Công thức tính góc giữa hai mặt phẳng và bài tập áp dụng

Bài viết trình bày công thức tính góc giữa hai mặt phẳng và hướng dẫn áp dụng để giải một số bài tập trắc nghiệm liên quan.

1. CÁC KẾT QUẢ CẦN LƯU Ý
Gọi ${\vec n_P} = \left( {{a_1};{b_1};{c_1}} \right)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ và ${\vec n_Q} = \left( {{a_2};{b_2};{c_2}} \right)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(Q).$

Kết quả 1: Góc giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ là góc $\alpha $ $\left( {{0^0} \le \alpha \le {{90}^0}} \right)$ thỏa mãn:
$\cos \alpha = \frac{{\left| {{{\vec n}_P}.{{\vec n}_Q}} \right|}}{{\left| {{{\vec n}_P}} \right|.\left| {{{\vec n}_Q}} \right|}}$ $ = \frac{{\left| {{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2} + {c_1}{c_2}} \right|}}{{\sqrt {a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} .\sqrt {a_2^2 + b_2^2 + c_2^2} }}.$
Đặc biệt: $(P) \bot (Q)$ $ \Leftrightarrow {\vec n_P} \bot {\vec n_Q}$ $ \Leftrightarrow {a_1}{a_2} + {b_1}{b_2} + {c_1}{c_2} = 0.$

Kết quả 2: Gọi $\alpha $ $\left( {{0^0} \le \alpha \le {{90}^0}} \right)$ là góc giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q).$
+ Góc giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ nhỏ nhất $ \Leftrightarrow \cos \alpha $ đạt giá trị lớn nhất.
+ Góc giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ nhỏ nhất $ \Leftrightarrow \sin \alpha $ đạt giá trị nhỏ nhất.

2. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MINH HỌA
Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, ${\vec n_P} = \left( {{a_1};{b_1};{c_1}} \right)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ và ${\vec n_Q} = \left( {{a_2};{b_2};{c_2}} \right)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(Q).$ Gọi $\alpha $ $\left( {{0^0} \le \alpha \le {{90}^0}} \right)$ là góc giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$, khẳng định nào sau đây đúng?
A. $\cos \alpha = \frac{{{{\vec n}_P}.{{\vec n}_Q}}}{{\left| {{{\vec n}_P}} \right|.\left| {{{\vec n}_Q}} \right|}}.$
B. $\sin \alpha = \frac{{{{\vec n}_P}.{{\vec n}_Q}}}{{\left| {{{\vec n}_P}} \right|.\left| {{{\vec n}_Q}} \right|}}.$
C. $\cos \alpha = \frac{{\left| {{{\vec n}_P}.{{\vec n}_Q}} \right|}}{{\left| {{{\vec n}_P}} \right|.\left| {{{\vec n}_Q}} \right|}}.$
D. $\sin \alpha = \frac{{\left| {{{\vec n}_P}.{{\vec n}_Q}} \right|}}{{\left| {{{\vec n}_P}} \right|.\left| {{{\vec n}_Q}} \right|}}.$

Lời giải:
Áp dụng kết quả 1 đã trình bày ở mục 1.
Chọn đáp án C.

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, tính góc giữa hai mặt phẳng $(P):x – y + \sqrt 2 z + 1 = 0$ và $(Q): – x + y + 4 = 0.$
A. ${{{30}^0}.}$
B. ${{{45}^0}.}$
C. ${{{60}^0}.}$
D. ${{{90}^0}.}$

Lời giải:
Mặt phẳng $(P)$ có một vectơ pháp tuyến là ${\vec n_P} = (1; – 1;\sqrt 2 ).$
Mặt phẳng $(Q)$ có một vectơ pháp tuyến là ${\vec n_Q} = ( – 1;1;0).$
Gọi $\alpha $ $\left( {{0^0} \le \alpha \le {{90}^0}} \right)$ là góc giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$, ta có:
$\cos \alpha = \frac{{\left| {{{\vec n}_P}.{{\vec n}_Q}} \right|}}{{\left| {{{\vec n}_P}} \right|.\left| {{{\vec n}_Q}} \right|}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$ $ \Rightarrow \alpha = {45^0}.$
Chọn đáp án B.

