Bài viết hướng dẫn phương pháp viết phương trình đường thẳng trong hệ trục tọa độ không gian $Oxyz.$ Kiến thức và các ví dụ trong bài viết được tham khảo từ các tài liệu phương pháp tọa độ trong không gian được chia sẻ trên TOANMATH.com.
A. PHƯƠNG PHÁP VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG (OXYZ)
• Dạng toán 1: $d$ đi qua điểm ${{M}_{0}}({{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}})$ và có VTCP $\vec{a}=({{a}_{1}};{{a}_{2}};{{a}_{3}})$ → $(d):\left\{ \begin{array}{l}
x = {x_o} + {a_1}t\\
y = {y_o} + {a_2}t\\
z = {z_o} + {a_3}t
\end{array} \right.$ $(t \in R).$
• Dạng toán 2: $d$ đi qua hai điểm $A$, $B$ → Một VTCP của $d$ là $\overrightarrow{AB}.$
• Dạng toán 3: $d$ đi qua điểm ${{M}_{0}}({{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}})$ và song song với đường thẳng $\Delta $ cho trước → Vì $d\parallel \Delta $ nên VTCP của $\Delta $ cũng là VTCP của $d.$
• Dạng toán 4: $d$ đi qua điểm ${{M}_{0}}({{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}})$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( P \right)$ cho trước → Vì $d\bot \left( P \right)$ nên VTPT của $\left( P \right)$ cũng là VTCP của $d.$
• Dạng toán 5: $d$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( P \right)$, $\left( Q \right)$:
Cách 1: Tìm một điểm và một VTCP:
+ Tìm toạ độ một điểm $A\in d$ bằng cách giải hệ phương trình $\left\{ \begin{align}
& (P) \\
& (Q) \\
\end{align} \right.$ (với việc chọn giá trị cho một ẩn).
+ Tìm một VTCP của $d$: $\vec{a}=\left[ {{{\vec{n}}}_{P}},{{{\vec{n}}}_{Q}} \right].$
Cách 2: Tìm hai điểm $A$, $B$ thuộc $d$ rồi viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm đó.
• Dạng toán 6: $d$ đi qua điểm ${{M}_{0}}({{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}})$ và vuông góc với hai đường thẳng ${{d}_{1}},{{d}_{2}}$ → Vì $d\bot {{d}_{1}}$, $d\bot {{d}_{2}}$ nên một VTCP của $d$ là: $\vec{a}=\left[ {{{\vec{a}}}_{{{d}_{1}}}},{{{\vec{a}}}_{{{d}_{2}}}} \right].$
• Dạng toán 7: $d$ đi qua điểm ${{M}_{0}}({{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}})$, vuông góc và cắt đường thẳng $\Delta .$
Cách 1: Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của ${{M}_{0}}$ trên đường thẳng $\Delta .$
$\left\{ \begin{array}{l}
H \in \Delta \\
\overrightarrow {{M_0}H} \bot {{\vec u}_\Delta }
\end{array} \right. .$
Khi đó đường thẳng $d$ là đường thẳng đi qua ${{M}_{0}}$, $H.$
Cách 2: Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng đi qua $A$ và vuông góc với $d$, $\left( Q \right)$ là mặt phẳng đi qua $A$ và chứa $d$. Khi đó $d=\left( P \right) \cap \left( Q \right).$
• Dạng toán 8: $d$ đi qua điểm ${M_0}({x_0};{y_0};{z_0})$ và cắt hai đường thẳng ${d_1}$, ${d_2}$:
Cách 1: Gọi ${M_1} \in {d_1}$, ${M_2} \in {d_2}.$ Từ điều kiện $M$, ${M_1}$, ${M_2}$ thẳng hàng ta tìm được ${M_1}$, ${M_2}.$ Từ đó suy ra phương trình đường thẳng $d.$
Cách 2: Gọi $\left( P \right) = ({M_0},{d_1})$, $\left( Q \right) = ({M_0},{d_2}).$ Khi đó $d = (P) \cap (Q)$, do đó một VTCP của $d$ có thể chọn là $\vec a = \left[ {{{\vec n}_P},{{\vec n}_Q}} \right].$
