Bài viết hướng dẫn phương pháp giải và biện luận phương trình đối xứng đối với sinx và cosx.
I. PHƯƠNG PHÁP
Bài toán 1: Giải phương trình: $a(\sin x + \cos x) + b\sin x\cos x + c = 0$ $(1).$
PHƯƠNG PHÁP CHUNG:
Ta biện luận theo các bước sau:
+ Bước 1: Đặt $\sin x + \cos x = t$, điều kiện $\left| t \right| \le \sqrt 2 $ $ \Rightarrow \sin x\cos x = \frac{{{t^2} – 1}}{2}.$
Khi đó phương trình có dạng:
$at + b\frac{{{t^2} – 1}}{2} + c = 0$ $ \Leftrightarrow b{t^2} + 2at + 2c – b = 0$ $(2).$
+ Bước 2: Giải $(2)$ theo $t$ và chọn nghiệm ${t_0}$ thoả mãn điều kiện $|t| \le \sqrt 2 .$
Với $t = {t_0}$, ta được:
$\sin x + \cos x = {t_0}$ $ \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = {t_0}$ $ \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{{t_0}}}{{\sqrt 2 }}.$
Đây là phương trình cơ bản của sin.
Chú ý: Ta có thể giải $(1)$ bằng cách đặt ẩn phụ $z = \frac{\pi }{4} – x$, khi đó ta có:
$\sin x + \cos x$ $ = \sqrt 2 \cos \left( {\frac{\pi }{4} – x} \right)$ $ = \sqrt 2 \cos z.$
$\sin x\cos x$ $ = \frac{1}{2}\sin 2x$ $ = \frac{1}{2}\sin 2\left( {\frac{\pi }{4} – z} \right)$ $ = \frac{1}{2}\sin \left( {\frac{\pi }{2} – 2z} \right)$ $ = \frac{1}{2}\cos 2z$ $ = \frac{1}{2}\left( {2{{\cos }^2}z – 1} \right).$
Vậy ta chuyển phương trình ban đầu về dạng phương trình bậc $2$ đối với $\cos z.$
Ví dụ 1: Giải phương trình:
$\sin x + \cos x$ $ – 2\sin x\cos x + 1 = 0.$
Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:
Cách 1: Đặt $\sin x + \cos x = t$, điều kiện $|t| \le \sqrt 2 $, suy ra $\sin x\cos x = \frac{{{t^2} – 1}}{2}.$
Khi đó phương trình có dạng:
$t – \left( {{t^2} – 1} \right) + 1 = 0$ $ \Leftrightarrow {t^2} – t – 2 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t = – 1}\\
{t = 2\:{\rm{(loại)}}}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \sin x + \cos x = – 1$ $ \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = – 1$ $ \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = – \frac{1}{{\sqrt 2 }}$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – \frac{\pi }{2} + 2k\pi }\\
{x = \pi + 2k\pi }
\end{array}} \right.$, $k \in Z.$
Vậy phương trình có hai họ nghiệm.
Cách 2: Đặt $z = \frac{\pi }{4} – x$. Khi đó phương trình có dạng:
$\sqrt 2 \cos \left( {\frac{\pi }{4} – x} \right) – \sin 2x + 1 = 0$ $ \Leftrightarrow \sqrt 2 \cos z – \sin 2\left( {\frac{\pi }{4} – z} \right) + 1 = 0.$
$ \Leftrightarrow \sqrt 2 \cos z – \sin \left( {\frac{\pi }{2} – 2z} \right) + 1 = 0$ $ \Leftrightarrow \sqrt 2 \cos z – \cos 2z + 1 = 0.$
$ \Leftrightarrow \sqrt 2 \cos z – \left( {2{{\cos }^2}z – 1} \right) + 1 = 0$ $ \Leftrightarrow – 2{\cos ^2}z + \sqrt 2 \cos z + 2 = 0.$
$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\cos z = \sqrt 2 \:{\rm{(loại)}}}\\
{\cos z = – \frac{{\sqrt 2 }}{2}}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{z = – \frac{{3\pi }}{4} + 2k\pi }\\
{z = \frac{{3\pi }}{4} + 2k\pi }
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{\pi }{4} – x = – \frac{{3\pi }}{4} + 2k\pi }\\
{\frac{\pi }{4} – x = \frac{{3\pi }}{4} + 2k\pi }
\end{array}} \right..$
$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – \frac{\pi }{2} – 2k\pi }\\
{x = \pi – 2k\pi }
\end{array}} \right.$, $k \in Z.$
Vậy phương trình có hai họ nghiệm.