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, tính góc giữa hai mặt phẳng $(P):x – y + 3z + 1 = 0$ và $(Q):x + 4y + z + 1 = 0.$
A. ${{{30}^0}.}$
B. ${{{45}^0}.}$
C. ${{{60}^0}.}$
D. ${{{90}^0}.}$

Lời giải:
Mặt phẳng $(P)$ có một vectơ pháp tuyến là ${\vec n_P} = (1; – 1;3).$
Mặt phẳng $(Q)$ có một vectơ pháp tuyến là ${\vec n_Q} = (1;4;1).$
Ta có: ${\vec n_P}.{\vec n_Q} = 0$ $ \Leftrightarrow (P) \bot (Q).$
Vậy góc giữa $(P)$ và $(Q)$ bằng ${90^0}.$
Chọn đáp án D.

Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, tính góc giữa hai mặt phẳng $(P):x + 2y + z + 10 = 0$ và $(Q): – x + y + 2z + 13 = 0.$
A. ${30^0}.$
B. ${45^0}.$
C. ${60^0}.$
D. ${90^0}.$

Lời giải:
Mặt phẳng $(P)$ có một vectơ pháp tuyến là ${\vec n_P} = (1;2;1).$
Mặt phẳng $(Q)$ có một vectơ pháp tuyến là ${\vec n_Q} = ( – 1;1;2).$
Gọi $\alpha $ $\left( {{0^0} \le \alpha \le {{90}^0}} \right)$ là góc giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$, ta có:
$\cos \alpha = \frac{{\left| {{{\vec n}_P}.{{\vec n}_Q}} \right|}}{{\left| {{{\vec n}_P}} \right|.\left| {{{\vec n}_Q}} \right|}} = \frac{1}{2}$ $ \Rightarrow \alpha = {60^0}.$
Chọn đáp án C.

Ví dụ 5: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, gọi $\alpha $ là góc giữa hai mặt phẳng $(P):x – 2y – 2z + 4 = 0$ và $(Q):2x + 2y + z + 1 = 0.$ Tính giá trị $\cos \alpha .$
A. ${ – \frac{4}{9}.}$
B. ${\frac{8}{9}.}$
C. ${\frac{4}{9}.}$
D. ${ – \frac{8}{9}.}$

Lời giải:
Mặt phẳng $(P)$ có một vectơ pháp tuyến là ${\vec n_P} = (1; – 2; – 2).$
Mặt phẳng $(Q)$ có một vectơ pháp tuyến là ${\vec n_Q} = (2;2;1).$
Ta có: $\cos \alpha = \frac{{\left| {{{\vec n}_P}.{{\vec n}_Q}} \right|}}{{\left| {{{\vec n}_P}} \right|.\left| {{{\vec n}_Q}} \right|}} = \frac{4}{9}.$
Chọn đáp án C.

Ví dụ 6: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, gọi $\alpha $ là góc giữa hai mặt phẳng $(P):2x + 3y – z – 1 = 0$ và mặt phẳng $(Oxy).$ Khẳng định nào sau đây đúng?
A. $\cos \alpha = \frac{{\sqrt {14} }}{{14}}.$
B. $\cos \alpha = – \frac{{3\sqrt {14} }}{{14}}.$
C. $\cos \alpha = \frac{{3\sqrt {14} }}{{14}}.$
D. $\cos \alpha = – \frac{{\sqrt {14} }}{{14}}.$

Lời giải:
Mặt phẳng $(P)$ có một vectơ pháp tuyến là ${\vec n_P} = (2;3; – 1).$
Mặt phẳng $(Oxy):z = 0$ có một vectơ pháp tuyến là $\vec n = (0;0;1).$
Ta có: $\cos \alpha = \frac{{\left| {{{\vec n}_P}.\vec n} \right|}}{{\left| {{{\vec n}_P}} \right|.|\vec n|}} = \frac{{\sqrt {14} }}{{14}}.$
Chọn đáp án A.