• Dạng toán 9: $d$ nằm trong mặt phẳng $\left( P \right)$ và cắt cả hai đường thẳng ${d_1}$, ${d_2}$ → Tìm các giao điểm $A = {d_1} \cap \left( P \right)$, $B = {d_2} \cap \left( P \right).$ Khi đó $d$ chính là đường thẳng $AB.$
• Dạng toán 10: $d$ song song với $\Delta $ và cắt cả hai đường thẳng ${d_1}$, ${d_2}$ → Viết phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa $\Delta $ và ${d_1}$, mặt phẳng $\left( Q \right)$ chứa $\Delta $ và ${d_2}.$ Khi đó $d = (P) \cap (Q).$
• Dạng toán 11: $d$ là đường vuông góc chung của hai đường thẳng ${d_1}$, ${d_2}$ chéo nhau:
Cách 1: Gọi $M \in {d_1}$, $N \in {d_2}.$ Từ điều kiện $\left\{ \begin{array}{l}
MN \bot {d_1}\\
MN \bot {d_2}
\end{array} \right.$ ta tìm được $M$, $N.$ Khi đó $d$ là đường thẳng $MN.$
Cách 2:
– Vì $d \bot {d_1}$ và $d \bot {d_2}$ nên một VTCP của $d$ có thể là: $\vec a = \left[ {{{\vec a}_{{d_1}}},{{\vec a}_{{d_2}}}} \right].$
– Lập phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa $d$ và ${d_1}$ bằng cách:
+ Lấy một điểm $A$ trên ${d_1}.$
+ Một VTPT của $\left( P \right)$ có thể là: ${\vec n_P} = \left[ {\vec a,{{\vec a}_{{d_1}}}} \right].$
– Tương tự lập phương trình mặt phẳng $\left( Q \right)$ chứa $d$ và ${d_1}.$ Khi đó $d = (P) \cap (Q).$
• Dạng toán 12: $d$ là hình chiếu của đường thẳng $\Delta $ lên mặt phẳng $\left( P \right)$:
Lập phương trình mặt phẳng $\left( Q \right)$ chứa $\Delta $ và vuông góc với mặt phẳng $\left( P \right)$ bằng cách:
+ Lấy $M \in \Delta .$
+ Vì $\left( Q \right)$ chứa $\Delta $ và vuông góc với $\Delta $ nên ${\vec n_Q} = \left[ {{{\vec a}_\Delta },{{\vec n}_P}} \right].$
Khi đó $d = (P) \cap (Q).$
• Dạng toán 13: $d$ đi qua điểm $M$, vuông góc với ${d_1}$ và cắt ${d_2}$:
Cách 1: Gọi $N$ là giao điểm của $d$ và ${d_2}.$ Điều kiện $MN \bot {d_1}$, ta tìm được $N.$ Khi đó $d$ là đường thẳng $M$, $N.$
Cách 2:
+ Viết phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ qua $M$ và vuông góc với ${{d}_{1}}.$
+ Viết phương trình mặt phẳng $\left( Q \right)$ chứa M và ${{d}_{2}}.$
Khi đó $d = (P) \cap (Q).$
B. BÀI TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG (OXYZ)
Bài toán 1: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $A(1;2;3)$ và đường thẳng $d:\frac{x+1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z-3}{-2}.$ Viết phương trình đường thẳng $\Delta $ đi qua điểm $A$, vuông góc với đường thẳng $d$ và cắt trục $Ox.$
Gọi $M$ là giao điểm của đường thẳng $\Delta $ với $Ox.$
Suy ra $M(m;0;0)$ $\Rightarrow \overrightarrow{AM}=(m-1;-2;-3)$, đường thẳng $d$ có $\overrightarrow{a}=(2;1;-2)$ là VTCP.
Vì $AM\bot d$ $\Rightarrow \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{a}=0$ $\Leftrightarrow m=-1$ $\Rightarrow \overrightarrow{AM}=(-2;-2;-3).$
Vậy phương trình đường thẳng $\Delta $ là: $\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-3}{3}.$
Bài toán 2: Lập phương trình chính tắc của đường thẳng $\Delta $, biết $\Delta $ đi qua $M\left( 1;0;-1 \right)$ và vuông góc với hai đường thẳng ${{d}_{1}}:\frac{x}{-5}=\frac{y+2}{8}=\frac{z-1}{3}$, ${{d}_{2}}:\left\{ \begin{align}
& x=t \\
& y=-1-2t \\
& z=0 \\
\end{align} \right. .$
Ta có: ${{d}_{1}}$ có $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=(5;-8;-3)$ là VTCP, ${{d}_{2}}$ có $\overrightarrow{{{u}_{2}}}=(1;-2;0)$ là VTCP.
