Bài viết hướng dẫn giải các bài tập trong phần câu hỏi và bài tập và phần luyện tập của sách giáo khoa Hình học 12 cơ bản: Phương trình đường thẳng trong không gian.
CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP
Bài 1. Viết phương trình tham số của đường thẳng $d$ trong mỗi trường hợp sau:
a) $d$ đi qua điểm $M(5; 4; 1)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow a = (2; – 3;1).$
b) $d$ đi qua điểm $A(2; -1; 3)$ và vuông góc với mặt phẳng $(\alpha )$ có phương trình $x + y – z + 5 = 0.$
c) $d$ đi qua điểm $B(2;0; -3)$ và song song với đường thẳng $\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1 + 2t}\\
{y = – 3 + 3t}\\
{z = 4t}
\end{array}} \right..$
d) $d$ đi qua hai điểm $P(1;2;3)$ và $Q(5;4;4).$
Lời giải:
a) $d$ đi qua điểm $M(5; 4; 1)$ và có vectơ chỉ phương $\vec a = (2; – 3;1)$ nên $d$ có phương trình: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 5 + 2t}\\
{y = 4 – 3t}\\
{z = 1 + t}
\end{array}} \right..$
b) Do $d$ vuông góc với mặt phẳng $(\alpha ):x + y – z + 5 = 0$, nên $d$ nhận vectơ $\overrightarrow a = (1;1; – 1)$ làm vectơ chỉ phương.
Do vậy $d$ có phương trình: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2 + t}\\
{y = – 1 + t}\\
{z = 3 – t}
\end{array}} \right..$
c) Do $d$ song song với đường thẳng $\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1 + 2t}\\
{y = – 3 + 3t}\\
{z = 4t}
\end{array}} \right.$ nên $d$ nhận vectơ $\overrightarrow a = (2;3;4)$ làm vectơ chỉ phương, mà $d$ đi qua $B(2;0; – 3).$
Do đó $d$ có phương trình: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2 + 2t}\\
{y = 3t}\\
{z = – 3 + 4t}
\end{array}} \right..$
d) Do $d$ đi qua $P(1;2;3)$ và $Q(5;4;4)$ nên $d$ nhận vectơ $\overrightarrow {PQ} = (4;2;1)$ làm vectơ chỉ phương. Do đó $d$ có phương trình: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1 + 4t}\\
{y = 2 + 2t}\\
{z = 3 + t}
\end{array}} \right..$
Bài 2. Viết phương trình tham số của đường thẳng là hình chiếu vuông góc của đường thẳng $d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2 + t}\\
{y = – 3 + 2t}\\
{z = 1 + 3t}
\end{array}} \right.$ lần lượt trên các mặt phẳng sau:
a) $(Oxy).$
b) $(Oyz).$
Lời giải:
a) Gọi $(P)$ là mặt phẳng chứa $d$ và vuông góc với mặt phẳng $(Oxy).$
Suy ra $(P)$ nhận vectơ $\vec n = \vec k \wedge \vec a$ ($\overrightarrow k = (0;0;1)$, $\overrightarrow a = (1;2;3)$) làm vectơ pháp tuyến.
Mà $\vec n = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
0&1\\
2&3
\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&0\\
3&1
\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
0&0\\
1&2
\end{array}} \right|} \right)$ $ = ( – 2;1;0).$
$(P)$ đi qua $A(2; -3; 1)$, nên $(P)$ có phương trình: $ – 2(x – 2) + 1(y + 3) + 0(z – 1) = 0$ hay $2x – y – 7 = 0.$
Suy ra hình chiếu của đường thẳng $d$ lên $(Oxy)$ có phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{2x – y – 7 = 0}\\
{z = 0}
\end{array}} \right.$ hay $d$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow u = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{ – 1}&0\\
0&1
\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
0&2\\
1&0
\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
2&{ – 1}\\
0&0
\end{array}} \right|} \right)$ $ = ( – 1; – 2;0).$
Mà $d$ đi qua $B(2; -3; 0).$
Suy ra $d$ có phương trình tham số: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2 – t}\\
{y = – 3 – 2t}\\
{z = 0}
\end{array}} \right..$
b) Hoàn toàn tương tự ta có phương trình tham số của $d$ trên mặt phẳng $(Oyz)$ là: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0}\\
{y = – 3 + 2t}\\
{z = 1 + 3t}
\end{array}.} \right.$
Bài 3. Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng $d$ và $d’$ cho bởi các phương trình sau:
a) $d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 3 + 2t}\\
{y = – 2 + 3t}\\
{z = 6 + 4t}
\end{array}} \right.$ và $d’:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 5 + t’}\\
{y = – 1 – 4t’}\\
{z = 20 + t’}
\end{array}} \right..$
b) $d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1 + t}\\
{y = 2 + t}\\
{z = 3 – t}
\end{array}} \right.$ và $d’:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1 + 2t’}\\
{y = – 1 + 2t’}\\
{z = 2 – 2t’}
\end{array}.} \right.$
Lời giải:
a) Xét hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{ – 3 + 2t = 5 + t’}\\
{ – 2 + 3t = – 1 – 4t’}\\
{6 + 4t = 20 + t’}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{2t – t’ = 8}\\
{3t + 4t’ = 1}\\
{4t – t’ = 14}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t = 3}\\
{t’ = – 2}
\end{array}} \right..$
Suy ra hệ có nghiệm $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{t_0} = 3}\\
{t{‘_0} = – 2}
\end{array}} \right..$
Nên $d$ cắt $d’$ tại điểm ${M_0}(3;7;18).$
b) Xét hệ phương trình:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{1 + t = 1 + 2t’}\\
{2 + t = – 1 + 2t’}\\
{3 – t = 2 – 2t’}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t – 2t’ = 0}\\
{t – 2t’ = – 3}\\
{t – 2t’ = 1}
\end{array}} \right.$, suy ra hệ vô nghiệm.
