Bài viết hướng dẫn phương pháp tìm điều kiện tham số liên quan đến bài toán tương giao của hàm phân thức hữu tỉ trong chương trình Giải tích 12: ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
I. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Cho hàm số có dạng: $y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}$ (điều kiện $ad – bc \ne 0$).
Đường thẳng $d:y = mx + n.$
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là:
$\frac{{ax + b}}{{cx + d}} = mx + n$ (điều kiện $x \ne – \frac{d}{c}$).
$ \Leftrightarrow ax + b = (cx + d)(mx + n)$ $ \Leftrightarrow g(x) = {a_1}{x^2} + {b_1}x + {c_1} = 0$ $(1).$
Hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm phân biệt $ \Leftrightarrow (1)$ có hai nghiệm phân biệt khác $ – \frac{d}{c}$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{a_1} \ne 0;\Delta > 0}\\
{g\left( { – \frac{d}{c}} \right) > 0}
\end{array}} \right..$
Nhận xét:
+ Nếu $A$, $B$ là giao điểm của của hai đồ thị thì $A\left( {{x_1};m{x_1} + n} \right)$ và $B\left( {{x_2};m{x_2} + n} \right)$ với ${x_1}$, ${x_2}$ là hai nghiệm phân biệt của phương trình $(1).$
+ Nếu hai giao điểm $A$, $B$ thuộc hai nhánh của đồ thị thì ta có ${x_A} < – \frac{d}{c} < {x_B}.$
+ Nếu hai giao điểm $A$, $B$ cùng thuộc một nhánh của đồ thị hàm số thì ta có ${x_A}$, ${x_B} > – \frac{d}{c}$ hoặc ${x_A}$, ${x_B} < – \frac{d}{c}.$
II. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1. Tìm điều kiện của tham số $m$ để đường thẳng $y = x + m$ cắt đồ thị hàm số $y = \frac{{x – 2}}{{x – 1}}$ tại hai điểm phân biệt $A$, $B$ sao cho:
a) Hai điểm $A$, $B$ thuộc về cùng một nhánh của đồ thị hàm số.
b) Độ dài đoạn thẳng $AB = 2\sqrt 3 .$
c) Diện tích tam giác $OAB$ bằng $4\sqrt 3 $ với $O$ là gốc tọa độ.
Xét phương trình hoành độ giao điểm: $\frac{{x – 2}}{{x – 1}} = x + m$ (điều kiện $x \ne 1$).
$ \Leftrightarrow x – 2 = (x + m)(x – 1)$ $ \Leftrightarrow {x^2} + (m – 2)x + 2 – m = 0.$
$ \Leftrightarrow {x^2} + (m – 2)x + 2 – m = 0$ $(1).$
Để đường thẳng $d$ cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt $ \Leftrightarrow (1)$ có hai nghiệm phân biệt khác $1.$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\Delta = {{(m – 2)}^2} – 4(2 – m) > 0}\\
{{1^2} + m – 2 + 2 – m \ne 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\Delta = {m^2} – 4 > 0}\\
{1 \ne 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m > 2}\\
{m < – 2}
\end{array}} \right..$
Gọi ${x_1}$, ${x_2}$ là hai nghiệm phân biệt của phương trình $(1).$
Áp dụng định lí Vi-ét ta có: $\left\{\begin{array}{l}
{x_{1}+x_{2}=2-m} \\
{x_{1} x_{2}=2-m}
\end{array}\right.$
a) Để đường thẳng $d$ cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm thuộc cùng một nhánh của đồ thị hàm số $ \Leftrightarrow (1)$ có hai nghiệm phân biệt ${x_1} > 1$, ${x_2} > 1$ hoặc ${x_1} < 1$, ${x_2} < 1$ $ \Leftrightarrow \left( {{x_1} – 1} \right)\left( {{x_2} – 1} \right) > 0$ $ \Leftrightarrow {x_1}{x_2} – \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1 > 0.$
$ \Leftrightarrow (2 – m) – (2 – m) + 1 > 0$ $ \Leftrightarrow 1 > 0$ (luôn đúng).
