TOANMATH.com giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh đề thi chọn đội tuyển dự thi học sinh giỏi Quốc gia môn Toán THPT năm học 2026 – 2027 sở GD&ĐT tỉnh Phú Thọ. Kỳ thi được diễn ra vào ngày 18-19 tháng 09 năm 2026. Đề thi có đáp án và lời giải chi tiết.
Trích dẫn Đề chọn đội tuyển thi HSG QG môn Toán THPT năm 2026 – 2027 sở GD&ĐT Phú Thọ:
+ Cho đa thức P_n(x) = x^n + a_(n-1)x^(n-1) + … + a_1x + a_0 với n thuộc N, n >= 3, a_0, a_1, …, a_(n-1) là các số nguyên và P_n(x) có n nghiệm thực phân biệt lập thành một cấp số cộng. a) Với n = 4, chứng minh rằng đa thức P’_4(x) có ba nghiệm thực phân biệt lập thành một cấp số cộng. b) Chứng minh rằng đa thức P_n(x) luôn phân tích được thành tích của hai đa thức với hệ số nguyên có bậc lớn hơn hoặc bằng 1.
+ Cho n thuộc N, n >= 1, số nguyên dương k được gọi là một số n-tốt nếu tồn tại a thuộc {1; 2; 3; …; 2026} để k là số nguyên dương nhỏ nhất thoả mãn số hữu tỉ (10^k – 1) / (n * a) là số thập phân hữu hạn. a) Chứng minh rằng k = 6 là một số 18-tốt. b) Gọi S(n) là tập hợp các số n-tốt. Tìm giá trị lớn nhất |S(n)| (kí hiệu |S| là số phần tử của tập hợp S).
+ Cho tứ giác lồi ABCD có hai cạnh AD và BC không song song. Giả sử hai đường tròn có đường kính AB và CD cắt nhau tại các điểm E và F nằm bên trong tứ giác. Gọi omega_E là đường tròn đi qua chân các đường vuông góc từ E đến các đoạn thẳng AB, BC, CD. Gọi omega_F là đường tròn đi qua chân các đường vuông góc từ F đến các đoạn thẳng CD, DA, AB. a) Chứng minh omega_E đi qua chân đường vuông góc của E lên DA. b) Chứng minh rằng trung điểm của đoạn thẳng EF nằm trên đường thẳng đi qua hai giao điểm của omega_E và omega_F.
