Bài viết hướng dẫn giải các bài tập trong phần câu hỏi và bài tập và phần luyện tập của sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một số hàm đa thức.
CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP
Bài 40.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $y = {x^3} + 3{x^2} – 4.$
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm uốn.
c) Chứng minh rằng điểm uốn là tâm đối xứng của đồ thị.
a) Tập xác định: $R.$
$y’ = 3{x^2} + 6x$ $ = 3x(x + 2) = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0}\\
{x = – 2}
\end{array}} \right..$
$y’ > 0$ trên khoảng $( – \infty ; – 2) \cup (0; + \infty ).$
$y’ < 0$ trên khoảng $( – 2;0).$
${y_{CĐ}} = y( – 2) = 0$, ${y_{CT}} = y(0) = – 4.$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = – \infty $, $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty .$
$y” = 6x + 6$ $ = 6(x + 1) = 0$ $ \Leftrightarrow x = – 1.$
Bảng xét dấu $y”$:
Hàm số lồi trên khoảng $( – \infty ; – 1).$
Hàm số lõm trên khoảng $( – 1; + \infty ).$
Hàm số có một điểm uốn $u( – 1; – 2).$
Bảng biến thiên:
Đồ thị: Đi qua điểm $(1;0)$ và $(-3;-4).$
b) Hàm số $y = {x^3} + 3{x^2} – 4$ có điểm uốn là $u( – 1; – 2).$
Ta có $y’ = 3{x^2} + 6x$, $y'( – 1) = – 3.$
Phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn $u( – 1; – 2)$ có dạng:
$y – {y_0} = y’\left( {{x_0}} \right)\left( {x – {x_0}} \right).$
$ \Leftrightarrow y + 2 = – 3(x + 1).$
$ \Leftrightarrow y = – 3x – 5.$
Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn là: $y = – 3x – 5.$
c) Cách 1: Đồ thị nhận $I( – 1; – 2)$ làm tâm đối xứng khi và chỉ khi:
$f\left( {{x_0} + x} \right) + f\left( {{x_0} – x} \right) = 2{y_0}$ với mọi $x.$
$ \Leftrightarrow f(x – 1) + f( – x – 1) = – 4$, $\forall x.$
$ \Leftrightarrow {(x – 1)^3}$ $ + 3{(x – 1)^2} – 4$ $ + {( – 1 – x)^3}$ $ + 3{( – 1 – x)^2} – 4 = – 4$, $\forall x.$
$ \Leftrightarrow {x^3} – 3{x^2} + 3x – 1$ $ + 3{x^2} – 6x + 3 – 5$ $ – 3x – 3{x^2} – {x^3} + 3$ $ + 6x + 3{x^2} – 4 = – 4$, $\forall x.$
$ \Leftrightarrow – 4 = – 4$, $\forall x.$
$ \Rightarrow I( – 1; – 2)$ là tâm đối xứng của đồ thị.
Cách 2: Gọi $I( – 1; – 2)$ là tọa độ điểm uốn, tịnh tiến $\overrightarrow {OI} $ giữa các tọa độ cũ.
Theo công thức đổi trục tọa độ $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 1 + X}\\
{y = – 2 + Y}
\end{array}} \right.$ phương trình trở thành $Y = {X^3} – 3X.$
Đây là hàm số lẻ nên đồ thị nhận điểm uốn làm tâm đối, suy ra điều phải chứng minh.
