TOANMATH.com giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh đề chính thức kỳ thi chọn học sinh giỏi thành phố và chọn đội tuyển học sinh giỏi dự thi Quốc gia môn Toán 12 THPT năm học 2025 – 2026 sở Giáo dục và Đào tạo thành phố Hà Nội (Bảng B). Kỳ thi được diễn ra vào ngày 22 và ngày 23 tháng 09 năm 2025.
Trích dẫn Đề chọn đội tuyển thi HSG QG môn Toán THPT năm 2025 – 2026 sở GD&ĐT Hà Nội:
+ Cho P(x) là đa thức với hệ số nguyên có bậc bằng 2026 thỏa mãn: P(x) không phân tích được thành tích của hai đa thức với hệ số nguyên có bậc lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng nếu r là một nghiệm thực của P(x) thì 5r + 8 không là nghiệm của P(x).
+ Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC < BC) nội tiếp đường tròn (O). Gọi CD là đường kính của đường tròn (O). Đường thẳng đối xứng với đường thẳng BA qua đường thẳng BD cắt đường thẳng CD tại điểm E. Đường thẳng AC cắt đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABE tại điểm thứ hai F. a) Chứng minh tam giác FBC là một tam giác cân. b) Gọi H là giao điểm của đường thẳng BD và đường thẳng EA, I là giao điểm của đường thẳng AD và đường thẳng EB. Gọi K là giao điểm của đường thẳng HI và đường thẳng AB, J là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABE. Tia đối của tia OJ cắt đường tròn ngoại tiếp của tam giác CDK tại điểm L. Chứng minh OL = 2OJ.
+ Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) có đường cao AD. Trên đoạn thẳng AD lấy điểm K (K khác A và D), trên đoạn thẳng DC lấy điểm M (M khác D và C). Tia BK cắt đoạn thẳng AC tại điểm E và tia CK cắt đoạn thẳng AB tại điểm F. Đường thẳng EF cắt các đường thẳng AM, MK và AD lần lượt tại các điểm G, I và H. Đường trung trực của đoạn thẳng HD cắt đường thẳng EF tại điểm T. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp của các tam giác AEF, AIG và THD cùng đi qua một điểm.