Ví dụ 7: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hai mặt phẳng $(P):x + 2y + z – 1 = 0$ và $(Q): – 3x + (m – 1)y + \left( {{m^2} + 2} \right)z + 2 = 0$ vuông góc với nhau.
A. $\{ 1,3\} .$
B. $\{ – 3,3\} .$
C. $\{ 1, – 3\} .$
D. $\{ – 1,1\} .$

Lời giải:
Mặt phẳng $(P)$ có một vectơ pháp tuyến là ${\vec n_P} = (1;2;1).$
Mặt phẳng $(Q)$ có một vectơ pháp tuyến là ${\vec n_Q} = \left( { – 3;m – 1;{m^2} + 2} \right).$
Để $(P) \bot (Q)$ $ \Leftrightarrow {\vec n_P}.{\vec n_Q} = 0$ $ \Leftrightarrow {m^2} + 2m – 3 = 0$ $ \Leftrightarrow m = 1 \vee m = – 3.$
Chọn đáp án C.

Ví dụ 8: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để góc giữa hai mặt phẳng $(P):x – y + \sqrt 2 z – 2 = 0$ và $(Q): – x + \left( {{m^2} – 3} \right)y + 4 = 0$ bằng ${45^0}.$
A. $\{ 2, – 1\} .$
B. $\{ – 2,1\} .$
C. $\{ – 1,1\} .$
D. $\{ – 2,2\} .$

Lời giải:
Mặt phẳng $(P)$ có một vectơ pháp tuyến là ${\vec n_P} = (1; – 1;\sqrt 2 ).$
Mặt phẳng $(Q)$ có một vectơ pháp tuyến là ${\vec n_Q} = \left( { – 1;{m^2} – 3;0} \right).$
Theo giả thiết: $\cos \alpha = \frac{{\left| {{{\vec n}_P}.{{\vec n}_Q}} \right|}}{{\left| {{{\vec n}_P}} \right|.\left| {{{\vec n}_Q}} \right|}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$ $ \Leftrightarrow \frac{{\left| { – 1 + 3 – {m^2}} \right|}}{{2\sqrt {1 + {{\left( {{m^2} – 3} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.$
$ \Leftrightarrow \left| {{m^2} – 2} \right| = \sqrt 2 \sqrt {1 + {{\left( {{m^2} – 3} \right)}^2}} .$
$ \Leftrightarrow {m^4} – 8{m^2} + 16 = 0$ $ \Leftrightarrow {m^2} = 4.$
$ \Leftrightarrow m = 2 \vee m = – 2.$
Chọn đáp án D.

Ví dụ 9: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A(0;1;1)$, $B(1; – 1;0)$ và mặt phẳng $(P):x + 2y + 2z – 1 = 0.$ Viết phương trình mặt phẳng $(Q)$ chứa $A$, $B$ đồng thời tạo với mặt phẳng $(P)$ một góc lớn nhất.
A. $(Q):2x + y – 1 = 0.$
B. $(Q):y – 2z + 1 = 0.$
C. $(Q):x + 3y – 2z + 1 = 0.$
D. $(Q):2{\rm{ }}x + 3y – 4z + 1 = 0.$

Lời giải:
Mặt phẳng $(P)$ có một vectơ pháp tuyến là ${\vec n_P} = (1;2;2).$
Gọi ${\vec n_Q}$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(Q).$
Gọi $\alpha $ $\left( {{0^0} \le \alpha \le {{90}^0}} \right)$ là góc giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$, ta có:
$0 \le \cos \alpha \le 1$ $ \Rightarrow $ góc $\alpha $ lớn nhất khi $\cos \alpha = 0$ $ \Leftrightarrow {\vec n_Q} \bot {\vec n_P}.$ Mặt khác do $A,B \in (Q)$ $ \Rightarrow {\vec n_Q} \bot \overrightarrow {AB} = (1; – 2; – 1).$
Vậy chọn được ${\vec n_Q} = \left[ {\overrightarrow {AB} ,{{\vec n}_P}} \right] = ( – 2; – 3;4).$
Mặt phẳng $(Q): – 2(x – 0) – 3(y – 1) + 4(z – 1) = 0$ $ \Leftrightarrow 2x + 3y – 4z + 1 = 0.$
Chọn đáp án D.

