Bài viết hướng dẫn giải các bài tập trong phần câu hỏi và bài tập và phần luyện tập của sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao: Dạng lượng giác của số phức và ứng dụng.
CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP
Bài 27. Hãy tìm dạng lượng giác của các số phức: $\overline z $; $ – z$; $\frac{1}{z}$; $Kz$ $\left( {K \in {R^*}} \right)$ trong mỗi trường hợp sau:
a) $z = r(\cos \varphi + i\sin \varphi )$ $(r > 0).$
b) $z = 1 + i\sqrt 3 .$
Lời giải:
a) Ta có:
$\overline z = r(\cos \varphi – i\sin \varphi ).$
$ – z = – r(\cos \varphi + i\sin \varphi )$ $ = r(\cos (\varphi + \pi ) + i\sin (\varphi + \pi )).$
$\frac{1}{z} = \frac{1}{{r(\cos \varphi – i\sin \varphi )}}$ $ = \frac{{\cos \varphi + i\sin \varphi }}{r}$ $ = \frac{1}{r}(\cos \varphi + i\sin \varphi ).$
$Kz$ là một số phức có môđun là $|Kz| = |K|.|z| = |K|.r.$, có acgumen là $\varphi $ nếu $K > 0$, là $\varphi + \pi $ nếu $K < 0.$
Vậy $Kz = |K|.r(\cos \varphi + i\sin \varphi )$ nếu $K> 0.$
$Kz = |K|.r(\cos (\varphi + \pi ) + i\sin (\varphi + \pi ))$ nếu $K > 0.$
b) Khi $z = 1 + i\sqrt 3 $ $ \Leftrightarrow z = 2\left( {\frac{1}{2} + i\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)$ $ = 2\left( {\cos \frac{\pi }{3} + i\sin \frac{\pi }{3}} \right).$
Nên:
$\bar z = 2\left( {\cos \frac{\pi }{3} – i\sin \frac{\pi }{3}} \right).$
$ – z = – 2\left( {\cos \frac{\pi }{3} + i\sin \frac{\pi }{3}} \right)$ $ = 2\left( {\cos \frac{{4\pi }}{3} + i\sin \frac{{4\pi }}{3}} \right).$
$\frac{1}{z} = \frac{1}{2}\left( {\cos \frac{\pi }{3} + i\sin \frac{\pi }{3}} \right).$
$Kz = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{2|K|\left( {\cos \frac{\pi }{3} + i\sin \frac{\pi }{3}} \right)}&{{\rm{với}}\,\,k > 0}\\
{2|K|\left( {\cos \frac{{4\pi }}{3} + i\sin \frac{{4\pi }}{3}} \right)}&{{\rm{với}}\,\,k < 0}
\end{array}} \right..$
Bài 28. Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:
a) $1 – i\sqrt 3 $; $1 + i$; $(1 – i\sqrt 3 )(1 + i)$; $\frac{{1 – i\sqrt 3 }}{{1 + i}}.$
b) $2i(\sqrt 3 – i).$
c) $\frac{1}{{2 + 2i}}.$
d) $z = \sin \varphi + i\cos \varphi $ $(\varphi \in R).$
Lời giải:
a) $z = 1 – i\sqrt 3 $ $ = 2\left( {\frac{1}{2} – i\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)$ $ = 2\left( {\cos \frac{\pi }{3} – i\sin \frac{\pi }{3}} \right)$ $ = 2\left( {\cos \frac{{ – \pi }}{3} + i\sin \frac{{ – \pi }}{3}} \right).$
$z’ = 1 + i$ $ = \sqrt 2 \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2} + i\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)$ $ = \sqrt 2 \left( {\cos \frac{\pi }{4} + i\sin \frac{\pi }{4}} \right).$
$(1 – i\sqrt 3 )(1 + i) = z.z’.$
Mà: $z = 2\left( {\cos \frac{\pi }{3} – i\sin \frac{\pi }{3}} \right)$ $ = 2\left( {\cos \left( { – \frac{\pi }{3}} \right) + i\sin \left( { – \frac{\pi }{3}} \right)} \right).$
$z’ = \sqrt 2 \left( {\cos \frac{\pi }{4} + i\sin \frac{\pi }{4}} \right).$