Vậy với $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m > 2}\\
{m < – 2}
\end{array}} \right.$ thì đường thẳng $d$ luôn cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm thuộc cùng một nhánh của đồ thị hàm số.
b) Ta có $A\left( {{x_1};{x_1} + m} \right)$ và $B\left( {{x_2};{x_2} + m} \right)$ do đó $AB = \sqrt {{{\left( {{x_2} – {x_1}} \right)}^2} + {{\left( {{x_2} – {x_1}} \right)}^2}} .$
$ \Leftrightarrow A{B^2} = 2{\left( {{x_2} – {x_1}} \right)^2}.$
$ \Leftrightarrow A{B^2} = 2{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} – 8{x_2}{x_1}$ $ = 2{(2 – m)^2} – 8(2 – m)$ $ = 2{m^2} – 8.$
Theo giả thiết, ta có $AB = 2\sqrt 3 $ $ \Leftrightarrow A{B^2} = 12$ $ \Leftrightarrow 12 = 2{m^2} – 8$ $ \Leftrightarrow m = \pm 2\sqrt 5 .$
c) Ta có ${S_{OAB}} = \frac{1}{2}d(O;AB).AB$ với $AB:y = x + m$ $ \Leftrightarrow x – y + m = 0.$
$ \Rightarrow d(O;AB) = \frac{{|m|}}{{\sqrt 2 }}.$
Khi đó ta có $4\sqrt 3 = \frac{1}{2}.\frac{{|m|}}{{\sqrt 2 }}.\sqrt {2{m^2} – 8} $ $ \Leftrightarrow 8\sqrt 3 = |m|.\sqrt {{m^2} – 4} .$
$ \Leftrightarrow {m^4} – 4{m^2} – 192 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{m^2} = 16}\\
{{m^2} = – 12\:\:{\rm{(loại)}}}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow m = \pm 4.$
Ví dụ 2. Cho hàm số $y = \frac{{x + 3}}{{x + 1}}$ $(C).$ Đường thẳng $d:y=2x+m$ cắt $(C)$ tại hai điểm phân biệt $A$, $B.$ Tìm điều kiện của tham số $m$ sao cho:
a) Trọng tâm của tam giác $OAB$ thuộc đường thẳng ${d_1}:y = – x + \frac{1}{3}$ với $O$ là gốc tọa độ.
b) Độ dài đoạn thẳng $AB$ nhỏ nhất.
Ta có phương trình hoành độ giao điểm:
$\frac{{x + 3}}{{x + 1}} = 2x + m$ (điều kiện $x \ne – 1$) $ \Leftrightarrow x + 3 = (x + 1)(2x + m).$
$ \Leftrightarrow 2{x^2} + (m + 1)x + m – 3 = 0$ $(1).$
Để đường thẳng $d$ cắt đồ thị $(C)$ tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình $(1)$ có hai nghiệm phân biệt khác $-1.$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\Delta = {{(m + 1)}^2} – 4.2.(m – 3) > 0}\\
{2{{( – 1)}^2} + (m + 1)( – 1) + m – 3 \ne 0}
\end{array}} \right..$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\Delta = {m^2} – 6m + 25 > 0}\\
{ – 2 \ne 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow {(m – 3)^2} + 16 > 0$ (luôn đúng).
Gọi ${x_1}$, ${x_2}$ là hai nghiệm phân biệt của phương trình $(1).$
Áp dụng định lí Vi-et, ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_1} + {x_2} = \frac{{ – (m + 1)}}{2}}\\
{{x_1}{x_2} = \frac{{m – 3}}{2}}
\end{array}} \right..$
a) Giả sử $A\left( {{x_1};2{x_1} + m} \right)$ và $B\left( {{x_2};2{x_2} + m} \right)$ do đó trọng tâm $G$ của tam giác $OAB$ là $G\left( {\frac{{{x_1} + {x_2} + 0}}{3};\frac{{2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 2m}}{3}} \right)$ $ \Leftrightarrow G\left( {\frac{{ – (m + 1)}}{6};\frac{{m – 1}}{3}} \right).$
Theo bài ra ta có $G \in {d_1}:y = – x + \frac{1}{3}.$
$ \Rightarrow \frac{{m – 1}}{3} = \frac{{m + 1}}{6} + \frac{1}{3}$ $ \Leftrightarrow 2m – 2 = m + 1 + 2$ $ \Leftrightarrow m = 5.$
b) Ta có $A{B^2} = {\left( {{x_2} – {x_1}} \right)^2} + {\left( {2{x_2} + m – 2{x_1} – m} \right)^2}.$
$ = 5{\left( {{x_2} – {x_1}} \right)^2}$ $ = 5{\left( {{x_2} + {x_1}} \right)^2} – 20{x_2}{x_1}$ $ = 5.\frac{{{{(m + 1)}^2}}}{4} – 20.\frac{{m – 3}}{2}.$
$ = \frac{5}{4}.\left[ {{m^2} – 6m + 25} \right]$ $ = \frac{5}{4}\left[ {{{(m – 3)}^2} + 16} \right]$ $ \ge \frac{5}{4}.16 = 20.$
Do đó $A{B_{\min }} = 2\sqrt 5 $ khi $m = 3.$
III. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Bài 1. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để đường thẳng $d:y=-x+m$ cắt đồ thị hàm số $y = \frac{{x + 2}}{{x – 1}}$ tại hai điểm phân biệt?