Cách 1: Giả sử $\overrightarrow{u}=(a;b;c)$ là một VTCP của $\Delta.$
Vì $\Delta $ vuông góc với ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$ nên: $\left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow u .\overrightarrow {{u_1}} = 0\\
\overrightarrow u .\overrightarrow {{u_2}} = 0
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
5a – 8b – 3c = 0\\
a – 2b = 0
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 2b\\
c = \frac{2}{3}b
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow \overrightarrow u = \frac{b}{3}.(6;3;2).$
Phương trình $\Delta $ là: $\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 + 6t\\
y = 3t\\
z = – 1 + 2t
\end{array} \right.$, $t \in R.$
Cách 2: Vì $\Delta \bot {{d}_{1}}$, $\Delta \bot {{d}_{2}}$ nên $\overrightarrow{u}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}},\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]=\left( -6;-3;-2 \right)$ là một VTCP của $\Delta .$
Suy ra phương trình $\Delta $ là: $\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 – 6t\\
y = – 3t\\
z = – 1 – 2t
\end{array} \right.$, $t \in R.$
Bài toán 3: Lập phương trình chính tắc của đường thẳng $\Delta $, biết:
1. $\Delta $ đi qua $A\left( 1;2;1 \right)$ đồng thời $\Delta $ cắt đường thẳng ${{d}_{1}}:\left\{ \begin{align}
& x=1+t \\
& y=2-t \\
& z=t \\
\end{align} \right.$ và vuông góc với đường thẳng ${{d}_{2}}:\frac{x+1}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z+3}{-2} .$
2. $\Delta $ đi qua $B(9;0;-1)$, đồng thời $\Delta $ cắt hai đường thẳng ${{\Delta }_{1}}:\frac{x-1}{2}=\frac{y-3}{-1}=\frac{z+1}{1}$, ${{\Delta }_{2}}:\frac{x+2}{-1}=\frac{y-3}{1}=\frac{z-4}{-3}.$
1. Cách 1: Gọi $(P)$ là mặt phẳng đi qua $A$ và ${{d}_{1}}$, khi đó ta có $\Delta \subset (P).$
Ta có đường thẳng ${{d}_{1}}$ đi qua $M(1;2;0)$ và có $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=\left( 1;-1;1 \right)$ là VTCP.
Nên $\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{AM},\overrightarrow{{{u}_{1}}} \right]=\left( -1;-1;0 \right)$ là VTPT của $(P).$
Vì $\left\{ \begin{align}
& \Delta \subset (P) \\
& \Delta \bot {{d}_{2}} \\
\end{align} \right.$, suy ra $\overrightarrow{u}=\left[ \overrightarrow{n},\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]=\left( 2;-2;1 \right)$ là VTCP của $\Delta $ (trong đó $\overrightarrow{{{u}_{2}}}=\left( 2;1;-3 \right)$ là VTCP của đường thẳng ${{d}_{2}}$).
Vậy phương trình chính tắc của đường thẳng $\Delta $ là: $\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{-2}=\frac{z-1}{1}.$
Cách 2: Gọi $E=\Delta \cap {{d}_{1}}$, suy ra $E\left( 1+t;2-t;t \right)$ nên $\overrightarrow{AE}=\left( t;-t;t-1 \right).$
Vì $\Delta \bot {{d}_{2}}$ $\Rightarrow \overrightarrow{AE}.\overrightarrow{{{u}_{2}}}=0$ $\Leftrightarrow 2t-t-2(t-1)=0$ $\Leftrightarrow t=2$ $\Rightarrow \overrightarrow{AE}=(2;-2;1).$
Vậy phương trình chính tắc của đường thẳng $\Delta $ là: $\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{-2}=\frac{z-1}{1}.$
2. Đường thẳng ${{\Delta }_{1}}$ đi qua $C(1;3;-1)$ và có $\overrightarrow{{{v}_{1}}}=\left( 2;-1;1 \right)$ là VTCP.
Đường thẳng ${{\Delta }_{2}}$ đi qua $D(-2;3;4)$ và có $\overrightarrow{{{v}_{2}}}=\left( -1;1;-3 \right)$ là VTCP.
Gọi $(\alpha )$ là mặt phẳng đi qua $B$ và ${{\Delta }_{1}}$, suy ra $\Delta \subset (\alpha )$ và $\overrightarrow{{{n}_{1}}}=\left[ \overrightarrow{{{v}_{1}}},\overrightarrow{BC} \right]=\left( -3;-8;-2 \right)$ là VTPT của $(\alpha ).$
Gọi $(\beta )$ là mặt phẳng đi qua $B$ và ${{\Delta }_{2}}$, suy ra $\Delta \subset (\beta )$ và $\overrightarrow{{{n}_{2}}}=\left[ \overrightarrow{{{v}_{2}}},\overrightarrow{BD} \right]=\left( 14;38;8 \right)$ là VTPT của $(\beta ).$
Ta có $\Delta $ là giao tuyến của $(\alpha )$ và $(\beta )$ nên $\overrightarrow{a}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{1}}},\overrightarrow{{{n}_{2}}} \right]=(12;-4;-2)$ là VTCP.