Lại có $d$ nhận $\vec a = (1;1; – 1)$ làm vectơ chỉ phương, $d’$ nhận $\overrightarrow {a’} = (2;2; – 2)$ làm vectơ chỉ phương.
Mà $\overrightarrow {a’} = 2\vec a$ $ \Rightarrow d$ và $d’$ là hai đường thẳng song song.
Bài 4. Tìm $a$ để hai đường thẳng sau đây cắt nhau:
$d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1 + at}\\
{y = t}\\
{z = – 1 + 2t}
\end{array}} \right.$ và $d’:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1 – t’}\\
{y = 2 + 2t’}\\
{z = 3 – t’}
\end{array}.} \right.$
Lời giải:
Xét hệ phương trình:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{1 + at = 1 – t’}\\
{t = 2 + 2t’}\\
{ – 1 + 2t = 3 – t’}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t’ + at = 0}\\
{t = 2 + 2t’}\\
{ – 1 + 2\left( {2 + 2t’} \right) = 3 – t’}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t’ + at = 0}\\
{t’ = 0}\\
{t = \frac{6}{5}}
\end{array}} \right..$
Để $d$ và $d’$ cắt nhau thì hệ phải có nghiệm duy nhất $t$ và $t’$ $ \Rightarrow 0 + \frac{6}{5}a = 0$ $ \Leftrightarrow a = 0.$
Vậy $a = 0$ là giá trị cần tìm.
Bài 5. Tìm số giao điểm của đường thẳng $d$ với mặt phẳng $(\alpha )$ trong các trường hợp sau:
a) $d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 12 + 4t}\\
{y = 9 + 3t}\\
{z = 1 + t}
\end{array}} \right.$ và $3x + 5y – z – 2 = 0.$
b) $d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1 + t}\\
{y = 2 – t}\\
{z = 1 + 2t}
\end{array}} \right.$ và $(\alpha ):x + 3y + z + 1 = 0.$
c) $d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1 + t}\\
{y = 1 + 2t}\\
{z = 2 – 3t}
\end{array}} \right.$ và $(\alpha ):x + y + z – 4 = 0.$
Lời giải:
a) Xét phương trình: $3(12 + 4t) + 5(9 + 3t) – (1 + t) – 2 = 0.$
$ \Leftrightarrow 26t + 78 = 0$ $ \Leftrightarrow t = – 3$ là nghiệm duy nhất.
Suy ra đường thẳng $d$ cắt mặt phẳng $(\alpha )$ tại điểm $A(0;0; – 2).$
b) Xét phương trình: $(1 + t) + 3(2 – t) + (1 + 2t) + 1 = 0$ $ \Leftrightarrow 9 = 0$ vô lý.
Suy ra $d//(\alpha ).$ Vậy $d$ và $(\alpha )$ không có điểm chung.
c) Xét phương trình: $(1 + t) + (1 + 2t) + (2 – 3t) – 4 = 0$ $ \Leftrightarrow 4 – 4 = 0$ đúng với mọi $t$ $ \Rightarrow d$ nằm trong mặt phẳng $(\alpha ).$ Vậy $d$ và $(\alpha )$ có vô số điểm chung.
