Bài viết trình bày lí thuyết và phương pháp giải các dạng toán liên quan đến hàm số lượng giác trong chương trình Đại số và Giải tích 11.
A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT
I. CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
1. Các hằng đẳng thức:
${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1$ với mọi $\alpha .$
$\tan \alpha .\cot \alpha = 1$ với mọi $\alpha \ne \frac{{k\pi }}{2}.$
$1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}$ với mọi $\alpha \ne k2\pi .$
$1 + {\cot ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}$ với mọi $\alpha \ne k\pi .$
2. Hệ thức các cung đặc biệt:
a. Hai cung đối nhau: $\alpha $ và $ – \alpha .$
$\cos ( – \alpha ) = \cos \alpha .$
$\sin ( – \alpha ) = – \sin \alpha .$
$\tan ( – \alpha ) = – \tan \alpha .$
$\cot ( – \alpha ) = – \cot \alpha .$
b. Hai cung phụ nhau: $\alpha $ và $\frac{\pi }{2} – \alpha .$
$\cos \left( {\frac{\pi }{2} – \alpha } \right) = \sin \alpha .$
$\sin \left( {\frac{\pi }{2} – \alpha } \right) = \cos \alpha .$
$\tan \left( {\frac{\pi }{2} – \alpha } \right) = \cot \alpha .$
$\cot \left( {\frac{\pi }{2} – \alpha } \right) = \tan \alpha .$
c. Hai cung bù nhau: $\alpha $ và $\pi – \alpha .$
$\sin (\pi – \alpha ) = \sin \alpha .$
$\cos (\pi – \alpha ) = – \cos \alpha .$
$\tan (\pi – \alpha ) = – \tan \alpha .$
$\cot (\pi – \alpha ) = – \cot \alpha .$
d. Hai cung hơn kém nhau $\pi $: $\alpha $ và $\pi + \alpha .$
$\sin (\pi + \alpha ) = – \sin \alpha .$
$\cos (\pi + \alpha ) = – \cos \alpha .$
$\tan (\pi + \alpha ) = \tan \alpha .$
$\cot (\pi + \alpha ) = \cot \alpha .$
3. Các công thức lượng giác:
a. Công thức cộng:
$\cos (a \pm b) = \cos a.\cos b \pm \sin a.\sin b.$
$\sin (a \pm b) = \sin a.\cos b \pm \cos a.\sin b.$
$\tan (a \pm b) = \frac{{\tan a \pm \tan b}}{{1 \pm \tan a.\tan b}}.$
b. Công thức nhân:
$\sin 2a = 2\sin a\cos a.$
$\cos 2a = {\cos ^2}a – {\sin ^2}a$ $ = 1 – 2{\sin ^2}a = 2{\cos ^2}a – 1.$
$\sin 3a = 3\sin a – 4{\sin ^3}a.$
$\cos 3a = 4{\cos ^3}a – 3\cos a.$
c. Công thức hạ bậc:
${\sin ^2}a = \frac{{1 – \cos 2a}}{2}.$
${\cos ^2}a = \frac{{1 + \cos 2a}}{2}.$
${\tan ^2}a = \frac{{1 – \cos 2a}}{{1 + \cos 2a}}.$
d. Công thức biến đổi tích thành tổng:
$\cos a.\cos b = \frac{1}{2}[\cos (a – b) + \cos (a + b)].$
$\sin a.\sin b = \frac{1}{2}[\cos (a – b) – \cos (a + b)].$
$\sin a.\cos b = \frac{1}{2}[\sin (a – b) + \sin (a + b)].$
e. Công thức biến đổi tổng thành tích:
$\cos a + \cos b = 2\cos \frac{{a + b}}{2}.\cos \frac{{a – b}}{2}.$
$\cos a – \cos b = – 2\sin \frac{{a + b}}{2}.\sin \frac{{a – b}}{2}.$
$\sin a + \sin b = 2\sin \frac{{a + b}}{2}.\cos \frac{{a – b}}{2}.$
$\sin a – \sin b = 2\cos \frac{{a + b}}{2}.\sin \frac{{a – b}}{2}.$
$\tan a + \tan b = \frac{{\sin (a + b)}}{{\cos a\cos b}}.$
$\tan a – \tan b = \frac{{\sin (a – b)}}{{\cos a\cos b}}.$
II. TÍNH TUẦN HOÀN CỦA HÀM SỐ
Định nghĩa: Hàm số $y = f(x)$ xác định trên tập $D$ được gọi là hàm số tuần hoàn nếu có số $T \ne 0$ sao cho với mọi $x \in D$ ta có: $x \pm T \in D$ và $f(x + T) = f(x)$. Nếu có số $T$ dương nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên thì hàm số đó được gọi là hàm số tuần hoàn với chu kì $T.$
III. CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
1. Hàm số $y = \sin x.$
Tập xác định: $D = R.$
Tập giá trị: $[ – 1;1]$, tức là $ – 1 \le \sin x \le 1$, $\forall x \in R.$
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $\left( { – \frac{\pi }{2} + k2\pi ;\frac{\pi }{2} + k2\pi } \right)$, nghịch biến trên mỗi khoảng $\left( {\frac{\pi }{2} + k2\pi ;\frac{{3\pi }}{2} + k2\pi } \right).$
Hàm số $y = \sin x$ là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ $O$ làm tâm đối xứng.
Hàm số $y = \sin x$ là hàm số tuần hoàn với chu kì $T = 2\pi .$
Đồ thị hàm số $y = \sin x.$
2. Hàm số $y = \cos x.$
Tập xác định: $D = R.$
Tập giá trị: $[ – 1;1]$, tức là $ – 1 \le \cos x \le 1$, $\forall x \in R.$
Hàm số $y = \cos x$ nghịch biến trên mỗi khoảng $(k2\pi ;\pi + k2\pi )$, đồng biến trên mỗi khoảng $( – \pi + k2\pi ;k2\pi ).$
Hàm số $y = \cos x$ là hàm số chẵn nên đồ thị hàm số nhận trục $Oy$ làm trục đối xứng.
