Bài viết trình bày tóm tắt lý thuyết và hướng dẫn giải một số dạng toán điển hình trong chủ đề giá trị lượng giác của một góc bất kì từ 0º đến 180º.
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy.$ Với mỗi góc $\alpha $ $\left( {{0^0} \le \alpha \le {{180}^0}} \right)$, ta xác định điểm $M$ trên nửa đường tròn đơn vị tâm $O$ sao cho $\alpha = \widehat {xOM}.$
Giả sử điểm $M$ có tọa độ $(x;y).$
Khi đó:
$\sin \alpha = y$, $\cos \alpha = x$, $\tan \alpha = \frac{y}{x}$ $\left( {\alpha \ne {{90}^0}} \right)$, $\cot \alpha = \frac{x}{y}$ $\left( {\alpha \ne {0^0},\alpha \ne {{180}^0}} \right).$
Các số $\sin \alpha $, $\cos \alpha $, $\tan \alpha $, $\cot \beta $ được gọi là giá trị lượng giác của góc $\alpha .$
Chú ý: Từ định nghĩa ta có:
+ Gọi $P$, $Q$ lần lượt là hình chiếu của $M$ lên trục $Ox$, $Oy$ khi đó $M(\overline {OP} ;\overline {OQ} ).$
+ Với ${0^0} \le \alpha \le {180^0}$ ta có $0 \le \sin \alpha \le 1$, $ – 1 \le \cos \alpha \le 1.$
+ Dấu của giá trị lượng giác:
2. Tính chất
Góc phụ nhau:
$\sin \left( {{{90}^0} – \alpha } \right) = \cos \alpha .$
$\cos \left( {{{90}^0} – \alpha } \right) = \sin \alpha .$
$\tan \left( {{{90}^0} – \alpha } \right) = \cot \alpha .$
$\cot \left( {{{90}^0} – \alpha } \right) = \tan \alpha .$
Góc bù nhau:
$\sin \left( {{{180}^0} – \alpha } \right) = \sin \alpha .$
$\cos \left( {{{180}^0} – \alpha } \right) = – \cos \alpha .$
$\tan \left( {{{180}^0} – \alpha } \right) = – \tan \alpha .$
$\cot \left( {{{180}^0} – \alpha } \right) = – \cot \alpha .$
3. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt
4. Các hệ thức lượng giác cơ bản
1) $\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}$ $\left( {\alpha \ne {{90}^0}} \right).$
2) $\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}$ $\left( {\alpha \ne {0^0};{{180}^0}} \right).$
3) $\tan \alpha .\cot \alpha = 1$ $\left( {\alpha \ne {0^0};{{90}^0};{{180}^0}} \right).$
4) ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1.$
5) $1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}$ $\left( {\alpha \ne {{90}^0}} \right).$
6) $1 + {\cot ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}$ $\left( {\alpha \ne {0^0};{{180}^0}} \right).$
Chứng minh:
Hệ thức 1, 2 và 3 dễ dàng suy ra từ định nghĩa.
Ta có $\sin \alpha = \overline {OQ} $, $\cos \alpha = \overline {OP} .$
Suy ra ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha $ $ = {\overline {OQ} ^2} + {\overline {OP} ^2}$ $ = O{Q^2} + O{P^2}.$
+ Nếu $\alpha = {0^0}$, $\alpha = {90^0}$ hoặc $\alpha = {180^0}$ thì dễ dàng thấy ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1.$
+ Nếu $\alpha \ne {0^0}$, $\alpha \ne {90^0}$ và $\alpha \ne {180^0}$ khi đó theo định lý Pitago ta có:
${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha $ $ = O{Q^2} + O{P^2}$ $ = O{Q^2} + Q{M^2}$ $ = O{M^2} = 1.$
Vậy ta có ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1.$
Mặt khác $1 + {\tan ^2}\alpha $ $ = 1 + \frac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }}$ $ = \frac{{{{\cos }^2}\alpha + {{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }}$ $ = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}$ suy ra được hệ thức 5.
Tương tự $1 + {\cot ^2}\alpha $ $ = 1 + \frac{{{{\cos }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }}$ $ = \frac{{{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }}$ $ = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}$ suy ra được hệ thức 6.
B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
DẠNG TOÁN 1: XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC ĐẶC BIỆT.
1. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
+ Sử dụng định nghĩa giá trị lượng giác của một góc.
+ Sử dụng tính chất và bảng giá trị lượng giác đặc biệt.
+ Sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản.
2. CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1: Tính giá trị các biểu thức sau:
a) $A = {a^2}\sin {90^0} + {b^2}\cos {90^0} + {c^2}\cos {180^0}.$
b) $B = 3 – {\sin ^2}{90^0} + 2{\cos ^2}{60^0} – 3{\tan ^2}{45^0}.$
c) $C = {\sin ^2}{45^0} – 2{\sin ^2}{50^0}$ $ + 3{\cos ^2}{45^0} – 2{\sin ^2}{40^0}$ $ + 4\tan {55^0}.\tan {35^0}.$
a) $A = {a^2}.1 + {b^2}.0 + {c^2}.( – 1)$ $ = {a^2} – {c^2}.$
b) $B = 3 – {(1)^2} + 2{\left( {\frac{1}{2}} \right)^2}$ $ – 3{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} = 1.$
c) $C = {\sin ^2}{45^0} + 3{\cos ^2}{45^0}$ $ – 2\left( {{{\sin }^2}{{50}^0} + {{\sin }^2}{{40}^0}} \right)$ $ + 4\tan {55^0}.\cot {55^0}.$
$C = {\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} + 3{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^2}$ $ – 2\left( {{{\sin }^2}{{50}^0} + {{\cos }^2}{{40}^0}} \right) + 4$ $ = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} – 2 + 4 = 4.$
Ví dụ 2: Tính giá trị các biểu thức sau:
a) $A = {\sin ^2}{3^0} + {\sin ^2}{15^0}$ $ + {\sin ^2}{75^0} + {\sin ^2}{87^0}.$
b) $B = \cos {0^0} + \cos {20^0} + \cos {40^0}$ $ + \ldots + \cos {160^0} + \cos {180^0}.$
c) $C = \tan {5^0}\tan {10^0}\tan {15^0} \ldots \tan {80^0}\tan {85^0}.$
a) $A = \left( {{{\sin }^2}{3^0} + {{\sin }^2}{{87}^0}} \right)$ $ + \left( {{{\sin }^2}{{15}^0} + {{\sin }^2}{{75}^0}} \right).$
$ = \left( {{{\sin }^2}{3^0} + {{\cos }^2}{3^0}} \right)$ $ + \left( {{{\sin }^2}{{15}^0} + {{\cos }^2}{{15}^0}} \right).$
$ = 1 + 1 = 2.$
b) $B = \left( {\cos {0^0} + \cos {{180}^0}} \right)$ $ + \left( {\cos {{20}^0} + \cos {{160}^0}} \right)$ $ + \ldots + \left( {\cos {{80}^0} + \cos {{100}^0}} \right).$
$ = \left( {\cos {0^0} – \cos {0^0}} \right)$ $ + \left( {\cos {{20}^0} – \cos {{20}^0}} \right)$ $ + \ldots + \left( {\cos {{80}^0} – \cos {{80}^0}} \right).$
$ = 0.$
c) $C = \left( {\tan {5^0}\tan {{85}^0}} \right)$$\left( {\tan {{15}^0}\tan {{75}^0}} \right)$$ \cdots \left( {\tan {{45}^0}\tan {{45}^0}} \right).$
$ = \left( {\tan {5^0}\cot {5^0}} \right)$$\left( {\tan {{15}^0}\cot {{15}^0}} \right)$$ \ldots \left( {\tan {{45}^0}\cot {{45}^0}} \right).$
$ = 1.$
3. BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: Tính giá trị các biểu thức sau:
a) $A = \sin {45^0} + 2\cos {60^0}$ $ – \tan {30^0} + 5\cot {120^0}$ $ + 4\sin {135^0}.$
b) $B = 4{a^2}{\sin ^2}{45^0}$ $ – 3{\left( {a\tan {{45}^0}} \right)^2} + {\left( {2a\cos {{45}^0}} \right)^2}.$
c) $C = {\sin ^2}{35^0} – 5{\sin ^2}{73^0}$ $ + {\cos ^2}{35^0} – 5{\cos ^2}{73^0}.$
d) $D = \frac{{12}}{{1 + {{\tan }^2}{{76}^0}}}$ $ – 5\tan {85^0}\cot {95^0} + 12{\sin ^2}{104^0}.$
