Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng dựa vào tích có hướng

Bài viết hướng dẫn giải các bài toán có liên quan đến việc xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng dựa vào tích có hướng trong chương trình Hình học 12 chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian Oxyz.

1. CÁC KẾT QUẢ CẦN LƯU Ý
Kết quả 1: Cho ba điểm $A$ , $B$ , $C$ phân biệt và không thẳng hàng cho trước. Lúc đó, mặt phẳng $(A B C)$ có một vectơ pháp tuyến là $\vec{n} = [\vec{A B}, \vec{A C}] .$

Kết quả 2: Cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ không cùng phương cho trước.
Ta có: ${\begin{array}{l} \vec{c} ⊥ \vec{a} \\ \vec{c} ⊥ \vec{b} \end{array}$ $\Rightarrow$ chọn $\vec{c} = [\vec{a}, \vec{b}] .$

Kết quả 3: Hai mặt phẳng $(α)$ , $(β)$ lần lượt có các vectơ pháp tuyến là ${\vec{n}}_{α}$ và ${\vec{n}}_{β} .$
$(α) / / (β)$ $\Rightarrow {\vec{n}}_{α}$ và ${\vec{n}}_{β}$ cùng phương.
$(α) ⊥ (β)$ $\Leftrightarrow {\vec{n}}_{α} ⊥ {\vec{n}}_{β} .$

2. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MINH HỌA
Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$ , viết phương trình mặt phẳng $(P)$ qua ba điểm $A (1; 1; 2)$ , $B (2; 1; 1)$ và $C (0; - 1; 3) .$
A. $(P) : x + y + z - 4 = 0.$
B. $(P) : x + 2 y + z - 5 = 0.$
C. $(P) : x + z - 2 = 0.$
D. $(P) : x + z - 3 = 0.$

Lời giải:
Ta có $\vec{A B} = (1; 0; - 1)$ , $\vec{A C} = (- 1; - 2; 1) .$
Mặt phẳng $(P)$ qua $A (1; 1; 2)$ và có một vectơ pháp tuyến là $\vec{n} = [\vec{A B}, \vec{A C}]$ $= (- 2; 0; - 2)$ , có phương trình $(P) : - 2 (x - 1) + 0 (y - 1) - 2 (z - 2) = 0$ $\Leftrightarrow x + z - 3 = 0.$
Chọn đáp án D.

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$ , viết phương trình mặt phẳng $(M N P)$ biết $M (1; 0; 1)$ , $N (2; 1; - 1)$ và $P (0; 1; 2) .$
A. $2 x + z - 3 = 0.$
B. $x + y + z - 2 = 0.$
C. $3 x + y + 2 z - 5 = 0.$
D. $3 x + y + 2 z - 1 = 0.$

Lời giải:
Ta có $\vec{M N} = (1; 1; - 2)$ , $\vec{M P} = (- 1; 1; 1) .$
Mặt phẳng $(M N P)$ qua $M (1; 0; 1)$ và có một vectơ pháp tuyến là $\vec{n} = [\vec{M N}, \vec{M P}] = (3; 1; 2)$ có phương trình:
$(M N P) : 3 (x - 1) + 1 (y - 0) + 2 (z - 1) = 0$ $\Leftrightarrow 3 x + y + 2 z - 5 = 0.$
Chọn đáp án C.

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$ , cho điểm $A (1; 0; 1)$ và hai mặt phẳng $(P) : x + y - 2 z = 0$ , $(Q) : - x + y + z + 5 = 0.$ Viết phương trình mặt phẳng $(α)$ qua $A$ , đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q) .$
A. $x + 2 z - 3 = 0.$
B. $2 x + y - 2 z - 1 = 0.$
C. $3 x + y + 2 z - 4 = 0.$
D. $3 x + y + 2 z - 5 = 0.$