Vậy phương trình chính tắc của đường thẳng $\Delta $ là:
$\frac{x-9}{6}=\frac{y}{-2}=\frac{z+1}{-1}.$
Bài toán 4: Viết phương trình tham số của đường thẳng $\Delta $, biết:
1. $\Delta $ là giao tuyến của hai mặt phẳng $(\alpha ):x+y+z-3=0$ và $(\beta ):2y-z-1=0.$
2. $\Delta $ là giao tuyến của hai mặt phẳng $(\alpha ):x+y-z+3=0$ và $(\beta ):2x-y+5z-4=0.$
3. $\Delta $ là hình chiếu vuông góc của $d:\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z}{-1}$ lên mặt phẳng $(\alpha ):x+y+z-1=0.$
1. Để lập phương trình đường thẳng $\Delta $ ta có các cách sau:
Cách 1: Ta có $\overrightarrow{{{n}_{1}}}=\left( 1;1;1 \right)$ và $\overrightarrow{{{n}_{2}}}=\left( 0;2;-1 \right)$ lần lượt là VTPT của $\left( \alpha \right)$ và $(\beta ).$
Do $\Delta =(\alpha )\cap (\beta )$, suy ra $\overrightarrow{a}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{1}}},\overrightarrow{{{n}_{2}}} \right]=\left( -3;1;2 \right)$ là VTCP của $\Delta .$
Xét hệ phương trình $\left\{ \begin{align}
& x+y+z-3=0 \\
& 2y-z-1=0 \\
\end{align} \right.$. Cho $y=1$ $\Rightarrow x=z=1$, suy ra $M(1;1;1)\in \Delta .$
Vậy phương trình tham số của đường thẳng $\Delta $ là: $\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 – 3t\\
y = 1 + t\\
z = 1 + 2t
\end{array} \right.$, $t \in R.$
Cách 2: Xét $N(x;y;z)\in \Delta $ $\Leftrightarrow N\in (\alpha )\cap (\beta )$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
& x+y+z-3=0 \\
& 2y-z-1=0 \\
\end{align} \right. .$
Đặt $y=t$, ta có: $\left\{ \begin{align}
& x=4-3t \\
& y=t \\
& z=-1+2t \\
\end{align} \right.$, $t\in R$, đây chính là phương trình tham số của $\Delta .$
Cách 3: Trong hệ phương trình trên cho $y=0$ $\Rightarrow z=-1$, $x=4.$ Do đó điểm $E(4;0;-1)\in \Delta .$
Hay $\Delta \equiv ME$, từ đó ta lập được phương trình tham số của $\Delta $ là: $\left\{ \begin{align}
& x=4-3t \\
& y=t \\
& z=-1+2t \\
\end{align} \right.$, $t\in R.$
2. Để lập phương trình đường thẳng $\Delta $ ta có các cách sau:
Cách 1: Ta có $A(-1;-1;1)$, $B(-5;6;4)$ là hai điểm chung của $(\alpha )$ và $(\beta ).$
$\Rightarrow A,B\in d$ $\Rightarrow \overrightarrow{AB}=(-4;7;3)$ là một VTCP của $d.$
Phương trình tham số của $d:\left\{ \begin{align}
& x=-1-4t \\
& y=-1+7t \\
& z=1+3t \\
\end{align} \right.$, $t\in R.$
Phương trình chính tắc của $d:\frac{x+1}{-4}=\frac{y+1}{7}=\frac{z-1}{3}.$
Cách 2: Ta có $\overrightarrow{{{n}_{1}}}=(1;1;-1)$, $\overrightarrow{{{n}_{2}}}=(2;-1;5)$ lần lượt là VTPT của $(\alpha )$, $(\beta ).$
Vì $d$ là giao tuyến của $(\alpha )$ và $(\beta )$ nên $\overrightarrow{u}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{1}}},\overrightarrow{{{n}_{2}}} \right]=(4;-7;-3).$
Từ đó ta lập được phương trình của đường thẳng $d.$
$M(x;y;z)\in d$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
& M\in (\alpha ) \\
& M\in (\beta ) \\
\end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
& x+y-z+3=0 \\
& 2x-y+5z-4=0 \\
\end{align} \right. .$
Đặt $z=t$ ta được: $\left\{ \begin{align}
& x+y=-3+t \\
& 2x-y=4-5t \\
\end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
& x=\frac{1}{3}-\frac{4}{3}t \\
& y=-\frac{10}{3}+\frac{7}{3}t \\
\end{align} \right. .$
Phương trình tham số của $d:\left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{1}{3} – \frac{4}{3}t\\
y = – \frac{{10}}{3} + \frac{7}{3}t\\
z = t
\end{array} \right.$, $t \in R.$
3. Để lập phương trình đường thẳng $\Delta $ ta có các cách sau:
Đường thẳng $d$ đi qua $M(1;2;0)$ và có $\overrightarrow{v}=(1;2;-1)$ là VTCP.
