TOANMATH.com giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh đề thi chọn học sinh giỏi thành phố bảng chuyên cấp THPT và chọn đội tuyển dự thi học sinh giỏi cấp Quốc gia môn Toán THPT năm học 2026 – 2027 sở Giáo dục và Đào tạo thành phố Hải Phòng. Kỳ thi được diễn ra vào ngày 14 và ngày 15 tháng 09 năm 2026. Đề thi có đáp án và lời giải chi tiết.
Trích dẫn Đề chọn đội tuyển thi HSG QG môn Toán THPT năm 2026 – 2027 sở GD&ĐT Hải Phòng:
+ Cho tam giác ABC (AB < AC) cố định, nội tiếp đường tròn (O). Một điểm D di chuyển trên cạnh AB, khác A và B. Đường tròn (BCD) cắt cạnh AC tại điểm E khác C. Gọi P là giao điểm khác A của hai đường tròn (O) và (ADE). a) Chứng minh rằng đường thẳng PD luôn đi qua một điểm cố định. b) Giả sử đường thẳng PD, PE cắt đường tròn (BCD) lần lượt tại điểm Q, R khác D, E. Gọi M là trung điểm của đoạn QR. Chứng minh rằng điểm M luôn di chuyển trên một đường tròn cố định. + Một câu lạc bộ có 99 thành viên, trong đó có một số cặp quen biết nhau (quan hệ quen biết có tính hai chiều). Giả sử số lượng người quen của mỗi thành viên trong câu lạc bộ đều từ 81 đến 90. a) Chứng minh rằng tồn tại 2 thành viên của câu lạc bộ có ít nhất 67 người quen chung. b) Chứng minh rằng tồn tại 10 thành viên của câu lạc bộ cùng quen chung một người và có số lượng người quen bằng nhau. + Với số nguyên dương n >= 2, một bảng ô vuông n x n được gọi là bảng “tốt” nếu trong mỗi ô vuông đơn vị chứa một số nguyên dương thỏa mãn: i) Các số nguyên dương đôi một phân biệt; ii) Nếu trên mỗi hàng, mỗi cột, ta tính ước chung lớn nhất của n số nguyên dương trong hàng, cột đó thì sau tất cả ta thu được 2n kết quả khác nhau. a) Chứng minh rằng trong mỗi bảng n x n “tốt”, luôn có một ô vuông chứa số nguyên dương lớn hơn hoặc bằng 2n^2. b) Một bảng ô vuông n x n được gọi là “tốt tối tiểu” nếu tất cả các số nguyên dương trong bảng đều nhỏ hơn hoặc bằng 2n^2. Chứng minh rằng không tồn tại bảng “tốt tối tiểu” với n là số lẻ. c) Xác định tất cả các giá trị n >= 2 để tồn tại bảng n x n “tốt tối tiểu”.
