16} }} < {(0,2)^{\sqrt[3]{{60}}}}$ hay $m<n.$
d. Ta có: ${2^m} > 1 = {2^0} \Rightarrow m > 0$, ${5^n} < 1 = {5^0} \Rightarrow n < 0.$ Vậy $m > n.$
3. BÀI TẬP:
1. So sánh các số sau:
a. ${\left( {\sqrt 3 } \right)^{ – \frac{5}{6}}}$ và $\sqrt[3]{{{5^{ – 1}}\sqrt[4]{{\frac{1}{5}}}}}.$
b. ${3^{600}}$ và ${5^{400}}.$
c. ${\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ – \frac{6}{7}}}$ và $\sqrt 2 {.2^{\frac{3}{{14}}}}.$
d. ${7^{30}}$ và ${4^{40}}.$
2. So sánh hai số sau:
a. $m = {\left( {\frac{3}{7}} \right)^{ – 111}}$ và $n = {\left( {\frac{4}{9}} \right)^{ – 111}}.$
b. $m = {\left( {\frac{\pi }{2}} \right)^{\sqrt 2 }}$ và $n = {\left( {\frac{\pi }{5}} \right)^{ – \sqrt 3 }}.$
Vấn đề 3: Chứng minh một đẳng thức, bất đẳng thức.
1. PHƯƠNG PHÁP:
Biến đổi vế trái (hoặc vế phải) của biểu thức để trở về với biểu thức vế bên kia. Trong nhiều trường hợp ta biến đổi cả hai vế của đẳng thức này về cùng một biểu thức trung gian. Để làm được điều đó ta sử dụng các định nghĩa, tính chất của hàm số lũy thừa và căn thức.
Khi chứng minh các bất đẳng thức ta cần chú ý đến cơ số của lũy thừa so với số $1.$
2. VÍ DỤ:
Ví dụ 1: Cho $a$, $b$, $c > 0$ thỏa $a + b = c.$ Chứng minh:
a) ${a^m} + {b^m} > {c^m}$ nếu $0 < m < 1.$
b) ${a^m} + {b^m} < {c^m}$ nếu $m>1.$
a) ${a^m} + {b^m} > {c^m}$ nếu $0 < m < 1.$
Vì $a$, $b$, $c$ đều dương nên ta có:
$c>a$, $c>b$ và $\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = 1 \Rightarrow 0 < \frac{a}{c} < 1$, $0 < \frac{b}{c} < 1.$
Do đó khi $0 < m < 1$ ta có:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{{\left( {\frac{a}{c}} \right)}^m} > \frac{a}{c}}\\
{{{\left( {\frac{b}{c}} \right)}^m} > \frac{b}{c}}
\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \frac{{{a^m}}}{{{c^m}}} + \frac{{{b^m}}}{{{c^m}}} > \frac{a}{c} + \frac{b}{c} = 1.$
Vậy khi $0 < m < 1$ ta luôn có ${a^m} + {b^m} > {c^m}.$
b) ${a^m} + {b^m} < {c^m}$ nếu $m > 1.$
Vì $a$, $b$, $c > 0$ nên ta có:
$c > a$, $c > b$ và $\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = 1$ $ \Rightarrow 0 < \frac{a}{c} < 1$, $0 < \frac{b}{c} < 1.$
Do đó khi $m > 1$, ta có:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{0 < {{\left( {\frac{a}{c}} \right)}^m} < \frac{a}{c}}\\
{0 < {{\left( {\frac{b}{c}} \right)}^m} < \frac{b}{c}}
\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow {\left( {\frac{a}{c}} \right)^m} + {\left( {\frac{b}{c}} \right)^m} < \frac{a}{c} + \frac{b}{c} = 1.$
Vậy với mọi $m>1$ ta luôn có: ${a^m} + {b^m} < {c^m}.$
Ví dụ 2: Chứng minh với các số $a$, $b$, $x$, $y$ thỏa $a>0$, $b > 0$, $x >y>0$ ta luôn có: ${\left( {{a^x} + {b^x}} \right)^y} < {\left( {{a^y} + {b^y}} \right)^x}$ $(*).$