A. $( – \infty ;2 – 2\sqrt 3 ) \cup (2 + 2\sqrt 3 ; + \infty ).$
B. $(2 – 2\sqrt 3 ;2 + 2\sqrt 3 ).$
C. $( – \infty ;2 – 2\sqrt 3 ].$
D. $( – 2\sqrt 3 ;2\sqrt 3 ).$
Ta có phương trình hoành độ giao điểm: $\frac{{x + 2}}{{x – 1}} = – x + m$ (điều kiện $x \ne 1$).
$ \Leftrightarrow x + 2 = – {x^2} + (m + 1)x – m$ $ \Leftrightarrow {x^2} – mx + m + 2 = 0$ $(1).$
Để đường thẳng $d$ cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt $ \Leftrightarrow (1)$ có hai nghiệm phân biệt khác $1.$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\Delta = {m^2} – 4(m + 2) > 0}\\
{{1^2} – m.1 + m \ne 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow {m^2} – 4m – 8 > 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m > 2 + 2\sqrt 3 }\\
{m < 2 – 2\sqrt 3 }
\end{array}} \right..$
Chọn đáp án A.
Bài 2. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để đường thẳng $d:y = – 2x + m$ cắt đồ thị hàm số $y = \frac{{2x – 1}}{{x – 2}}$ tại hai điểm phân biệt thuộc về cùng một nhánh của đồ thị.
A. $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m > 6 + 2\sqrt 6 }\\
{m < 6 – 2\sqrt 6 }
\end{array}} \right..$
B. $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m > 6 + 2\sqrt 3 }\\
{m < 6 – 2\sqrt 3 }
\end{array}} \right..$
C. $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m > 6}\\
{m < 6}
\end{array}} \right..$
D. $ – 6 < m < 6.$
Phương trình hoành độ giao điểm: $\frac{{2x – 1}}{{x – 2}} = – 2x + m$ (điều kiện $x \ne 2$).
$ \Leftrightarrow 2x – 1 = – 2{x^2} + (m + 4)x – 2m.$
$ \Leftrightarrow 2{x^2} – (m + 2)x + 2m – 1 = 0$ $(1).$
Để đường thẳng $d$ cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm $ \Leftrightarrow (1)$ có hai nghiệm phân biệt ${x_1}$, ${x_2}$ khác $2.$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\Delta = {{(m + 2)}^2} – 4.2(2m – 1) > 0}\\
{{{2.2}^2} – (m + 2)2 + 2m – 1 \ne 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\Delta = {m^2} – 12m + 12 > 0}\\
{3 \ne 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m > 6 + 2\sqrt 6 }\\
{m < 6 – 2\sqrt 6 }
\end{array}} \right..$
Áp dụng định lí Vi-et, ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_1} + {x_2} = \frac{{m + 2}}{2}}\\
{{x_1}{x_2} = \frac{{2m – 1}}{2}}
\end{array}} \right..$
Để hai giao điểm thuộc về cùng một nhánh của đồ thị:
$ \Leftrightarrow \left( {{x_1} – 2} \right)\left( {{x_2} – 2} \right) > 0$ $ \Leftrightarrow {x_1}{x_2} – 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 4 > 0$ $ \Leftrightarrow \frac{{2m – 1}}{2} – 2.\frac{{m + 2}}{2} + 4 > 0.$
$ \Leftrightarrow \frac{3}{2} > 0$ (luôn đúng).