Lời giải:
Mặt phẳng $(P)$ có một vectơ pháp tuyến là ${\vec{n}}_{P} = (1; 1; - 2) .$
Mặt phẳng $(Q)$ có một vectơ pháp tuyến là ${\vec{n}}_{Q} = (- 1; 1; 1) .$
Gọi ${\vec{n}}_{α}$ là một vectơ pháp tuyến của $(α) .$ Ta có: ${\begin{array}{l} {\vec{n}}_{α} ⊥ {\vec{n}}_{p} \\ {\vec{n}}_{α} ⊥ {\vec{n}}_{Q} \end{array}$ $\Rightarrow$ chọn ${\vec{n}}_{α} = [{\vec{n}}_{P}, {\vec{n}}_{Q}] = (3; 1; 2) .$
Mặt phẳng $(α)$ qua $A (1; 0; 1)$ và có một vectơ pháp tuyến là ${\vec{n}}_{α} = (3; 1; 2)$ , có phương trình $(α) : 3 (x - 1) + 1 (y - 0) + 2 (z - 1) = 0$ $\Leftrightarrow 3 x + y + 2 z - 5 = 0.$
Chọn đáp án D.

Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$ , cho điểm $H (1; 1; 2)$ và hai mặt phẳng $(P) : x - z + 1 = 0$ , $(Q) : - x - 2 y + z + 1 = 0.$ Viết phương trình mặt phẳng $(α)$ qua $H$ , đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q) .$
A. $x + 2 z - 3 = 0.$
B. $x + z - 3 = 0.$
C. $x + z + 3 = 0.$
D. $3 x + y + 2 z - 5 = 0.$

Lời giải:
Mặt phẳng $(P)$ có một vectơ pháp tuyến là ${\vec{n}}_{p} = (1; 0; - 1) .$
Mặt phẳng $(Q)$ có một vectơ pháp tuyến là ${\vec{n}}_{Q} = (- 1; - 2; 1) .$
Gọi ${\vec{n}}_{α}$ là một vectơ pháp tuyến của $(α) .$ Ta có: ${\begin{array}{l} {\vec{n}}_{α} ⊥ {\vec{n}}_{P} \\ {\vec{n}}_{α} ⊥ {\vec{n}}_{Q} \end{array}$ $\Rightarrow$ chọn ${\vec{n}}_{α} = [{\vec{n}}_{P}, {\vec{n}}_{Q}] = (- 2; 0; - 2) .$
Mặt phẳng $(α)$ qua $H (1; 1; 2)$ và có một vectơ pháp tuyến là ${\vec{n}}_{α} = (- 2; 0; - 2)$ có phương trình $(α) : - 2 (x - 1) + 0 (y - 1) - 2 (z - 2) = 0$ $\Leftrightarrow x + z - 3 = 0.$
Chọn đáp án B.

Ví dụ 5: Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$ , cho hai điểm $A (1; 3; 2)$ , $B (- 1; 1; 0)$ và mặt phẳng $(α) : x - 4 y - z + 10 = 0.$ Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ qua hai điểm $A$ , $B$ và vuông góc với mặt phẳng $(α) .$
A. $x + 2 z - 3 = 0.$
B. $3 x + 2 y - 5 z + 1 = 0.$
C. $3 x + 2 y - 5 z - 2 = 0.$
D. $3 x + y + 2 z - 5 = 0.$

Lời giải:
Mặt phẳng $(α)$ có một vectơ pháp tuyến là ${\vec{n}}_{α} = (1; - 4; - 1)$ và $\vec{A B} = (- 2; - 2; - 2) .$
Gọi ${\vec{n}}_{P}$ là một vectơ pháp tuyến của $(P) .$
Ta có: ${\begin{array}{l} {\vec{n}}_{P} ⊥ {\vec{n}}_{α} \\ {\vec{n}}_{P} ⊥ \vec{A B} \end{array}$ $\Rightarrow$ chọn ${\vec{n}}_{P} = [{\vec{n}}_{α}, \vec{A B}] = (6; 4; - 10) .$
Mặt phẳng $(P)$ qua $B (- 1; 1; 0)$ và có một vectơ pháp tuyến là ${\vec{n}}_{P} = (6; 4; - 10)$ , có phương trình:
$(P) : 6 (x + 1) + 4 (y - 1) - 10 (z - 0) = 0$ $\Leftrightarrow 3 x + 2 y - 5 z + 1 = 0.$
Chọn đáp án B.

