TOANMATH.com giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh đề chính thức kỳ thi chọn đội tuyển dự thi học sinh giỏi Quốc gia môn Toán THPT năm học 2025 – 2026 sở Giáo dục và Đào tạo UBND tỉnh Phú Thọ. Kỳ thi được diễn ra vào ngày 18 và 19 tháng 09 năm 2025.
Trích dẫn Đề chọn đội tuyển thi HSG QG môn Toán THPT năm 2025 – 2026 sở GD&ĐT Phú Thọ:
+ Cho đường tròn (O) và hai điểm B, C cố định trên (O) sao cho BC không là đường kính. Điểm A di chuyển trên (O) sao cho tam giác ABC nhọn và AB < AC. Các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC đồng quy tại H. Đường thẳng AD cắt (O) tại điểm A’ khác A. Đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF cắt đoạn AH tại I. a) Gọi M là giao của IE và A’B, N là giao của IF và A’C. Chứng minh rằng MN vuông góc với OН. b) Gọi K là điểm đối xứng với O qua BC và T là giao điểm của KH và EF. Chứng minh rằng đường thẳng qua A song song với DT luôn đi qua một điểm cố định khi A thay đổi.
+ Cho một bảng ô vuông 25 × 26 gồm 25 hàng và 26 cột. Bạn An xếp 105 viên bi vào các ô vuông đơn vị của bảng thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau: mỗi ô vuông đơn vị có tối đa một viên bi và trên mỗi hàng, mỗi cột đều có ít nhất một viên bi. Một viên bi được gọi là thú vị nếu số bi trong cùng hàng với nó nhiều hơn số bi trong cùng cột với nó. a) Chứng minh rằng với mọi cách xếp bi của bạn An thì luôn tồn tại ít nhất một viên bi thú vị. b) Tìm số viên bi thú vị lớn nhất có thể.
+ Cho trước số nguyên n > 1. Tìm tất cả các đa thức P(x) khác hằng với hệ số nguyên thỏa mãn tồn tại đa thức g(x) hệ số nguyên sao cho tất cả các hệ số của đa thức P(x)Q(x) – 1 đều chia hết cho n.