Chọn đáp án A.
Bài 3. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m \in [ – 10;10]$ để đồ thị hàm số $y = \frac{{2x}}{{x – 1}}$ cắt $d: y=-x+ m$ tại hai điểm phân biệt.
A. $15.$
B. $16.$
C. $20.$
D. $21.$
Phương trình hoành độ giao điểm:
$\frac{{2x}}{{x – 1}} = – x + m$ $ \Leftrightarrow 2x = – {x^2} + (m + 1)x – m$ $ \Leftrightarrow {x^2} + (1 – m)x + m = 0$ $(1).$
Để đường thẳng $d$ cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt $ \Leftrightarrow (1)$ có hai nghiệm phân biệt khác $1$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\Delta = {{(1 – m)}^2} – 4m > 0}\\
{{1^2} + 1 – m + m \ne 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{m^2} – 6m + 1 > 0}\\
{2 \ne 0}
\end{array}} \right..$
Mà $m \in Z$, $m \in [ – 10;10]$ nên $m \in \{ – 10; – 9; \ldots ;0;6;7;8;9;10\} .$
Chọn đáp án B.
Bài 4. Tính tổng các giá trị nguyên của tham số $m \in ( – 6;10)$ biết đường thẳng $d:y=-x+m$ cắt đồ thị hàm số $y = \frac{{x – 3}}{{x + 1}}$ tại hai điểm phân biệt.
A. $30.$
B. $40.$
C. $34.$
D. $21.$
Ta có phương trình hoành độ giao điểm:
$\frac{{x – 3}}{{x + 1}} = – x + m$ (điều kiện $x \ne – 1$) $ \Leftrightarrow x – 3 = – {x^2} + (m – 1)x + m.$
$ \Leftrightarrow {x^2} + (2 – m)x – m – 3 = 0$ $(1).$
Để đường thẳng $d$ cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt $ \Leftrightarrow (1)$ có hai nghiệm phân biệt khác $-1$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\Delta = {{(2 – m)}^2} – 4( – m – 3) > 0}\\
{{{( – 1)}^2} – 2 + m – m – 3 \ne 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{m^2} + 16 > 0}\\
{ – 4 \ne 0}
\end{array}} \right.$ (luôn đúng).
Theo bài ra ta có $m \in ( – 6;10)$ $ \Rightarrow m \in \{ – 5; – 4; – 3; \ldots ;0;1; \ldots ;9\} .$
Do đó tổng các giá trị cần tìm của $m$ là $S = ( – 5) + ( – 4) + \ldots + 0 + 1 + \ldots + 9 = 30.$
Chọn đáp án A.
Bài 5. Tính tổng bình phương các giá trị của tham số $m$ sao cho đường thẳng $d:y=-x- m$ cắt đồ thị hàm số $y = \frac{{x – 2}}{{x – 1}}$ tại hai điểm phân biệt $M$, $N$ sao cho $MN = \sqrt {26} .$
A. $26.$
B. $25.$
C. $17.$
D. $10.$
Ta có phương trình hoành độ giao điểm là:
${\frac{{x – 2}}{{x – 1}} = – x – m}$ (điều kiện ${x \ne 1}$) $ \Leftrightarrow x – 2 = – {x^2} + (1 – m)x + m.$
$ \Leftrightarrow {x^2} + mx – m – 2 = 0$ $(1).$
Để đường thẳng $d$ cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt $ \Leftrightarrow (1)$ có hai nghiệm phân biệt ${x_1}$, ${x_2}$ khác $1.$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\Delta = {m^2} + 4(m + 2) > 0}\\
{1 + m – m – 2 \ne 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{{(m + 2)}^2} + 4 > 0}\\
{ – 1 \ne 0}
\end{array}} \right.$ (luôn đúng).