Nên $z.z’$ $ = 2\sqrt 2 \left( {\cos \left( {\frac{\pi }{4} – \frac{\pi }{3}} \right) + i\sin \left( {\frac{\pi }{4} – \frac{\pi }{3}} \right)} \right)$ $ = 2\sqrt 2 \left( {\cos \frac{{ – \pi }}{{12}} + i\sin \left( { – \frac{\pi }{{12}}} \right)} \right).$
$\frac{{1 – i\sqrt 3 }}{{1 + i}}$ $ = \frac{z}{{z’}}$ $ = \frac{2}{{\sqrt 2 }}\left( {\cos \left( { – \frac{\pi }{3} – \frac{\pi }{4}} \right) + i\sin \left( { – \frac{\pi }{3} – \frac{\pi }{4}} \right)} \right).$
$ = \sqrt 2 \left[ {\cos \left( {\frac{{ – 7\pi }}{{12}}} \right) + i\sin \left( {\frac{{ – 7\pi }}{{12}}} \right)} \right].$
b) $2i(\sqrt 3 – i)$ $ = 2\left( {i\sqrt 3 – {i^2}} \right)$ $ = 2(1 + i\sqrt 3 )$ $ = 4\left( {\frac{1}{2} + i.\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)$ $ = 4\left( {\cos \frac{\pi }{3} + i\sin \frac{\pi }{3}} \right).$
c) $\frac{1}{{2 + 2i}}$ $ = \frac{{2 – 2i}}{8}$ $ = \frac{1}{4}(1 – i)$ $ = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2} – i.\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right).$
$ = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\left( {\cos \frac{\pi }{4} – i\sin \frac{\pi }{4}} \right)$ $ = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\left[ {\cos \left( {\frac{{ – \pi }}{4}} \right) + i\sin \left( {\frac{{ – \pi }}{4}} \right)} \right].$
d) $z = \sin \varphi + i\cos \varphi $ $ = \cos \left( {\frac{\pi }{2} – \varphi } \right) + i\sin \left( {\frac{\pi }{2} – \varphi } \right).$
Bài 29. Dùng công thức khai triển nhị thức Niu-tơn ${(1 + i)^{19}}$ và công thức Moa-vrơ để tính: $C_{19}^0 – C_{19}^2 + C_{19}^4 – \ldots \ldots + C_{19}^{16} – C_{19}^{18}.$
Lời giải:
Theo nhị thức Niutơn ta có:
${(1 + i)^{19}}$ $ = C_{19}^0 + iC_{19}^1$ $ + {i^2}C_{19}^2 + {i^3}C_{19}^3$ $ + \ldots + {i^{18}}C_{19}^{18} + {i^{19}}C_{19}^{19}.$
$ = \left( {C_{19}^0 – C_{19}^2 + C_{19}^4 – C_{19}^6 + \ldots – C_{19}^{18}} \right)$ $ + i\left( {C_{19}^1 – C_{19}^3 + \ldots – C_{19}^{19}} \right).$
Mặt khác ta có $1 + i$ $ = \sqrt 2 \left( {\cos \frac{\pi }{4} + i\sin \frac{\pi }{4}} \right).$
Nên theo công thức Moa-vrơ ta có:
${(1 + i)^{19}}$ $ = {\left[ {\sqrt 2 \left( {\cos \frac{\pi }{4} + i\sin \frac{\pi }{4}} \right)} \right]^{19}}$ $ = {(\sqrt 2 )^{19}}.\left( {\cos \frac{{19\pi }}{4} + i\sin \frac{{19\pi }}{4}} \right).$
$ = {(\sqrt 2 )^{19}}.\left( {\cos \frac{{3\pi }}{4} + i\sin \frac{{3\pi }}{4}} \right)$ $ = {(\sqrt 2 )^{19}}\left( {\frac{{ – \sqrt 2 }}{2} + i\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right).$
$ = – \frac{{{{(\sqrt 2 )}^{20}}}}{2} + i\frac{{{{(\sqrt 2 )}^{20}}}}{2}$ $ = – {2^9} + i{.2^9}.$
Vậy $C_{19}^0 – C_{19}^2 + C_{19}^4 – \ldots + C_{19}^{16} – C_{19}^{18}$ $ = – {2^9} = – 512.$
Bài 30. Gọi $M$, $M’$ là các điểm trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số $z = 3 + i$, $z’ = (3 – \sqrt 3 ) + (1 + 3\sqrt 3 )i.$
a) Tính $\frac{{z’}}{z}.$
b) Chứng minh rằng hiệu số acgumen của $z’$ với acgumen của $z$ là một số đo của góc lượng giác $(OM;OM’).$ Tính số đo đó.
