TOANMATH.com giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh đề chính thức kỳ thi chọn đội tuyển dự thi học sinh giỏi Quốc gia môn Toán THPT năm học 2025 – 2026 sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Khánh Hòa. Kỳ thi được diễn ra trong hai ngày 23 và 24 tháng 09 năm 2025. Đề thi có đáp án và lời giải chi tiết.
Trích dẫn Đề chọn đội tuyển thi HSG QG môn Toán THPT năm 2025 – 2026 sở GD&ĐT Khánh Hòa:
+ Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O). Kẻ ba đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC. Đường thẳng EF cắt (O) tại hai điểm M, N sao cho E nằm giữa F và N. Đường thẳng BC cắt EF tại P. Đường thẳng đi qua D và song song với EF cắt AB, AC, CF lần lượt tại Q, R, S. Gọi I, J lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác DEF và DMN. a) Chứng minh ba đường tròn (PQR), (DEF), (DMN) cùng đi qua một điểm. b) Chứng minh hai đường thẳng IJ và AD song song với nhau. c) Chứng minh D là trung điểm của đoạn thẳng QS.
+ Cho đa thức P(x) = 5(x – 4)^2.(x – 6) + 1. a) Chứng minh P(x) có ba nghiệm thực phân biệt. b) Gọi ba nghiệm thực phân biệt của P(x) là a, b, c. Chứng minh a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác và tính bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác đó.
+ Tìm tất cả các hàm số f: R+ → R+ thỏa mãn f(x)f(yf(x)) = f(x + y) với mọi x, y > 0.
