TOANMATH.com giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh lớp 12 đề chọn đội tuyển dự thi học sinh giỏi Quốc gia môn Toán THPT năm học 2024 – 2025 sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Hà Tĩnh; kỳ thi diễn ra vào ngày 18 và 19 tháng 09 năm 2024.
Trích dẫn Đề chọn đội tuyển thi HSG QG môn Toán THPT năm 2024 – 2025 sở GD&ĐT Hà Tĩnh:
+ Cho tam giác ABC nhọn, không cân nội tiếp đường tròn (O) có các đường cao AD, BE, CF. Gọi Ab là điểm đối xứng của B qua F, Ac là điểm đối xứng của C qua E. Gọi X là giao điểm của DE và AB, Y là giao điểm của DF và AC. a) Chứng minh rằng bốn điểm X, Y, Ab, Ac cùng thuộc một đường tròn. b) Gọi Bc là điểm đối xứng của C qua D, Ba là điểm đối xứng của A qua F, Ca là điểm đối xứng của A qua E, Cb là điểm đối xứng của B qua D. Chứng minh rằng bán kính đường tròn ngoại tiếp của các tam giác AAbAc, BBcBa, CCaCb bằng nhau.
+ Với x và y nguyên, x | y là ký hiệu y chia hết cho x. a) Có tồn tại hay không các số nguyên a, b, c lớn hơn 1 và thỏa mãn đồng thời ba tính chất: a | 2b – 1, b | 2c – 1 và c | 2a – 1. b) Tìm tất cả cặp số nguyên dương (a;b) sao cho ab | ba – 1.
+ Với mỗi số nguyên dương n, đếm số cách điền các số 0, 1, …, 5 vào các ô của bảng ô vuông n x n thỏa mãn: a) Tổng các số trong mỗi hàng đều chia hết cho 2, còn tổng các số trong mỗi cột đều chia hết cho 3. b) Tương tự câu a, nhưng thêm điều kiện tổng các số trong mỗi đường chéo chính chia hết cho 6 (mỗi bảng ô vuông n x n có hai đường chéo chính).
