Bài viết hướng dẫn giải các bài tập trong phần câu hỏi và bài tập và phần luyện tập của sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao: Đồ thị của hàm số và phép tịnh tiến hệ tọa độ.
CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP
Bài 29. Xác định đỉnh $I$ của mỗi parabol $(P)$ sau đây. Viết công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow {OI} $ và viết phương trình của parabol $(P)$ đối với hệ tọa độ $IXY.$
a) $y = 2{x^2} – 3x + 1.$
b) $y = \frac{1}{2}{x^2} – x – 3.$
c) $y = x – 4{x^2}.$
d) $y = 2{x^2} – 5.$
a) Đỉnh $I$ có tọa độ $I\left( {\frac{3}{4}; – \frac{1}{8}} \right).$
Công thức chuyển hệ trục tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow {OI} $ là:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = X + \frac{3}{4}}\\
{y = Y – \frac{1}{8}}
\end{array}} \right..$
Phương trình của Parabol đối với hệ tọa độ $IXY$ là:
$ – \frac{1}{8} = 2{\left( {X + \frac{3}{4}} \right)^2} – 3\left( {X + \frac{3}{4}} \right) + 1$ hay $Y = 2{X^2}.$
b) Đỉnh $I\left( {1; – \frac{7}{2}} \right).$
Công thức chuyển hệ trục tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow {OI} $ là:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = X + 1}\\
{y = Y – \frac{7}{2}}
\end{array}} \right..$
Phương trình của Parabol đối với hệ tọa độ $IXY$ là:
$Y – \frac{7}{2}$ $ = \frac{1}{2}{(X + 1)^2} – (X + 1) – 3$ hay $Y = \frac{1}{2}{X^2}.$
c) Đỉnh $I\left( {\frac{1}{8};\frac{1}{{16}}} \right).$
Công thức chuyển hệ trục tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow {OI} $ là:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = X + \frac{1}{8}}\\
{y = Y + \frac{1}{{16}}}
\end{array}} \right..$
Phương trình của Parabol đối với hệ tọa độ $IXY$ là:
$Y + \frac{1}{{16}}$ $ = X + \frac{1}{8} – 4{\left( {X + \frac{1}{8}} \right)^2}$ hay $Y = – 4{X^2}.$
d) Đỉnh $I(0; – 5).$
Công thức chuyển hệ trục tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow {OI} $ là:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = X’}\\
{y = Y – 5}
\end{array}} \right..$
Phương trình của Parabol đối với hệ tọa độ $IXY$ là:
$Y – 5 = 2{X^2} – 5$ hay $Y = 2{X^2}.$
Bài 30. Cho hàm số $y = f(x)$ $ = {x^3} – 3{x^2} + 1.$
a) Xác định điểm $I$ thuộc đồ thị $(C)$ của hàm số đã cho biết rằng hoành độ của điểm $I$ là nghiệm của phương trình $f”(x) = 0.$
b) Viết công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow {OI} $ và viết phương trình của đường $(C)$ với hệ tọa độ $IXY.$ Từ đó suy ra rằng $I$ là tâm đối xứng của đường cong $(C).$
c) Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong $(C)$ tại điểm $I$ đối với hệ tọa độ $Oxy.$ Chứng minh rằng trên khoảng $( – \infty ;1)$ đường cong $(C)$ nằm phía dưới tiếp tuyến tại $I$ của $(C)$ và trên khoảng (1 ;+\infty) đường cong $(C)$ nằm phía trên tiếp tuyến đó.
a) $f'(x) = 3{x^2} – 6x.$
$f”(x) = 6x – 6$, $f”(x) = 0$ $ \Leftrightarrow x = 1$ $ \Rightarrow f(1) = – 1.$
Vậy $I(1; – 1).$
b) Công thức chuyển hệ trục tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow {OI} :$
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = X + 1}\\
{y = Y – 1}
\end{array}} \right..$
Phương trình của $(C)$ đối với hệ trục $IXY$ là:
$Y – 1 = {(X + 1)^3} – 3{(X + 1)^2} + 1$ hay $Y = {X^3} – 3X.$
Vì hàm số $Y = {X^3} – 3X$ là hàm số lẻ nên đồ thị của nó nhận gốc tọa độ $I$ làm tâm đối xứng.