Áp dụng định lí Vi-et, ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_1} + {x_2} = – m}\\
{{x_1}{x_2} = – m – 2}
\end{array}} \right..$
Khi đó gọi $M\left( {{x_1}; – {x_1} – m} \right)$, $N\left( {{x_2}; – {x_2} – m} \right)$ $ \Rightarrow M{N^2} = {\left( {{x_2} – {x_1}} \right)^2} + {\left( { – {x_2} + {x_1}} \right)^2}.$
$ = 2{\left( {{x_2} – {x_1}} \right)^2}$ $ = 2\left[ {{{\left( {{x_2} + {x_1}} \right)}^2} – 4{x_2}{x_1}} \right]$ $ = 2\left( {{m^2} + 4m + 8} \right).$
Theo bài ra ta có $2\left( {{m^2} + 4m + 8} \right) = 26$ $ \Leftrightarrow {m^2} + 4m – 5 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m = 1}\\
{m = – 5}
\end{array}} \right..$
Do đó tổng cần tìm là $S = {1^2} + {( – 5)^2} = 26.$
Chọn đáp án A.
Bài 6. Cho hàm số $y = \frac{{x + 1}}{{x – 1}}$ và đường thẳng $d$ đi qua điểm $M\left( {\frac{5}{2};4} \right)$ có hệ số góc $m.$ Tìm giá trị của $m$ để đường thẳng $d$ cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt $A$, $B$ sao cho $M$ là trung điểm $AB.$
A. $m=-3.$
B. $m=-2.$
C. $m = 2.$
D. $m=1.$
Phương trình đường thẳng $d:y = m\left( {x – \frac{5}{2}} \right) + 4.$
Ta có phương trình hoành độ giao điểm: $\frac{{x + 1}}{{x – 1}} = m\left( {x – \frac{5}{2}} \right) + 4.$
$ \Leftrightarrow 2x + 2$ $ = 2m{x^2} – (7m – 8)x + 5m – 8$ $ \Leftrightarrow 2m{x^2} – (7m – 6)x + 5m – 10 = 0$ $(1).$
Để đường thẳng $d$ cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt $ \Leftrightarrow (1)$ có hai nghiệm phân biệt ${x_1}$, ${x_2}$ khác $1.$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m \ne 0}\\
{\Delta = {{(7m – 6)}^2} – 4.2m.(5m – 10) > 0}\\
{2m – (7m – 6) + 5m – 10 \ne 0}
\end{array}} \right..$
Áp dụng định lí Vi-et, ta có: ${x_1} + {x_2} = \frac{{7m – 6}}{{2m}}.$
Khi đó $A\left( {{x_1};{y_1}} \right)$, $B\left( {{x_2};{y_2}} \right).$
Vì $M$ là trung điểm $AB$ nên:
${x_1} + {x_2} = 2{x_M} = 5$ $ \Leftrightarrow \frac{{7m – 6}}{{2m}} = 5$ $ \Leftrightarrow m = – 2$ (thỏa mãn).
Chọn đáp án B.
Bài 7. Cho hàm số $y = \frac{{2x + 1}}{{x + 1}}.$ Tìm $m$ để đường thẳng $d: y=-2x+ m$ cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm $M$, $N$ sao cho ${S_{OMN}} = \frac{{3\sqrt {17} }}{4}$ với $O$ là gốc tọa độ.
A. ${ \pm 1}$.
B. ${ \pm \frac{1}{2}}$.
C. ${ \pm 3}$.
D. ${ \pm 2}$.
Phương trình hoành độ giao điểm:
$\frac{{2x + 1}}{{x + 1}} = – 2x + m$ (điều kiện $x \ne – 1$) $ \Leftrightarrow 2x + 3$ $ = – 2{x^2} + (m – 2)x + m.$
$ \Leftrightarrow 2{x^2} – (m – 4)x + 1 – m = 0$ $(1).$
Để đường thẳng $d$ cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt $ \Leftrightarrow (1)$ có hai nghiệm phân biệt ${x_1}$, ${x_2}$ khác $-1.$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\Delta = {{(m – 4)}^2} – 4.2.(1 – m) > 0}\\
{2.{{( – 1)}^2} – (m – 4)( – 1) + 1 – m \ne 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{m^2} + 8 > 0}\\
{ – 1 \ne 0}
\end{array}} \right.$ (luôn đúng).