Bài 41.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y = – {x^3} + 3{x^2} – 1.$
b) Tùy theo các giá trị của $m$ hãy biện luận số nghiệm của phương trình $ – {x^3} + 3{x^2} – 1 = m.$
a) $y = – {x^3} + 3{x^2} – 1.$
Tập xác định $D = R.$
$y’ = – 3{x^2} + 6x.$
$y’ = 0$ $ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0}\\
{x = 2}
\end{array}} \right..$
Hàm số đồng biến trên khoảng $(0;2).$
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng $( – \infty ;0)$ và $(2; + \infty ).$
${y_{CĐ}} = y(2) = 3$, ${y_{CT}} = y(0) = – 1.$
$y” = – 6x + 6$, $y” = 0$ $ \Rightarrow x = 1.$
Hàm số lồi trên khoảng $( – \infty ;1)$, lõm trên khoảng $(1; + \infty ).$
Hàm số có một điểm uốn $I(1;1).$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = + \infty $, $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = – \infty .$
Bảng biến thiên:
Đồ thị đi qua $(0; – 1).$
b) $ – {x^3} + 3{x^2} – 1 = m$ $(*).$
Số nghiệm của phương trình $(*)$ là số giao điểm của đồ thị $y = – {x^3} + 3{x^2} – 1$ với đường thẳng $y = m.$
Dựa vào đồ thị ở câu a ta có:
Nếu $m > 3$: phương trình $(*)$ có $1$ nghiệm.
Nếu $m = 3$: phương trình $(*)$ có $2$ nghiệm.
Nếu $-1 < m < 3$: phương trình $(*)$ có $3$ nghiệm.
Nếu $m = -1$: phương trình $(*)$ có $2$ nghiệm.
Nếu $m < -1$: phương trình $(*)$ có $1$ nghiệm.
Kết luận:
$\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m > 3}\\
{m < – 1}
\end{array}} \right.$: phương trình $(*)$ có $1$ nghiệm.
$\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m = 3}\\
{m = – 1}
\end{array}} \right.$: phương trình $(*)$ có $2$ nghiệm.
$ – 1 < m < 3$: phương trình $(*)$ có $3$ nghiệm.
Bài 42. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a) $y = \frac{1}{3}{x^3} – {x^2} – 3x – \frac{5}{3}.$
b) $y = {x^3} – 3x + 1.$
c) $y = – \frac{1}{3}{x^3} + {x^2} – 2x – \frac{2}{3}.$
d) $y = {x^3} – 3{x^2} + 3x + 1.$
a) Tập xác định: $R.$
$y’ = {x^2} – 2x – 3 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 1}\\
{x = 3}
\end{array}} \right..$
$y’ > 0$ trên khoảng $( – \infty ; – 1) \cup (3; + \infty ).$
$y’ < 0$ trên khoảng $( – 1;3).$
${y_{CT}} = y(3) = – \frac{{32}}{3}$, ${y_{CĐ}} = y( – 1) = 0.$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = – \infty $, $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty .$
$y” = 2x – 2$ $ = 2(x – 1) = 0$ $ \Leftrightarrow x = 1.$
Bảng xét dấu $y”$:
Hàm số lồi trên khoảng $( – \infty ; – 1).$
Hàm số lõm trên khoảng $(1; + \infty ).$
Hàm số có một điểm uốn $u\left( {1; – \frac{{16}}{3}} \right).$
Bảng biến thiên:
Đồ thị: Đi qua $\left( {0; – \frac{5}{3}} \right)$, $(5;0).$
b) Tập xác định: $R.$
$y’ = 3{x^2} – 3 = 0$ $ \Leftrightarrow x = \pm 1.$
$y’ > 0$ trên khoảng $( – \infty ; – 1) \cup (1; + \infty ).$
$y’ < 0$ trên khoảng $( – 1;1).$
${y_{CĐ}} = y( – 1) = 3$, ${y_{CT}} = y(1) = – 1.$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = – \infty $, $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty .$
$y” = 6x = 0$ $ \Leftrightarrow x = 0.$
Bảng xét dấu $y”$:
Hàm số lồi trên khoảng $( – \infty ;0).$
Hàm số lõm trên khoảng $(0; + \infty ).$
Hàm số có một điểm uốn $u(0;1).$
Bảng biến thiên:
Đồ thị: Đi qua $(0;1).$
c) $y = – \frac{1}{3}{x^3} + {x^2} – 2x – \frac{2}{3}.$
Tập xác định $D = R.$
$y’ = – {x^2} + 2x – 2$ $ = – \left[ {{{(x – 1)}^2} + 1} \right] < 0$, $\forall x \in D.$
Hàm số luôn nghịch biến trên khoảng $( – \infty ; + \infty ).$
Hàm số không có cực trị.
$\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = + \infty $, $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = – \infty .$
Đồ thị không có tiệm cận.