Vì $a, b > 0$ nên không mất tính tổng quát ta có thể giả sử $a \ge b.$
Khi đó đặt $t = \frac{b}{a}$, ta có $0 < t \le 1.$
Ta có: ${\left( {{a^x} + {b^x}} \right)^y} < {\left( {{a^y} + {b^y}} \right)^x}$ $ \Leftrightarrow {a^{xy}}{\left[ {1 + {{\left( {\frac{b}{a}} \right)}^x}} \right]^y} < {a^{xy}}{\left[ {1 + {{\left( {\frac{b}{a}} \right)}^y}} \right]^x}$ $ \Leftrightarrow {\left[ {1 + {t^x}} \right]^y} < {\left[ {1 + {t^y}} \right]^x}$ $(**).$
Ta có: $0 < t \le 1$ và $x > y \Rightarrow {t^x} \le {t^y}$ $ \Rightarrow 1 < 1 + {t^x} \le 1 + {t^y}$ mà $y > 0.$
Suy ra ${\left( {1 + {t^x}} \right)^y} \le {\left( {1 + {t^y}} \right)^y}$ $(1).$
Mà $1 + {t^y} > 1$ và $0 < y < x$ nên ${\left( {1 + {t^y}} \right)^y} < {\left( {1 + {t^y}} \right)^x}$ $(2).$
Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra ${\left( {1 + {t^x}} \right)^y} < {\left( {1 + {t^y}} \right)^x}.$
Vậy $(**)$ đúng, do đó $(*)$ được chứng minh.
Ví dụ 3: Chứng minh bất đẳng thức: $\forall x \in R$, ta có ${2^{\sin x}} + {2^{\cos x}} \ge {2^{1 – \frac{1}{{\sqrt 2 }}}}.$ Khi nào thì dấu đẳng thức xảy ra?
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số ${2^{\sin x}}$ và ${2^{\cos x}}$ ta có:
${2^{\sin x}} + {2^{\cos x}} \ge 2\sqrt {{2^{\sin x}}{{.2}^{\cos x}}} $ $ = 2\sqrt {{2^{\sin x + \cos x}}} = {2.2^{\frac{{\sin x + \cos x}}{2}}}$ $(*).$
Do $\sin x + \cos x$ $ = \sqrt 2 \cos \left( {x – \frac{\pi }{4}} \right) \ge – \sqrt 2 $ và $2>1$ nên ${2^{\frac{{\sin x + \cos x}}{2}}} \ge {2^{ – \frac{{\sqrt 2 }}{2}}}.$
Suy ra ${2.2^{\frac{{\sin x + \cos x}}{2}}} \ge {2.2^{ – \frac{{\sqrt 2 }}{2}}}$ $(**).$
Từ $(*)$ và $(**)$ ta suy ra: ${2^{\sin x}} + {2^{\cos x}} \ge {2^{1 – \frac{{\sqrt 2 }}{2}}}.$
Dấu bằng xảy ra $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{2^{\sin x}} = {2^{\cos x}}}\\
{\cos \left( {x – \frac{\pi }{4}} \right) = – 1}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \sin x = \cos x = – \frac{{\sqrt 2 }}{2}$ $ \Leftrightarrow x = \frac{{5\pi }}{4} + k2\pi .$
Vậy dấu đẳng thức xảy ra $ \Leftrightarrow x = \frac{{5\pi }}{4} + k2\pi .$
Ví dụ 4: Cho $x$, $y$, $z$ thỏa mãn: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1$ và $a{x^3} = b{y^3} = c{z^3}.$
a) Rút gọn biểu thức $A = a{x^2} + b{y^2} + c{z^2}.$
b) Chứng minh rằng: $A = {\left( {\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{c}} \right)^3}.$
a) Rút gọn biểu thức $A = a{x^2} + b{y^2} + c{z^2}.$
Ta có: $A = a{x^2} + b{y^2} + c{z^2}$ $ = \frac{{a{x^3}}}{x} + \frac{{b{y^3}}}{y} + \frac{{c{z^3}}}{z}$ $ = \frac{{a{x^3}}}{x} + \frac{{a{x^3}}}{y} + \frac{{a{x^3}}}{z}$ $ = a{x^3}\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right)$ (vì $a{x^3} = b{y^3} = c{z^3}$).