Hàm số $y = \cos x$ là hàm số tuần hoàn với chu kì $T = 2\pi .$
Đồ thị hàm số $y = \cos x$: Đồ thị hàm số $y = \cos x$ bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số $y = \sin x$ theo véctơ $\overrightarrow v = \left( { – \frac{\pi }{2};0} \right).$
3. Hàm số $y = \tan x.$
Tập xác định: $D = R\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in Z} \right\}.$
Tập giá trị: $R.$
Hàm số $y = \tan x$ là hàm số lẻ.
Hàm số $y = \tan x$ là hàm số tuần hoàn với chu kì $T = \pi .$
Hàm số $y = \tan x$ đồng biến trên mỗi khoảng $\left( { – \frac{\pi }{2} + k\pi ;\frac{\pi }{2} + k\pi } \right).$
Đồ thị nhận mỗi đường thẳng $x = \frac{\pi }{2} + k\pi $, $k \in Z$ làm một đường tiệm cận.
Đồ thị:
4. Hàm số $y = \cot x.$
Tập xác định: $D = R\backslash \{ k\pi ,k \in Z\} .$
Tập giá trị: $R.$
Hàm số $y = \cot x$ là hàm số lẻ.
Hàm số $y = \cot x$ là hàm số tuần hoàn với chu kì $T = \pi .$
Hàm số $y = \cot x$ nghịch biến trên mỗi khoảng $(k\pi ;\pi + k\pi ).$
Đồ thị hàm số $y = \cot x$ nhận mỗi đường thẳng $x = k\pi $, $k \in Z$ làm một đường tiệm cận.
Đồ thị:
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Vấn đề 1. Tập xác định và tập giá trị của hàm số lượng giác.
I. PHƯƠNG PHÁP
Hàm số $y = \sqrt {f(x)} $ có nghĩa $ \Leftrightarrow f(x) \ge 0$ và $f(x)$ tồn tại.
Hàm số $y = \frac{1}{{f(x)}}$ có nghĩa $ \Leftrightarrow f(x) \ne 0$ và $f(x)$ tồn tại.
$\sin u(x) \ne 0 \Leftrightarrow u(x) \ne k\pi $, $k \in Z.$
$\cos u(x) \ne 0 \Leftrightarrow u(x) \ne \frac{\pi }{2} + k\pi $, $k \in Z.$
$ – 1 \le \sin x,\cos x \le 1.$
II. CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1. Tìm tập xác định của hàm số sau:
1. $y = \tan \left( {x – \frac{\pi }{6}} \right).$
2. $y = {\cot ^2}\left( {\frac{{2\pi }}{3} – 3x} \right).$
1. Điều kiện: $\cos \left( {x – \frac{\pi }{6}} \right) \ne 0$ $ \Leftrightarrow x – \frac{\pi }{6} \ne \frac{\pi }{2} + k\pi $ $ \Leftrightarrow x \ne \frac{{2\pi }}{3} + k\pi .$
Tập xác định: $D = R\backslash \left\{ {\frac{{2\pi }}{3} + k\pi ,k \in Z} \right\}.$
2. Điều kiện: $\sin \left( {\frac{{2\pi }}{3} – 3x} \right) \ne 0$ $ \Leftrightarrow \frac{{2\pi }}{3} – 3x \ne k\pi $ $ \Leftrightarrow x \ne \frac{{2\pi }}{9} – k\frac{\pi }{3}.$
Tập xác định: $D = R\backslash \left\{ {\frac{{2\pi }}{9} – k\frac{\pi }{3},k \in Z} \right\}.$
Ví dụ 2. Tìm tập xác định của hàm số sau:
1. $y = \frac{{\tan 2x}}{{\sin x + 1}} + \cot \left( {3x + \frac{\pi }{6}} \right).$
2. $y = \frac{{\tan 5x}}{{\sin 4x – \cos 3x}}.$
1. Điều kiện: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\sin x \ne – 1}\\
{\sin \left( {3x + \frac{\pi }{6}} \right) \ne 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x \ne – \frac{\pi }{2} + k2\pi }\\
{x \ne – \frac{\pi }{{18}} + \frac{{n\pi }}{3}}
\end{array}} \right..$
Vậy tập xác định: $D = R\backslash \left\{ { – \frac{\pi }{2} + k2\pi , – \frac{\pi }{{18}} + \frac{{n\pi }}{3}\:\left( {k,n \in Z} \right)} \right\}.$
2. Ta có: $\sin 4x – \cos 3x$ $ = \sin 4x – \sin \left( {\frac{\pi }{2} – 3x} \right)$ $ = 2\cos \left( {\frac{x}{2} + \frac{\pi }{4}} \right)\sin \left( {\frac{{7x}}{2} – \frac{\pi }{4}} \right).$
Điều kiện: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\cos 5x \ne 0}\\
{\cos \left( {\frac{x}{2} + \frac{\pi }{4}} \right) \ne 0}\\
{\sin \left( {\frac{{7x}}{2} – \frac{\pi }{4}} \right) \ne 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x \ne \frac{\pi }{{10}} + k\frac{\pi }{5}}\\
{x \ne \frac{\pi }{2} + n2\pi }\\
{x \ne – \frac{\pi }{{14}} + \frac{{n2\pi }}{7}}
\end{array}} \right..$
Vậy tập xác định: $D = R\backslash \left\{ {\frac{\pi }{{10}} + \frac{{k\pi }}{5},\frac{\pi }{2} + n2\pi , – \frac{\pi }{{14}} + \frac{{2m\pi }}{7}\:\left( {k,n,m \in Z} \right)} \right\}.$
III. CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1. Tìm tập xác định của hàm số sau:
1. $y = \frac{{1 – \sin 2x}}{{\cos 3x – 1}}.$
2. $y = \sqrt {\frac{{1 + {{\cot }^2}x}}{{1 – \sin 3x}}} .$
1. Điều kiện: $\cos 3x – 1 \ne 0$ $ \Leftrightarrow \cos 3x \ne 1$ $ \Leftrightarrow x \ne k\frac{{2\pi }}{3}$, $k \in Z.$
Tập xác định: $D = R\backslash \left\{ {k\frac{{2\pi }}{3},k \in Z} \right\}.$
2. Điều kiện: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x \ne k\pi }\\
{\sin 3x \ne 1}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x \ne k\pi }\\
{x \ne \frac{\pi }{6} + n\frac{{2\pi }}{3}}
\end{array}} \right..$
Vậy tập xác định: $D = R\backslash \left\{ {k\pi ,\frac{\pi }{6} + \frac{{n2\pi }}{3};k,n \in Z} \right\}.$
Bài 2. Tìm tập xác định của hàm số sau:
1. $y = \frac{1}{{\sin 2x – \cos 3x}}.$
2. $y = \frac{{\cot x}}{{2\sin x – 1}}.$
1. Điều kiện: $\sin 2x – \cos 3x \ne 0$ $ \Leftrightarrow \cos \frac{{5x}}{2}.\sin \frac{x}{2} \ne 0.$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\cos \frac{{5x}}{2} \ne 0}\\
{\sin \frac{x}{2} \ne 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{{5x}}{2} \ne \frac{\pi }{2} + k2\pi }\\
{\frac{x}{2} \ne k\pi }
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x \ne \frac{\pi }{5} + k\frac{{4\pi }}{5}}\\
{x \ne k2\pi }
\end{array}} \right..$
Tập xác định: $D = R\backslash \left\{ {\frac{\pi }{5} + k\frac{{4\pi }}{5},k2\pi ;k \in Z} \right\}.$
2. Điều kiện: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x \ne k\pi }\\
{\sin x – \frac{1}{2} \ne 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x \ne k\pi }\\
{\sin x – \sin \frac{\pi }{6} \ne 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x \ne k\pi }\\
{2\cos \left( {\frac{x}{2} + \frac{\pi }{{12}}} \right)\sin \left( {\frac{x}{2} – \frac{\pi }{{12}}} \right) \ne 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x \ne k\pi }\\
{x \ne \frac{\pi }{6} + k2\pi }\\
{x \ne \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi }
\end{array}} \right..$
Tập xác định: $D = R\backslash \left\{ {k\pi ,\frac{\pi }{6} + k2\pi ,\frac{{5\pi }}{6} + k2\pi ;k \in Z} \right\}.$
Bài 3. Tìm tập xác định của hàm số sau:
1. $y = \frac{{\sin 3x}}{{\sin 8x – \sin 5x}}.$
2. $y = \frac{{\tan 4x}}{{\cos 4x + \sin 3x}}.$
1. Điều kiện: $\sin 8x – \sin 5x \ne 0$ $ \Leftrightarrow 2\cos \frac{{13x}}{2}\sin \frac{{3x}}{2} \ne 0$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{{13x}}{2} \ne \frac{\pi }{2} + k\pi }\\
{\frac{{3x}}{2} \ne n\pi }
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x \ne \frac{\pi }{{13}} + k\frac{{2\pi }}{{13}}}\\
{x \ne \frac{{2n\pi }}{3}}
\end{array}} \right..$
Tập xác định: $D = R\backslash \left\{ {\frac{\pi }{{13}} + k\frac{{2\pi }}{{13}},\frac{{2n\pi }}{3};k,n \in Z} \right\}.$
2. Điều kiện: $\cos 4x + \sin 3x \ne 0$ $ \Leftrightarrow \cos 4x + \cos \left( {\frac{\pi }{2} – 3x} \right) \ne 0$ $ \Leftrightarrow 2\cos \left( {\frac{\pi }{4} + \frac{x}{2}} \right)\cos \left( {\frac{{7x}}{2} – \frac{\pi }{4}} \right) \ne 0$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x \ne \frac{\pi }{2} + k2\pi }\\
{x \ne \frac{{3\pi }}{{14}} + n\frac{{4\pi }}{7}}
\end{array}} \right..$
Tập xác định: $D = R\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k2\pi ,\frac{{3\pi }}{{14}} + n\frac{{4\pi }}{7};k,n \in Z} \right\}.$
Vấn đề 2. Tính chất của hàm số lượng giác và đồ thị hàm số lượng giác.
I. PHƯƠNG PHÁP
Cho hàm số $y = f(x)$ tuần hoàn với chu kì $T.$
Để khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số, ta chỉ cần khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên một đoạn có độ dài bằng $T$ sau đó ta tịnh tiến theo các véc tơ $k.\overrightarrow v $ (với $\overrightarrow v = (T;0)$, $k \in Z$) ta được toàn bộ đồ thị của hàm số.
Số nghiệm của phương trình $f(x) = k$, (với $k$ là hằng số) chính bằng số giao điểm của hai đồ thị $y = f(x)$ và $y = k.$
Nghiệm của bất phương trình $f(x) \ge 0$ là miền $x$ mà đồ thị hàm số $y = f(x)$ nằm trên trục $Ox.$
Chú ý:
Hàm số $f(x) = a\sin ux + b\cos vx + c$ (với $u,v \in Z$) là hàm số tuần hoàn với chu kì $T = \frac{{2\pi }}{{|(u,v)|}}$ ($(u,v)$ là ước chung lớn nhất).
Hàm số $f(x) = a\tan ux + b\cot vx + c$ (với $u,v \in Z$) là hàm tuần hoàn với chu kì $T = \frac{\pi }{{|(u,v)|}}.$
II. CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1. Xét tính tuần hoàn và tìm chu kì cơ sở của các hàm số $f(x) = \cos \frac{{3x}}{2}.\cos \frac{x}{2}.$
Ta có: $f(x) = \frac{1}{2}(\cos x + \cos 2x)$ suy ra hàm số tuần hoàn với chu kì cơ sở ${T_0} = 2\pi .$
Ví dụ 2. Xét tính tuần hoàn và tìm chu kì cơ sở (nếu có) của các hàm số sau.
1. $f(x) = \cos x + \cos (\sqrt 3 x).$
2. $f(x) = \sin {x^2}.$
1. Giả sử hàm số đã cho tuần hoàn $ \Rightarrow $ có số thực dương $T$ thỏa mãn:
$f(x + T) = f(x)$ $ \Leftrightarrow \cos (x + T) + \cos \sqrt 3 (x + T)$ $ = \cos x + \cos \sqrt 3 x.$
Cho $x = 0$ $ \Rightarrow \cos T + \cos \sqrt 3 T = 2$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\cos T = 1}\\
{\cos \sqrt 3 T = 1}
\end{array}} \right..$
$ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{T = 2n\pi }\\
{\sqrt 3 T = 2m\pi }
\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \sqrt 3 = \frac{m}{n}$ vô lí, do $m,n \in Z \Rightarrow \frac{m}{n}$ là số hữu tỉ.
Vậy hàm số đã cho không tuần hoàn.
