TOANMATH.com giới thiệu đến đọc giả bài viết mặt cầu trong không gian thuộc chương trình Hình học 12 chương 3: phương pháp tọa độ trong không gian Oxyz. Bài viết trình bày các vấn đề: lập phương trình mặt cầu, vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng, vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng.
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
1) Lập phương trình mặt cầu:
• Để lập phương trình mặt cầu ta cần tìm tâm $I(a;b;c)$ và bán kính $R.$ Khi đó phương trình mặt cầu có dạng:
${{(x-a)}^{2}}+{{(y-b)}^{2}}+{{(z-c)}^{2}}={{R}^{2}}.$
• Ngoài ra để lập phương trình mặt cầu ta có thể tìm các hệ số $a$, $b$, $c$, $d$ trong phương trình: ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2ax-2by-2cz+d=0$, với tâm $I(a;b;c)$, bán kính ${{R}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-d>0.$
• Một mặt cầu được hoàn toàn xác định khi biết tâm và bán kính hoặc biết đường kính.
2) Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng:
Cho mặt cầu tâm $I$, bán kính $R$ và mặt phẳng $(\alpha )$, $h=d\left( I,(\alpha ) \right)$, $H$ là hình chiếu của $I$ lên mặt phẳng $(\alpha ).$
• $h>R$ thì $(\alpha )$ và mặt cầu $(I)$ không giao nhau.
• $h=R$ thì $(\alpha )$ và mặt cầu $(I)$ tiếp xúc nhau tại $H.$
• $h<R$ thì $(\alpha )$ và mặt cầu $(I)$ cắt nhau theo giao tuyến là đường tròn tâm $H$, bán kính $r=\sqrt{{{R}^{2}}-{{h}^{2}}}.$
3) Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng:
Cho mặt cầu tâm $I$, bán kính $R$ và đường thẳng $\Delta $, $h=d\left( I,\Delta \right)$, $H$ là hình chiếu của $I$ lên mặt phẳng $\Delta .$
• $h>R$ thì $\Delta $ và mặt cầu $(I)$ không giao nhau.
• $h=R$ thì $\Delta $ và mặt cầu $(I)$ tiếp xúc nhau tại $H.$ Hay $\Delta $ là tiếp tuyến của mặt cầu $(I).$
• $h<R$ thì $\Delta $ và mặt cầu $(I)$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt $A$, $B$ và $H$ là trung điểm của dây cung $AB$, do đó: ${{R}^{2}}=\frac{A{{B}^{2}}}{4}+{{h}^{2}}.$
B. MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH
Ví dụ 1. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $A(0;0;-2)$ và đường thẳng $\Delta :\frac{x+2}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z+3}{2}.$ Tính khoảng cách từ $A$ đến $\Delta .$ Viết phương trình mặt cầu tâm $A$, cắt $\Delta $ tại hai điểm $B$ và $C$ sao cho $BC=8.$
Đường thẳng $\Delta $ qua $M\left( -2;2;-3 \right)$ và có $\overrightarrow{u}=\left( 2;3;2 \right)$ là VTCP.
$d\left( A,\Delta \right)=\frac{\left| \left[ \overrightarrow{AM},\overrightarrow{u} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{u} \right|}=3.$
Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ lên $\Delta $ thì $AH=3$ và $H$ là trung điểm của $BC$ nên$BH=4.$ Vậy bán kính mặt cầu là $AB=\sqrt{A{{H}^{2}}+B{{H}^{2}}}=5.$
Nên phương trình mặt cầu là ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z+2 \right)}^{2}}=25.$
Ví dụ 2. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $\Delta $ có phương trình:$\frac{x-1}{2}=\frac{y-3}{4}=\frac{z}{1}$ và mặt phẳng $(P):2x-y+2z=0.$ Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng $\Delta $, bán kính bằng $1$ và tiếp xúc với mặt phẳng $(P).$
Gọi $(S)$ là mặt cầu cần tìm, $I$ là tâm.
