Tài liệu gồm 50 trang, được biên soạn bởi thầy giáo Phạm Thanh Tú, bao gồm các dạng toán cực trị hình học Oxyz điển hình và phương pháp giải, giúp học sinh ôn tập kì thi đánh giá năng lực chuyên biệt HCMUE (HCMUE Specialized Competency Assessment / H-SCA) môn Toán.
Nội dung tài liệu được chia thành 06 chuyên đề chính tập trung vào các dạng bài toán cực trị trong không gian Oxyz:
1. Bài toán tâm tỉ cự.
Phần này cung cấp nền tảng về khái niệm tâm tỉ cự của hệ điểm và ứng dụng để giải quyết hai dạng cực trị phổ biến:
+ Cực trị độ dài vectơ: Hướng dẫn cách tìm điểm M trên một đường thẳng hoặc mặt phẳng để tổng độ dài các vectơ đạt giá trị nhỏ nhất.
+ Cực trị độ dài bình phương vô hướng của vectơ: Đưa bài toán về việc tìm hình chiếu vuông góc của tâm tỉ cự lên đường thẳng hoặc mặt phẳng để biểu thức bình phương khoảng cách đạt giá trị nhỏ nhất.
2. Bài toán Min Max tổng hiệu độ dài.
Chuyên đề tập trung xử lý các bài toán tìm cực trị biểu thức MA + MB hoặc ∣MA − MB∣.
Phương pháp giải dựa vào việc xét vị trí tương đối của hai điểm A, B so với mặt phẳng (P) (cùng phía hay khác phía) và sử dụng điểm đối xứng kết hợp với bất đẳng thức tam giác để tìm điểm M.
3. Bài toán lập phương trình đường thẳng, mặt phẳng có yếu tố cực trị.
Hướng dẫn thiết lập phương trình cho đường thẳng hoặc mặt phẳng liên quan đến các bài toán khoảng cách (lớn nhất/nhỏ nhất) bằng hai phương pháp:
+ Phương pháp đại số: Dùng hàm số để khảo sát khoảng cách.
+ Phương pháp hình học: Đưa ra các bài toán mẫu như lập phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng cách một điểm khoảng lớn nhất, hoặc lập phương trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng cách một điểm/đường thẳng khác một khoảng max/min.
4. Cực trị về góc.
Trình bày các phương pháp đại số và hình học nhằm giải quyết các bài toán:
+ Tìm mặt phẳng chứa một đường thẳng sao cho tạo với mặt phẳng/đường thẳng khác một góc lớn nhất hoặc nhỏ nhất.
+ Viết phương trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng tạo với đường thẳng/mặt phẳng khác góc lớn nhất/nhỏ nhất.
5. Bài toán phương tích của một điểm với mặt cầu.
Khảo sát tích vô hướng của hai vectơ cát tuyến từ một điểm đến mặt cầu. Tài liệu chứng minh công thức phương tích MA⋅MB = MO2 − R2 thông qua hai cách: hình học mặt cắt thuần túy và sử dụng hình học vectơ, cùng với hệ quả khi đường thẳng là tiếp tuyến của mặt cầu.
6. Bài tập rèn luyện.
Phần cuối là hệ thống các bài tập tổng hợp để học sinh tự rèn luyện và áp dụng các phương pháp đã học ở các phần trên. Mỗi phần lý thuyết trong tài liệu cũng đều đi kèm với các câu hỏi trắc nghiệm ví dụ minh họa trực quan.