Ví dụ 6: Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$ , viết phương trình mặt phẳng $(P)$ qua hai điểm $A (1; 2; 1)$ , $B (- 1; 4; - 1)$ và song song với trục $O x .$
A. $x + 2 y + z - 8 = 0.$
B. $y + z - 5 = 0.$
C. $y + z - 3 = 0.$
D. $3 x + y + z - 1 = 0.$

Lời giải:
Gọi ${\vec{n}}_{P}$ là một vectơ pháp tuyến của $(P) .$
Ta có: ${\begin{array}{l} {\vec{n}}_{P} ⊥ \vec{i} = (1; 0; 0) \\ {\vec{n}}_{P} ⊥ \vec{A B} = (- 2; 2; - 2) \end{array}$ $\Rightarrow$ chọn ${\vec{n}}_{P} = [\vec{i}, \vec{A B}] = (0; 2; 2) .$
Mặt phẳng $(P)$ qua $A (1; 2; 1)$ và có một vectơ pháp tuyến là ${\vec{n}}_{P} = (0; 2; 2)$ có phương trình $(P) : 0 (x - 1) + 2 (y - 2) + 2 (z - 1) = 0$ $\Leftrightarrow y + z - 3 = 0$ (thỏa do $O \notin (P)$ ).
Chọn đáp án C.

Ví dụ 7: Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$ , viết phương trình mặt phẳng $(P)$ qua hai điểm $A (1; 2; 1)$ , $B (- 1; 4; - 1)$ và vuông góc với mặt phẳng $(O y z) .$
A. $x + 2 y + z - 8 = 0.$
B. $y + z - 4 = 0.$
C. $y + z - 3 = 0.$
D. $x + y + z - 4 = 0.$

Lời giải:
Mặt phẳng $(O y z) :$ $x = 0$ có một vectơ pháp tuyến là $\vec{n} = (1; 0; 0)$ và $\vec{A B} = (- 2; 2; - 2) .$
Gọi ${\vec{n}}_{P}$ là một vectơ pháp tuyến của $(P) .$
Ta có: ${\begin{array}{l} {\vec{n}}_{P} ⊥ \vec{n} \\ {\vec{n}}_{P} ⊥ \vec{A B} \end{array}$ $\Rightarrow$ chọn ${\vec{n}}_{P} = [\vec{n}, \vec{A B}] = (0; 2; 2) .$
Mặt phẳng $(P)$ qua $A (1; 2; 1)$ và có một vectơ pháp tuyến là ${\vec{n}}_{P} = (0; 2; 2)$ , có phương trình $(P) : 0 (x - 1) + 2 (y - 2) + 2 (z - 1) = 0$ $\Leftrightarrow y + z - 3 = 0.$
Chọn đáp án C.

Ví dụ 8: Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$ , viết phương trình mặt phẳng $(P)$ qua hai điểm $M (1; 2; 3)$ , $N (- 1; 1; 5)$ và song song với trục $O z .$
A. $x + z - 4 = 0.$
B. $x - 2 y + 3 = 0.$
C. $x - 2 y + 5 = 0.$
D. $x + 2 z - 7 = 0.$

Lời giải:
Gọi ${\vec{n}}_{P}$ là một vectơ pháp tuyến của $(P) .$
Ta có: ${\begin{array}{l} {\vec{n}}_{P} ⊥ \vec{k} = (0; 0; 1) \\ {\vec{n}}_{P} ⊥ \vec{M N} = (- 2; - 1; 2) \end{array}$ $\Rightarrow$ chọn ${\vec{n}}_{p} = [\vec{k}, \vec{M N}] = (1; - 2; 0) .$
Mặt phẳng $(P)$ qua $M (1; 2; 3)$ và có một vectơ pháp tuyến là ${\vec{n}}_{P} = (1; - 2; 0)$ , có phương trình $(P) : 1 (x - 1) - 2 (y - 2) + 0 (z - 3) = 0$ $\Leftrightarrow x - 2 y + 3 = 0$ (thỏa do $O \notin (P)$ ).
Chọn đáp án B.