Phương trình tham số đường thẳng $\Delta :\left\{ \begin{align}
& x=1+2t \\
& y=3+4t \\
& z=t \\
\end{align} \right. .$
Vì $I\in \Delta $ $\Rightarrow I\left( 1+2t;3+4t;t \right).$
Ta có $(P)$ tiếp xúc với $(S)$ nên: $d(I,(P))=1$ $\Leftrightarrow \frac{\left| 2(1+2t)-(3+4t)+2t \right|}{3}=1$ $\Leftrightarrow t=2$, $t=-1.$
• $t=2$ $\Rightarrow I(5;11;2)$ $\Rightarrow $ phương trình mặt cầu $(S):$ ${{(x-5)}^{2}}+{{(y-11)}^{2}}+{{(z-2)}^{2}}=1.$
• $t=-1$ $\Rightarrow I(-1;-1;-1)$, suy ra phương trình mặt cầu $(S):$ ${{(x+1)}^{2}}+{{(y+1)}^{2}}+{{(z+1)}^{2}}=1.$
Ví dụ 3. Trong không gian với hệ tọa độ Đề các vuông góc $Oxyz$ cho $I(1;2;-2)$ và mặt phẳng $\left( P \right):2x+2y+z+5=0.$
1. Lập phương trình mặt cầu $(S)$ tâm $I$ sao cho giao của $(S)$ với mặt phẳng $(P)$ là đường tròn $(C)$ có chu vi bằng $8\pi .$
2. Chứng minh rằng mặt cầu $(S)$ nói trong phần 1 tiếp xúc với đường thẳng $\Delta :2x-2=y+3=z.$
3. Lập phương trình mặt phẳng $(Q)$ chứa đường thẳng $\Delta $ và tiếp xúc với $(S).$
1. Gọi $R$, $r$ lần lượt là bán kính của mặt cầu $(S)$ và đường tròn $(C).$
Ta có: $2\pi r=8\pi $ $\Rightarrow r=4$ và $d(I,(P))=3$ nên $R=\sqrt{{{r}^{2}}+{{d}^{2}}(I,(P))}=5.$
Vậy phương trình mặt cầu $(S):{{(x-1)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}+{{(z+2)}^{2}}=25.$
2. Đường thẳng $\Delta $ có $\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=(1;2;2)$ là VTCP và đi qua $A(1;-3;0).$
Suy ra $\overrightarrow{AI}=(0;5;-2)$ $\Rightarrow [\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}},\overrightarrow{AI}]=(-14;2;5)$ $\Rightarrow d(I,\Delta )=\frac{\left| [\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}},\overrightarrow{AI}] \right|}{\left| \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}} \right|}=5.$
Vậy đường thẳng $\Delta $ tiếp xúc với mặt cầu $(S).$
Cách khác:
Phương trình tham số của $\Delta :\left\{ \begin{align}
& x=1+t \\
& y=-3+2t \\
& z=2t \\
\end{align} \right.$, thay vào phương trình mặt cầu $(S)$, ta được: ${{t}^{2}}+{{(2t-5)}^{2}}+{{(2t+2)}^{2}}=25$ $\Leftrightarrow {{(3t-2)}^{2}}=0$ $\Leftrightarrow t=\frac{2}{3}.$
Suy ra mặt cầu $(S)$ và $\Delta $ giao nhau tại một điểm $M(\frac{5}{3};-\frac{5}{3};\frac{4}{3}).$
Vậy đường thẳng $\Delta $ tiếp xúc với mặt cầu $(S)$ tại $M.$
3. Vì mặt phẳng $(Q)$ chứa $\Delta $ và tiếp xúc với mặt cầu $(S)$ nên $M$ là tiếp điểm của mặt phẳng $(Q)$ và mặt cầu $(S).$
Do đó $(Q)$ là mặt phẳng đi qua $M$ và nhận $\overrightarrow{IM}\left( \frac{2}{3};-\frac{11}{3};\frac{10}{3} \right)$ làm VTPT.
Vậy phương trình mặt phẳng $(Q):2x-11y+10z-35=0.$
Ví dụ 4. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz:$
1. Lập phương trình mặt cầu $(S)$ đi qua điểm $M(1;-5;2)$ và qua đường tròn $(C)$ là giao của mặt phẳng $(\alpha ):2x+2y-z+9=0$ và mặt cầu $(S’):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2x-4y-4z-40=0.$
2. Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ chứa $d:\left\{ \begin{align}
& x=t \\
& y=-2+t \\
& z=-6+2t \\
\end{align} \right.$ sao cho giao tuyến của mặt phẳng $(P)$ và mặt cầu $(S):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2x-2y+2z-1=0$ là đường tròn có bán kính $r=1.$