e) $E = {\sin ^2}{1^0} + {\sin ^2}{2^0}$ $ + \ldots + {\sin ^2}{89^0} + {\sin ^2}{90^0}.$
f) $F = {\cos ^3}{1^0} + {\cos ^3}{2^0} + {\cos ^3}{3^0}$ $ + \ldots + {\cos ^3}{179^0} + {\cos ^3}{180^0}.$
a) $A = \frac{{\sqrt 2 }}{2} + 2.\frac{1}{2} – \frac{{\sqrt 3 }}{3}$ $ – 5.\frac{{\sqrt 3 }}{3} + 4.\frac{{\sqrt 2 }}{2}$ $ = 1 + \frac{{5\sqrt 2 }}{2} – 2\sqrt 3 .$
b) $B = 4{a^2}.{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^2}$ $ – 3{a^2} + {(\sqrt 2 a)^2} = {a^2}.$
c) $C = \left( {{{\sin }^2}{{35}^0} + {{\cos }^2}{{35}^0}} \right)$ $ – 5\left( {{{\sin }^2}{{75}^0} + {{\cos }^2}{{75}^0}} \right)$ $ = 1 – 5 = – 4.$
d) $D = 12{\cos ^2}{76^0}$ $ + 5\tan {85^0}.\cot {85^0}$ $ + 12{\sin ^2}{76^0}$ $ = 12 + 5 = 17.$
e) $E = \left( {{{\sin }^2}{1^0} + {{\sin }^2}{{89}^0}} \right)$ $ + \left( {{{\sin }^2}{2^0} + {{\sin }^2}{{88}^0}} \right)$ $ + \ldots + \left( {{{\sin }^2}{{44}^0} + {{\sin }^2}{{46}^0}} \right)$ $ + {\sin ^2}{45^0} + {\sin ^2}{90^0}.$
$E = \left( {{{\sin }^2}{1^0} + {{\cos }^2}{1^0}} \right)$ $ + \left( {{{\sin }^2}{2^0} + {{\cos }^2}{2^0}} \right)$ $ + \ldots + \left( {{{\sin }^2}{{44}^0} + {{\cos }^2}{{44}^0}} \right)$ $ + \frac{1}{2} + 1.$
$E = \underbrace {1 + 1 + \ldots + 1}_{44\:{\rm{số}}} + \frac{1}{2} + 1 = \frac{{91}}{2}.$
f) $F = \left( {{{\cos }^3}{1^0} + {{\cos }^3}{{179}^0}} \right)$ $ + \ldots + \left( {{{\cos }^3}{{89}^0} + {{\cos }^3}{{91}^0}} \right)$ $ + {\cos ^3}{90^0} + {\cos ^3}{180^0}.$
$F = {\cos ^3}{90^0} + {\cos ^3}{180^0}$ $ = 0 – 1 = – 1.$
Bài 2: Tính giá trị của biểu thức sau: $P = $ $4\tan \left( {x + {4^0}} \right).\sin x.\cot \left( {4x + {{26}^0}} \right)$ $ + \frac{{8{{\tan }^2}\left( {{3^0} – x} \right)}}{{1 + {{\tan }^2}\left( {5x + {3^0}} \right)}}$ $ + 8{\cos ^2}\left( {x – {3^0}} \right)$ khi $x = {30^0}.$
Thay vào ta có: $P = $ $4\tan {34^0}.\sin {30^0}.\cot {146^0}$ $ + \frac{{8{{\tan }^2}\left( { – {{27}^0}} \right)}}{{1 + {{\tan }^2}{{153}^0}}}$ $ + 8{\cos ^2}{27^0}.$
$P = – 4.\tan {34^0}.\frac{1}{2}.\cot {34^0}$ $ + 8{\tan ^2}{27^0}.{\cos ^2}{27^0}$ $ + 8{\cos ^2}{27^0}$ $ = – 2 + 8 = 6.$
DẠNG TOÁN 2: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC – CHỨNG MINH BIỂU THỨC KHÔNG PHỤ THUỘC $X$ – ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC.
1. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
+ Sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản.
+ Sử dụng tính chất của giá trị lượng giác.
+ Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ.
2. CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1: Chứng minh các đẳng thức sau (giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa).