Mà $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1$ nên ta có $A = a{x^3}.$
b) Ta có:
${\left( {\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{c}} \right)^3}$ $ = {\left( {\frac{{\sqrt[3]{{a{x^3}}}}}{x} + \frac{{\sqrt[3]{{b{y^3}}}}}{y} + \frac{{\sqrt[3]{{c{z^3}}}}}{z}} \right)^3}$ $ = a{x^3}{\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right)^3} = a{x^3}$ (vì $a{x^3} = b{y^3} = c{z^3}$).
Mà theo câu a ta có: $A = a{x^3}.$
Do đó: $A = {\left( {\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{c}} \right)^3}.$
3. BÀI TẬP:
1. Cho $a$, $b$, $c > 0$ thỏa mãn ${a^2} = {b^2} + {c^2}.$ Chứng minh:
a) ${a^m} > {b^m} + {c^m}$ nếu $m > 2.$
b) ${a^m} < {b^m} + {c^m}$ nếu $m < 2.$
2. Chứng minh bất đẳng thức: ${2^{2\sin x}} + {2^{\tan x}} > {2^{\frac{{3x}}{2} + 1}}$ với mọi $x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right).$
3. Cho biểu thức $A = \left( {{9^a} – {{4.3}^a} + 1} \right)a + \left( {{a^2} + 1} \right){3^a}.$ Chứng minh rằng $A>0$ khi $a>0.$
4. Cho $a \ge 0$, $b \ge 0$, $m > n > 0.$ Chứng minh: ${\left( {{a^m} + {b^m}} \right)^{\frac{1}{m}}} \le {\left( {{a^n} + {b^n}} \right)^{\frac{1}{n}}}.$
5. Cho $a \ge b > 0.$ Chứng minh ${\left( {{2^a} + \frac{1}{{{2^a}}}} \right)^b} < {\left( {{2^b} + \frac{1}{{{2^b}}}} \right)^a}.$
Vấn đề 4: Giải phương trình chứa lũy thừa.
1. PHƯƠNG PHÁP:
Giải phương trình lũy thừa là dùng các tính chất của lũy thừa hoặc đặt ẩn phụ để biến đổi phương trình đã cho về dạng các phương trình bậc nhất, bậc hai, bậc ba …
Cần nắm các tính chất sau:
+ Với $a \ne 0$ và $n$ nguyên dương thì: ${a^0} = 1$ (lưu ý: ${0^0}$ không có nghĩa).
+ Với $a \ne 0$ và $n$ nguyên dương thì: ${a^{ – n}} = \frac{1}{{{a^n}}}$ (lưu ý: ${0^{ – n}}$ không có nghĩa).
+ Với mọi số thực $a$, $b$ khác $0$ và $m,n \in Z$ ta luôn có:
1. ${a^m}.{a^n} = {a^{m + n}}.$
2. $\frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{m – n}}.$
3. ${\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{mn}}.$
4. ${(ab)^n} = {a^n}{b^n}.$
5. ${\left( {\frac{a}{b}} \right)^n} = \frac{{{a^n}}}{{{b^n}}}.$
Lưu ý: Không được đồng nhất: $\sqrt[n]{x}$ với ${x^{\frac{1}{n}}}.$
2. CÁC VÍ DỤ:
Ví dụ 1: Giải phương trình sau: $\sqrt[3]{{\frac{{1 + x}}{2}}} + \sqrt {\frac{{1 – x}}{2}} = 1$ $(1).$
Đặt $u = \sqrt[3]{{\frac{{1 + x}}{2}}}$, $v = \sqrt {\frac{{1 – x}}{2}} $ với $v \ge 0.$
$(1) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{v \ge 0}\\
{u + v = 1}\\
{{u^3} + {v^2} = 1}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{v \ge 0}\\
{v = 1 – u}\\
{{u^3} + {{(1 – u)}^2} = 1}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{v \ge 0}\\
{v = 1 – u}\\