1. Cách 1.
Mặt cầu $(S’)$ có tâm $I'(-1;2;2)$, $R’=7$, $d(I’,(\alpha ))=\frac{\left| -2+4-2+9 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{2}^{2}}+{{(-1)}^{2}}}}=3<R’$ nên đường tròn $(C)$ tồn tại và có bán kính $r=2\sqrt{10}.$
Gọi $H$ là tâm của $(C).$
Ta có $I’H\bot (\alpha )$ $\Rightarrow I’H:\left\{ \begin{align}
& x=-1+2t \\
& y=2+2t \\
& z=2-t \\
\end{align} \right. .$
Suy ra tọa độ của $H$ là nghiệm của hệ: $\left\{ \begin{align}
& x=-1+2t \\
& y=2+2t \\
& z=2-t \\
& 2x+2y-z+9=0 \\
\end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
& x=-3 \\
& y=0 \\
& z=3 \\
\end{align} \right.$ $\Rightarrow H(-3;0;3).$
Gọi $d$ là đường thẳng đi qua tâm $H$ và vuông góc với $(\alpha )$, suy ra phương trình của $d:\left\{ \begin{align}
& x=-3+2t \\
& y=2t \\
& z=3-t \\
\end{align} \right. .$
Gọi $I$ là tâm của mặt cầu $(S)$, vì $(S)$ đi qua đường tròn $(C)$ nên $I\in d.$
Suy ra $I(-3+2t;2t;3-t)$ $\Rightarrow \overrightarrow{MI}=(2t-4;2t+5;1-t)$, $d(I,(\alpha ))=\frac{\left| 9t \right|}{3}=3\left| t \right|.$
Mặt khác, ta có: $I{{M}^{2}}={{r}^{2}}+{{d}^{2}}(I,(\alpha ))$ $\Leftrightarrow {{(2t-4)}^{2}}+{{(2t+5)}^{2}}+{{(1-t)}^{2}}=40+9{{t}^{2}}$ $\Leftrightarrow t=-1$ $\Rightarrow I(-5;-2;4)$, $R=IM=7.$
Vậy phương trình $(S):{{(x+5)}^{2}}+{{(y+2)}^{2}}+{{(z-4)}^{2}}=49.$
Cách 2.
Vì mặt cầu $(S)$ đi qua đường tròn $(C)$ nên phương trình $(S)$ có dạng:
${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2x-4y-4z-40$ $+\lambda (2x+2y-z+9)=0$ $\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}$ $+(2+2\lambda )x-(4-2\lambda )y-(4+\lambda )z-40+9\lambda =0.$
Vì $M(1;-5;2)\in (S)$ $\Rightarrow 44-10\lambda -40+9\lambda =0$ $\Leftrightarrow \lambda =4.$
Vậy phương trình mặt cầu $(S) :$ ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+10x+4y-8z-4=0.$
2. Đường thẳng $d$ đi qua $A(0;-2;-6)$ và có $\overrightarrow{u}=(1;1;2)$ là VTCP.
Phương trình của $(P)$ có dạng: $ax+b(y+2)+c(z+6)=0.$
Hay $ax+by+cz+2b+6c=0.$
Trong đó ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ne 0$ và $a+b+2c=0$ $\Rightarrow a=-b-2c.$
Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(-1;1;-1)$, bán kính $R=2.$
Theo giả thiết, ta suy ra $d(I,(P))=\sqrt{{{R}^{2}}-{{r}^{2}}}=\sqrt{3}.$
Do đó: $\frac{\left| -a+3b+5c \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\sqrt{3}$ $\Leftrightarrow \left| 4b+7c \right|=\sqrt{3}.\sqrt{{{(b+2c)}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}$ $\Leftrightarrow {{(4b+7c)}^{2}}=3(2{{b}^{2}}+4bc+5{{c}^{2}})$ $\Leftrightarrow 5{{b}^{2}}+22bc+17{{c}^{2}}=0$ $\Leftrightarrow b=-c$, $b=-\frac{17}{5}c.$
• $b=-c$ ta chọn $c=-1$ $\Rightarrow b=1$ $\Rightarrow a=1$ $\Rightarrow (P):x+y-z-4=0.$
• $b=-\frac{17}{5}c$ ta chọn $c=5$ $\Rightarrow b=-17$ $\Rightarrow a=7$ $\Rightarrow (P):7x-17y+5z-4=0.$
Ví dụ 5. Lập phương trình mặt phẳng $(P)$ biết:
1. $(P)$ chứa hai đường thẳng cắt nhau có phương trình: ${{\Delta }_{1}}:\frac{x}{1}=\frac{y+1}{1}=\frac{z+1}{1}$, ${{\Delta }_{2}}:\frac{x+2}{2}=\frac{y-2}{-3}=\frac{z}{-1}.$
2. $(P)$ chứa hai đường thẳng song song có phương trình: ${{\Delta }_{2}}:\frac{x+2}{2}=\frac{y-2}{-3}=\frac{z}{-1}$, ${{\Delta }_{3}}:\frac{x+2}{-2}=\frac{y-1}{3}=\frac{z-3}{1}.$
3. $(P)$ chứa đường thẳng ${{\Delta }_{1}}$ và tiếp xúc với mặt cầu có phương trình: $(S):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-8x+2y+4z+7=0.$
4. $(P)$ chứa đường thẳng ${{\Delta }_{3}}$ và cắt mặt cầu $(S)$ theo một đường tròn có bán kính lớn nhất.