Mặt phẳng $(\alpha )$ có $\overrightarrow{n}=\left( 1;1;1 \right)$ là VTPT.
Xét hệ phương trình $\left\{ \begin{align}
& \frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z}{-1} \\
& x+y+z-1=0 \\
\end{align} \right.$, giải hệ này ta được $x=0$, $y=0$, $z=1$, suy ra $d$ và $(\alpha )$ cắt nhau tại $I(0;0;1)$ và $I\in \Delta .$
Cách 1: Gọi $(P)$ là mặt phẳng đi qua $d$ và vuông góc với $(\alpha ).$
Ta có $\overrightarrow{{{n}_{1}}}=\left[ \overrightarrow{v},\overrightarrow{n} \right]=(3;-2;-1)$ là VTPT của $(P).$
Vì $\Delta =(\alpha )\cap (P)$ nên $\overrightarrow{u}=\left[ \overrightarrow{n},\overrightarrow{{{n}_{1}}} \right]=\left( -1;-4;5 \right)$ là VTCP của $\Delta .$
Vậy phương trình của đường thẳng $\Delta $ là: $\frac{x}{-1}=\frac{y}{-4}=\frac{z-1}{5}.$
Cách 2: Gọi $N$ là hình chiếu của $M$ lên $(\alpha )$, vì $MN\bot (\alpha )$ nên $\overrightarrow{n}=(1;1;1)$ là VTCP của $MN$, suy ra phương trình $MN:\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z}{1}.$
Do $N=MN\cap (\alpha )$ nên tọa độ của $N$ là nghiệm của hệ: $\left\{ \begin{align}
& \frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z}{1} \\
& x+y+z-1=0 \\
\end{align} \right. .$
Giải hệ này ta tìm được: $x=\frac{1}{3}$, $y=\frac{4}{3}$, $z=-\frac{2}{3}$ $\Rightarrow N\left( \frac{1}{3};\frac{4}{3};-\frac{2}{3} \right).$
Khi đó đường thẳng $\Delta \equiv IN$, từ đó ta lập được phương trình $\Delta $: $\frac{x}{-1}=\frac{y}{-4}=\frac{z-1}{5}.$
Bài toán 5: Cho đường thẳng $\Delta $ và mặt phẳng $(P)$ có phương trình: $\Delta :\left\{ \begin{align}
& x=1+2t \\
& y=-1-t \\
& z=2t \\
\end{align} \right.$ $(t\in R)$, $(P):2x-y+2z=11=0.$
1. Tìm tọa độ điểm $H$ là hình chiếu của $A(1;-2;-5)$ trên $\Delta .$
2. Tìm tọa độ điểm ${A}’$ sao cho $A{A}’=2AH$ và ba điểm $A$, ${A}’$, $H$ thẳng hàng.
3. Tìm tọa độ điểm ${B}’$ đối xứng với điểm $B(1;-1;2)$ qua $(P).$
1. Đường thẳng $\Delta $ có $\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=(2;-1;2)$ là VTCP.