Lời giải:
Ta có: $\frac{{z’}}{z}$ $ = \frac{{(3 – \sqrt 3 ) + (1 + 3\sqrt 3 )i}}{{3 + i}}$ $ = \frac{{[(3 – \sqrt 3 ) + (1 + 3\sqrt 3 )i](3 – i)}}{{(3 + i)(3 – i)}}.$
$ = \frac{{10 + 10\sqrt 3 i}}{{10}}$ $ = 1 + \sqrt 3 i.$
b) Ta có: $M = (3;1)$, $M’ = (3 – \sqrt 3 ;1 + 3\sqrt 3 ).$
$ \Rightarrow \overrightarrow {OM} = (3;1)$, $\overrightarrow {OM’} = (3 – \sqrt 3 ;1 + 3\sqrt 3 ).$
$ \Rightarrow \cos \left( {OM,OM’} \right)$ $ = \cos \left( {\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow {OM’} } \right)$ $ = \frac{{\overrightarrow {OM} .\overrightarrow {OM’} }}{{|\overrightarrow {OM} |.|\overrightarrow {OM’} |}} = \frac{1}{2}$ $(1).$
Mặt khác: $\frac{{z’}}{z}$ $ = \frac{{\left| {z’} \right|}}{z}\left[ {\cos \left( {\varphi ‘ – \varphi } \right) + i\sin \left( {\varphi ‘ – \varphi } \right)} \right].$
$ = \frac{{\sqrt {40} }}{{\sqrt {10} }}\left[ {\cos \left( {\varphi ‘ – \varphi } \right) + i\sin \left( {\varphi ‘ – \varphi } \right)} \right]$ $ = 2\cos \left( {\varphi ‘ – \varphi } \right) + 2i\sin \left( {\varphi ‘ – \varphi } \right).$
Theo câu a, ta có $\frac{{z’}}{z} = 1 + \sqrt 3 i$, suy ra $2.\cos \left( {\varphi ‘ – \varphi } \right) = 1.$
$ \Rightarrow \cos \left( {\varphi ‘ – \varphi } \right) = \frac{1}{2}$ $(2).$
Từ $(1)$ và $(2)$ ta có: $\cos \left( {\varphi ‘ – \varphi } \right) = \cos \left( {OM,OM’} \right)$ nên hiệu $\varphi ‘ – \varphi $ là một số đo của góc lượng giác $\left( {OM,OM’} \right)$ và số đo đó là: $\varphi ‘ – \varphi = \frac{\pi }{3} + k2\pi .$
Bài 31. Cho các số phức $w = \frac{{\sqrt 2 }}{2}(1 + i)$ và $\varepsilon = \frac{1}{2}( – 1 + i\sqrt 3 ).$
a) Chứng minh rằng ${z_0} = \cos \frac{\pi }{{12}} + i\sin \frac{\pi }{{12}}$, ${z_1} = {z_0}\varepsilon $, ${z_2} = {z_0}{\varepsilon ^2}$ là các nghiệm của phương trình ${z^3} – w = 0.$
b) Biểu diễn hình học các số phức ${z_0}$, ${z_1}$, ${z_2}.$
Lời giải:
a) Ta có ${z_0} = \cos \frac{\pi }{{12}} + i\sin \frac{\pi }{{12}}$ $ \Rightarrow z_0^3 = \cos \frac{{3\pi }}{{12}} + i\sin \frac{{3\pi }}{{12}}$ $ = \cos \frac{\pi }{4} + i\sin \frac{\pi }{4}.$
Vậy $z_0^3 – w = 0$ hay ${z_0}$ là một nghiệm của phương trình: ${z^3} – w = 0.$
Ta lại có: $\varepsilon = \frac{1}{2}( – 1 + i\sqrt 3 )$ $ = – \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i$ $ = \cos \left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right) + i\sin \left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right).$
Nên ${z_1} = {z_0}.\varepsilon $ $ = \cos \left( {\frac{\pi }{{12}} + \frac{{2\pi }}{3}} \right) + i\sin \left( {\frac{\pi }{{12}} + \frac{{2\pi }}{3}} \right)$ $ = \cos \frac{{3\pi }}{4} + i\sin \frac{{3\pi }}{4}.$
$ \Rightarrow z_1^3 = \cos \left( {\frac{{9\pi }}{4}} \right) + i\sin \left( {\frac{{9\pi }}{4}} \right)$ $ = \cos \left( {2\pi + \frac{\pi }{4}} \right) + i\sin \left( {2\pi + \frac{\pi }{4}} \right).$