5. $(P)$ chứa đường thẳng ${{\Delta }_{2}}$ và cắt mặt cầu $(S)$ theo một đường tròn có bán kính bằng $\frac{\sqrt{210}}{6}.$
1. Đường thẳng ${{\Delta }_{1}}$ qua ${{M}_{1}}(0;-1;-1)$ và ${{\vec{u}}_{{{\Delta }_{1}}}}(1;1;1).$
Đường thẳng ${{\Delta }_{2}}$ qua ${{M}_{2}}(-2;2;0)$ và ${{\vec{u}}_{{{\Delta }_{2}}}}(2;-3;-1).$
Cặp véc tơ chỉ phương của $(P)$ là ${{\vec{u}}_{{{\Delta }_{1}}}}(1;1;1)$ và ${{\vec{u}}_{{{\Delta }_{2}}}}(2;-3;-1)$ nên một véc tơ pháp tuyến của $(P)$ là ${{\vec{n}}_{(P)}}=\left[ {{{\vec{u}}}_{{{\Delta }_{1}}}};{{{\vec{u}}}_{{{\Delta }_{2}}}} \right]=(2;3;-5).$
Phương trình mặt phẳng $(P)$ chứa hai đường thẳng ${{\Delta }_{1}}$ và ${{\Delta }_{2}}$ là $2(x-0)+3(y+1)-5(z+1)=0$ $\Leftrightarrow 2x+3y-5z-2=0.$
2. Đường thẳng ${{\Delta }_{3}}$ qua ${{M}_{3}}(-2;1;3)$ và ${{\vec{u}}_{{{\Delta }_{3}}}}(-2;3;1).$
Cặp véc tơ chỉ phương của $(P)$ là ${{\vec{u}}_{{{\Delta }_{2}}}}(2;-3;-1)$ và $\overrightarrow{{{M}_{2}}{{M}_{3}}}(0;-1;3)$ nên một véc tơ pháp tuyến của $(P)$ là ${{\vec{n}}_{(P)}}=\left[ {{{\vec{u}}}_{{{\Delta }_{2}}}};\overrightarrow{{{M}_{2}}{{M}_{3}}} \right]=-2(5;3;1).$
Phương trình mặt phẳng $(P)$ chứa hai đường thẳng ${{\Delta }_{2}}$ và ${{\Delta }_{3}}$ là $5(x+2)+3(y-1)+1(z-3)=0$ $\Leftrightarrow 5x+3y+z+4=0.$
3. Vì $(P)$ chứa đường thẳng ${{\Delta }_{1}}$ nên $(P)$ đi qua hai điểm thuộc ${{\Delta }_{1}}$ là điểm ${{M}_{1}}(0;-1;-1)$ và ${{N}_{1}}(1;0;0).$
Phương trình mặt phẳng $(P)$ qua ${{M}_{1}}$ có dạng
$a(x-0)+b(y+1)+c(z+1)=0$, ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}>0.$
Vì $(P)$ qua ${{N}_{1}}$ nên $c=-b-a.$
Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(4;-1;-2)$ và bán kính $R=\sqrt{14}.$
$(P)$ tiếp xúc với $(S)$ khi và chỉ khi $d(I;(P))=R$, hay $\frac{{\left| {4a + b.0 + ( – b – a).( – 1)} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {{( – b – a)}^2}} }} = \sqrt {14} $ $ \Leftrightarrow \left| {5a + b} \right| = \sqrt {14(2{a^2} + 2ab + 2{b^2})} $ $ \Leftrightarrow {a^2} + 6ab + 9{b^2} = 0$ $ \Leftrightarrow a = – 3b$
