Tài liệu gồm 98 trang, được biên soạn bởi tác giả Mai Thành Luân, bao gồm kiến thức trọng tâm và bài tập có lời giải một số chuyên đề hình học không gian thuần túy vận dụng cao.
Lời nói đầu:
Trong chương trình Toán phổ thông, hình học không gian luôn được xem là mảng kiến thức rèn luyện tư duy mạnh nhất. Để giải một bài toán không gian, người học phải dựng được hình trong trí tưởng tượng, nhìn ra các quan hệ song song – vuông góc, xác định đúng hình chiếu, góc và khoảng cách — những thao tác mà không một công thức máy móc nào làm thay được. Cũng chính vì thế, đây thường là phần gây e ngại nhất, đồng thời là nơi phân hóa rõ nhất trong các đề thi.
Tài liệu này chọn hướng đi hình học thuần túy: mọi bài toán đều được giải bằng chính công cụ của hình học — quan hệ song song và vuông góc, định lí ba đường vuông góc, các hệ thức về góc, khoảng cách và thể tích — không gắn hệ trục tọa độ. Lợi ích của cách học này không chỉ nằm ở lời giải gọn gàng, mà quan trọng hơn là quá trình đi tìm lời giải: mỗi lần tự dựng được hình, tự tìm ra chân đường vuông góc hay nhìn thấy góc phẳng của nhị diện là một lần trí tưởng tượng không gian được rèn giũa thêm.
Nội dung gồm sáu chuyên đề, đi từ góc giữa hai đường thẳng chéo nhau, các công thức góc – khoảng cách, kĩ năng định vị chân đường cao, các công thức thể tích nâng cao, đến góc nhị diện và các bài toán cực trị. Mỗi chuyên đề theo một mạch thống nhất: trước hết hiểu rõ bản chất của công thức (nó sinh ra từ đâu, vì sao đúng); sau đó nắm chắc cách làm qua các lời giải mẫu trình bày từng bước; cuối cùng mới bước sang những dạng khó thường gặp — chỗ mà chỉ thuộc công thức là không đủ.
Cuối mỗi chương còn có hệ thống bài tập nâng cao (đánh dấu ∗), nơi các bất đẳng thức quen thuộc như AM–GM, Bunhiacopxki, Minkowski được đưa vào hình học không gian đúng theo tinh thần của những câu vận dụng cao trong đề thi.
Một điều đáng lưu ý: rất nhiều bài toán trong đề thi chính thức, dù được khoác lớp vỏ tình huống thực tế hay phát biểu bằng ngôn ngữ tọa độ, thực chất đều xuất phát từ một bài hình thuần túy. Bóc lớp vỏ ấy đi, phần lõi còn lại vẫn là những mô hình quen thuộc xuất hiện xuyên suốt cuốn tài liệu này. Nắm chắc phần lõi, đề thi sẽ không còn nhiều bất ngờ.
Cũng cần nói rõ về phương pháp gắn hệ trục tọa độ. Đó là một công cụ tốt, và khi hướng giải hình học gặp bế tắc thì việc chọn hệ trục là hoàn toàn chính đáng — nhất là với các bài có sẵn ba đường đôi một vuông góc. Tuy vậy, tọa độ nên được xem là lối thoát tùy bài, không phải thói quen mặc định: lạm dụng tọa độ, khả năng nhìn hình sẽ mai một dần, và không ít bài toán vốn chỉ cần vài dòng lập luận hình học lại bị biến thành mấy trang tính toán.
Trong từng trang sách, công thức đều được dựng lại từ đầu, hình vẽ được dựng chính xác và cẩn thận, mỗi bài giải đều khép lại bằng mục Note chốt điểm mấu chốt cùng những chỗ dễ nhầm lẫn. Hy vọng cuốn tài liệu sẽ là người bạn đồng hành đáng tin cậy trên con đường tự học và chinh phục các bài toán vận dụng cao.
Dù đã được rà soát kĩ lưỡng, tài liệu chắc chắn khó tránh khỏi thiếu sót. Mọi ý kiến đóng góp đều rất đáng quý để tài liệu được hoàn thiện hơn trong những lần chỉnh lí sau.
– Mai Thành Luân –
Mục lục:
Chương 1. Góc giữa hai đường thẳng và hai cạnh đối trong tứ diện 3.
Chương 2. Công thức góc – khoảng cách GKC01 và GKC02 18.
Chương 3. Kĩ năng định vị chân đường cao 33.
Chương 4. Công thức tính thể tích nâng cao 52.
Chương 5. Nâng cao góc nhị diện trong không gian 69.
Chương 6. Cực trị thể tích 81.