Ví dụ 9: Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$ , viết phương trình mặt phẳng $(P)$ qua hai điểm $M (1; 2; 3)$ , $N (- 1; 1; 5)$ và vuông góc với mặt phẳng $(O x y) .$
A. $x + z - 4 = 0.$
B. $x + 2 z - 7 = 0.$
C. $x - 2 y + 5 = 0.$
D. $x - 2 y + 3 = 0.$

Lời giải:
Mặt phẳng $(O x y) :$ $z = 0$ có một vectơ pháp tuyến là $\vec{n} = (0; 0; 1)$ và $\vec{M N} = (- 2; - 1; 2) .$
Gọi ${\vec{n}}_{P}$ là một vectơ pháp tuyến của $(P) .$
Ta có: ${\begin{array}{l} {\vec{n}}_{P} ⊥ \vec{n} \\ {\vec{n}}_{P} ⊥ \vec{M N} \end{array}$ $\Rightarrow$ chọn ${\vec{n}}_{P} = [\vec{n}, \vec{M N}] = (1; - 2; 0) .$
Mặt phẳng $(P)$ qua $M (1; 2; 3)$ và có một vectơ pháp tuyến là ${\vec{n}}_{P} = (1; - 2; 0)$ , có phương trình $(P) : 1 (x - 1) - 2 (y - 2) + 0 (z - 3) = 0$ $\Leftrightarrow x - 2 y + 3 = 0.$
Chọn đáp án D.

Ví dụ 10: Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$ , viết phương trình mặt phẳng $(P)$ qua điểm $A (1; 2; 1)$ , vuông góc với mặt phẳng $(α) : - 2 x + 2 y - 2 z + 1 = 0$ và song song với trục $O x .$
A. $x + 2 y + z - 8 = 0.$
B. $y + z - 3 = 0.$
C. $y + z - 1 = 0.$
D. $3 x + y + z - 1 = 0.$

Lời giải:
Mặt phẳng $(α)$ có một vectơ pháp tuyến là $\vec{n} = (- 2; 2; - 2) .$
Gọi ${\vec{n}}_{P}$ là một vectơ pháp tuyến của $(P) .$
Ta có: ${\begin{array}{l} {\vec{n}}_{P} ⊥ \vec{i} = (1; 0; 0) \\ {\vec{n}}_{P} ⊥ \vec{n} \end{array}$ $\Rightarrow$ chọn ${\vec{n}}_{P} = [\vec{i}, \vec{n}] = (0; 2; 2) .$
Mặt phẳng $(P)$ qua $A (1; 2; 1)$ và có một vectơ pháp tuyến là ${\vec{n}}_{P} = (0; 2; 2)$ , có phương trình $(P) : 0 (x - 1) + 2 (y - 2) + 2 (z - 1) = 0$ $\Leftrightarrow y + z - 3 = 0$ (thỏa do $O \notin (P)$ ).
Chọn đáp án B.

Ví dụ 11: Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$ , viết phương trình mặt phẳng $(P)$ qua điểm $A (1; 2; 3)$ , vuông góc với mặt phẳng $(α) : - 2 x + 2 y - 2 z + 1 = 0$ và vuông góc với mặt phẳng $(O y z) .$
A. $x + 2 y + z - 8 = 0.$
B. $y + z - 5 = 0.$
C. $y + z - 1 = 0.$
D. $3 x + y + z - 1 = 0.$

Lời giải:
Mặt phẳng $(O y z) : x = 0$ có một vectơ pháp tuyến là $\vec{n} = (1; 0; 0) .$
Mặt phẳng $(α)$ có một vectơ pháp tuyến là ${\vec{n}}_{α} = (- 2; 2; - 2) .$
Gọi ${\vec{n}}_{P}$ là một vectơ pháp tuyến của $(P) .$
Ta có: ${\begin{array}{l} {\vec{n}}_{P} ⊥ \vec{n} \\ {\vec{n}}_{P} ⊥ {\vec{n}}_{α} \end{array}$ $\Rightarrow$ chọn ${\vec{n}}_{P} = [\vec{n}, {\vec{n}}_{α}] = (0; 2; 2) .$
Mặt phẳng $(P)$ qua $A (1; 2; 3)$ và có một vectơ pháp tuyến là ${\vec{n}}_{P} = (0; 2; 2)$ , có phương trình $(P) : 0 (x - 1) + 2 (y - 2) + 2 (z - 3) = 0$ $\Leftrightarrow y + z - 5 = 0$ (thỏa do $O \notin (P)$ ).
Chọn đáp án B.