Áp dụng định lí Vi-et, ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_1} + {x_2} = \frac{{m – 4}}{2}}\\
{{x_1}{x_2} = \frac{{1 – m}}{2}}
\end{array}} \right..$
Gọi $M\left( {{x_1}; – 2{x_1} + m} \right)$, $N\left( {{x_2}; – 2{x_2} + m} \right).$
Khi đó $M{N^2} = {\left( {{x_2} – {x_1}} \right)^2} + {\left( { – 2{x_2} + 2{x_1}} \right)^2}$ $ = 5{\left( {{x_2} – {x_1}} \right)^2}$ $ = 5{\left( {{x_2} + {x_1}} \right)^2} – 20{x_1}{x_2}.$
$ = 5{\left( {\frac{{m – 4}}{2}} \right)^2} – 20.\frac{{1 – m}}{2}$ $ = \frac{5}{4}\left[ {{m^2} + 8} \right].$
Ta có $d(O;MN)$ $ = d(O;d)$ $ = \frac{{|m|}}{{\sqrt 5 }}$ $ \Rightarrow {S_{OMN}} = \frac{1}{2}.\frac{{|m|}}{{\sqrt 5 }}.\frac{{\sqrt 5 }}{2}.\sqrt {{m^2} + 8} .$
$ \Leftrightarrow 4.\frac{{3\sqrt {17} }}{4} = |m|.\sqrt {{m^2} + 8} $ $ \Leftrightarrow {m^4} + 8{m^2} – 153 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{m^2} = 9}\\
{{m^2} = – 17\:\:{\rm{(loại)}}}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow m = \pm 3.$
Chọn đáp án C.
Bài 8. Cho hàm số $y = \frac{{2x + 1}}{{x – 1}}$ có đồ thị $(C)$ và đường thẳng $d: y = mx + 2 – m.$ Tìm giá trị của tham số $m$ để đường thẳng $d$ cắt $(C)$ tại hai điểm phân biệt $A$ và $B$ sao cho tam giác $ABC$ cân tại $C(2;-1).$
A. $m = \frac{4}{3}.$
B. $m = – \frac{5}{3}.$
C. $m = – \frac{2}{3}.$
D. $m = \frac{1}{3}.$
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị là:
$\frac{{2x + 1}}{{x – 1}} = mx + 2 – m$ (điều kiện $x \ne 1$) $ \Leftrightarrow m{x^2} – 2mx + m – 3 = 0$ $(1).$
Để đường thẳng $d$ cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt $ \Leftrightarrow (1)$ có hai nghiệm phân biệt ${x_1}$, ${x_2}$ khác $1.$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m \ne 0}\\
{\Delta ‘ = {m^2} – m(m – 3) > 0}\\
{m – 2m + m – 3 \ne 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow m > 0.$
Áp dụng định lí Vi-et, ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_1} + {x_2} = 2}\\
{{x_1}{x_2} = \frac{{m – 3}}{m}}
\end{array}} \right..$
Gọi $I$ là trung điểm $AB$ thì ${x_I} = \frac{{{x_1} + {x_2}}}{2} = 1$ mà $I \in AB$ $ \Rightarrow I \in d$ $ \Rightarrow I(1;2).$
Ta có đường thẳng $IC$ có hệ số góc là ${k_{IC}} = \frac{{{y_C} – {y_I}}}{{{x_C} – {x_I}}} = – 3.$
Theo giả thiết $\Delta ABC$ cân tại $C$ nên $IC \bot AB.$
$ \Leftrightarrow {k_{IC}}.{k_d} = – 1$ $ \Leftrightarrow m.( – 3) = – 1$ $ \Leftrightarrow m = \frac{1}{3}.$
Chọn đáp án D.
Bài 9. Cho hàm số $y = \frac{{2x – 4}}{{x + 1}}.$ Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ sao cho đường thẳng $y=-x+ m$ cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt $B$, $C$ sao cho tứ giác $OABC$ là hình bình hành với $A(-5;5)$ và $O$ là gốc tọa độ.