2. Giả sử hàm số đã cho là hàm số tuần hoàn.
$ \Rightarrow \exists T > 0$: $f(x + T) = f(x)$ $ \Leftrightarrow \sin {(x + T)^2} = \sin {x^2}$, $\forall x \in R.$
Cho $x = 0$ $ \Rightarrow \sin {T^2} = 0$ $ \Leftrightarrow {T^2} = k\pi $ $ \Rightarrow T = \sqrt {k\pi } $ $ \Rightarrow f(x + \sqrt {k\pi } ) = f(x)$, $\forall x \in R.$
Cho $x = \sqrt {2k\pi } $ ta có: $f(\sqrt {2k\pi } ) = \sin {(\sqrt {k2\pi } )^2}$ $ = \sin (k2\pi ) = 0.$
$f(x + \sqrt {k\pi } ) = \sin {(\sqrt {k2\pi } + \sqrt {k\pi } )^2}$ $ = \sin (3k\pi + 2k\pi \sqrt 2 ) = \pm \sin (2k\pi \sqrt 2 )$ $ \Rightarrow f(x + \sqrt {k\pi } ) \ne 0.$
Vậy hàm số đã cho không phải là hàm số tuần hoàn.
Ví dụ 3. Cho $a$, $b$, $c$, $d$ là các số thực khác $0.$ Chứng minh rằng hàm số $f(x) = a\sin cx + b\cos dx$ là hàm số tuần hoàn khi và chỉ khi $\frac{c}{d}$ là số hữu tỉ.
Giả sử $f(x)$ là hàm số tuần hoàn $ \Rightarrow \exists T > 0$: $f(x + T) = f(x)$, $\forall x.$
Cho $x = 0$, $x = – T$ $ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a\sin cT + b\cos dT = b}\\
{ – a\sin cT + b\cos dT = b}
\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\cos dT = 1}\\
{\sin cT = 0}
\end{array}} \right..$
$ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{dT = 2n\pi }\\
{cT = m\pi }
\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \frac{c}{d} = \frac{m}{{2n}} \in Q.$
Giả sử $\frac{c}{d} \in Q$ $ \Rightarrow \exists k,l \in Z$: $\frac{c}{d} = \frac{k}{l}.$
Đặt $T = \frac{{2\pi k}}{c} = \frac{{2l\pi }}{d}.$
Ta có: $f(x + T) = f(x)$, $\forall x \in R \Rightarrow f(x)$ là hàm số tuần hoàn với chu kì $T = \frac{{2\pi k}}{c} = \frac{{2l\pi }}{d}.$
Ví dụ 4. Cho hàm số $y = f(x)$ và $y = g(x)$ là hai hàm số tuần hoàn với chu kỳ lần lượt là ${T_1}$, ${T_2}.$ Chứng minh rằng nếu $\frac{{{T_1}}}{{{T_2}}}$ là số hữu tỉ thì các hàm số $f(x) \pm g(x)$, $f(x).g(x)$ là những hàm số tuần hoàn.
Vì $\frac{{{T_1}}}{{{T_2}}}$ là số hữu tỉ nên tồn tại hai số nguyên $m$, $n$, $n \ne 0$ sao cho:
$\frac{{{T_1}}}{{{T_2}}} = \frac{m}{n}$ $ \Rightarrow n{T_1} = m{T_2} = T.$
Khi đó: $f(x + T) = f\left( {x + n{T_1}} \right) = f(x)$ và $g(x + T) = g\left( {x + m{T_2}} \right) = g(x).$
Suy ra: $f(x + T) \pm g(x + T)$ $ = f(x) \pm g(x)$ và $f(x + T).g(x + T) = f(x).g(x)$, $\frac{{f(x + T)}}{{g(x + T)}} = \frac{{f(x)}}{{g(x)}}.$ Từ đó ta có điều phải chứng minh.
Nhận xét:
1. Hàm số $f(x) = a\sin ux + b\cos vx + c$ (với $u,v \in Z$) là hàm số tuần hoàn với chu kì $T = \frac{{2\pi }}{{(u,v)}}$ ($(u,v)$ là ước chung lớn nhất).
2. Hàm số $f(x) = a.\tan ux + b.\cot vx + c$ (với $u,v \in Z$) là hàm tuần hoàn với chu kì $T = \frac{\pi }{{(u,v)}}.$
III. CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài tập. Chứng minh rằng các hàm số sau là những hàm số tuần hoàn với chu kì cơ sở ${T_0}.$
1. $f(x) = \sin x$, ${T_0} = 2\pi .$
2. $f(x) = \tan 2x$, ${T_0} = \frac{\pi }{2}.$
1. Ta có: $f(x + 2\pi ) = \sin (x + 2\pi )$ $ = \sin x = f(x)$, $\forall x \in R.$
Giả sử có số thực dương $T < 2\pi $ thỏa mãn $f(x + T) = f(x)$ $ \Leftrightarrow \sin (x + T) = \sin x$, $\forall x \in R$ $(1).$
Cho $x = \frac{\pi }{2}$ $ \Rightarrow VT(1) = \sin \left( {\frac{\pi }{2} + T} \right)$ $ = \cos T < 1.$
$VP(1) = \sin \frac{\pi }{2} = 1$ $ \Rightarrow (1)$ không xảy ra với mọi $x \in R.$
Vậy hàm số đã cho tuần hoàn với chu kì cơ sở ${T_0} = 2\pi .$
2. Ta có: $f\left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$ $ = \tan 2\left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$ $ = \tan (2x + \pi )$ $ = \tan 2x = f(x).$
Giả sử có số thực dương $T < \frac{\pi }{2}$ thỏa mãn $f(x + T) = f(x)$ $ \Leftrightarrow \tan (2x + 2T) = \tan 2x$ $\forall x \in R$ $(2).$
Cho $x = 0$ $ \Rightarrow VT(2) = \tan 2T \ne 0$, còn $VP(2) = 0$ $ \Rightarrow (2)$ không xảy ra với mọi $x \in R.$
Vậy hàm số đã cho tuần hoàn với chu kì cơ sở ${T_0} = \frac{\pi }{2}.$
Vấn đề 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số lượng giác.
I. CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1. Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau: $y = 2\sin x.$
Hàm số $y = 2\sin x.$
Tập xác định: $D = R.$
Hàm số $y = 2\sin x$ là hàm số lẻ.