Chú ý: Tồn tại những phương trình ở dạng ban đầu chưa phải là phương trình đối xứng, khi đó cần thực hiện một vài phép biến đổi lượng giác thích hợp.
Ví dụ 2: (ĐHMĐC – 1999): Giải phương trình: $1 + \tan x = 2\sqrt 2 \sin x.$
Điều kiện: $\cos x \ne 0$ $ \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi $, $k \in Z.$
Biến đổi phương trình về dạng:
$1 + \frac{{\sin x}}{{\cos x}} = 2\sqrt 2 \sin x$ $ \Leftrightarrow \sin x + \cos x = 2\sqrt 2 \sin x\cos x.$
Đặt $\sin x + \cos x = t$, điều kiện $\left| t \right| \le \sqrt 2 $, suy ra $\sin x\cos x = \frac{{{t^2} – 1}}{2}.$
Khi đó phương trình có dạng:
$t = \sqrt 2 \left( {{t^2} – 1} \right)$ $ \Leftrightarrow \sqrt 2 {t^2} – t – \sqrt 2 = 0.$
$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t = – \frac{{\sqrt 2 }}{2}}\\
{t = \sqrt 2 }
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\sin x + \cos x = – \frac{{\sqrt 2 }}{2}}\\
{\sin x + \cos x = \sqrt 2 }
\end{array}} \right..$
$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = – \frac{1}{2}}\\
{\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 1}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x + \frac{\pi }{4} = – \frac{\pi }{6} + 2k\pi }\\
{x + \frac{\pi }{4} = \frac{{7\pi }}{6} + 2k\pi }\\
{x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{2} + 2k\pi }
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – \frac{{5\pi }}{{12}} + 2k\pi }\\
{x = \frac{{11\pi }}{{12}} + 2k\pi }\\
{x = \frac{\pi }{4} + 2k\pi }
\end{array}} \right.$ $(k \in Z).$
Vậy phương trình có ba họ nghiệm.
Ví dụ 3: Cho phương trình:
$m(\sin x + \cos x)$ $ + \sin 2x + m – 1 = 0$ $(1).$
a. Giải phương trình với $m = 2.$
b. Tìm $m$ để phương trình có nghiệm.
Đặt $\sin x + \cos x = t$, điều kiện $|t| \le \sqrt 2 $, suy ra $\sin x\cos x = \frac{{{t^2} – 1}}{2}.$
Khi đó phương trình có dạng:
$mt + \left( {{t^2} – 1} \right) + m – 1 = 0$ $ \Leftrightarrow f(t) = {t^2} + mt + m – 2 = 0$ $(2).$
a. Với $m = 2$ phương trình $(2)$ có dạng:
${t^2} + 2t = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t = 0}\\
{t = – 2\:{\rm{(loại)}}}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \sin x + \cos x = 0$ $ \Leftrightarrow x = – \frac{\pi }{4} + k\pi $ $(k \in Z).$
Vậy với $m = 2$ phương trình có một họ nghiệm.
b. Ta có thể lựa chọn một trong hai cách:
Cách 1: Phương trình $(1)$ có nghiệm $ \Leftrightarrow (2)$ có nghiệm thoả mãn $\left| t \right| \le \sqrt 2 .$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
(2){\rm{\:có\:1\:nghiệm\:thuộc\:}}\left[ { – \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]\\
(2){\rm{\:có\:2\:nghiệm\:thuộc\:}}\left[ { – \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]
\end{array} \right..$
$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{f( – \sqrt 2 )f(\sqrt 2 ) \le 0}\\
{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\Delta \ge 0}\\
{af(\sqrt 2 ) \ge 0}\\
{af( – \sqrt 2 ) \ge 0}\\
{ – \sqrt 2 \le \frac{S}{2} \le \sqrt 2 }
\end{array}} \right.}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
( – m\sqrt 2 + m)(m\sqrt 2 + m) \le 0\\
\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{m^2} – 4m + 8 \ge 0}\\
{m\sqrt 2 + m \ge 0}\\
{ – m\sqrt 2 + m \ge 0}\\
{ – \sqrt 2 \le – \frac{m}{2} \le \sqrt 2 }
\end{array}} \right.
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \forall m.$
Vậy với mọi $m$ phương trình luôn có nghiệm.
Cách 2: Viết lại $(2)$ dưới dạng:
$2 – {t^2} = m(t + 1)$ $ \Leftrightarrow \frac{{2 – {t^2}}}{{t + 1}} = m$ (vì $t = – 1$ không là nghiệm).