{{u^3} + {u^2} – 2u + 1 = 1}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{v \ge 0}\\
{v = 1 – u}\\
{{u^3} + {u^2} – 2u = 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{u = 0}\\
{v = 1}
\end{array}} \right.}\\
{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{u = 1}\\
{v = 0}
\end{array}} \right.}\\
{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{u = – 2}\\
{v = 3}
\end{array}} \right.}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 1}\\
{x = 1}\\
{x = – 17}
\end{array}} \right..$
Vậy phương trình $(1)$ có nghiệm là ${x_1} = – 1$, ${x_2} = 1$, ${x_3} = – 17.$
Ví dụ 2: Giải phương trình sau: $\sqrt[4]{{{x^3}}} + 2\sqrt x – 8{x^{\frac{1}{4}}} = 0$ $(1).$
Điều kiện: $x>0.$
Ta có: $(1) \Leftrightarrow \sqrt[4]{{{x^3}}} + 2\sqrt[4]{{{x^2}}} – 8\sqrt[4]{x} = 0.$
Đặt $\sqrt[4]{x} = t > 0$, ta có $(1)$ trở thành ${t^3} + 2{t^2} – 8t = 0.$ Suy ra $t=2.$
$ \Leftrightarrow \sqrt[4]{x} = 2 \Leftrightarrow x = 16.$
Vậy nghiệm của phương trình là: $x = 16.$
Ví dụ 3: Giải phương trình sau: ${x^3} + 8 = 16\sqrt[3]{{x – 1}}.$
Ta có: ${x^3} + 8 = 8\sqrt[3]{{8x – 8}}$ $(1).$
Đặt $t = \sqrt[3]{{8x – 8}}.$ Ta được:
$(1) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x^3} + 8 = 8t}\\
{8x – 8 = {t^3}}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x^3} + 8 = 8t\:(2)}\\
{{t^3} – {x^3} = 8(x – t)\:(3)}
\end{array}} \right.$
Ta có $(3) \Leftrightarrow (t – x)\left( {{t^2} + tx + {x^2}} \right) = 8(x – t).$
$ \Leftrightarrow (t – x)\left( {{t^2} + tx + {x^2} + 8} \right) = 0.$
$ \Leftrightarrow t = x$ (vì ${t^2} + tx + {x^2} + 8 > 0$ với mọi $x$, $t$).
Thay vào $(2)$ ta được:
$x = \sqrt[3]{{8x – 8}}$ $ \Leftrightarrow {x^3} – 8x + 8 = 0$ $ \Leftrightarrow (x – 2)\left( {{x^2} + 2x – 4} \right) = 0.$
$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_1} = 1}\\
{{x^2} + 2x – 4 = 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_1} = 1}\\
{{x_2} = – 1 + \sqrt 5 }\\
{{x_3} = – 1 – \sqrt 5 }
\end{array}} \right..$
Vậy phương trình $(1)$ có nghiệm $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_1} = 1}\\
{{x_2} = – 1 + \sqrt 5 }\\
{{x_3} = – 1 – \sqrt 5 }
\end{array}} \right..$
3. BÀI TẬP:
1. Giải các phương trình sau:
a. $\frac{{{x^{ – \frac{3}{2}}}}}{{{x^{\frac{1}{2}}}}} = 16.$
b. ${(3x – 1)^{\frac{2}{3}}} = 4.$
c. ${x^5} = 16{x^3}.$
d. $\sqrt[3]{{{x^2}}} = 16.$
2. Giải phương trình: $\sqrt[4]{{16{x^2}}} + 5\sqrt[4]{x} – 7 = 0.$
3. Giải các phương trình sau:
a. $\sqrt x + \sqrt[4]{x} = 2.$
b. $\sqrt x – 3\sqrt[4]{x} + 2 = 0.$
4. Giải phương trình: $2\sqrt[3]{{3x – 2}} + 3\sqrt {6 – 5x} – 8 = 0.$
5. Tìm các số thực $x$ thỏa mãn điều kiện sau:
a. ${a^{x + 2}} + {a^{2 – x}} = {a^4} + 1$ $(a > 0).$
b. ${3^{|x|}} < 27.$