Chọn $b=-1$ thì $a=3$, $c=-2$ nên phương trình mặt phẳng cần tìm là $(P):3x-y-2z-3=0.$
4. Đường tròn giao tuyến có bán kính lớn nhất khi và chỉ khi đường tròn đó qua tâm mặt cầu. Tức là mặt phẳng $(P)$ chứa ${{\Delta }_{3}}$ và đi qua tâm $I(4;-1;-2).$ Ta có ${{\vec{u}}_{{{\Delta }_{3}}}}(-2;3;1)$ và $\overrightarrow{IM_{3}^{{}}}(-6;2;5)$ nên một véc tơ pháp tuyến của $(P)$ là ${{\vec{n}}_{(P)}}=\left[ {{{\vec{u}}}_{{{\Delta }_{3}}}};\overrightarrow{I{{M}_{3}}} \right]=(13;4;14).$
Phương trình mặt phẳng cần tìm là $(P):13x+4y+14z-20=0.$
5. Vì $(P)$ chứa đường thẳng ${{\Delta }_{2}}$ nên $(P)$ đi qua hai điểm thuộc ${{\Delta }_{2}}$ là điểm ${{M}_{2}}(-2;2;0)$ và ${{N}_{2}}(0;-1;-1).$
Phương trình mặt phẳng $(P)$ qua ${{M}_{1}}$ có dạng $a(x+2)+b(y-2)+c(z-0)=0$, ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}>0.$
Vì $(P)$ qua ${{N}_{2}}$ nên $c=2a-3b.$
Mặt phẳng $(P)$ cắt mặt cầu $(S)$ theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng $r=\frac{\sqrt{210}}{6}$ nên ${{d}^{2}}(I;(P))={{R}^{2}}-{{r}^{2}}=14-\frac{210}{36}=\frac{49}{6}$ $\Rightarrow d(I;(P))=\frac{7}{\sqrt{6}}.$
Do đó $\frac{7}{\sqrt{6}}=\frac{\left| 6a-3b+(2a-3b).(-2) \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{(2a-3b)}^{2}}}}.$
$ \Leftrightarrow \sqrt 6 \left| {2a + 3b} \right| = 7\sqrt {5{a^2} – 12ab + 10{b^2}} $ $ \Leftrightarrow 221{a^2} – 660ab + 435{b^2} = 0$ $ \Leftrightarrow a = 2b$, $a = \frac{{218}}{{221}}b.$
Nếu $a=2b$ thì chọn $b=1$ ta có $a=2$, $c=1$ nên phương trình mặt phẳng $(P):2x+y+z+2=0.$
Nếu $a=\frac{218}{221}b$ thì chọn $b=221$ ta có $a=218$, $c=-227$ nên phương trình mặt phẳng $(P):218x+221y-227z-6=0.$
Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn là: $(P):2x+y+z+2=0$ và $(P):218x+221y-227z-6=0.$
C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài tập 1. Lập phương trình mặt cầu biết:
1. Mặt cầu có tâm $I(1;2;3)$ bán kính $R=\sqrt{5}.$
2. Mặt cầu $(S)$ có tâm nằm trên $Ox$ và đi qua $A(1;2;1)$, $B(3;1;-2).$
3. Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(3;-2;4)$ và tiếp xúc với mặt phẳng $(P):2x-y+2z+4=0.$