Bài 6. Tính khoảng cách giữa đường thẳng $\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 3 + 2t}\\
{y = – 1 + 3t}\\
{z = – 1 + 2t}
\end{array}} \right.$ và mặt phẳng $(\alpha ):2x – 2y + z + 3 = 0.$
Lời giải:
Xét phương trình: $2( – 3 + 2t) – 2( – 1 + 3t) + ( – 1 + 2t) + 3 = 0$ $ \Leftrightarrow 2 = 0$ vô lý $ \Rightarrow \Delta //(\alpha ).$
Lại có $\Delta $ đi qua điểm $A( – 3; – 1; – 1).$
$ \Rightarrow d(\Delta ,(\alpha )) = d(A,(\alpha ))$ $ = \frac{{|2.( – 3) – 2( – 1) – 1 + 3|}}{{\sqrt {{2^2} + {{( – 2)}^2} + {1^2}} }}$ $ = \frac{2}{3}.$
Vậy khoảng cách giữa $\Delta $ và $(\alpha )$ là $\frac{2}{3}$ (đvđd).
Bài 7. Cho điểm $A(1; 0; 0)$ và đường thẳng $\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2 + t}\\
{y = 1 + 2t}\\
{z = t}
\end{array}} \right..$
a) Tìm tọa độ điểm $H$ là hình chiếu vuông góc của điểm $A$ trên đường thẳng $\Delta .$
b) Tìm tọa độ điểm $A’$ đối xứng với $A$ qua đường thẳng $\Delta .$
Lời giải:
a) Gọi $(\alpha )$ là mặt phẳng qua $A$ và vuông góc với $\Delta $, suy ra mặt phẳng $(\alpha )$ nhận $\overrightarrow n = (1;2;1)$ làm vectơ pháp tuyến.
$ \Rightarrow (\alpha )$ có phương trình $1(x – 1) + 2y + z = 0$ hay $x + 2y + z – 1 = 0.$
Suy ra tọa độ điểm $H$ là hình chiếu vuông góc của điểm $A$ trên đường thẳng $\Delta $ là nghiệm hệ:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2 + t}\\
{y = 1 + 2t}\\
{z = t}\\
{x + 2y + z – 1 = 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2 + t}\\
{y = 1 + 2t}\\
{z = t}\\
{(2 + t) + 2(1 + 2t) + t – 1 = 0}
\end{array}} \right.$ $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t = – \frac{1}{2}}\\
{x = \frac{3}{2}}\\
{y = 0}\\
{z = – \frac{1}{2}}
\end{array}} \right..$
Vậy $H\left( {\frac{3}{2};0; – \frac{1}{2}} \right).$
b) Gọi $A’$ là điểm đối xứng với $A$ qua $\Delta .$ Theo câu a, suy ra $H$ là trung điểm của $AA’$, suy ra tọa độ của $A’$ là:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_{A’}} = 2{x_H} – {x_A}}\\
{{y_{A’}} = 2{y_H} – {y_A}}\\
{{z_{A’}} = 2{z_H} – {z_A}}
\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_{A’}} = 2}\\
{{y_{A’}} = 0}\\
{{z_{A’}} = – 1}
\end{array}} \right..$ Vậy $A(2; 0; -1).$
Bài 8. Cho điểm $M(1; 4; 2)$ và mặt phẳng $(\alpha ):x + y + z – 1 = 0.$
a) Tìm tọa độ điểm $H$ là hình chiếu vuông góc của điểm $M$ trên mặt phẳng $(\alpha ).$
b) Tìm tọa độ điểm $M’$ đối xứng với $M$ qua mặt phẳng $(\alpha ).$
c) Tính khoảng cách từ điểm $M$ đến mặt phẳng $(\alpha ).$
Lời giải:
a) Gọi $\Delta $ là đường thẳng đi qua $M$ và vuông góc với $(\alpha )$, suy ra $\Delta $ nhận vectơ $\overrightarrow a = (1;1;1)$ làm vectơ chỉ phương.
Suy ra $\Delta $ có phương trình: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1 + t}\\
{y = 4 + t}\\
{z = 2 + t}
\end{array}} \right..$
Suy ra tọa độ điểm $H$ là hình chiếu vuông góc của điểm $M$ trên $(\alpha )$, là nghiệm của hệ:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1 + t}\\
{y = 4 + t}\\
{z = 2 + t}\\
{x + y + z – 1 = 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1 + t}\\
{y = 4 + t}\\
{z = 2 + t}\\
{(1 + t) + (4 + t) + (2 + t) – 1 = 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t = – 2}\\
{x = – 1}\\
{y = 2}\\
{z = 0}
\end{array}} \right..$
Vậy $H = ( – 1;2;0).$
b) Gọi $M’ = (x;y;z)$ là điểm đối xứng của $M$ qua mặt phẳng $(\alpha ).$
Suy ra $M$ và $M’$ đối xứng nhau qua điểm $H$, hay $H$ là trung điểm của $MM’.$
$ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2{x_H} – {x_M}}\\
{y = 2{y_H} – {y_M}}\\
{z = 2{z_H} – {z_M}}
\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 3}\\
{y = 0}\\
{z = – 2}
\end{array}} \right..$ Vậy $M’ = ( – 3;0; – 2).$
c) Khoảng cách từ điểm $M$ đến mặt phẳng $(\alpha )$ là:
$d(M,(\alpha ))$ $ = \frac{{|1 + 4 + 2 – 1|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }}$ $ = \frac{6}{{\sqrt 3 }} = 2\sqrt 3 $ (đvđd).