A. $m=2.$
B. $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m = 0}\\
{m = 2}
\end{array}} \right..$
C. $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m = 1}\\
{m = 3}
\end{array}} \right..$
D. $m=-2.$
Ta có phương trình hoành độ giao điểm:
$\frac{{2x – 4}}{{x + 1}} = – x + m$ (điều kiện $x \ne – 1$) $ \Leftrightarrow {x^2} + (3 – m)x – 4 – m = 0$ $(1).$
Để đường thẳng $d$ cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt $ \Leftrightarrow (1)$ có hai nghiệm phân biệt ${x_1}$, ${x_2}$ khác $-1.$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\Delta = {{(3 – m)}^2} – 4( – 4 – m) > 0}\\
{{{( – 1)}^2} + (3 – m)( – 1) – 4 – m \ne 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{m^2} – 2m + 25 > 0}\\
{ – 6 \ne 0}
\end{array}} \right.$ (luôn đúng).
Áp dụng định lí Vi-ét, ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_1} + {x_2} = m – 3}\\
{{x_1}{x_2} = – 4 – m}
\end{array}} \right..$
Giả sử $B\left( {{x_1}; – {x_1} + m} \right)$, $C\left( {{x_2}; – {x_2} + m} \right)$ thì:
$B{C^2} = 2{\left( {{x_2} – {x_1}} \right)^2}$ $ = 2{\left( {{x_2} + {x_1}} \right)^2} – 8{x_1}{x_2}$ $ = 2{m^2} – 4m + 50.$
Ta có đường thẳng $OA:y = – x$ và $OA = \sqrt {50} $ mà $CB:y = – x + m.$
Do đó theo yêu cầu bài toán ta có $OA // CB$ và $OA = CB.$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m \ne 0}\\
{2{m^2} – 4m + 50 = 50}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne 0\\
\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m = 0}\\
{m = 2}
\end{array}} \right.
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow m = 2.$
Chọn đáp án A.
Bài 10. Cho hàm số $y = \frac{x}{{1 – x}}$ có đồ thị $(C)$ và điểm thỏa mãn $A(-1;1).$ Tìm $m$ để đường thẳng $d: y = mx – m–1$ cắt $(C)$ tại hai điểm phân biệt $M$, $N$ sao cho $A{M^2} + A{N^2}$ đạt giá trị nhỏ nhất.
A. $m=-2.$
B. $m=-1.$
C. $m=1.$
D. $m= -3.$
Phương trình hoành độ giao điểm là:
${\frac{x}{{1 – x}} = mx – m – 1}$ (điều kiện ${x \ne 1}$) $ \Leftrightarrow m{x^2} – 2mx + m + 1 = 0$ $(1).$
Để đường thẳng $d$ cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt $ \Leftrightarrow (1)$ có hai nghiệm phân biệt khác $1$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m \ne 0}\\
{\Delta = {m^2} – m(m + 1) > 0}\\
{m – 2m + m + 1 \ne 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow m < 0.$
Giả sử ${x_M}$, ${x_N}$ là nghiệm của $(1)$, theo định lý Vi-et, ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_M} + {x_N} = 2}\\
{{x_M}{x_N} = \frac{{m + 1}}{m}}
\end{array}} \right..$
Gọi $I$ là trung điểm của $MN$ suy ra $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_I} = \frac{{{x_M} + {x_N}}}{2} = 1}\\
{{y_I} = m{x_I} – m – 1 = – 1}
\end{array}} \right..$
Ta có $A{M^2} + A{N^2} = 2A{I^2} + \frac{{M{N^2}}}{2}$ nên $A{M^2} + A{N^2}$ nhỏ nhất khi $M{N^2}$ nhỏ nhất.
$M{N^2}$ $ = {\left( {{x_M} – {x_N}} \right)^2}$ $ + {\left( {\left( {m{x_M} – m – 1} \right) – \left( {m{x_N} – m – 1} \right)} \right)^2}$ $ = \left( {{m^2} + 1} \right){\left( {{x_M} – {x_N}} \right)^2}.$
$ = \left( {{m^2} + 1} \right)\left( {{{\left( {{x_M} + {x_N}} \right)}^2} – 4{x_M}{x_N}} \right)$ $ = \left( {{m^2} + 1} \right)\left( {4 – 4\frac{{m + 1}}{m}} \right)$ $ = 4\left( { – m + \frac{1}{{ – m}}} \right) \ge 8.$
Dấu bằng xảy ra khi $ – m = \frac{1}{{ – m}}$ và $m <0$ suy ra $m=-1.$
Chọn đáp án B.