$ = \cos \frac{\pi }{4} + i\sin \frac{\pi }{4}$ $ = \frac{{\sqrt 2 }}{2}(1 + i) = w.$
Vậy $z_1^3 – w = 0$, hay ${z_1}$ là một nghiệm của phương trình ${z^3} – w = 0.$
Ta có: ${z_2} = {z_0}.{\varepsilon ^2}$ $ = \cos \left( {\frac{\pi }{{12}} + \frac{{4\pi }}{3}} \right) + i\sin \left( {\frac{\pi }{{12}} + \frac{{4\pi }}{3}} \right)$ $ = \cos \left( {\frac{{17\pi }}{{12}}} \right) + i\sin \left( {\frac{{17\pi }}{2}} \right).$
$ \Rightarrow z_2^3 = \cos \left( {\frac{{17\pi }}{4}} \right) + i\sin \left( {\frac{{17\pi }}{4}} \right)$ $ = \cos \left( {4\pi + \frac{\pi }{4}} \right) + i\sin \left( {4\pi + \frac{\pi }{4}} \right)$ $ = \cos \frac{\pi }{4} + i\sin \frac{\pi }{4}.$
Vậy $z_2^3 = \frac{{\sqrt 2 }}{2}(1 + i) = w$ hay $z_2^3 – w = 0.$
Vậy ${z_2}$ cũng là một nghiệm của phương trình ${z^3} – w = 0.$
b) Các điểm $A$, $B$, $C$ lần lượt biểu diễn các số:
${z_0} = \cos \frac{\pi }{{12}} + i\sin \frac{\pi }{{12}}$, ${z_1} = \cos \frac{{3\pi }}{4} + i\sin \frac{{3\pi }}{4}$, ${z_2} = \cos \frac{{17\pi }}{{12}} + i\sin \frac{{17\pi }}{{12}}.$
Nhận xét: ba điểm $A$, $B$, $C$ tạo thành một tam giác đều.
LUYỆN TẬP
Bài 32. Sử dụng công thức Moa-vrơ để tính $\sin 4\varphi $ và $\cos 4\varphi $ theo các lũy thừa $\sin \varphi $ và $\cos \varphi .$
Lời giải:
Theo công thức Moa-vrơ ta có:
${(\cos \varphi + i\sin \varphi )^4}$ $ = \cos 4\varphi + i\sin 4\varphi .$
$ \Leftrightarrow \left( {{{\cos }^4}\varphi – 6{{\sin }^2}\varphi {{\cos }^2}\varphi + {{\sin }^4}\varphi } \right)$ $ + 4\left( {{{\cos }^3}\varphi \sin \varphi – {{\sin }^3}\varphi \cos \varphi } \right)i$ $ = \cos 4\varphi + i\sin 4\varphi .$
$ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\cos 4\varphi = {{\cos }^4}\varphi – 6{{\sin }^2}\varphi {{\cos }^2}\varphi + {{\sin }^4}\varphi }\\
{\sin 4\varphi = 4\left( {{{\cos }^3}\varphi \sin \varphi – {{\sin }^3}\varphi \cos \varphi } \right)}
\end{array}} \right..$
Bài 33. Tính: ${(\sqrt 3 – i)^6}$; ${\left( {\frac{i}{{1 + i}}} \right)^{2004}}$; ${\left( {\frac{{5 + 3i\sqrt 3 }}{{1 – 2i\sqrt 3 }}} \right)^{21}}.$
Lời giải:
Ta có: $\sqrt 3 – i$ $ = 2\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} – \frac{1}{2}i} \right)$ $ = 2\left( {\cos \left( {\frac{{ – \pi }}{6}} \right) + i\sin \left( {\frac{{ – \pi }}{6}} \right)} \right).$
Nên ${(\sqrt 3 – i)^6}$ $ = {2^6}\left( {\cos \left( {\frac{{ – 6\pi }}{6}} \right) + i\sin \left( {\frac{{ – 6\pi }}{6}} \right)} \right)$ $ = 64(\cos ( – \pi ) + i\sin ( – \pi ))$ $ = – 64.$
Ta có: $\frac{i}{{1 + i}}$ $ = \frac{{i(1 – i)}}{{(1 + i)(1 – i)}}$ $ = \frac{{1 + i}}{2}$ $ = \frac{1}{2}(1 + i)$ $ = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2} + i\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right).$
$ = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\left( {\cos \frac{\pi }{4} + i\sin \frac{\pi }{4}} \right).$
Nên: ${\left( {\frac{i}{{1 + i}}} \right)^{2004}}$ $ = {\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^{2004}}.\left( {\cos \frac{{2004\pi }}{4} + i\sin \frac{{2004\pi }}{4}} \right).$
$ = {\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)^{2004}}(\cos (501\pi + i\sin (501\pi ))$ $ = \frac{1}{{{2^{1002}}}}(\cos \pi + i\sin \pi )$ $ = \frac{{ – 1}}{{{2^{1002}}}}.$
$\frac{{5 + 3i\sqrt 3 }}{{1 – 2i\sqrt 3 }}$ $ = \frac{{(5 + 3i\sqrt 3 )(1 + 2i\sqrt 3 )}}{{(1 – 2i\sqrt 3 )(1 + 2i\sqrt 3 )}}$ $ = \frac{{ – 13 + 13i\sqrt 3 }}{{13}}$ $ = – 1 + i\sqrt 3 .$
$ = 2\left( { – \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right)$ $ = 2\left( {\cos \frac{{2\pi }}{3} + i\sin \frac{{2\pi }}{3}} \right).$
Nên ${\left( {\frac{{5 + 3i\sqrt 3 }}{{1 – 2i\sqrt 3 }}} \right)^{21}}$ $ = {2^{21}}(\cos 14\pi + i\sin 14\pi )$ $ = {2^{21}}.$
Bài 34. Cho số phức $w = – \frac{1}{2}(1 + i\sqrt 3 ).$ Tìm các số nguyên dương $n$ để ${w^n}$ là số thực. Hỏi có số nguyên dương $m$ nào để ${w^m}$ là số ảo?
Lời giải:
Ta có: $w = – \frac{1}{2} – i\frac{{\sqrt 3 }}{2}$ $ = \cos \left( {\frac{{4\pi }}{3}} \right) + i\sin \left( {\frac{{4\pi }}{3}} \right).$
Nên ${w^n} = \cos \frac{{4n\pi }}{3} + i\sin \frac{{4n\pi }}{3}.$
Để ${w^n}$ là số thực thì $\sin \frac{{4n\pi }}{3} = 0$ $ \Leftrightarrow \frac{{4n\pi }}{3} = k\pi $ $ \Leftrightarrow n = \frac{{3k}}{4}.$
Để $n \in {N^*}$ thì $k = 4t$ với $t \in {N^*}.$ Khi đó $n = 3t$ với $t \in {N^*}.$
Để ${w^m}$ là số ảo thì $\cos \frac{{4m\pi }}{3} = 0$ $ \Leftrightarrow \frac{{4m\pi }}{3} = \frac{\pi }{2} + k\pi .$
$ \Leftrightarrow 8m = 3 + 6k$ với $k \in Z$, $m \in {N^*}.$
Vì phương trình này vô nghiệm, nên không tồn tại $m$ để ${w^m}$ là số ảo.
Bài 35. Viết dạng lượng giác của số phức $z$ và của các căn bậc hai của $z$ cho mỗi trường hợp sau:
a) $|z| = 3$ và một acgumen của $iz$ là $\frac{{5\pi }}{4}.$
b) $|z| = \frac{1}{3}$ và một acgumen của $\frac{{\overline z }}{{1 + i}}$ là $\frac{{ – 3\pi }}{4}.$
Lời giải:
Giả sử $z = r(\cos \varphi + i\sin \varphi ).$
a) Vì $|z| = 3$ $ \Rightarrow r = 3.$
Ta có $i = \cos \frac{\pi }{2} + i\sin \frac{\pi }{2}$ nên $iz = 3\left( {\cos \left( {\varphi + \frac{\pi }{2}} \right) + i\sin \left( {\varphi + \frac{\pi }{2}} \right)} \right).$
Theo bài ra ta có: $\varphi + \frac{\pi }{2} = \frac{{5\pi }}{4}$ $ \Rightarrow \varphi = \frac{{3\pi }}{4}.$
Vậy $z = 3\left( {\cos \frac{{3\pi }}{4} + i\sin \frac{{3\pi }}{4}} \right).$
$z$ có hai căn bậc hai là ${z_1} = \sqrt 3 \left( {\cos \frac{{3\pi }}{8} + i\sin \frac{{3\pi }}{8}} \right)$ và ${z_2} = – \sqrt 3 \left( {\cos \frac{{3\pi }}{8} + i\sin \frac{{3\pi }}{8}} \right)$ $ = \sqrt 3 \left( {\cos \frac{{11\pi }}{8} + i\sin \frac{{11\pi }}{8}} \right).$