Phương trình $(1)$ có nghiệm $ \Leftrightarrow $ đường thẳng $y = m$ cắt đồ thị hàm số $y = \frac{{2 – {t^2}}}{{t + 1}}$ trên $D = ( – 1,1].$
Xét hàm số $y = \frac{{2 – {t^2}}}{{t + 1}}$ trên $D = ( – 1,1].$
Đạo hàm: $y’ = \frac{{ – {t^2} – 2t – 2}}{{t + 1}} < 0$, suy ra hàm số nghịch biến trên $D.$
Do đó đường thẳng $y = m$ luôn cắt đồ thị hàm số trên $D$ $ \Leftrightarrow $ với mọi $m$ phương trình luôn có nghiệm.
Bài toán 2: Giải phương trình: $a(\sin x – \cos x) + b\sin x\cos x + c = 0$ $(1).$
PHƯƠNG PHÁP CHUNG:
Ta biện luận theo các bước sau:
+ Bước 1: Đặt $\sin x – \cos x = t$, điều kiện $\left| t \right| \le \sqrt 2 $ $ \Rightarrow \sin x\cos x = \frac{{1 – {t^2}}}{2}.$
Khi đó phương trình có dạng:
$at + b\frac{{1 – {t^2}}}{2} + c = 0$ $ \Leftrightarrow b{t^2} – 2at – 2c – b = 0$ $(2).$
+ Bước 2: Giải phương trình $(2)$ theo $t$ và chọn nghiệm ${t_0}$ thoả mãn điều kiện: $|t| \le \sqrt 2 .$
Với $t = {t_0}$, ta được:
$\sin x + \cos x = {t_0}$ $ \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = {t_0}$ $ \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{{t_0}}}{{\sqrt 2 }}.$
Đây là phương trình cơ bản của sin.
Chú ý: Cũng như trong bài toán 1, ta có thể giải phương trình nửa đối xứng đối với $\sin x$ và $\cos x$ bằng cách đặt ẩn phụ $z = \frac{\pi }{4} – x.$
Ví dụ 4: Giải phương trình:
$6(\sin x – \cos x) + \sin x\cos x + 6 = 0.$
Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:
+ Cách 1: Đặt $\sin x – \cos x = t$, điều kiện $\left| t \right| \le \sqrt 2 $, suy ra $\sin x\cos x = \frac{{1 – {t^2}}}{2}.$
Khi đó phương trình có dạng:
$6t – \frac{{1 – {t^2}}}{2} + 6 = 0$ $ \Leftrightarrow {t^2} – 12t – 13 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t = – 1}\\
{t = 13\:{\rm{(loại)}}}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \sin x – \cos x = – 1.$
$ \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x – \frac{\pi }{4}} \right) = – 1$ $ \Leftrightarrow \sin \left( {x – \frac{\pi }{4}} \right) = – \frac{1}{{\sqrt 2 }}$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – \frac{\pi }{2} + 2k\pi }\\
{x = \pi + 2k\pi }
\end{array}} \right.$, $k \in Z.$
Vậy phương trình có hai họ nghiệm.
+ Cách 2: Đặt $z = \frac{\pi }{4} – x.$
Khi đó phương trình có dạng:
$6\sqrt 2 \sin \left( {x – \frac{\pi }{4}} \right) + \frac{1}{2}\sin 2x + 6 = 0$ $ \Leftrightarrow 12\sqrt 2 \sin ( – z)$ $ + \sin 2\left( {\frac{\pi }{4} – z} \right) + 12 = 0.$
$ \Leftrightarrow – 12\sqrt 2 \sin z$ $ + \sin \left( {\frac{\pi }{2} – 2z} \right) + 12 = 0$ $ \Leftrightarrow – 12\sqrt 2 \sin z + \cos 2z + 12 = 0.$
$ \Leftrightarrow – 12\sqrt 2 \sin z$ $ + \left( {1 – 2{{\sin }^2}z} \right) + 12 = 0$ $ \Leftrightarrow – 2{\sin ^2}z – 12\sqrt 2 \sin z + 13 = 0.$
$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\sin z = – \frac{{13\sqrt 2 }}{2}\:{\rm{(loại)}}}\\
{\sin z = \frac{{\sqrt 2 }}{2}}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{z = \frac{\pi }{4} + 2k\pi }\\
{z = \frac{{3\pi }}{4} + 2k\pi }
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{\pi }{4} – x = \frac{\pi }{4} + 2k\pi }\\
{\frac{\pi }{4} – x = \frac{{3\pi }}{4} + 2k\pi }
\end{array}} \right..$
$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 2k\pi }\\
{x = – \frac{\pi }{2} – 2k\pi }
\end{array}} \right.$, $k \in Z.$
Vậy phương trình có hai họ nghiệm.