Cách 1: Vì $H\in \Delta $ nên $H(1+2t;-1-t;2t)$ $\Rightarrow \overrightarrow{AH}=(2t;1-t;2t+5).$
Điểm $H$ là hình chiếu của $A$ trên $\Delta $ nên $\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=0$ hay
$2.(2t)-1.(1-t)+2(2t+5)=0$ $\Leftrightarrow t=-1$ $\Rightarrow H(-1;0;-2).$
Vậy điểm cần tìm là $H(-1;0;-2).$
Cách 2: Gọi $(\alpha )$ là mặt phẳng qua $A(1;-2;-5)$ và vuông góc với $\Delta .$
Ta có một véc tơ pháp tuyến của $(\alpha )$ là $\overrightarrow{{{n}_{\alpha }}}=(2;-1;2)$ nên $(\alpha ):2x-y+2z-6=0.$
Điểm $H$ là hình chiếu của $A$ trên $\Delta $ thì $H=(P)\cap \Delta $ $\Rightarrow H(-1;0;-2).$
Gọi ${A}'(x;y;z).$
Vì ba điểm $A$, ${A}’$, $H$ thẳng hàng và $A{A}’=2AH$ nên có hai trường hợp:
$\bullet $ $\overrightarrow{A{A}’}=2\overrightarrow{AH}$, khi đó $H$ là trung điểm $AA’$ nên:
$\left\{ \begin{align}
& {{x}_{A}}+{{x}_{{{A}’}}}=2{{x}_{H}} \\
& {{y}_{A}}+{{y}_{{{A}’}}}=2{{y}_{H}} \\
& {{z}_{A}}+{{z}_{{{A}’}}}=2{{z}_{H}} \\
\end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
& {{x}_{{{A}’}}}=2{{x}_{H}}-{{x}_{A}} \\
& {{y}_{{{A}’}}}=2{{y}_{H}}-{{y}_{A}} \\
& {{z}_{{{A}’}}}=2{{z}_{H}}-{{z}_{A}} \\
\end{align} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{align}
& {{x}_{{{A}’}}}=-3 \\
& {{y}_{{{A}’}}}=2 \\
& {{z}_{{{A}’}}}=1 \\
\end{align} \right..$
Vậy ${A}'(-3;2;1).$
$\bullet $ $\overrightarrow{A{A}’}=-2\overrightarrow{AH}$, khi đó ta có:
$\left\{ \begin{align}
& {{x}_{{{A}’}}}-1=-2.(-2) \\
& {{y}_{{{A}’}}}+2=-2.2 \\
& {{z}_{{{A}’}}}+5=-2.3 \\
\end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
& {{x}_{{{A}’}}}=5 \\
& {{y}_{{{A}’}}}=-6 \\
& {{z}_{{{A}’}}}=-11 \\
\end{align} \right.$ $\Rightarrow {A}'(5;-6;-11).$
Vậy có hai điểm thỏa mãn là ${A}'(-3;2;1)$ hoặc ${A}'(5;-6;-11).$
3. Gọi $d$ là đường thẳng đi qua $B(1;-1;2)$ và $d\bot (P)$, khi đó một véc tơ phương của $d$ là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng.
Ta có $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=(2;-1;2)$ nên $d:\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-2}{2}.$
Điểm $K$ là hình chiếu của $B$ trên $(P)$ thì $K=d\cap (P)$, nên tọa độ $K$ là nghiệm của hệ phương trình: $\left\{ \begin{align}
& \frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-2}{2} \\
& 2x-y+2z=11=0 \\
\end{align} \right.$ $\Rightarrow H(-3;1;-2).$
Điểm $B’$ đối xứng với $B$ qua $(P)$ khi $H$ là trung điểm của $BB’$ nên tọa độ điểm $B’$ cần tìm ${B}'(-7;3;-6).$
Bài toán 6: Lập phương trình các cạnh của tam giác $ABC$, biết:
1. Đỉnh $A(1;-3;2)$, phương trình hai đường trung tuyến: $BM:\left\{ \begin{align}
& x=2+3t \\
& y=-2-3t \\
& z=-1-t \\
\end{align} \right.$ $(t\in \mathbb{R})$, $CN:\left\{ \begin{align}
& x=-3t’ \\
& y=-1 \\
& z=1+5t’ \\
\end{align} \right.$ $(t,t’\in \mathbb{R}).$
2. Đỉnh $A(1;2;7)$ và phương trình hai đường cao: $BE:\frac{x-3}{2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-5}{-3}$, $CF:\frac{x-1}{2}=\frac{y-5}{-3}=\frac{z-4}{1}.$
3. Đỉnh $A(3;2;3)$, phương trình phân giác trong góc $B$ và đường cao $CK$ là: $BD:\frac{x-1}{1}=\frac{y-4}{-2}=\frac{z-3}{1}$, $CK:\frac{x-2}{1}=\frac{y-3}{1}=\frac{z-3}{-2}.$
1. Tọa độ của điểm $B$ và trung điểm $N$ của $AB$ lần lượt là: $B(2+3b;-2-3b;-1-b)$, $N(-3n;-1;1+5n).$
Theo công thức tính tọa độ trung điểm, ta có: $\left\{ \begin{align}
& {{x}_{A}}+{{x}_{B}}=2{{x}_{N}} \\
& {{y}_{A}}+{{y}_{B}}=2{{y}_{N}} \\
& {{z}_{A}}+{{z}_{B}}=2{{z}_{N}} \\
\end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
& 1+2+3b=-6n \\
& -3-2-3b=-2 \\
& 2-1-b=2+10n \\
\end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