b) Vì $|z| = \frac{1}{3}$ $ \Rightarrow r = \frac{1}{3}.$
Ta có $1 + i$ $ = \sqrt 2 \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2} + i\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)$ $ = \sqrt 2 \left( {\cos \frac{\pi }{4} + i\sin \frac{\pi }{4}} \right).$
$\overline z = \frac{1}{3}(\cos \varphi – i\sin \varphi )$ $ = \frac{1}{3}[\cos ( – \varphi ) + i\sin ( – \varphi )].$
Vậy $\frac{{\bar z}}{{1 + i}}$ $ = \frac{1}{{3\sqrt 2 }}\left( {\cos \left( { – \varphi – \frac{\pi }{4}} \right) + i\sin \left( { – \varphi – \frac{\pi }{4}} \right)} \right).$
Theo bài ra ta có: $ – \varphi – \frac{\pi }{4} = – \frac{{3\pi }}{4}$ $ \Rightarrow \varphi = \frac{\pi }{2}.$
Vậy $z = \frac{1}{3}\left( {\cos \frac{\pi }{2} + i\sin \frac{\pi }{2}} \right).$
$z$ có hai căn bậc hai là: ${z_1} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\left( {\cos \frac{\pi }{4} + i\sin \frac{\pi }{4}} \right)$ và ${z_2} = – \frac{1}{{\sqrt 3 }}\left( {\cos \frac{\pi }{4} + i\sin \frac{\pi }{4}} \right)$ $ = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\left( {\cos \frac{{5\pi }}{4} + i\sin \frac{{5\pi }}{4}} \right).$
Bài 36. Viết dưới dạng lượng giác các số phức:
a) $1 – i\tan \frac{\pi }{5}.$
b) $\tan \frac{{5\pi }}{8} + i.$
c) $1 – \cos \varphi – i\sin \varphi $ ($\varphi \in R$, $\varphi \ne k2\pi $, $k \in Z$).
Lời giải:
a) $z = 1 – i\tan \frac{\pi }{5}.$
$ = 1 – i.\frac{{\sin \frac{\pi }{5}}}{{\cos \frac{\pi }{5}}}$ $ = \frac{1}{{\cos \frac{\pi }{5}}}\left( {\cos \frac{\pi }{5} – i\sin \frac{\pi }{5}} \right)$ $ = \frac{1}{{\cos \frac{\pi }{5}}}\left( {\cos \left( { – \frac{\pi }{5}} \right) + i\sin \left( { – \frac{\pi }{5}} \right)} \right).$
b) $z = \tan \frac{{5\pi }}{8} + i.$
$ = \frac{{\sin \frac{{5\pi }}{8}}}{{\cos \frac{{5\pi }}{8}}} + i$ $ = \frac{1}{{\cos \frac{{5\pi }}{8}}}\left( {\sin \frac{{5\pi }}{8} + i\cos \frac{{5\pi }}{8}} \right)$ $ = \frac{1}{{\cos \frac{{5\pi }}{8}}}\left[ {\cos \left( { – \frac{\pi }{4}} \right) + i\sin \left( { – \frac{\pi }{4}} \right)} \right].$
c) $z = (1 – \cos \varphi ) – i\sin \varphi $ $ = 2{\sin ^2}\frac{\varphi }{2} – i2\sin \frac{\varphi }{2}\cos \frac{\varphi }{2}.$
$ = 2\sin \frac{\varphi }{2}\left( {\sin \frac{\varphi }{2} – i\cos \frac{\varphi }{2}} \right)$ $ = 2\sin \frac{\varphi }{2}\left[ {\cos \left( {\frac{{\varphi – \pi }}{2}} \right) + i\sin \left( {\frac{{\varphi – \pi }}{2}} \right)} \right]$ (nếu $\sin \frac{\varphi }{2} > 0$).
Hoặc $z = \left( { – 2\sin \frac{\varphi }{2}} \right)\left[ {\cos \left( {\frac{{\varphi + \pi }}{2}} \right) + i\sin \left( {\frac{{\varphi + \pi }}{2}} \right)} \right]$ (nếu ${\sin \frac{\varphi }{2} < 0}$).