a) ${\sin ^4}x + {\cos ^4}x$ $ = 1 – 2{\sin ^2}x.{\cos ^2}x.$
b) $\frac{{1 + \cot x}}{{1 – \cot x}} = \frac{{\tan x + 1}}{{\tan x – 1}}.$
c) $\frac{{\cos x + \sin x}}{{{{\cos }^3}x}}$ $ = {\tan ^3}x + {\tan ^2}x + \tan x + 1.$
a) ${\sin ^4}x + {\cos ^4}x$ $ = {\sin ^4}x + {\cos ^4}x$ $ + 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x$ $ – 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x.$
$ = {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^2}$ $ – 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x.$
$ = 1 – 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x.$
b) $\frac{{1 + \cot x}}{{1 – \cot x}}$ $ = \frac{{1 + \frac{1}{{\tan x}}}}{{1 – \frac{1}{{\tan x}}}}$ $ = \frac{{\frac{{\tan x + 1}}{{\tan x}}}}{{\frac{{\tan x – 1}}{{\tan x}}}}$ $ = \frac{{\tan x + 1}}{{\tan x – 1}}.$
c) $\frac{{\cos x + \sin x}}{{{{\cos }^3}x}}$ $ = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} + \frac{{\sin x}}{{{{\cos }^3}x}}$ $ = {\tan ^2}x + 1 + \tan x\left( {{{\tan }^2}x + 1} \right).$
$ = {\tan ^3}x + {\tan ^2}x + \tan x + 1.$
Ví dụ 2: Cho tam giác $ABC.$ Chứng minh rằng:
$\frac{{{{\sin }^3}\frac{B}{2}}}{{\cos \left( {\frac{{A + C}}{2}} \right)}}$ $ + \frac{{{{\cos }^3}\frac{B}{2}}}{{\sin \left( {\frac{{A + C}}{2}} \right)}}$ $ – \frac{{\cos (A + C)}}{{\sin B}}.\tan B = 2.$
Vì $A + B + C = {180^0}$ nên:
$VT = \frac{{{{\sin }^3}\frac{B}{2}}}{{\cos \left( {\frac{{{{180}^0} – B}}{2}} \right)}}$ $ + \frac{{{{\cos }^3}\frac{B}{2}}}{{\sin \left( {\frac{{{{180}^0} – B}}{2}} \right)}}$ $ – \frac{{\cos \left( {{{180}^0} – B} \right)}}{{\sin B}}.\tan B.$
$ = \frac{{{{\sin }^3}\frac{B}{2}}}{{\sin \frac{B}{2}}} + \frac{{{{\cos }^3}\frac{B}{2}}}{{\cos \frac{B}{2}}}$ $ – \frac{{ – \cos B}}{{\sin B}}.\tan B$ $ = {\sin ^2}\frac{B}{2} + {\cos ^2}\frac{B}{2} + 1$ $ = 2 = VP.$
Suy ra điều phải chứng minh.
Ví dụ 3: Đơn giản các biểu thức sau (giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa):
a) $A = \sin \left( {{{90}^0} – x} \right)$ $ + \cos \left( {{{180}^0} – x} \right)$ $ + {\sin ^2}x\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)$ $ – {\tan ^2}x.$
b) $B = \frac{1}{{\sin x}}.\sqrt {\frac{1}{{1 + \cos x}} + \frac{1}{{1 – \cos x}}} – \sqrt 2 .$
a) $A = \cos x – \cos x$ $ + {\sin ^2}x.\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}$ $ – {\tan ^2}x = 0.$
b) $B = \frac{1}{{\sin x}} \cdot \sqrt {\frac{{1 – \cos x + 1 + \cos x}}{{(1 – \cos x)(1 + \cos x)}}} – \sqrt 2 .$
$ = \frac{1}{{\sin x}}.\sqrt {\frac{2}{{1 – {{\cos }^2}x}}} – \sqrt 2 $ $ = \frac{1}{{\sin x}}.\sqrt {\frac{2}{{{{\sin }^2}x}}} – \sqrt 2 .$
$ = \sqrt 2 \left( {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}} – 1} \right)$ $ = \sqrt 2 {\cot ^2}x.$
Ví dụ 4: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào $x.$
$P = \sqrt {{{\sin }^4}x + 6{{\cos }^2}x + 3{{\cos }^4}x} $ $ + \sqrt {{{\cos }^4}x + 6{{\sin }^2}x + 3{{\sin }^4}x} .$