Hàm số $y = 2\sin x$ là hàm tuần hoàn với chu kì $T = 2\pi .$
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $\left( {k2\pi ;\frac{\pi }{2} + k2\pi } \right).$ Nghịch biến trên mỗi khoảng $\left( {\frac{\pi }{2} + k2\pi ;\pi + k2\pi } \right).$
Đồ thị hàm số đi qua các điểm $(k\pi ;0)$, $\left( {\frac{\pi }{2} + k2\pi ;2} \right).$
Ví dụ 2. Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau $y = \tan 2x.$
Hàm số $y = \tan 2x.$
Tập xác định: $D = R\backslash \left\{ {\frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2},k \in Z} \right\}.$
Hàm số $y = \tan 2x$ là hàm số lẻ.
Hàm số $y = \tan 2x$ là hàm tuần hoàn với chu kì $T = \frac{\pi }{2}.$
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $\left( {k\pi ;\frac{\pi }{4} + k\pi } \right).$
Các đường tiệm cận: $x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2}.$
Đồ thị hàm số đi qua các điểm $\left( {\frac{{k\pi }}{2};0} \right).$
Ví dụ 3. Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau: $y = 1 + 2{\cos ^2}x.$
Hàm số $y = 1 + 2{\cos ^2}x.$
Ta có: $y = 2 + \cos 2x.$
Tập xác định: $D=R.$
Hàm số $y = 2 + \cos 2x$ là hàm số chẵn.
Hàm số $y = 2 + \cos 2x$ là hàm tuần hoàn với chu kì $T = \pi .$
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $\left( {\frac{\pi }{2} + k\pi ;\pi + k\pi } \right)$, nghịch biến trên mỗi khoảng $\left( {k\pi ;\frac{\pi }{2} + k\pi } \right).$
Đồ thị hàm số đi qua các điểm $\left( {\frac{{k\pi }}{2};1} \right)$, $(\pi + k\pi ;3).$
II. CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1. Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số $y = \sin 2x.$
Đồ thị hàm số: $y = \sin 2x.$
Bài 2. Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số: $y = 2|\cos x|.$
Đồ thị hàm số: $y = 2|\cos x|.$
Vấn đề 4. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số lượng giác.
I. CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
1. $y = 4\sin x\cos x + 1.$
2. $y = 4 – 3{\sin ^2}2x.$
1. Ta có: $y = 2\sin 2x + 1.$
Do $ – 1 \le \sin 2x \le 1$ $ \Rightarrow – 2 \le 2\sin 2x \le 2$ $ \Rightarrow – 1 \le 2\sin 2x + 1 \le 3.$
$ \Rightarrow – 1 \le y \le 3.$
Với $y = – 1$ $ \Leftrightarrow \sin 2x = – 1$ $ \Leftrightarrow 2x = – \frac{\pi }{2} + k2\pi $ $ \Leftrightarrow x = – \frac{\pi }{4} + k\pi .$
Với $y = 3$ $ \Leftrightarrow \sin 2x = 1$ $ \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi .$
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng $3$, giá trị nhỏ nhất bằng $-1.$
2. Ta có: $0 \le {\sin ^2}x \le 1$ $ \Rightarrow 1 \le 4 – 3{\sin ^2}x \le 4.$
Với $y = 1$ $ \Leftrightarrow {\sin ^2}x = 1$ $ \Leftrightarrow \cos x = 0$ $ \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi .$
Với $y = 4$ $ \Leftrightarrow {\sin ^2}x = 0$ $ \Leftrightarrow x = k\pi .$
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng $4$, giá trị nhỏ nhất bằng $1.$
Ví dụ 2. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
1. $y = 6{\cos ^2}x + {\cos ^2}2x.$
2. $y = {(4\sin x – 3\cos x)^2}$ $ – 4(4\sin x – 3\cos x) + 1.$
1. Ta có: $y = 6{\cos ^2}x + {\left( {2{{\cos }^2}x – 1} \right)^2}$ $ = 4{\cos ^4}x + 2{\cos ^2}x + 1.$
Đặt: $t = {\cos ^2}x \Rightarrow t \in [0;1].$ Khi đó: $y = 4{t^2} + 2t + 1 = f(t).$
Vậy:
$\min y = 1$ đạt được khi $\cos x = 0$ $ \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi .$
$\max y = 7$ đạt được khi ${\cos ^2}x = 1$ $ \Leftrightarrow x = k\pi .$
2. Đặt $t = 4\sin x – 3\cos x$ $ \Rightarrow – 5 \le t \le 5$, $\forall x \in R.$
Khi đó: $y = {t^2} – 4t + 1$ $ = {(t – 2)^2} – 3.$
Vì $t \in [ – 5;5]$ $ \Rightarrow – 7 \le t – 2 \le 3$ $ \Rightarrow 0 \le {(t – 2)^2} \le 49.$
Do đó: $ – 3 \le y \le 46.$
Vậy: $\min y = – 3$, $\max y = 46.$
Ví dụ 3. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số sau chỉ nhận giá trị dương: $y = {(3\sin x – 4\cos x)^2}$ $ – 6\sin x + 8\cos x + 2m – 1.$
Đặt $t = 3\sin x – 4\cos x$ $ \Rightarrow – 5 \le t \le 5.$
Ta có: $y = {t^2} – 2t + 2m – 1$ $ = {(t – 1)^2} + 2m – 2.$
Do: $ – 5 \le t \le 5$ $ \Rightarrow 0 \le {(t – 1)^2} \le 36$ $ \Rightarrow y \ge 2m – 2$ $ \Rightarrow \min y = 2m – 2.$
Hàm số chỉ nhận giá trị dương $ \Leftrightarrow y > 0$, $\forall x \in R$ $ \Leftrightarrow \min y > 0$ $ \Leftrightarrow 2m – 2 > 0$ $ \Leftrightarrow m > 1.$
Vậy $m >1$ là giá trị cần tìm.
Ví dụ 4. Tìm $m$ để hàm số $y = \sqrt {2{{\sin }^2}x + 4\sin x\cos x – (3 + 2m){{\cos }^2}x + 2} $ xác định với mọi $x.$
Hàm số xác định với mọi $x$ $ \Leftrightarrow 2{\sin ^2}x + 4\sin x\cos x$ $ – (3 + 2m){\cos ^2}x + 2 \ge 0$, $\forall x \in R$ $(1).$
$\cos x = 0 \Rightarrow (1)$ đúng.