4. Mặt cầu $(S)$ đi qua $C(2;-4;3)$ và các hình chiếu của $C$ lên ba trục tọa độ.
5. Mặt cầu $(S)$ có tâm nằm trên mặt phẳng $(Oxy)$ và đi qua $M(1;0;2)$, $N(-2;1;1)$ và $P(-1;-1;1).$
6. Có tâm $I(6;3;-4)$ và tiếp xúc với $Oy.$
Bài tập 2. Lập phương trình mặt cầu $(S)$, biết $(S)$:
1. Có tâm $I(1;1;2)$ và tiếp xúc với mặt phẳng $(P):x+2y+2z+1=0.$
2. Có bán kính $R=3$ và tiếp xúc với mặt phẳng $(P):x+2y+2z+3=0$ tại điểm $A(1;1;-3).$
3. Có tâm nằm trên đường thẳng $d:\frac{x-2}{-3}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-1}{2}$ và tiếp xúc với hai mặt phẳng $(P):x+2y-2z-2=0$ và $(Q):x+2y-2z+4=0.$
4. Đi qua bốn điểm $A(0;1;0)$, $B(2;3;1)$, $C(-2;2;2)$ và $D(1;-1;2).$
5. Có tâm thuộc mặt phẳng $(P):x+y+z-2=0$ và đi qua ba điểm $A(2;0;1)$, $B(1;0;0)$, $C(1;1;1).$
6. Có tâm nằm trên đường thẳng $d:\left\{ \begin{align}
& x=-2 \\
& y=0 \\
\end{align} \right.$ và tiếp xúc với hai mặt phẳng
$\left( P \right):x-2z-8=0$ và $\left( Q \right):2x-z+5=0.$
Bài tập 3. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho bốn điểm $A\left( 3;3;0 \right)$, $B\left( 3;0;3 \right)$, $C\left( 0;3;3 \right)$, $D\left( 3;3;3 \right).$
1. Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm $A$, $B$, $C$, $D.$
2. Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC.$
Bài tập 4. Lập phương trình mặt cầu $S(I;R)$ biết:
1. Mặt cầu có tâm $I(2;3;1)$ và tiếp xúc với đường thẳng $\Delta :\frac{x+2}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z+1}{-2}.$
2. Mặt cầu có tâm $I(1;3;5)$ và cắt ${\Delta}’:\frac{x-2}{-1}=\frac{y+3}{1}=\frac{z}{1}$ tại hai điểm $A$, $B$ sao cho $AB=12.$
3. Mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng $d:\frac{x-2}{1}=\frac{y-3}{1}=\frac{z+1}{2}$, đi qua $M(2;3;20)$ và tiếp xúc với ${d}’:\frac{x+4}{3}=\frac{y+6}{2}=\frac{z+19}{-2}.$
Bài tập 5. Lập phương trình mặt cầu $S(I,R)$ biết:
1. Mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng $\Delta :\frac{x+2}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z+1}{-2}$ và tiếp xúc với mặt phẳng $({{\alpha }_{1}}):3x+2y+z-6=0$ và mặt phẳng $({{\alpha }_{2}}):2x+3y+z=0.$
2. Mặt cầu có tâm $I(1;3;5)$ và cắt ${\Delta}’:\frac{x-2}{-1}=\frac{y+3}{1}=\frac{z}{1}$ tại hai điểm $A$, $B$ sao cho $AB=12.$
3. Mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng $d:\frac{x-2}{1}=\frac{y}{-1}=\frac{z-3}{2}$, đi qua $M(1;1;4)$ và tiếp xúc với ${d}’:\frac{x+2}{1}=\frac{y+2}{1}=\frac{z-4}{-4}.$
Bài tập 6. Trong không gian với hệ toạ độ $Oxy$ cho mặt phẳng $(P)$ có phương trình $2x-2y-z-4=0$ và mặt cầu $(S):$ ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-4y-6z-11=0.$ Chứng minh rằng mặt phẳng $(P)$ cắt mặt cầu $(S)$ theo một đường tròn. Xác định toạ độ tâm và tính bán kính của đường tròn đó.
Bài tập 7. Cho mặt cầu $(S):{{(x-1)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{(z-2)}^{2}}=9.$ Chứng minh rằng:
1. Mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng $(P):2x+2y+z+5=0.$ Tìm tọa độ tiếp điểm $M.$
2. Mặt cầu cắt đường thẳng $\Delta :\frac{x+3}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z}{1}$ tại hai điểm phân biệt. Tìm tọa độ các giao điểm đó.