$P = \sqrt {{{\left( {1 – {{\cos }^2}x} \right)}^2} + 6{{\cos }^2}x + 3{{\cos }^4}x} $ $ + \sqrt {{{\left( {1 – {{\sin }^2}x} \right)}^2} + 6{{\sin }^2}x + 3{{\sin }^4}x} .$
$ = \sqrt {4{{\cos }^4}x + 4{{\cos }^2}x + 1} $ $ + \sqrt {4{{\sin }^4}x + 4{{\sin }^2}x + 1} .$
$ = 2{\cos ^2}x + 1 + 2{\sin ^2}x + 1.$
$ = 3.$
Vậy $P$ không phụ thuộc vào $x.$
3. BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: Chứng minh các đẳng thức sau (giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa):
a) ${\tan ^2}x – {\sin ^2}x = {\tan ^2}x.{\sin ^2}x.$
b) ${\sin ^6}x + {\cos ^6}x = 1 – 3{\sin ^2}x.{\cos ^2}x.$
c) $\frac{{{{\tan }^3}x}}{{{{\sin }^2}x}} – \frac{1}{{\sin x\cos x}} + \frac{{{{\cot }^3}x}}{{{{\cos }^2}x}}$ $ = {\tan ^3}x + {\cot ^3}x.$
d) ${\sin ^2}x – {\tan ^2}x$ $ = {\tan ^6}x\left( {{{\cos }^2}x – {{\cot }^2}x} \right).$
e) $\frac{{{{\tan }^2}a – {{\tan }^2}b}}{{{{\tan }^2}a.{{\tan }^2}b}}$ $ = \frac{{{{\sin }^2}a – {{\sin }^2}b}}{{{{\sin }^2}a.{{\sin }^2}b}}.$
a) $VT = \frac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} – {\sin ^2}x$ $ = {\sin ^2}x\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right) – {\sin ^2}x$ $ = VP.$
b) ${\sin ^6}x + {\cos ^6}x$ $ = {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^3}$ $ – 3{\sin ^2}x.{\cos ^2}x\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)$ $ = 1 – 3{\sin ^2}x.{\cos ^2}x.$
c) $VT = {\tan ^3}x\left( {{{\cot }^2}x + 1} \right)$ $ – \tan x\left( {{{\cot }^2}x + 1} \right)$ $ + {\cot ^3}x\left( {{{\tan }^2}x + 1} \right)$ $ = \tan x + {\tan ^3}x – \cot x$ $ – \tan x + \cot x + {\cot ^3}x = VP.$
d) $VP = {\tan ^6}x{\cos ^2}x – {\tan ^6}x{\cot ^2}x$ $ = {\tan ^4}x{\sin ^2}x – {\tan ^4}x$ $ = {\tan ^4}x.{\cos ^2}x$ $ = {\tan ^2}x.{\sin ^2}x$ $ = {\tan ^2}x – {\sin ^2}x = VT$ (do câu a).
e) $VT = \frac{1}{{{{\tan }^2}b}} – \frac{1}{{{{\tan }^2}a}}$ $ = {\cot ^2}b – {\cot ^2}a$ $ = \frac{1}{{{{\sin }^2}b}} – \frac{1}{{{{\sin }^2}a}} = VP.$
Bài 2: Đơn giản các biểu thức sau (giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa):
a) $A = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}$ $ – {\tan ^2}\left( {{{180}^0} – x} \right)$ $ – {\cos ^2}\left( {{{180}^0} – x} \right).$
b) $B = \frac{{{{\cos }^2}x – {{\sin }^2}x}}{{{{\cot }^2}x – {{\tan }^2}x}} – {\cos ^2}x.$
c) $C = \frac{{{{\sin }^3}a + {{\cos }^3}a}}{{{{\cos }^2}a + \sin a(\sin a – \cos a)}}.$
d) $D = \sqrt {\frac{{1 + \sin a}}{{1 – \sin a}}} + \sqrt {\frac{{1 – \sin a}}{{1 + \sin a}}} .$
a) $A = {\tan ^2}x + 1$ $ – {\tan ^2}x – {\cos ^2}x$ $ = {\sin ^2}x.$
b) $B = \frac{{{{\cos }^2}x – {{\sin }^2}x}}{{\frac{1}{{{{\sin }^2}x}} – 1 – \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} + 1}}$ $ – {\cos ^2}x$ $ = {\cos ^2}x{\sin ^2}x – {\cos ^2}x$ $ = – {\cos ^4}x.$
c) $C = $ $\frac{{(\sin a + \cos a)\left( {{{\sin }^2}a – \sin a\cos a + {{\cos }^2}a} \right)}}{{{{\sin }^2}a – \sin a\cos a + {{\cos }^2}a}}$ $ = \sin a + \cos a.$