IV. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để đường thẳng $d:y = x + m$ cắt đồ thị hàm số $y = \frac{{2x – 3}}{{x – 1}}$ tại hai điểm phân biệt.
A. $( – \infty ; – 1) \cup (3; + \infty ).$
B. $(4; + \infty ).$
C. (-1 ;+\infty)
D. $\forall m.$
Bài 2. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để đường thẳng $d:y = 2x + m$ cắt đồ thị hàm số $y = \frac{{x – 1}}{{x – 2}}$ tại hai điểm phân biệt.
A. $( – \infty ;1) \cup (3; + \infty ).$
B. $\forall m.$
C. $(1;3).$
D. $[0; + \infty ).$
Bài 3. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m \in [ – 12;12]$ để đường thẳng $d:y = 2mx + 1$ cắt đồ thị hàm số $y = \frac{{x – 3}}{{x – 1}}$ tại hai điểm phân biệt thuộc về cùng một nhánh của đồ thị hàm số.
A. $22.$
B. $8.$
C. $7.$
D. $25.$
Bài 4. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để đường thẳng $d:y = mx + 2$ cắt đồ thị hàm số $y = \frac{{2x – 1}}{{x – 2}}$ tại hai điểm phân biệt $M$, $N$ sao cho $I(1;3)$ là trung điểm $MN.$
A. $m=-4.$
B. $m=1.$
C. $m=2.$
D. $m=-1.$
Bài 5. Tính tổng bình phương các giá trị của tham số $m$ để đường thẳng $d:y = 2x – m$ cắt đồ thị hàm số $y = \frac{{3x – 1}}{{x + 2}}$ tại hai điểm phân biệt $A$, $B$ sao cho $AB = \sqrt {10} .$
A. $226.$
B. $25.$
C. $149.$
D. $65.$
Bài 6. Tính tổng tất cả các giá trị thực của $m$ để đường thẳng $y = x + m – 1$ cắt đồ thị hàm số $y = \frac{{2x + 1}}{{x + 1}}$ tại hai điểm phân biệt $A$, $B$ sao cho $AB = 2\sqrt 3 .$
A. $8.$
B. $6.$
C. $4.$
D. $10.$
Bài 7. Cho hàm số $y = \frac{{x + 3}}{{x + 1}}$ có đồ thị $(C).$ Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ sao cho đường thẳng $d: y=x-m$ cắt $(C)$ tại hai điểm phân biệt $A$ và $B$ thỏa mãn điểm $G(2;-2)$ là trọng tâm của tam giác $OAB.$
A. $m = 4.$
B. $m=-3.$
C. $m=6.$
D. $m=7.$
Bài 8. Cho hàm số $y = \frac{{x + 3}}{{x + 1}}$ $(C).$ Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để đường thẳng $d: y = 2x + m$ cắt $(C)$ tại hai điểm phân biệt $M$, $N$ sao cho $MN$ đạt giá trị nhỏ nhất.
A. $m= -2.$
B. $m= 3.$
C. $m=4.$
D. $m=-1.$
Bài 9. Cho hàm số $y = \frac{{x + 3}}{{x + 2}}$ có đồ thị $(C).$ Biết có hai giá trị tham số $m$ để đường thẳng $d: y=2x+ m$ cắt đồ thị $(C)$ tại hai điểm phân biệt $A$, $B$ và cắt tiệm cận đứng của $(C)$ tại điểm $M$ sao cho $M{A^2} + M{B^2} = 25$ là ${m_1}$, ${m_2}.$ Tính tổng $S = m_1^2 + m_2^2.$
A. $S =61.$
B. $S = 146.$
C. $S=37.$
D. $S = 269.$
Bài 10. Có bao nhiêu số nguyên $m$ sao cho đường thẳng $y=x+m$ cắt đồ thị hàm số $y = \frac{{2x – 1}}{{x + 1}}$ tại hai điểm phân biệt $M$, $N$ và $MN \le 6$?
A. $10.$
B. $11.$
C. $4.$
D. $3.$
V. ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
1. A.
2. B.
3. C.
4. B.
5. A.
6. A.
7. C.
8. B.
9. B.
10. C.