c) Tiếp tuyến với $(C)$ tại $I(1;-1)$ đối với hệ tọa độ $Oxy$ là:
$y = f'(1)(x – 1) + f(1)$ với $f'(1) = – 3$, $f(1) = – 1.$
Nên phương trình tiếp tuyến: $y = – 3(x – 1)( + ( – 1)$ hay $y = – 3x + 2.$
Xét hiệu $\left( {{x^3} – 3{x^2} + 1} \right)$ $ – ( – 3x + 2)$ $ = {(x – 1)^3}.$
+ Với $x \in ( – \infty ;1)$ $ \Rightarrow {(x – 1)^3} < 0$ nên đường cong $(C):y = {x^3} – 3{x^2} + 1$ nằm phía dưới tiếp tuyến $y = – 3{\rm{ }}x + 2.$
+ Với $x \in (1; + \infty )$ $ \Rightarrow {(x – 1)^3} > 0$ nên đường cong $(C)$ nằm phía trên tiếp tuyến tại $I.$
Bài 31. Cho đường cong $(C):y = 2 – \frac{1}{{x + 2}}$ và điểm $I( – 2;2).$ Viết công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow {OI} $ và viết phương trình của đường cong $(C)$ đối với hệ tọa độ $IXY.$ Từ đó suy ra $I$ là tâm đối xứng của $(C).$
Công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo $\overrightarrow {OI} :$ $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = X – 2}\\
{y = Y + 2}
\end{array}} \right..$
Phương trình $(C)$ trong hệ tọa độ $IXY:$
$Y + 2 = 2 – \frac{1}{{(X – 2) + 2}}$ hay $Y = – \frac{1}{X}.$
Vì $Y = – \frac{1}{X}$ là hàm số lẻ nên $(C)$ nhận gốc tọa độ $I$ là tâm đối xứng.
Bài 32. Xác định tâm đối xứng của đồ thị mỗi hàm số sau đây:
a) $y = \frac{2}{{x – 1}} + 1.$
b) $y = \frac{{3x – 2}}{{x + 1}}.$
a) $y = \frac{2}{{x – 1}} + 1$ $ \Leftrightarrow y – 1 = \frac{2}{{x – 1}}$ $ \Leftrightarrow Y = \frac{2}{X}$ với $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{X = x – 1}\\
{Y = y – 1}
\end{array}} \right.$ hay $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = X + 1}\\
{y = Y + 1}
\end{array}} \right.$ $(*).$
Hệ $(*)$ là công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow {OI} $ với $I(1;1)$ (đối với hệ trục $Oxy$).
Đối với hệ trục $IXY$, hàm số $Y = \frac{2}{X}$ hàm số lẻ nên đồ thị nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.
Vậy tâm đối xứng của đồ thị hàm số $y = \frac{2}{{x – 1}} + 1$ là $I(1;1).$
b) $y = \frac{{3x – 2}}{{x + 1}}$ $ \Leftrightarrow y = 3 – \frac{5}{{x – 1}}$ $ \Leftrightarrow y – 3 = \frac{{ – 5}}{{x + 1}}$ $ \Leftrightarrow Y = \frac{{ – 5}}{X}$ với $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{X = x + 1}\\
{Y = y – 3}
\end{array}} \right.$ hay $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = X – 1}\\
{y = Y + 3}
\end{array}} \right..$ Đây là công thức chuyển hệ trục tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow {OI} $ với $I( – 1;3).$
Vì $Y = \frac{{ – 5}}{X}$ là hàm số lẻ nên đồ thị nhận gốc tọa độ $I$ làm tâm đối xứng.
Vậy tâm đối xứng của đồ thị hàm số $y = \frac{{3x – 2}}{{x + 1}}$ là $I( – 1;3).$
Bài 33. Cho đường cong $(C)$ có phương trình $y = ax + b + \frac{c}{{x – {x_0}}}$, trong đó $a \ne 0$, $c \ne 0$ và $I\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ thỏa mãn ${y_0} = a{x_0} + b.$ Viết công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow {OI} $ và phương trình của $(C)$ đối với hệ tọa độ $IXY.$ Từ đó suy ra rằng $I$ là tâm đối xứng của đường cong $(C).$
Công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo $\overrightarrow {OI} $ với $I\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ là:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = X + {x_0}}\\
{y = Y + {y_0}}
\end{array}} \right.$ hay $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = X + {x_0}}\\
{y = Y + a{x_0} + b}
\end{array}} \right..$
Phương trình của $(C)$ đối với hệ tọa độ $IXY:$
$Y + a{x_0} + b$ $ = a\left( {X + {x_0}} \right) + b$ $ + \frac{c}{{X + {x_0} – {x_0}}}$ hay $Y = aX + \frac{c}{X}.$
Do hàm số $Y = aX + \frac{c}{X}$ là hàm số lẻ nên đồ thị $(C)$ của hàm số nhận gốc tọa độ $I$ làm tâm đối xứng.