Bài tập 8. Lập phương trình mặt cầu $S(I;R)$ tiếp xúc với hai mặt phẳng: $({{\alpha }_{1}}):6x-3y-2z-35=0$, $({{\alpha }_{1}}):6x-3y-2z+63=0.$ Đồng thời mặt cầu:
1. Có một tiếp điểm là $A(5;-1;-1).$
2. Qua hai điểm $B(1;3;-2)$, $C(-1;0;-3).$
Bài tập 9. Lập phương trình đường thẳng $\Delta $ biết:
1. $\Delta $ song song với $(P):x-y+z=0$ và cắt đường thẳng ${{\Delta }_{1}}$, ${{\Delta }_{2}}$ lần lượt tại $A$, $B$ sao cho $AB=\sqrt{2}$ với${{\Delta }_{1}}:\frac{x}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z}{2}$, ${{\Delta }_{2}}:\frac{x+1}{-2}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{1}.$
2. $\Delta $ thuộc mặt phẳng $(Q):x+y+z+2=0$, vuông góc với đường thẳng $d:\frac{x-3}{2}=\frac{y+2}{1}=\frac{z+1}{-1}$ đồng thời khoảng cách từ giao điểm của $d$ và $(Q)$ đến $\Delta $ bằng $\sqrt{42}.$
3. $\Delta $ qua điểm $C(0;5;0)$, vuông góc với đường thẳng ${{d}_{1}}$ và tiếp xúc với mặt cầu $(S)$ với ${{d}_{1}}:\frac{x+1}{1}=\frac{y-1}{-2}=\frac{z}{2}$ và
$(S):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-4x-6y-2z+5=0.$
Bài tập 10. Cho mặt cầu $(S):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2x-4y+6z+m=0.$ Tìm $m$ sao cho:
1. Mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng $(P):x-2y+2z-1=0.$
2. Mặt cầu cắt mặt phẳng $(Q):2x-y-2z+1=0$ theo giao tuyến là một đường tròn có diện tích bằng $4\pi .$
3. Mặt cầu cắt đường thẳng $\Delta :\frac{x+1}{-1}=\frac{y}{2}=\frac{z-2}{-2}$ tại hai điểm phân biệt $A$, $B$ sao cho tam giác $IAB$ vuông ($I$ là tâm mặt cầu).
Bài tập 11. Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz:$
1. Cho đường thẳng $d$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $(\alpha ):2x-2y-z+1=0$, $(\beta ):x+2y-2z-4=0$ và mặt cầu $(S)$ có phương trình ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+4x-6y+m=0.$ Tìm $m$ để đường thẳng $d$ cắt mặt cầu $(S)$ tại hai điểm phân biệt $A$, $B$ sao cho $AB=8.$
2. Cho mặt phẳng $\left( P \right):2x+2y+z-{{m}^{2}}-3m=0$ và mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=9.$ Tìm $m$ để mặt phẳng $(P)$ tiếp xúc với mặt cầu $(S)$. Với $m$ vừa tìm được hãy xác định tọa độ tiếp điểm.
3. Cho hai đường thẳng có phương trình:
${{\Delta }_{1}}:\frac{x+2}{2}=\frac{y+3}{5}=\frac{z-4}{-1}$, ${{\Delta }_{2}}:\left\{ \begin{align}
& x=3-t \\
& y=1 \\
& z=10+t \\
\end{align} \right.$ $(t\in \mathbb{R}).$
Gọi $A$, $B$ lần lượt là các điểm trên ${{\Delta }_{1}}$, ${{\Delta }_{2}}$ sao cho $AB$ vuông góc với ${{\Delta }_{1}}$ và ${{\Delta }_{2}}.$ Lập phương trình mặt cầu tiếp xúc với ${{\Delta }_{1}}$ tại điểm $A$, tiếp xúc với ${{\Delta }_{2}}$ tại điểm $B.$
Bài tập 12. Cho đường tròn $(C)$ là giao tuyến của $(\alpha ):x-2y+2z+1=0$ và mặt cầu $(S):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-4x+6y+6z+17=0.$
1. Xác định tâm và bán kính của đường tròn $(C).$
2. Viết phương trình mặt cầu $(S’)$ chứa đường tròn $(C)$ và có tâm nằm trên $(P):x+y+z+3=0$.
Bài tập 13. Trong không gian với hệ toạ độ Đề-các vuông góc $Oxyz$ cho hai mặt phẳng song song có các phương trình tương ứng là: $({{P}_{1}}):2x-y+2z-1=0$, $({{P}_{2}}):2x-y+2z+5=0$ và điểm $A(-1;1;1)$ nằm trong khoảng giữa hai mặt phẳng đó. Gọi $(S)$ là mặt cầu bất kỳ qua $A$ và tiếp xúc với cả hai mặt phẳng $({{P}_{1}})$, $({{P}_{2}}).$
1. Chứng tỏ rằng bán kính của hình cầu $(S)$ là một hằng số và tính bán kính đó.
2. Gọi $I$ là tâm của hình cầu $(S)$ . Chứng tỏ rằng $I$ thuộc một đường tròn cố định. Xác định toạ độ của tâm và tính bán kính của đường tròn đó.