Ví dụ 5: Cho phương trình sau:
$4(\cos x – \sin x) + \sin 2x = m$ $(1).$
a. Giải phương trình với $m = 1.$
b. Tìm $m$ để phương trình vô nghiệm.
Biến đổi phương trình về dạng:
$4(\cos x – \sin x) + 2\sin x\cos x = m.$
Đặt $\cos x – \sin x = t$, điều kiện $|t| \le \sqrt 2 $, suy ra $\sin x\cos x = \frac{{1 – {t^2}}}{2}.$
Khi đó phương trình có dạng:
$4t + 1 – {t^2} = m$ $ \Leftrightarrow – {t^2} + 4t + 1 – m = 0$ $(2).$
a. Với $m = 1$, ta được:
$ – {t^2} + 4t = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t = 0}\\
{t = 4\:{\rm{(loại)}}}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \cos x – \sin x = 0$ $ \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi $, $k \in Z.$
Vậy phương trình có một họ nghiệm.
b. Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:
+ Cách 1: Ta đi xét bài toán ngược “Tìm $m$ để phương trình có nghiệm”.
Phương trình $(1)$ có nghiệm $ \Leftrightarrow (2)$ có nghiệm thoả mãn $\left| t \right| \le \sqrt 2 .$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
(2){\rm{\:có\:1\:nghiệm\:thuộc\:}}\left[ { – \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]\\
(2){\rm{\:có\:2\:nghiệm\:thuộc\:}}\left[ { – \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]
\end{array} \right..$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
f\left( { – \sqrt 2 } \right)f\left( {\sqrt 2 } \right) \le 0\\
\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\Delta ‘ \ge 0}\\
{af\left( {\sqrt 2 } \right) \ge 0}\\
{af\left( { – \sqrt 2 } \right) \ge 0}\\
{ – \sqrt 2 \le \frac{S}{2} \le \sqrt 2 }
\end{array}} \right.
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
( – 1 – 4\sqrt 2 – m)(1 + 4\sqrt 2 – m) \le 0\\
\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{5 – m \ge 0}\\
{1 + 4\sqrt 2 – m \ge 0}\\
{ – 1 – 4\sqrt 2 – m \ge 0}\\
{ – \sqrt 2 \le 2 \le \sqrt 2 }
\end{array}} \right.
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow |m| \le 4\sqrt 2 + 1.$
Vậy phương trình vô nghiệm khi $|m| > 4\sqrt 2 + 1.$
+ Cách 2: Viết lại $(2)$ dưới dạng:
$ – {t^2} + 4t + 1 = m.$
Vậy phương trình vô nghiệm $ \Leftrightarrow $ đường thẳng $y = m$ không cắt phần đồ thị hàm số $y = – {t^2} + 4t + 1$ trên $\left[ { – \sqrt 2 ,\sqrt 2 } \right].$
Xét hàm số $y = – {t^2} + 4t + 1$ trên $\left[ { – \sqrt 2 ,\sqrt 2 } \right].$
Đạo hàm:
$y’ = – 2t + 4 > 0$, $\forall t \in \left[ { – \sqrt 2 ,\sqrt 2 } \right]$, do đó hàm số đồng biến trên $\left[ { – \sqrt 2 ,\sqrt 2 } \right].$
Từ đó ta được điều kiện là:
$\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m < y( – \sqrt 2 )}\\
{m > y(\sqrt 2 )}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m < – 4\sqrt 2 – 1}\\
{m > 4\sqrt 2 + 1}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow |m| > 4\sqrt 2 + 1.$
Vậy phương trình vô nghiệm khi $|m| > 4\sqrt 2 + 1.$
Ví dụ 6: Cho phương trình sau:
${\sin ^3}x – {\cos ^3}x = m$ $(1).$
a. Giải phương trình với $m =1.$
b. Tìm $m$ để phương trình có đúng ba nghiệm thuộc $[0,\pi ].$
Biến đổi phương trình về dạng:
$(\sin x – \cos x)$ $ + 3\sin x\cos x(\sin x – \cos x) = m.$
Đặt $\sin x – \cos x = t$, điều kiện $|t| \le \sqrt 2 $, suy ra $\sin x\cos x = \frac{{1 – {t^2}}}{2}.$
Khi đó phương trình có dạng:
${t^3} + 3t.\frac{{1 – {t^2}}}{2} = m$ $ \Leftrightarrow – {t^3} + 3t = 2m$ $(2).$
a. Với $m = 1$ ta được:
${t^3} – 3t + 2 = 0$ $ \Leftrightarrow (t – 1)\left( {{t^2} + t + 2} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow t = 1$ $ \Leftrightarrow \sin x – \cos x = 1.$
$ \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x – \frac{\pi }{4}} \right) = 1$ $ \Leftrightarrow \sin \left( {x – \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }}$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \frac{\pi }{2} + 2k\pi }\\
{x = \pi + 2k\pi }
\end{array}} \right.$, $k \in Z.$
Vậy phương trình có hai họ nghiệm.
b. Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:
+ Cách 1: Với $x \in [0,\pi ]$ $ \Rightarrow t \in [ – 1,\sqrt 2 ].$
Ta có nhận xét sau:
+ Với mỗi ${t_0} \in ( – 1,1)$ hoặc ${t_0} = \sqrt 2 $ thì phương trình: $\sin x – \cos x = {t_0}$ $ \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x – \frac{\pi }{4}} \right) = {t_0}$ $ \Leftrightarrow \sin \left( {x – \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{{t_0}}}{{\sqrt 2 }}$ sẽ có đúng $1$ nghiệm $x \in [0,\pi ].$
+ Với mỗi ${t_0} \in [1,\sqrt 2 )$ thì phương trình: $\sin x – \cos x = {t_0}$ $ \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x – \frac{\pi }{4}} \right) = {t_0}$ $ \Leftrightarrow \sin \left( {x – \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{{t_0}}}{{\sqrt 2 }}$ sẽ có đúng $2$ nghiệm $x \in [0,\pi ].$
Vậy để phương trình $(1)$ có đúng ba nghiệm thuộc $[0,\pi ]$ $ \Leftrightarrow (2)$ có $2$ nghiệm ${t_1}$, ${t_2}$ thoả mãn $ – 1 < {t_1} < 1 < {t_2} < \sqrt 2 .$
Xét hàm số $y = – {t^3} + 3t$ trên $[ – 1,\sqrt 2 ].$
Đạo hàm:
$y’ = – 3{t^2} + 3.$
$y’ = 0$ $ \Leftrightarrow – 3{t^2} + 3 = 0$ $ \Leftrightarrow t = \pm 1.$
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên, ta được điều kiện là:
$\sqrt 2 < 2m < 2$ $ \Leftrightarrow \frac{{\sqrt 2 }}{2} < m < 1.$
+ Cách 2: Số nghiệm thuộc $[0,\pi ]$ của phương trình $(1)$ bằng số giao điểm của đồ thị hàm số $y = {\sin ^3}x – {\cos ^3}x$ trên $[0,\pi ]$ với đường thẳng $y = m.$
Xét hàm số $y = {\sin ^3}x – {\cos ^3}x$ trên $[0,\pi ].$
Đạo hàm:
$y’ = – 3\cos x{\sin ^2}x + 3\sin x{\cos ^2}x.$
$y’ = 0$ $ \Leftrightarrow 3\cos x{\sin ^2}x + 3\sin x{\cos ^2}x = 0$ $ \Leftrightarrow \frac{3}{2}(\sin x + \cos x)\sin 2x = 0.$
$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\sin 2x = 0}\\
{\sin x + \cos x = 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\sin 2x = 0}\\
{\sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{2x = k\pi }\\
{x + \frac{\pi }{4} = k\pi }
\end{array}} \right.$ $\mathop \Leftrightarrow \limits^{x \in \left[ {0;\pi } \right]} \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0}\\
{x = \frac{\pi }{2}}\\
{x = \pi }\\
{x = \frac{{3\pi }}{4}}
\end{array}} \right..$
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên, ta được điều kiện là: $\frac{{\sqrt 2 }}{2} < m < 1.$
II. CÁC BÀI TOÁN THI
Bài 1: Giải phương trình:
$\cos x + \frac{1}{{\cos x}}$ $ + \sin x + \frac{1}{{\sin x}} = \frac{{10}}{3}.$
Điều kiện:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\sin x \ne 0}\\
{\cos x \ne 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2}$, $k \in Z.$
Biến đổi phương trình về dạng:
$\sin x + \cos x$ $ + \frac{{\sin x + \cos x}}{{\sin x\cos x}} – \frac{{10}}{3} = 0.$
Đặt $\sin x + \cos x = t$, điều kiện $\left| t \right| \le \sqrt 2 $, suy ra $\sin x\cos x = \frac{{{t^2} – 1}}{2}.$
Khi đó phương trình có dạng:
$t + \frac{{2t}}{{{t^2} – 1}} – \frac{{10}}{3} = 0$ $ \Leftrightarrow 3{t^3} – 10{t^2} + 3t + 10 = 0.$
$ \Leftrightarrow (t – 2)\left( {3{t^2} – 4t – 5} \right) = 0$ $\mathop \Leftrightarrow \limits^{\left| t \right| \le \sqrt 2 } t = \frac{{2 – \sqrt {19} }}{3}$ $ \Leftrightarrow \sin x + \cos x = \frac{{2 – \sqrt {19} }}{3}.$
$ \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{2 – \sqrt {19} }}{3}$ $ \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{2 – \sqrt {19} }}{{3\sqrt 2 }} = \sin \alpha .$
$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – \frac{\pi }{4} + \alpha + 2k\pi }\\
{x = \frac{{5\pi }}{4} – \alpha + 2k\pi }
\end{array}} \right.$, $k \in Z.$
Vậy phương trình có hai họ nghiệm.