d) ${D^2} = $ $\frac{{1 + \sin a}}{{1 – \sin a}} + \frac{{1 – \sin a}}{{1 + \sin a}} + 2$ $ = \frac{{{{(1 + \sin a)}^2} + {{(1 – \sin a)}^2}}}{{1 – {{\sin }^2}a}} + 2$ $ = \frac{{2 + 2{{\sin }^2}a}}{{{{\cos }^2}a}} + 2$ $ = \frac{4}{{{{\cos }^2}a}}.$
Suy ra $D = \frac{2}{{|\cos a|}}.$
Bài 3: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào $\alpha $ (giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa):
a) $2\left( {{{\sin }^6}\alpha + {{\cos }^6}\alpha } \right)$ $ – 3\left( {{{\sin }^4}\alpha + {{\cos }^4}\alpha } \right).$
b) ${\cot ^2}{30^0}\left( {{{\sin }^8}\alpha – {{\cos }^8}\alpha } \right)$ $ + 4\cos {60^0}\left( {{{\cos }^6}\alpha – {{\sin }^6}\alpha } \right)$ $ – {\sin ^6}\left( {{{90}^0} – \alpha } \right){\left( {{{\tan }^2}\alpha – 1} \right)^3}.$
c) $\left( {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x – 1} \right)$$\left( {{{\tan }^2}x + {{\cot }^2}x + 2} \right).$
d) $\frac{{{{\sin }^4}x + 3{{\cos }^4}x – 1}}{{{{\sin }^6}x + {{\cos }^6}x + 3{{\cos }^4}x – 1}}.$
a) $2\left( {{{\sin }^6}\alpha + {{\cos }^6}\alpha } \right)$ $ – 3\left( {{{\sin }^4}\alpha + {{\cos }^4}\alpha } \right).$
$ = 2\left( {1 – 3{{\sin }^2}x.{{\cos }^2}x} \right)$ $ – 3\left( {1 – 2{{\sin }^2}x.{{\cos }^2}x} \right) = – 1.$
b) ${\cot ^2}{30^0}\left( {{{\sin }^8}\alpha – {{\cos }^8}\alpha } \right)$ $ + 4\cos {60^0}\left( {{{\cos }^6}\alpha – {{\sin }^6}\alpha } \right)$ $ – {\sin ^6}\left( {{{90}^0} – \alpha } \right){\left( {{{\tan }^2}\alpha – 1} \right)^3}.$
$ = 3\left( {{{\sin }^2}\alpha – {{\cos }^2}\alpha } \right)\left( {{{\sin }^4}\alpha + {{\cos }^4}\alpha } \right)$ $ – 2\left( {{{\sin }^2}\alpha – {{\cos }^2}\alpha } \right)$$\left( {{{\sin }^4}\alpha + {{\sin }^2}\alpha {{\cos }^2}\alpha + {{\cos }^4}\alpha } \right)$ $ – {\left( {{{\sin }^2}\alpha – {{\cos }^2}\alpha } \right)^3}.$
$ = {\left( {{{\sin }^2}\alpha – {{\cos }^2}\alpha } \right)^3}$ $ – {\left( {{{\sin }^2}\alpha – {{\cos }^2}\alpha } \right)^3} = 0.$
c) $\left( {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x – 1} \right)$$\left( {{{\tan }^2}x + {{\cot }^2}x + 2} \right)$ $ = – 2.$
d) $\frac{{{{\sin }^4}x + 3{{\cos }^4}x – 1}}{{{{\sin }^6}x + {{\cos }^6}x + 3{{\cos }^4}x – 1}}$ $ = \frac{2}{3}.$
DẠNG TOÁN 3: XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC CÓ ĐIỀU KIỆN.
1. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
+ Dựa vào các hệ thức lượng giác cơ bản.
+ Dựa vào dấu của giá trị lượng giác.
+ Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ.
2. CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1:
a) Cho $\sin \alpha = \frac{1}{3}$ với ${90^0} < \alpha < {180^0}.$ Tính $\cos \alpha $ và $\tan \alpha .$
b) Cho $\cos \alpha = – \frac{2}{3}.$ Tính $\sin \alpha $ và $\cot \alpha .$
c) Cho $\tan \alpha = – 2\sqrt 2 $, tính giá trị lượng giác còn lại.