& b=-1 \\
& n=0 \\
\end{align} \right. .$
Tọa độ điểm $B(-1;1;0)$ $\Rightarrow \overrightarrow{AB}(-2;4;-2)=-2(1;-2;1).$
Phương trình đường thẳng chứa cạnh $AB:\frac{x-1}{1}=\frac{y+3}{-2}=\frac{z-2}{1}.$
Tương tự, ta có $M(2+3m;-2-3m;-1-m)$, $C(-3c;-1;1+5c)$ nên: $\left\{ \begin{align}
& {{x}_{A}}+{{x}_{C}}=2{{x}_{M}} \\
& {{y}_{A}}+{{y}_{C}}=2{{y}_{M}} \\
& {{z}_{A}}+{{z}_{C}}=2{{z}_{M}} \\
\end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
& 1-3c=4+6m \\
& -3-1=-4-6m \\
& 2+1+5c=-2-2m \\
\end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
& c=-1 \\
& m=0 \\
\end{align} \right. .$
Tọa độ điểm $C(3;-1;-4)$ $\Rightarrow \overrightarrow{AC}(2;-2;-2)=-2(-1;1;1).$
Phương trình đường thẳng chứa cạnh $AC:\frac{x-1}{-1}=\frac{y+3}{1}=\frac{z-2}{1}.$
Ta có $\overrightarrow{BC}(4;-2;-4)=-2(-2;1:2)$ nên phương trình đường thẳng chứa cạnh $BC:\frac{x-3}{-2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z+4}{2}.$
2. Phương trình mặt phẳng $(P)$ qua $A(1;2;7)$ và vuông góc với $BE$ là $2x+y-3z+17=0.$
Ta có $C=CF\cap (P)$ nên tọa độ điểm $C$ là nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{align}
& \frac{x-1}{2}=\frac{y-5}{-3}=\frac{z-4}{1} \\
& 2x+y-3z+17=0 \\
\end{align} \right.$ $\Rightarrow C(13;-13;10).$
Phương trình mặt phẳng $(Q)$ qua $A(1;2;7)$ và vuông góc với $CF$ là $(Q):2x-3y+z-3=0.$
Ta có $B=BF\cap (Q)$ nên tọa độ điểm $B$ là nghiệm của hệ phương trình: $\left\{ \begin{align}
& \frac{x-3}{2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-5}{-3} \\
& 2x-3y+z-3=0 \\
\end{align} \right.$ $\Rightarrow B(5;3;2).$
Do đã biết tọa độ ba đỉnh của tam giác nên các phương trình đường thẳng chứa cạnh của tam giác $ABC$ là: $AB:\left\{ \begin{align}
& x=1+t \\
& y=2 \\
& z=5-t \\
\end{align} \right.$, $BC:\left\{ \begin{align}
& x=7-t \\
& y=2+2t \\
& z=-1 \\
\end{align} \right.$, $CA:\left\{ \begin{align}
& x=1 \\
& y=2+2t \\
& z=5-t \\
\end{align} \right..$
3. Mặt phẳng $(\alpha )$ qua $A(3;2;3)$ vuông góc với $CK$ là $(\alpha ):x+y-2z+1=0.$
Vì $B=(\alpha )\cap BD$ nên tọa độ điểm $B$ thỏa mãn hệ phương trình: $\left\{ \begin{align}
& x+y-2z+1=0 \\
& \frac{x-1}{1}=\frac{y-4}{-2}=\frac{z-3}{1} \\
\end{align} \right.$ $\Rightarrow B(1;4;3).$
Muốn tìm tọa độ điểm $C$ ta tìm điểm ${A}’$ đối xứng với điểm $A$ qua phân giác trong góc $B.$ Điểm ${A}’$ thuộc đường thẳng $BC$ nên lập được phương trình đường thẳng $BC$ và tìm được $C=BC\cap CK.$
Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ trên $BD$, suy ra $H(1+t;4-2t;3+t).$
Ta có $\overrightarrow{AH}(t-2;2-2t;t)$, ${{\vec{u}}_{BD}}(1;-2;1)$ nên $\overrightarrow{AH}.{{\vec{u}}_{BD}}=0$ $\Leftrightarrow 1.(t-2)-2.(2-2t)+t=0$ $\Leftrightarrow t=1.$
Vậy $H(2;2;4).$
Gọi ${A}’$ đối xứng với $A$ qua $BD$ thì ${A}'(1;2;5).$
Đường thẳng $BC$ là đường thẳng $B{A}’$ nên có phương trình là: $BC:\left\{ \begin{align}
& x=1 \\
& y=2-t \\
& z=5+t \\
\end{align} \right..$
Toa độ điểm $C$ thỏa mãn hệ $\left\{ \begin{align}
& {{x}_{C}}=1=2+c \\
& {{y}_{C}}=2-t=3+c \\
& {{z}_{C}}=5+t=3-2c \\
\end{align} \right.$ $\Rightarrow C(1;2;5).$
Phương trình các đường thẳng cần tìm là $AB:\left\{ \begin{align}
& x=3-t \\
& y=2+t \\
& z=3 \\
\end{align} \right.$, $BC:\left\{ \begin{align}
& x=1 \\
& y=2-t \\
& z=5+t \\
\end{align} \right.$, $CA:\left\{ \begin{align}
& x=1-t \\
& y=2 \\
& z=5+t \\
\end{align} \right..$
C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài tập 1: Lập phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng $d$ biết:
1. $d$ đi qua $A\left( 2;0;1 \right)$ và có $\overrightarrow{u}=(1;-1;-1)$ là VTCP.