Bài 2: (ĐHNT – 1998): Giải phương trình:
$\sin x + {\sin ^2}x + {\sin ^3}x + {\sin ^4}x$ $ = \cos x + {\cos ^2}x + {\cos ^3}x + {\cos ^4}x.$
Ta có:
${\sin ^3}x – {\cos ^3}x$ $ = (\sin x – \cos x)\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x + \sin x\cos x} \right).$
${\sin ^4}x – {\cos ^4}x$ $ = \left( {{{\sin }^2}x – {{\cos }^2}x} \right)\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)$ $ = – \cos 2x.$
Phương trình được viết lại dưới dạng:
$\sin x – \cos x$ $ + {\sin ^2}x – {\cos ^2}x$ $ + {\sin ^3}x – {\cos ^3}x$ $ + {\sin ^4}x – {\cos ^4}x = 0.$
$ \Leftrightarrow \sin x – \cos x – \cos 2x$ $ + (\sin x – \cos x)(1 + \sin x\cos x)$ $ – \cos 2x = 0.$
$ \Leftrightarrow \sin x – \cos x – 2\cos 2x$ $ + (\sin x – \cos x)(1 + \sin x\cos x) = 0.$
$ \Leftrightarrow (\sin x – \cos x)$$\left[ {1 + 2(\sin x + \cos x) + 1 + \sin x\cos x} \right] = 0.$
$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\sin x – \cos x = 0\:\left( 1 \right)}\\
{2(\sin x + \cos x) + \sin x\cos x + 2 = 0\:\left( 2 \right)}
\end{array}} \right..$
+ Giải $(1)$: Ta được $\tan x = 1$ $ \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi $, $k \in Z.$
+ Giải $(2)$: Đặt $\sin x + \cos x = t$ điều kiện $\left| t \right| \le \sqrt 2 $, suy ra $\sin x\cos x = \frac{{{t^2} – 1}}{2}.$
Khi đó $(2)$ có dạng:
$2t + \frac{{{t^2} – 1}}{2} + 2 = 0$ $ \Leftrightarrow {t^2} + 4t + 3 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t = – 1}\\
{t = – 3\:{\rm{(loại)}}}
\end{array}} \right..$
$ \Leftrightarrow \sin x + \cos x = – 1$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – \frac{\pi }{2} + 2k\pi }\\
{x = \pi + 2k\pi }
\end{array}} \right.$, $k \in Z.$
Vậy phương trình có ba họ nghiệm.
Bài 3: (ĐHSP TP HCM – ĐHL TP HCM): Tìm $m$ để phương trình: $2\cos 2x$ $ + (\sin x\cos x – m)(\sin x + \cos x) = 0$ $(1)$ có nghiệm trong khoảng $\left[ {0,\frac{\pi }{2}} \right].$
Biến đổi phương trình về dạng:
$(\sin x + \cos x)\left[ {2(\cos x – \sin x) + \sin x\cos x – m} \right] = 0.$
$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\sin x + \cos x = 0}\\
{2(\cos x – \sin x) + \sin x\cos x = m}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – \frac{\pi }{4} + k\pi }\\
{2(\cos x – \sin x) + \sin x\cos x = m}
\end{array}} \right..$
$ \Leftrightarrow 2(\cos x – \sin x) + \sin x\cos x – m = 0$ $(2).$
Đặt $t = \cos x – \sin x$, vì $x \in \left[ {0,\frac{\pi }{2}} \right]$ $ \Leftrightarrow t \in [ – 1,1].$
Khi đó $\sin x\cos x = \frac{{1 – {t^2}}}{2}$, phương trình $(2)$ có dạng:
$ – \frac{1}{2}{t^2} + 2t + \frac{1}{2} = m$ $(3).$
Vậy $(1)$ có nghiệm trong khoảng $\left[ {0,\frac{\pi }{2}} \right]$ $ \Leftrightarrow (3)$ có nghiệm thuộc $[ – 1,1].$
Xét hàm số $f(t) = – \frac{1}{2}{t^2} + 2t + \frac{1}{2}.$
Miền xác định: $D = [ – 1,1].$
Đạo hàm:
$f'(t) = – t + 2.$
$f(t) = 0$ $ \Leftrightarrow t = 2.$
Bảng biến thiên:
Vậy phương trình có nghiệm thuộc $[ – 1,1]$ khi:
$f( – 1) \le m \le f(1)$ $ \Leftrightarrow – 2 \le m \le 2.$
Bài 4: Giải và biện luận phương trình:
$\frac{1}{{\cos x}} – \frac{1}{{\sin x}} = k.$
Điều kiện: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\sin x \ne 0}\\
{\cos x \ne 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2}$, $k \in Z.$
Biến đổi phương trình về dạng:
$\frac{{\sin x – \cos x}}{{\sin x\cos x}} – k = 0$ $ \Leftrightarrow \sin x – \cos x – k\sin x\cos x = 0$ $(1).$
Đặt $\sin x – \cos x = t$, điều kiện $\left| t \right| \le \sqrt 2 $, suy ra $\sin x\cos x = \frac{{1 – {t^2}}}{2}.$
Khi đó phương trình có dạng:
$t – k.\frac{{1 – {t^2}}}{2} = 0$ $ \Leftrightarrow f(t) = k{t^2} + 2t – k = 0$ $(2).$
1. Với $k = 0$ ta được:
$t = 0$ $ \Leftrightarrow \sin x + \cos x = 0$ $ \Leftrightarrow x = – \frac{\pi }{4} + k\pi $, $k \in Z.$
Vậy với $k = 0$ phương trình có một họ nghiệm.
2. Với $k \ne 0$ ta có:
$\Delta = 1 + {k^2} > 0$, $\forall k$ suy ra phương trình $(2)$ có hai nghiệm là:
${t_1} = \frac{{ – 1 – \sqrt {1 + {k^2}} }}{k}.$
${t_2} = \frac{{ – 1 + \sqrt {1 + {k^2}} }}{k}.$
Phương trình $(1)$ có nghiệm $ \Rightarrow (2)$ có nghiệm thoả mãn $ – \sqrt 2 \le t \le \sqrt 2 .$
Xét hai trường hợp:
+ Trường hợp 1: Phương trình $(2)$ có $1$ nghiệm thuộc $[ – \sqrt 2 ,\sqrt 2 ].$
$ \Leftrightarrow f( – \sqrt 2 )f(\sqrt 2 ) \le 0$ $ \Leftrightarrow (k – 2\sqrt 2 )(k + 2\sqrt 2 ) \le 0$ $ \Leftrightarrow – 2\sqrt 2 \le k \le 2\sqrt 2 .$
Khi đó nghiệm thuộc $[ – \sqrt 2 ,\sqrt 2 ]$ là ${t_2} = \frac{{ – 1 + \sqrt {1 + {k^2}} }}{k}.$
$ \Leftrightarrow \sin x – \cos x = \frac{{ – 1 + \sqrt {1 + {k^2}} }}{k}$ $ \Leftrightarrow \sin \left( {x – \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{ – 1 + \sqrt {1 + {k^2}} }}{{k\sqrt 2 }} = \sin \alpha .$
$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x – \frac{\pi }{4} = \alpha + 2k\pi }\\
{x – \frac{\pi }{4} = \pi – \alpha + 2k\pi }
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \alpha + \frac{\pi }{4} + 2k\pi }\\
{x = \frac{{5\pi }}{4} – \alpha + 2k\pi }
\end{array}} \right.$, $k \in Z.$
Vậy phương trình có hai họ nghiệm.