$\cos x \ne 0$ khi đó ta có:
$(1) \Leftrightarrow 2{\tan ^2}x + 4\tan x$ $ – (3 + 2m) + 2\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right) \ge 0.$
$ \Leftrightarrow 4{\tan ^2}x + 4\tan x \ge 1 + 2m$, $\forall x \in R.$
$ \Leftrightarrow {(2\tan x + 1)^2} \ge 2 + 2m$, $\forall x \in R$ $ \Leftrightarrow 2 + 2m \le 0$ $ \Leftrightarrow m \le – 1.$
Ví dụ 5. Cho các góc nhọn $x$, $y$ thỏa mãn ${\sin ^2}x + {\sin ^2}y = \sin (x + y)$ $(*).$ Chứng minh rằng: $x + y = \frac{\pi }{2}.$
Ta có hàm số $y=\sin x, y=\cos x$, $y = \cos x$ đồng biến trên khoảng $\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right).$
Và $x$, $y$, $\frac{\pi }{2} – x$, $\frac{\pi }{2} – y \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right).$
Giả sử $x + y > \frac{\pi }{2}$ $ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x > \frac{\pi }{2} – y}\\
{y > \frac{\pi }{2} – x}
\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\sin x > \sin \left( {\frac{\pi }{2} – y} \right) = \cos y}\\
{\sin y > \sin \left( {\frac{\pi }{2} – x} \right) = \cos x}
\end{array}} \right..$
Suy ra: ${\sin ^2}x + {\sin ^2}y$ $ = \sin x.\sin x + \sin y.\sin y$ $ > \sin x\cos y + \sin y\cos x$ $ = \sin (x + y)$ (mâu thuẫn với $(*)$).
Giả sử $x + y < \frac{\pi }{2}$ $ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x < \frac{\pi }{2} – y}\\
{y < \frac{\pi }{2} – x}
\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\sin x < \sin \left( {\frac{\pi }{2} – y} \right) = \cos y}\\
{\sin y < \sin \left( {\frac{\pi }{2} – x} \right) = \cos x}
\end{array}} \right..$
Suy ra: ${\sin ^2}x + {\sin ^2}y$ $ = \sin x.\sin x + \sin y.\sin y$ $ < \sin x\cos y + \sin y\cos x$ $ = \sin (x + y)$ (mâu thuẫn với $(*)$).
Nếu $x + y = \frac{\pi }{2}$ $ \Rightarrow (*)$ đúng.
Vậy $(*) \Leftrightarrow x + y = \frac{\pi }{2}.$
Ví dụ 6. Tìm GTLN và GTNN của các hàm sau:
1. $y = 3\sin x + 4\cos x + 5.$
2. $y = \frac{{\sin x + 2\cos x + 1}}{{\sin x + \cos x + 2}}.$
1. Xét phương trình: $y = 3\sin x + 4\cos x + 5.$
$ \Leftrightarrow 3\sin x + 4\cos x + 5 – y = 0$ $ \Rightarrow $ phương trình có nghiệm $ \Leftrightarrow {3^2} + {4^2} \ge {(5 – y)^2}$ $ \Leftrightarrow {y^2} – 10y \le 0$ $ \Leftrightarrow 0 \le y \le 10.$
Vậy $\min y = 0$, $\max y = 10.$
2. Do $\sin x + \cos x + 2 > 0$, $\forall x \in R$ $ \Rightarrow $ hàm số xác định với $\forall x \in R.$
Xét phương trình: $y = \frac{{\sin x + 2\cos x + 1}}{{\sin x + \cos x + 2}}.$
$ \Leftrightarrow (1 – y)\sin x + (2 – y)\cos x$ $ + 1 – 2y = 0.$
Phương trình có nghiệm $ \Leftrightarrow {(1 – y)^2} + {(2 – y)^2} \ge {(1 – 2y)^2}.$
$ \Leftrightarrow {y^2} + y – 2 \le 0$ $ \Leftrightarrow – 2 \le y \le 1.$
Vậy $\min y = – 2$, $\max y = 1.$
II. CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
1. $y = \sqrt {2\sin x + 3} .$
2. $y = \frac{4}{{1 + 2{{\sin }^2}x}}.$
1. Ta có: $1 \le 2\sin x + 3 \le 5$ $ \Rightarrow 1 \le y \le \sqrt 5 .$
Vậy:
Giá trị lớn nhất của hàm số bằng $\sqrt 5 $, đạt được khi $\sin x = 1$ $ \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi .$
Giá trị nhỏ nhất bằng $1$, đạt được khi $x = – \frac{\pi }{2} + k2\pi .$
2. Ta có: $0 \le {\sin ^2}x \le 1$ $ \Rightarrow \frac{4}{3} \le y \le 4.$
$y = \frac{4}{3}$ $ \Leftrightarrow {\sin ^2}x = 1$ $ \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi $ $ \Rightarrow \min y = \frac{4}{3}.$
$y = 4$ $ \Leftrightarrow {\sin ^2}x = 0$ $ \Leftrightarrow x = k\pi $ $ \Rightarrow \max y = 4.$
Bài 2. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
1. $y = 2{\sin ^2}x + {\cos ^2}2x.$
2. $y = 3\sin x + 4\cos x + 1.$
1. Đặt $t = {\sin ^2}x$, $0 \le t \le 1$ $ \Rightarrow \cos 2x = 1 – 2t.$
$ \Rightarrow y = 2t + {(1 – 2t)^2}$ $ = 4{t^2} – 2t + 1$ $ = {\left( {2t – \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4}.$
Do $0 \le t \le 1$ $ \Rightarrow – \frac{1}{2} \le 2t – \frac{1}{2} \le \frac{3}{2}$ $ \Rightarrow 0 \le {\left( {2t – \frac{1}{2}} \right)^2} \le \frac{9}{4}$ $ \Rightarrow \frac{3}{4} \le y \le 3.$
Vậy:
$\max y = 3$ đạt được khi $x = \frac{\pi }{2} + k\pi .$
$\min y = \frac{3}{4}$ đạt được khi ${\sin ^2}x = \frac{1}{4}.$
2. Áp dụng bất đẳng thức: ${(ac + bd)^2} \le \left( {{c^2} + {d^2}} \right)\left( {{a^2} + {b^2}} \right).$
Đẳng thức xảy ra khi: $\frac{a}{c} = \frac{b}{d}.$
Ta có: ${(3\sin x + 4\cos x)^2}$ $ \le \left( {{3^2} + {4^2}} \right)\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)$ $ = 25.$