$y” = – 2x + 2$, $y” = 0$ $ \Rightarrow x = 1.$
Hàm số lồi trên $(1; + \infty )$, lõm trên $( – \infty ;1)$ và nhận $I(1; – 2)$ làm điểm uốn.
Bảng biến thiên:
Đồ thị:
d) $y = {x^3} – 3{x^2} + 3x + 1.$
Tập xác định $D = R.$
$y’ = 3{x^2} – 6x + 3$ $ = 3{(x – 1)^2} \ge 0$, $\forall x \in D.$
Hàm số luôn đồng biến $( – \infty ; + \infty ).$
Hàm số không có cực trị.
$\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = – \infty $, $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty .$
Đồ thị không có tiệm cận.
$y” = 6x – 6$, $y” = 0$ $ \Rightarrow x = 1.$
Đồ thị lồi trên $( – \infty ;1).$
Đồ thị lõm trên $(1; + \infty ).$
Đồ thị nhận $I(1;2)$ làm tâm đối xứng.
Bảng biến thiên:
Đồ thị:
Bài 43.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số sau: $y = – {x^4} + 2{x^2} – 2.$
b) Tùy theo các giá trị của $m$ hãy biện luận số nghiệm của phương trình $ – {x^4} + 2{x^2} – 2 = m.$
c) Viết phương trình tiếp tuyến tại các điểm uốn của đồ thị.
a) Tập xác định: $R.$
$y’ = – 4{x^3} + 4x$ $ = 4x\left( { – {x^2} + 1} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0}\\
{x = \pm 1}
\end{array}} \right..$
$y’ > 0$ trên khoảng $( – \infty ; – 1) \cup (0;1).$
$y’ < 0$ trên khoảng $( – 1;0) \cup (1; + \infty ).$
${y_{CT}} = y(0) = 2$, ${y_{CĐ}} = y( \pm 1) = – 1.$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = – \infty $, $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = – \infty .$
$y” = – 12{x^2} + 4$ $ = 4\left( { – 3{x^2} + 1} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow x = \pm \frac{1}{{\sqrt 3 }}$ $ = \pm \frac{{\sqrt 3 }}{3}.$
Bảng xét dấu $y”$:
Hàm số lồi trên khoảng $\left( { – \infty ; – \frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right) \cup \left( {\frac{{\sqrt 3 }}{3}; + \infty } \right).$
Hàm số lõm trên khoảng $\left( { – \frac{{\sqrt 3 }}{3};\frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right).$
Hàm số có hai điểm uốn ${u_1}\left( { – \frac{{\sqrt 3 }}{3}; – \frac{{13}}{9}} \right)$, ${u_2}\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{3}; – \frac{{13}}{9}} \right).$
Bảng biến thiên:
Đồ thị: Đồ thị nhận $Oy$ làm trục đối xứng, giao với $Oy$ tại $(0;-2).$
b) Số nghiệm của phương trình $ – {x^4} + 2{x^2} – 2 = m$ $(1)$ là số giao điểm của đồ thị $y = – {x^4} + 2{x^2} – 2$ với đường thẳng $y = m.$
Nếu $m > -1$ thì phương trình $(1)$ vô nghiệm.
Nếu $m = 1$ thì phương trình $(1)$ có $2$ nghiệm.
Nếu $-2 < m < -1$ thì phương trình $(1)$ có $4$ nghiệm.
Nếu $m = -2$ thì phương trình $(1)$ có $3$ nghiệm.
Nếu $m < -2$ thì phương trình $(1)$ có $2$ nghiệm.
Kết luận:
$m > -1$: phương trình $(1)$ vô nghiệm.
$\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m = – 1}\\
{m < – 2}
\end{array}} \right.$: phương trình $(1)$ có $2$ nghiệm.
$m = -2$: phương trình $(1)$ có $3$ nghiệm.
