Tài liệu gồm 18 trang, được biên soạn bởi tác giả Nguyễn Thái, hướng dẫn áp dụng kỹ thuật phân tập đồng dư giải bài toán tổ hợp – xác suất có yếu tố chia hết, đây là dạng toán vận dụng cao từng xuất hiện trong đề chính thức kỳ thi tốt nghiệp THPT năm 2026 môn Toán.
TÓM TẮT NỘI DUNG:
Năm 1801, nhà toán học Carl Friedrich Gauss, khi ấy mới 24 tuổi, đã giới thiệu một kí hiệu mới trong cuốn Disquisitiones Arithmeticae của mình: a ≡ b (mod m). Ba dấu gạch nhỏ nhưng mở ra một chủ đề nghiên cứu mới của số học: đồng dư thức. Và ý tưởng đằng sau nó là: khi bài toán chỉ quan tâm tới tính chia hết, ta không cần biết chính xác các số là bao nhiêu, chỉ cần quan tâm xem chúng dư mấy.
Cho một số nguyên dương m, mặc dù tập số tự nhiên N khổng lồ có vô hạn phần tử nhưng nếu xét số dư của chúng khi chi cho số m thì các số dư chỉ có thể là m số: 0, 1, 2, · · · , m − 1. Và tập hợp các số có cùng số dư khi chia cho m được gọi là các lớp thặng dư.
+ Tập A0 gồm các số chia m dư 0 (chia hết).
+ Tập A1 gồm các số chia m dư 1.
+ Tập A2 gồm các số chia m dư 2.
+ … …
+ Tập Am−1 gồm các số chia m dư m − 1.
Chuyên đề này khai thác chính ý tưởng ấy cho các bài toán tổ hợp xác suất: thay vì đếm trong tập gốc, ta phân chia tập dữ kiện thành các tập con có cùng số dư, rồi thực hiện đếm xem lấy bao nhiêu phần tử từ mỗi tập con để thỏa mãn bài toán. Kĩ thuật này ta có thể gọi là phân tập đồng dư.
MỤC LỤC:
1 Bài toán mở đầu 3.
2 Cơ sở lý thuyết 4.
2.1 Đồng dư thức và các phép toán 4.
2.2 Phân tập đồng dư 4.
2.3 Bổ đề cân bằng 5.
2.4 Nguyên lí đếm trên các lớp thặng dư 6.
2.5 Phương pháp giải 7.
3 Các mô hình bài toán điển hình 8.
3.1 Mô hình 1: Phân tập và đếm số phần tử mỗi lớp thặng dư 8.
3.2 Mô hình 2: Chọn k phần tử có tổng chia hết cho m 8.
3.3 Mô hình 3: Hai số có tổng (hoặc hiệu) chia hết cho m 9.
3.4 Mô hình 4: Lập số có các chữ số đôi một khác nhau chia hết cho 3 hoặc 9 10.
3.5 Mô hình 5: Kết hợp hai điều kiện chia hết 11.
3.6 Mô hình 6: Kĩ thuật phần tử tự do (bổ đề cân bằng) 12.
3.7 Mô hình 7: Điền số vào bảng với dữ kiện chia hết 12.
4 Bài tập tự luyện 14.
5 Đáp án 18.