+ Trường hợp 2: Phương trình $(2)$ có $2$ nghiệm thuộc $[ – \sqrt 2 ,\sqrt 2 ].$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\Delta \ge 0}\\
{af(\sqrt 2 ) \ge 0}\\
{af( – \sqrt 2 ) \ge 0}\\
{ – \sqrt 2 \le \frac{S}{2} \le \sqrt 2 }
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{1 + {k^2} \ge 0}\\
{k(k + 2\sqrt 2 ) \ge 0}\\
{k(k – 2\sqrt 2 ) \ge 0}\\
{ – \sqrt 2 \le – \frac{1}{k} \le \sqrt 2 }
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{k \ge 2\sqrt 2 }\\
{k \le – 2\sqrt 2 }
\end{array}} \right..$
Khi đó:
+ Với ${t_1} = \frac{{ – 1 – \sqrt {1 + {k^2}} }}{k}.$
$ \Leftrightarrow \sin x – \cos x = \frac{{ – 1 – \sqrt {1 + {k^2}} }}{k}$ $ \Leftrightarrow \sin \left( {x – \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{ – 1 – \sqrt {1 + {k^2}} }}{{k\sqrt 2 }} = \sin \alpha .$
$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x – \frac{\pi }{4} = \alpha + 2k\pi }\\
{x – \frac{\pi }{4} = \pi – \alpha + 2k\pi }
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \alpha + \frac{\pi }{4} + 2k\pi }\\
{x = \frac{{5\pi }}{4} – \alpha + 2k\pi }
\end{array}} \right.$, $k \in Z.$
+ Với ${t_2} = \frac{{ – 1 + \sqrt {1 + {k^2}} }}{k}.$
$ \Leftrightarrow \sin x – \cos x = \frac{{ – 1 + \sqrt {1 + {k^2}} }}{k}$ $ \Leftrightarrow \sin \left( {x – \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{ – 1 + \sqrt {1 + {k^2}} }}{{k\sqrt 2 }} = \sin \beta .$
$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x – \frac{\pi }{4} = \beta + 2k\pi }\\
{x – \frac{\pi }{4} = \pi – \beta + 2k\pi }
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \beta + \frac{\pi }{4} + 2k\pi }\\
{x = \frac{{5\pi }}{4} – \beta + 2k\pi }
\end{array}} \right.$, $k \in Z.$
Vậy phương trình có bốn họ nghiệm.
III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài tập 1. Giải các phương trình sau:
a. $3(\sin x + \cos x) – 4\sin x\cos x = 0.$
b. $12(\sin x – \cos x) – 2\sin x\cos x – 12 = 0.$
c. $(1 + \cos x)(1 + \sin x) = 2.$
Bài tập 2. Giải các phương trình sau:
a. $|\sin x – \cos x| + 4\sin 2x = 1.$
b. $|\sin x + \cos x| – \sin 2x = 0.$
Bài tập 3. (ĐHQG Hà Nội Khối B – 1997): Giải phương trình:
$2\sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{{\sin x}} + \frac{1}{{\cos x}}.$
Bài tập 4. Tìm $m$ để phương trình: $3(\sin x + \cos x) = 4m\sin x\cos x$ có nghiệm thuộc $\left( {0,\frac{{3\pi }}{4}} \right).$
Bài tập 5. Cho phương trình: $(1 – \cos x)(1 – \sin x) = m.$
a. Giải phương trình với $m = 2.$
b. Tìm $m$ để phương trình có đúng $1$ nghiệm thuộc $\left[ {0,\frac{\pi }{2}} \right].$
Bài tập 6. Cho phương trình: $2{\sin ^3}x + \cos 2x + \cos x = m.$
a. Giải phương trình với $m = 0.$
b. Tìm $m$ để phương trình có nghiệm.
Bài tập 7. Cho phương trình: $m(\sin x + \cos x) + \sin x\cos x + 1 = 0.$
a. Giải phương trình với $m = – \sqrt 2 .$
b. Tìm $m$ để phương trình có nghiệm.
c. Tìm $m$ để phương trình có đúng $1$ nghiệm thuộc $\left[ { – \frac{\pi }{2},0} \right].$
Bài tập 8. Cho phương trình:
$m(\sin x + \cos x) + \sin 2x = 0.$
a. Giải phương trình với $m = 1.$
b. Tìm $m$ để phương trình vô nghiệm.
c. Tìm $m$ để phương trình có đúng $2$ nghiệm thuộc $[0,\pi ].$
Bài tập 9. Giải và biện luận theo $k$ phương trình:
$\frac{1}{{\cos x}} + \frac{1}{{\sin x}} = k.$
Bài tập 10. Cho phương trình:
$m(\sin x – \cos x) + 2\sin x\cos x = m.$
a. Giải phương trình với $m = 1 + \sqrt 2 .$
b. Tìm $m$ để phương trình có đúng $2$ nghiệm thuộc $[0,\pi ].$
Bài tập 11. Cho phương trình:
$m + {\sin ^3}x + {\cos ^3}x – 3\sin x\cos x = 0.$
a. Giải phương trình với $m = 1.$
b. Tìm $m$ để phương trình có đúng $3$ nghiệm thuộc $[0,\pi ].$
c. Tìm $m$ để phương trình có đúng $4$ nghiệm thuộc $[0,\pi ].$
Bài tập 12. Xác định $m$ để phương trình: $\sin x + \cos x + 1$ $ + \frac{1}{2}\left( {\tan x + \cot x + \frac{1}{{\sin x}} + \frac{1}{{\cos x}}} \right) = m$ có nghiệm $x \in \left( {0,\frac{\pi }{2}} \right).$
Bài tập 13. Tìm $m$ để phương trình sau có nghiệm:
$\sin 2x + 4(\cos x – \sin x) = m.$