$ \Rightarrow – 5 \le 3\sin x + 4\cos x \le 5$ $ \Rightarrow – 4 \le y \le 6.$
Vậy:
$\max y = 6$ đạt được khi $\tan x=\frac{3}{4}$
$\min y = – 4$ đạt được khi $\tan x=-\frac{3}{4}$
Chú ý: Với cách làm tương tự ta có được kết quả tổng quát sau:
$\max (a\sin x + b\cos x) = \sqrt {{a^2} + {b^2}} .$
$\min (a\sin x + b\cos x) = – \sqrt {{a^2} + {b^2}} .$
Tức là: $ – \sqrt {{a^2} + {b^2}} $ $ \le a\sin x + b\cos x$ $ \le \sqrt {{a^2} + {b^2}} .$
Bài 3. Chứng minh đẳng thức sau: $a\sin x + b\cos x$ $ = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \sin (x + \alpha ).$ Trong đó $\alpha \in [0;2\pi ]$ và $a$, $b$ không đồng thời bằng $0.$
Do $a$, $b$ không đồng thời bằng $0$ nên $\sqrt {{a^2} + {b^2}} \ne 0.$
Suy ra: $a\sin x + b\cos x$ $ = \sqrt {{a^2} + {b^2}} $$\left( {\frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\sin x + \frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\cos x} \right).$
Vì ${\left( {\frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}} \right)^2} + {\left( {\frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}} \right)^2} = 1$ nên tồn tại số thực $\alpha \in [0;2\pi ]$ sao cho: $\frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \cos \alpha $, $\frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \sin \alpha .$
Khi đó: $a\sin x + b\cos x$ $ = \sqrt {{a^2} + {b^2}} (\sin x\cos \alpha + \cos x\sin \alpha )$ $ = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \sin (x + \alpha ).$
Nhận xét: Từ kết quả trên, ta có:
Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = a\sin x + b\cos x$ bằng $ – \sqrt {{a^2} + {b^2}} .$
Giá trị lớn nhất của hàm số $y = a\sin x + b\cos x$ bằng $\sqrt {{a^2} + {b^2}} .$
$ – \sqrt {{a^2} + {b^2}} $ $ \le a\sin x + b\cos x$ $ \le \sqrt {{a^2} + {b^2}} $, $\forall x \in R.$
Bài 4. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
1. $y=\sin x+\sqrt{2-\sin ^{2} x}$
2. $y = {\tan ^2}x + {\cot ^2}x$ $ + 3(\tan x + \cot x) – 1.$
Ta có: $y \ge 0$, $\forall x$ và ${y^2} = 2 + 2\sin x\sqrt {2 – {{\sin }^2}x} .$
Mà $2\left| {\sin x\sqrt {2 – {{\sin }^2}x} } \right|$ $ \le {\sin ^2}x + 2 – {\sin ^2}x = 2.$
Suy ra: $0 \le {y^2} \le 4$ $ \Rightarrow 0 \le y \le 2.$
$\min y = 0$ đạt được khi $x = – \frac{\pi }{2} + k2\pi .$
$\max y = 2$ đạt được khi $x = \frac{\pi }{2} + k2\pi .$
2. Ta có: $y = {(\tan x + \cot x)^2}$ $ + 3(\tan x + \cot x) – 3.$
Đặt $t = \tan x + \cot x$ $ = \frac{2}{{\sin 2x}}$ $ \Rightarrow |t| \ge 2.$
Suy ra $y = {t^2} + 3t – 3 = f(t).$
Bảng biến thiên:
Vậy $\min y = – 5$ đạt được khi $x = – \frac{\pi }{4} + k\pi .$
Không tồn tại $\max y.$
Bài 5. Tìm $m$ để hàm số $y = \sqrt {5\sin 4x – 6\cos 4x + 2m – 1} $ xác định với mọi $x.$
Hàm số xác định với mọi $x$ $ \Leftrightarrow 5\sin 4x – 6\cos 4x \ge 1 – 2m$, $\forall x.$
Do $\min (5\sin 4x – 6\cos 4x) = – \sqrt {61} $ $ \Rightarrow – \sqrt {61} \ge 1 – 2m$ $ \Leftrightarrow m \ge \frac{{\sqrt {61} + 1}}{2}.$
Bài 6. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
1. $y = \frac{{\sin 2x + 2\cos 2x + 3}}{{2\sin 2x – \cos 2x + 4}}.$
2. $y = \frac{{2{{\sin }^2}3x + 4\sin 3x\cos 3x + 1}}{{\sin 6x + 4\cos 6x + 10}}.$
3. $y = \frac{{{{\sin }^2}2x + 3\sin 4x}}{{2{{\cos }^2}2x – \sin 4x + 2}}.$
4. $y = 3{(3\sin x + 4\cos x)^2}$ $ + 4(3\sin x + 4\cos x) + 1.$
1. Ta có: $2\sin 2x – \cos 2x + 4$ $ \ge 4 – \sqrt 5 > 0$, $\forall x \in R.$
$y = \frac{{\sin 2x + 2\cos 2x + 3}}{{2\sin 2x – \cos 2x + 4}}$ $ \Leftrightarrow (2y – 1)\sin 2x$ $ – (y + 2)\cos 2x = 3 – 4y.$
$ \Rightarrow {(2y – 1)^2} + {(y + 2)^2}$ $ \ge {(3 – 4y)^2}$ $ \Leftrightarrow 11{y^2} – 24y + 4 \le 0$ $ \Leftrightarrow \frac{2}{{11}} \le y \le 2.$
Suy ra: $\min y = \frac{2}{{11}}$, $\max y = 2.$
2. Ta có: $\sin 6x + 4\cos 6x + 10$ $ \ge 10 – \sqrt {17} > 0$, $\forall x \in R.$
$y = \frac{{2\sin 6x – \cos 6x + 2}}{{\sin 6x + 4\cos 6x + 10}}$ $ \Leftrightarrow (y – 2)\sin 6x + (4y + 1)\cos 6x$ $ = 2 – 10y.$
$ \Rightarrow {(y – 2)^2} + {(4y + 1)^2}$ $ \ge {(2 – 10y)^2}$ $ \Leftrightarrow 83{y^2} – 44y – 1 \le 0.$
$ \Leftrightarrow \frac{{22 – 9\sqrt 7 }}{{83}} \le y \le \frac{{22 + 9\sqrt 7 }}{{83}}.$
Suy ra: $\min y = \frac{{22 – 9\sqrt 7 }}{{83}}$, $\max y = \frac{{22 + 9\sqrt 7 }}{{83}}.$
3. Ta có: $y = \frac{{6\sin 4x – \cos 4x + 1}}{{2\cos 4x – 2\sin 4x + 6}}$ (do $\cos 4x – \sin 4x + 3 > 0$, $\forall x \in R$).