a) Vì ${90^0} < \alpha < {180^0}$ nên $\cos \alpha < 0$ mặt khác ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1$ suy ra:
$\cos \alpha = – \sqrt {1 – {{\sin }^2}\alpha } $ $ = – \sqrt {1 – \frac{1}{9}} $ $ = – \frac{{2\sqrt 2 }}{3}.$
Do đó: $\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}$ $ = \frac{{\frac{1}{3}}}{{ – \frac{{2\sqrt 2 }}{3}}}$ $ = – \frac{1}{{2\sqrt 2 }}.$
b) Vì ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1$ nên $\sin \alpha = \sqrt {1 – {{\cos }^2}\alpha } $ $ = \sqrt {1 – \frac{4}{9}} = \frac{{\sqrt 5 }}{3}$ và $\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}$ $ = \frac{{ – \frac{2}{3}}}{{\frac{{\sqrt 5 }}{3}}} = – \frac{2}{{\sqrt 5 }}.$
c) Vì $\tan \alpha = – 2\sqrt 2 < 0$ $ \Rightarrow \cos \alpha < 0$ mặt khác ${\tan ^2}\alpha + 1 = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}.$
Nên $\cos \alpha = – \sqrt {\frac{1}{{{{\tan }^2} + 1}}} $ $ = – \sqrt {\frac{1}{{8 + 1}}} = – \frac{1}{3}.$
Ta có $\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}$ $ \Rightarrow \sin \alpha = \tan \alpha .\cos \alpha $ $ = – 2\sqrt 2 .\left( { – \frac{1}{3}} \right) = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}.$
$ \Rightarrow \cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}$ $ = \frac{{ – \frac{1}{3}}}{{\frac{{2\sqrt 2 }}{3}}} = – \frac{1}{{2\sqrt 2 }}.$
Ví dụ 2:
a) Cho $\cos \alpha = \frac{3}{4}$ với ${0^0} < \alpha < {90^0}$. Tính $A = \frac{{\tan \alpha + 3\cot \alpha }}{{\tan \alpha + \cot \alpha }}.$
b) Cho $\tan \alpha = \sqrt 2 .$ Tính $B = \frac{{\sin \alpha – \cos \alpha }}{{{{\sin }^3}\alpha + 3{{\cos }^3}\alpha + 2\sin \alpha }}.$
a) Ta có $A = \frac{{\tan \alpha + 3\frac{1}{{\tan \alpha }}}}{{\tan \alpha + \frac{1}{{\tan \alpha }}}}$ $ = \frac{{{{\tan }^2}\alpha + 3}}{{{{\tan }^2}\alpha + 1}}$ $ = \frac{{\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} + 2}}{{\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}}}$ $ = 1 + 2{\cos ^2}\alpha .$
Suy ra $A = 1 + 2.\frac{9}{{16}} = \frac{{17}}{8}.$
b) $B = \frac{{\frac{{\sin \alpha }}{{{{\cos }^3}\alpha }} – \frac{{\cos \alpha }}{{{{\cos }^3}\alpha }}}}{{\frac{{{{\sin }^3}\alpha }}{{{{\cos }^3}\alpha }} + \frac{{3{{\cos }^3}\alpha }}{{{{\cos }^3}\alpha }} + \frac{{2\sin \alpha }}{{{{\cos }^3}\alpha }}}}$ $ = \frac{{\tan \alpha \left( {{{\tan }^2}\alpha + 1} \right) – \left( {{{\tan }^2}\alpha + 1} \right)}}{{{{\tan }^3}\alpha + 3 + 2\tan \alpha \left( {{{\tan }^2}\alpha + 1} \right)}}.$
Suy ra $B = \frac{{\sqrt 2 (2 + 1) – (2 + 1)}}{{2\sqrt 2 + 3 + 2\sqrt 2 (2 + 1)}}$ $ = \frac{{3(\sqrt 2 – 1)}}{{3 + 8\sqrt 2 }}.$
Ví dụ 3: Biết $\sin x + \cos x = m.$
a) Tìm $\sin x\cos x$ và $\left| {{{\sin }^4}x – {{\cos }^4}x} \right|.$
b) Chứng minh rằng $|m| \le \sqrt 2 .$
a) Ta có ${(\sin x + \cos x)^2}$ $ = {\sin ^2}x + 2\sin x\cos x + {\cos ^2}x$ $ = 1 + 2\sin x\cos x$ $(*).$
Mặt khác $\sin x + \cos x = m$ nên ${m^2} = 1 + 2\sin x\cos x.$
Hay $\sin x\cos x = \frac{{{m^2} – 1}}{2}.$
Đặt $\dot A = \left| {{{\sin }^4}x – {{\cos }^4}x} \right|.$ Ta có:
$A = \left| {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)\left( {{{\sin }^2}x – {{\cos }^2}x} \right)} \right|$ $ = |(\sin x + \cos x)(\sin x – \cos x)|.$