2. $d$ đi qua $A\left( 1;2;1 \right)$ và $B\left( -1;0;0 \right).$
3. $d$ đi qua $M\left( -2;1;0 \right)$ và vuông góc với $(P):x+2y-2z+1=0.$
4. $d$ đi qua $N\left( -1;2;-3 \right)$ và song song với $\Delta :\frac{x-1}{2}=\frac{y}{-2}=\frac{3-z}{1}.$
5. $d$ nằm trong $(P):x+2y-3z+4=0$ sao cho $d$ cắt và vuông góc với đường thẳng $\Delta :$ $\frac{x+2}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z}{-1}.$
Bài tập 2: Lập phương trình của đường thẳng $\Delta $ biết:
1. $\Delta $ đi qua $M\left( 1;4;-2 \right)$ và song song với hai mặt phẳng $\left( P \right):6x+6y+2z+3=0$ và $\left( Q \right):3x-5y-2z-1=0.$
2. $\Delta $ nằm trong $(P):y+2z=0$ và cắt hai đường thẳng ${{d}_{1}}:\left\{ \begin{align}
& x=1-t \\
& y=t \\
& z=4t \\
\end{align} \right.$, ${{d}_{2}}:\left\{ \begin{align}
& x=2-t’ \\
& y=4+2t’ \\
& z=1 \\
\end{align} \right. .$
3. $\Delta $ đi qua $M\left( -4;-5;3 \right)$ và cắt hai đường thẳng ${{d}_{1}}:\frac{x+1}{3}=\frac{y+3}{-2}=\frac{z-2}{-1}$ và ${{d}_{2}}:\frac{x-2}{2}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-1}{-5}.$
4. $\Delta $ đi qua $M\left( 0;1;1 \right)$, vuông góc với ${{d}_{1}}:\frac{x-1}{3}=\frac{y+2}{1}=\frac{z}{1}$ và cắt đường thẳng ${{d}_{2}}:\left\{ \begin{align}
& x=-1 \\
& y=t \\
& z=1+t \\
\end{align} \right. .$
Bài tập 3: Viết phương trình đường thẳng $\Delta $ biết:
1. $\Delta $ đi qua $A(-2;2;1)$ và cắt $Oy$ tại điểm $B$ sao cho $OB=2OA.$
2. $\Delta $ đi qua $B(1;1;2)$ và cắt đường thẳng $d:\frac{x-2}{1}=\frac{y-3}{-2}=\frac{z+1}{1}$ tại $C$ sao cho tam giác $OBC$ có diện tích bằng $\frac{\sqrt{83}}{2}.$
Bài tập 4: Cho hai đường thẳng ${{\Delta }_{1}}:\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z}{-1}$, ${{\Delta }_{2}}:\frac{x-3}{-1}=\frac{y}{2}=\frac{z+1}{1}.$
1. Chứng minh rằng hai đường thẳng ${{\Delta }_{1}}$ và ${{\Delta }_{2}}$ cắt nhau và lập phương trình mặt phẳng chứa hai đường thẳng đó.
2. Tìm điểm $M$ thuộc ${{\Delta }_{1}}$ có khoảng cách đến ${{\Delta }_{2}}$ bằng $\frac{\sqrt{210}}{3}.$
3. Lập phương trình tham số các đường phân giác của các góc tọa bởi hai đường thẳng.