Chú ý: Ta có thể tính: $d(M,(\alpha )) = MH$ $ = |\overrightarrow {MH} | = 2\sqrt 3 .$
Bài 9. Cho hai đường thẳng $d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1 – t}\\
{y = 2 + 2t}\\
{z = 3t}
\end{array}} \right.$ và $d’:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1 + t}\\
{y = 3 – 2t}\\
{z = 1}
\end{array}} \right..$
Chứng minh $d$ và $d’$ chéo nhau.
Lời giải:
Cách 1. Ta có $d$ có vectơ chỉ phương $\vec a = ( – 1;2;3)$ và đi qua điểm $M(1; 2; 0)$, $d’$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {a’} = (1; – 2;0)$ và đi qua điểm $M'(1; 3; 1).$
$ \Rightarrow \overrightarrow a $ và $\overrightarrow {a’} $ không cùng phương $(1).$
Lại có, xét hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{1 – t = 1 + t’}\\
{2 + 2t = 3 – 2t’}\\
{3t = 1}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t = \frac{1}{3}}\\
{t = – t’}\\
{2t = – 2t’ + 1}
\end{array}} \right.$ vô lý $(2).$
Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra $d$ và $d’$ chéo nhau.
Cách 2. Ta có $\overrightarrow {MM’} = (0;1;1).$
$\overrightarrow a \wedge \overrightarrow {a’} $ $ = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
2&3\\
{ – 2}&0
\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
3&{ – 1}\\
0&1
\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{ – 1}&2\\
1&{ – 2}
\end{array}} \right|} \right)$ $ = (6;3;0).$
$ \Rightarrow \left( {\overrightarrow a \wedge \overrightarrow {a’} } \right).\overrightarrow {MM’} $ $ = 6.0 + 1.3 + 0.1 = 3 \ne 0.$
Suy ra $\overrightarrow a $, $\overrightarrow {a’} $, $\overrightarrow {MM’} $ không đồng phẳng, hay $d$ và $d’$ chéo nhau.
Bài 10. Giải bài toán sau đây bằng phương pháp tọa độ:
Cho hình lập phương $ABCD.A’B’C’D’$ có cạnh bằng $1.$ Tính khoảng cách từ đỉnh $A$ đến các mặt phẳng $(A’BD)$ và $(B’D’C).$
Lời giải:
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ: $A = O(0;0;0)$, $B(1;0;0)$, $D(0;1;0)$, $A'(0;0;1).$
Suy ra $C = (1;1;0)$, $B’ = (1;0;1)$, $D’ = (0;1;1).$
Ta có $\overrightarrow {A’B} = (1;0; – 1)$, $\overrightarrow {A’D} = (0;1; – 1).$
$ \Rightarrow \overrightarrow {A’B} \wedge \overrightarrow {A’D} $ $ = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{r}}
0&{ – 1}\\
1&{ – 1}
\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{r}}
{ – 1}&1\\
{ – 1}&0
\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{l}}
1&0\\
0&1
\end{array}} \right|} \right)$ $ = (1;1;1).$
Suy ra mặt phẳng $(A’BD)$ có phương trình $1(x – 0) + 1(y – 0) + 1(z – 1) = 0$ hay $x + y + z – 1 = 0.$
Khoảng cách từ đỉnh $A$ đến $(A’BD)$ là: $d\left( {A,\left( {A’BD} \right)} \right)$ $ = \frac{{|0 + 0 + 0 – 1|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }}$ $ = \frac{1}{{\sqrt 3 }}$ (đvđd).
Ta có $\overrightarrow {B’D’} = ( – 1;1;0)$, $\overrightarrow {B’C} = (0;1; – 1).$
$ \Rightarrow \overrightarrow {B’D’} \wedge \overrightarrow {B’C} $ $ = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{r}}
1&0\\
1&{ – 1}
\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{r}}
0&{ – 1}\\
{ – 1}&0
\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{ – 1}&1\\
0&1
\end{array}} \right|} \right)$ $ = ( – 1; – 1; – 1).$
Suy ra $\left( {B’D’C} \right)$ có phương trình: $ – 1(x – 1) – 1(y – 0) – 1(z – 1) = 0$ hay $x + y + z – 2 = 0.$
Suy ra khoảng cách từ đỉnh $A$ đến $(B’D’C)$ là: $d\left( {A,\left( {B’D’C} \right)} \right)$ $ = \frac{{|0 + 0 + 0 – 2|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }}$ $ = \frac{2}{{\sqrt 3 }}$ (đvđd).