$ \Leftrightarrow (6 + 2y)\sin 4x – (1 + 2y)\cos 4x$ $ = 6y – 1.$
$ \Rightarrow {(6 + 2y)^2} + {(1 + 2y)^2}$ $ \ge {(6y – 1)^2}$ $ \Leftrightarrow 8{y^2} – 10y – 9 \le 0$ $ \Leftrightarrow \frac{{5 – \sqrt {97} }}{8} \le y \le \frac{{5 + \sqrt {97} }}{8}.$
Vậy $\min y = \frac{{5 – \sqrt {97} }}{8}$, $\max y = \frac{{5 + \sqrt {97} }}{8}.$
4. Đặt $t = 3\sin x + 4\cos x$ $ \Rightarrow t \in [ – 5;5].$
Khi đó: $y = 3{t^2} + 4t + 1 = f(t)$ với $t \in [ – 5;5].$
Do đó: $\min y = f\left( { – \frac{2}{3}} \right) = – \frac{1}{3}$, $\max y = f(5) = 96.$
Bài 7. Tìm $m$ để các bất phương trình sau đúng với mọi $x \in R.$
1. $\frac{{3\sin 2x + \cos 2x}}{{\sin 2x + 4{{\cos }^2}x + 1}} \le m + 1.$
2. $\frac{{4\sin 2x + \cos 2x + 17}}{{3\cos 2x + \sin 2x + m + 1}} \ge 2.$
1. Đặt $y = \frac{{3\sin 2x + \cos 2x}}{{\sin 2x + 2\cos 2x + 3}}.$
Do $\sin 2x + 2\cos 2x + 3 > 0$, $\forall x$ $ \Rightarrow $ hàm số xác định trên $R$).
$ \Leftrightarrow (3 – y)\sin 2x + (1 – 2y)\cos 2x = 3y.$
Suy ra: ${(3 – y)^2} + {(1 – 2y)^2} \ge 9{y^2}$ $ \Leftrightarrow 2{y^2} + 5y – 5 \le 0.$
$ \Leftrightarrow \frac{{ – 5 – 3\sqrt 5 }}{4} \le y \le \frac{{ – 5 + 3\sqrt 5 }}{4}$ $ \Rightarrow \max y = \frac{{ – 5 + 3\sqrt 5 }}{4}.$
Yêu cầu bài toán $ \Leftrightarrow \frac{{ – 5 + 3\sqrt 5 }}{4} \le m + 1$ $ \Leftrightarrow m \ge \frac{{3\sqrt 5 – 9}}{4}.$
2. Trước hết ta có: $3\cos 2x + \sin 2x + m + 1 \ne 0$, $\forall x \in R.$
$ \Leftrightarrow {3^2} + {1^2} < {(m + 1)^2}$ $ \Leftrightarrow {m^2} + 2m – 9 > 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m < – 1 – \sqrt {10} }\\
{m > – 1 + \sqrt {10} }
\end{array}} \right.$ $(*).$
Với $m > – 1 + \sqrt {10} $ $ \Rightarrow 3\cos 2x + \sin 2x + \mathop m\limits^. + 1 > 0$, $\forall x \in R.$
Nên $\frac{{4\sin 2x + \cos 2x + 17}}{{3\cos 2x + \sin 2x + m + 1}} \ge 2$ $ \Leftrightarrow 2\sin 2x – 5\cos 2x \ge 2m – 15$ $ \Leftrightarrow – \sqrt {29} \ge 2m – 15$ $ \Leftrightarrow m \le \frac{{15 – \sqrt {29} }}{2}.$
Suy ra: $\sqrt {10} – 1 < m \le \frac{{15 – \sqrt {29} }}{2}.$
Với $m < – 1 – \sqrt {10} $ $ \Rightarrow 3\cos 2x + \sin 2x + m + 1 < 0$, $\forall x \in R.$
Nên $\frac{{4\sin 2x + \cos 2x + 17}}{{3\cos 2x + \sin 2x + m + 1}} \ge 2$ $ \Leftrightarrow 2\sin 2x – 5\cos 2x \le 2m – 15$ $ \Leftrightarrow \sqrt {29} \le 2m – 15$ $ \Leftrightarrow m \ge \frac{{15 + \sqrt {29} }}{2}$ (loại).
Vậy $\sqrt {10} – 1 < m \le \frac{{15 – \sqrt {29} }}{2}$ là những giá trị cần tìm.
Bài 8. Cho $x,y \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)$ thỏa mãn $\cos 2x + \cos 2y + 2\sin (x + y) = 2.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của $P = \frac{{{{\sin }^4}x}}{y} + \frac{{{{\cos }^4}y}}{x}.$
Ta có: $\cos 2x + \cos 2y + 2\sin (x + y) = 2$ $ \Leftrightarrow {\sin ^2}x + {\sin ^2}y = \sin (x + y).$
Suy ra: $x+y=\frac{\pi}{2}.$
Áp dụng bất đẳng thức: $\frac{{{a^2}}}{m} + \frac{{{b^2}}}{n} \ge \frac{{{{(a + b)}^2}}}{{m + n}}.$
Suy ra: $P \ge \frac{{{{\left( {{{\sin }^2}x + {{\sin }^2}y} \right)}^2}}}{{x + y}} = \frac{2}{\pi }.$
Đẳng thức xảy ra $ \Leftrightarrow x = y = \frac{\pi }{4}.$
Do đó: $\min P = \frac{2}{\pi }.$