3. LUYỆN TẬP
1. ĐỀ BÀI
Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$ , viết phương trình mặt phẳng $(A B C)$ biết $A (1; 3; 2)$ , $B (2; - 1; 1)$ và $C (- 1; 1; 0) .$
A. $x + 2 z - 3 = 0.$
B. $2 x + y - 2 z - 1 = 0.$
C. $3 x + 2 y - 5 z + 4 = 0.$
D. $3 x + 2 y - 5 z + 1 = 0.$

Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$ , cho điểm $K (- 1; 1; 0)$ và hai mặt phẳng $(α) : x - 4 y - z = 0$ , $(β) : - 2 x - 2 y - 2 z + 1 = 0.$ Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ qua $K$ , đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng $(α)$ và $(β) .$
A. $x - 2 y + 3 = 0.$
B. $3 x + 2 y - 5 z + 1 = 0.$
C. $3 x + 2 y - 5 z - 2 = 0.$
D. $3 x + y + 2 z - 5 = 0.$

Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$ , cho hai điểm $A (1; 1; 2)$ , $B (2; 1; 1)$ và mặt phẳng $(α) : - x - 2 y + z + 9 = 0.$ Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ qua hai điểm $A$ , $B$ và vuông góc với mặt phẳng $(α) .$
A. $(P) : x + y + z - 4 = 0.$
B. $(P) : x + z - 3 = 0.$
C. $(P) : x + z - 2 = 0.$
D. $(P) : x + 2 y + z - 5 = 0.$

Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$ , viết phương trình mặt phẳng $(P)$ qua hai điểm $A (1; 0; 2)$ , $B (3; - 1; 1)$ và song song với trục $O y .$
A. $x + 2 z - 3 = 0.$
B. $y + z - 5 = 0.$
C. $y + z - 1 = 0.$
D. $x + 2 z - 5 = 0.$

Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$ , viết phương trình mặt phẳng $(P)$ qua hai điểm $A (1; 0; 2)$ , $B (3; - 1; 1)$ và vuông góc với mặt phẳng $(O x z) .$
A. $x + 2 z - 3 = 0.$
B. $y + z - 5 = 0.$
C. $y + z - 1 = 0.$
D. $x + 2 z - 5 = 0.$

Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$ , viết phương trình mặt phẳng $(P)$ qua điểm $A (1; 0; 2)$ , vuông góc với mặt phẳng $(α) : 2 x - y - z + 7 = 0$ và song song với trục $O y .$
A. $x + 2 z - 3 = 0.$
B. $y + z - 5 = 0.$
C. $y + z - 1 = 0.$
D. $x + 2 z - 5 = 0.$

Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$ , viết phương trình mặt phẳng $(P)$ qua hai điểm $A (1; 0; 2)$ , vuông góc với mặt phẳng $(α) : 2 x - y - z + 7 = 0$ và vuông góc với mặt phẳng $(O x z) .$
A. $x + 2 z - 3 = 0.$
B. $y + z - 5 = 0.$
C. $y + z - 1 = 0.$
D. $x + 2 z - 5 = 0.$

Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$ , viết phương trình mặt phẳng $(P)$ qua điểm $A (- 1; 1; 5)$ , vuông góc với mặt phẳng $(α) : - 2 x - y + 2 z + 11 = 0$ và vuông góc với mặt phẳng $(O x y) .$
A. $x + z - 4 = 0.$
B. $x + 2 z - 7 = 0.$
C. $x - 2 y + 5 = 0.$
D. $x - 2 y + 3 = 0.$

Câu 9: Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$ , viết phương trình mặt phẳng $(P)$ qua điểm $A (- 1; 1; 5)$ , vuông góc với mặt phẳng $(α) : - 2 x - y + 2 z + 11 = 0$ và song song với trục $O z .$
A. $x + z - 4 = 0.$
B. $x + 2 z - 7 = 0.$
C. $x - 2 y + 5 = 0.$
D. $x - 2 y + 3 = 0.$

Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$ , cho hai điểm $M (1; 0; 1)$ , $N (2; 1; - 1)$ và mặt phẳng $(α) : - x + y + z + 5 = 0.$ Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ qua hai điểm $M$ , $N$ và vuông góc với mặt phẳng $(α) .$
A. $2 x + z - 3 = 0.$
B. $x + y + z - 2 = 0.$
C. $3 x + y + 2 z - 5 = 0.$
D. $3 x + y + 2 z - 1 = 0.$