3. LUYỆN TẬP
a. ĐỀ BÀI
Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, tính góc giữa hai mặt phẳng $(P): – x – y + \sqrt 2 z + 2 = 0$ và $(Q):x + y + 1 = 0.$
A. ${30^0}.$
B. ${45^0}.$
C. ${60^0}.$
D. ${90^0}.$

Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, tính góc giữa hai mặt phẳng $(P):x – 2y + 2z – 3 = 0$ và $(Q):2x – y – 2z = 0.$
A. ${{{30}^0}.}$
B. ${{{45}^0}.}$
C. ${{{60}^0}.}$
D. ${{{90}^0}.}$

Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, tính góc giữa hai mặt phẳng $(P):2x – y + z – 2 = 0$ và $(Q):x + y + 2z – 10 = 0.$
A. ${{{30}^0}.}$
B. ${{{45}^0}.}$
C. ${{{60}^0}.}$
D. ${{{90}^0}.}$

Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, gọi $\alpha $ là góc giữa hai mặt phẳng $(P):x – y – z + 1 = 0$ và $(Q):x + 2y + 2z + 1 = 0.$ Tính giá trị $\sin \alpha .$
A. $\frac{{\sqrt 3 }}{3}.$
B. $ – \frac{{\sqrt 6 }}{3}.$
C. $\frac{{\sqrt 6 }}{3}.$
D. $ – \frac{{\sqrt 3 }}{3}.$

Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, gọi $\alpha $ là góc giữa hai mặt phẳng $(P): – 2x + 3y – z + 5 = 0$ và mặt phẳng $(Oyz).$ Khẳng định nào sau đây đúng?
A. $\cos \alpha = \frac{{3\sqrt {14} }}{{14}}.$
B. $\cos \alpha = – \frac{{\sqrt {14} }}{7}.$
C. $\cos \alpha = \frac{{\sqrt {14} }}{7}.$
D. $\cos \alpha = – \frac{{3\sqrt {14} }}{{14}}.$

Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, gọi $\alpha $ là góc giữa hai mặt phẳng $(P):2x – 3y – z + 8 = 0$ và mặt phẳng $(Oxz).$ Khẳng định nào sau đây đúng?
A. $\cos \alpha = – \frac{{3\sqrt {14} }}{{14}}.$
B. $\cos \alpha = – \frac{{\sqrt {14} }}{7}.$
C. $\cos \alpha = \frac{{\sqrt {14} }}{7}.$
D. $\cos \alpha = \frac{{3\sqrt {14} }}{{14}}.$

Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, gọi $\alpha $ là góc giữa hai mặt phẳng $(P):x – y – z + 4 = 0$ và $(Q):x + 2y + 2z – 5 = 0.$ Tính giá trị $\tan \alpha .$
A. $\frac{{\sqrt 3 }}{3}.$
B. $\sqrt 2 .$
C. $ – \sqrt 2 .$
D. $ – \frac{{\sqrt 3 }}{3}.$

Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số $k$ để hai mặt phẳng $(P):x + y + 2z – 4 = 0$ và $(Q):2x + (3k – 1)y + \left( {{k^2} – 3} \right)z + 10 = 0$ vuông góc với nhau.
A. $\left\{ { – \frac{5}{2}, – 1} \right\}.$
B. $\left\{ { – \frac{5}{2},1} \right\}.$
C. $\left\{ {\frac{5}{2},1} \right\}.$
D. $\{ – 1,1\} .$

Câu 9: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, tìm tập hợp tất cả giá trị thực của tham số $a$ để góc giữa hai mặt phẳng $(P):x + 2y + z + 2 = 0$ và $(Q): – x + \left( {2{a^2} – 1} \right)y + 2z – 1 = 0$ bằng ${60^0}.$
A. $\{ 2, – 1\} .$
B. $\{ – 2,1\} .$
C. $\{ – 1,1\} .$
D. $\{ – 2,2\} .$

Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A(0;1;1)$, $B(1; – 1;0)$ và mặt phẳng $(P):x + 2y + 2z + 5 = 0.$ Gọi $(Q)$ là mặt phẳng chứa $A$, $B$ đồng thời tạo với mặt phẳng $(P)$ một góc lớn nhất. Tính khoảng cách $d$ từ $O$ đến $(Q).$
A. $d = \frac{{3\sqrt {29} }}{{29}}.$
B. $d = \frac{{\sqrt {25} }}{{25}}.$
C. $d = \frac{{\sqrt {29} }}{{29}}.$
D. $d = \frac{{3\sqrt {25} }}{{25}}.$

b. BẢNG ĐÁP ÁN