$ \Rightarrow {A^2} = {(\sin x + \cos x)^2}{(\sin x – \cos x)^2}$ $ = (1 + 2\sin x\cos x)(1 – 2\sin x\cos x).$
$ \Rightarrow {A^2} = \left( {1 + {m^2} – 1} \right)\left( {1 – {m^2} + 1} \right)$ $ = 2{m^2} – {m^4}.$
Vậy $A = \sqrt {2{m^2} – {m^4}} .$
b) Ta có: $2\sin x\cos x$ $ \le {\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1$ kết hợp với $(*)$ suy ra:
${(\sin x + \cos x)^2} \le 2$ $ \Rightarrow |\sin x + \cos x| \le \sqrt 2 .$
Vậy $|m| \le \sqrt 2 .$
3. BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: Tính các giá trị lượng giác còn lại, biết:
a) $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ với ${0^0} < \alpha < {90^0}.$
b) $\cos \alpha = \sqrt {\frac{1}{5}} .$
c) $\cot \alpha = – \sqrt 2 .$
d) $\tan \alpha + \cot \alpha < 0$ và $\sin \alpha = \frac{1}{5}.$
a) $\cos \alpha = \sqrt {1 – {{\sin }^2}\alpha } = \frac{4}{5}$, $\tan \alpha = \frac{3}{4}$, $\cot \alpha = \frac{4}{3}.$
b) $\sin \alpha = \sqrt {1 – {{\cos }^2}\alpha } = \frac{2}{{\sqrt 5 }}$, $\tan \alpha = 2$, $\cot \alpha = \frac{1}{2}.$
c) $\sin \alpha = \frac{1}{{\sqrt 3 }}$, $\cos \alpha = – \frac{{\sqrt 6 }}{3}$, $\tan \alpha = – \frac{1}{{\sqrt 2 }}.$
d) Ta có $\tan \alpha \cot \alpha = 1 > 0$ mà $\tan \alpha + \cot \alpha < 0$ suy ra $\tan \alpha < 0$, $\cot \alpha < 0.$
$\cot \alpha = – \sqrt {\frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }} – 1} $ $ = – 2\sqrt 6 $ $ \Rightarrow \tan \alpha = – \frac{1}{{2\sqrt 6 }}$, $\cos \alpha = \cot \alpha .\sin \alpha $ $ = – \frac{{2\sqrt 6 }}{5}.$
Bài 2:
a) Cho $\sin a = \frac{1}{3}$ với ${90^0} < a < {180^0}.$ Tính $B = \frac{{3\cot a + 2\tan a + 1}}{{\cot a + \tan a}}.$
b) Cho $\cot a = 5.$ Tính $D = 2{\cos ^2}a + 5\sin a\cos a + 1.$
a) Từ giả thiết suy ra:
$\cos a = – \frac{{2\sqrt 2 }}{3}$, $\tan a = – \frac{1}{{2\sqrt 2 }}$, $\cot a = – 2\sqrt 2 $ $ \Rightarrow B = \frac{{26 – 2\sqrt 2 }}{9}.$
b) $\frac{D}{{{{\sin }^2}a}}$ $ = 2{\cot ^2}a + 5\cot a + \frac{1}{{{{\sin }^2}a}}$ $ \Rightarrow \left( {{{\cot }^2}a + 1} \right)D$ $ = 3{\cot ^2}a + 5\cot a + 1.$
Suy ra $D = \frac{{101}}{{26}}.$
Bài 3: Biết $\tan x + \cot x = m.$
a) Tìm ${\tan ^2}x + {\cot ^2}x.$
b) $\frac{{{{\tan }^6}x + {{\cot }^6}x}}{{{{\tan }^4}x + {{\cot }^4}x}}.$
a) ${\tan ^2}x + {\cot ^2}x = {m^2} – 2.$
b) ${\tan ^4}x + {\cot ^4}x$ $ = {\left( {{{\tan }^2}x + {{\cot }^2}x} \right)^2} – 2$ $ = {\left( {{m^2} – 2} \right)^2} – 2$ $ = {m^4} – 4{m^2} + 2.$
$ \Rightarrow \frac{{{{\tan }^6}x + {{\cot }^6}x}}{{{{\tan }^4}x + {{\cot }^4}x}}$ $ = \frac{{\left( {{m^2} – 2} \right)\left( {{m^4} – 4{m^2} + 1} \right)}}{{{m^4} – 4{m^2} + 2}}.$
Bài 4: Cho $\sin \alpha \cos \alpha = \frac{{12}}{{25}}.$ Tính ${\sin ^3}\alpha + {\cos ^3}\alpha .$
${(\sin \alpha + \cos \alpha )^2} = 1 + \frac{{24}}{{25}}$ $ \Rightarrow \sin \alpha + \cos \alpha = \frac{7}{5}$ (do $\cos \alpha > 0$).
$ \Rightarrow {\sin ^3}\alpha + {\cos ^3}\alpha $ $ = (\sin \alpha + \cos \alpha )$$\left( {{{\sin }^2}\alpha – \sin \alpha \cos \alpha + {{\cos }^2}\alpha } \right)$ $ = \frac{{91}}{{125}}.$