$-2 < m < -1$: phương trình $(1)$ có $4$ nghiệm.
c) Hàm số $y = – {x^4} + 2{x^2} – 2$ có hai điểm uốn đó là:
${u_1}\left( { – \frac{{\sqrt 3 }}{3}; – \frac{{13}}{9}} \right)$, ${u_2}\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{3}; – \frac{{13}}{9}} \right).$
Ta có:
$y’ = – 4{x^3} + 4x.$
$y’\left( { – \frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right) = – \frac{8}{{3\sqrt 3 }}$, $y’\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right) = \frac{8}{{3\sqrt 3 }}.$
Phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn ${u_1}\left( { – \frac{{\sqrt 3 }}{3}; – \frac{{13}}{9}} \right)$ là:
$y = – \frac{8}{{3\sqrt 3 }}\left( {x + \frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right) – \frac{{13}}{9}$ $ = – \frac{8}{{3\sqrt 3 }}x – \frac{7}{3}.$
Phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn ${u_2}\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{3}; – \frac{{13}}{9}} \right)$ là:
$y = \frac{8}{{3\sqrt 3 }}\left( {x – \frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right) – \frac{{13}}{9}$ $ = \frac{8}{{3\sqrt 3 }}x – \frac{7}{3}.$
Vậy đồ thị hàm số đã cho có hai tiếp tuyến:
$y = – \frac{8}{{3\sqrt 3 }}x – \frac{7}{3}$ và $y = \frac{8}{{3\sqrt 3 }}x – \frac{7}{3}.$
Bài 44. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a) $y = {x^4} – 3{x^2} + 2.$
b) $y = – {x^4} – 2{x^2} + 1.$
a) Tập xác định: $R.$
$y’ = 4{x^3} – 6x$ $ = 2x\left( {2{x^2} – 3} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0}\\
{x = \pm \sqrt {\frac{3}{2}} }
\end{array}} \right..$
$y’ > 0$ trên khoảng $\left( { – \sqrt {\frac{3}{2}} ;0} \right) \cup \left( {\sqrt {\frac{3}{2}} ; + \infty } \right).$
$y’ < 0$ trên khoảng $\left( { – \infty ; – \sqrt {\frac{3}{2}} } \right) \cup \left( {0;\sqrt {\frac{3}{2}} } \right).$
${y_{CT}} = y\left( { \pm \sqrt {\frac{3}{2}} } \right) = – \frac{1}{4}$, ${y_{CĐ}} = y(0) = 2.$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = + \infty $, $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty .$
$y” = 12{x^2} – 6$ $ = 6\left( {2{x^2} – 1} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow x = \pm \frac{1}{{\sqrt 2 }} = \pm \frac{{\sqrt 2 }}{2}.$
Bảng xét dấu $y”$:
Hàm số lồi trên khoảng $\left( { – \frac{{\sqrt 2 }}{2};\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right).$
Hàm số lõm trên khoảng $\left( { – \infty ; – \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) \cup \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}; + \infty } \right).$
Hàm số có hai điểm uốn ${u_1}\left( { – \frac{{\sqrt 2 }}{2};\frac{3}{4}} \right)$, ${u_2}\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2};\frac{3}{4}} \right).$
Bảng biến thiên:
Đồ thị:
Đồ thị nhận $Oy$ làm trục đối xứng.
Giao với $Oy$ tại $(0;2).$
Giao với $Ox$ tại $(-1;0)$, $(1;0).$
b) $y = – {x^4} – 2{x^2} + 1.$
Tập xác định: $R.$
$y’ = – 4{x^3} – 4x$ $ = 4x\left( { – {x^2} – 1} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow x = 0.$
$y’ > 0$ trên khoảng $( – \infty ;0)$, $y’ < 0$ trên khoảng $(0; + \infty ).$
${y_{CĐ}} = y(0) = 1.$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = – \infty $, $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = – \infty .$
$y” = – 12{x^2} – 4 < 0$, $\forall x \in R.$
Bảng xét dấu $y”$:
Hàm số lồi trên khoảng $( – \infty ; + \infty ).$
Bảng biến thiên:
Đồ thị: Đồ thị nhận $Oy$ làm trục đối xứng, giao với $Oy$ tại $(0;1)$, giao với $Ox$ tại $\left( {\sqrt {1 + \sqrt 2 } ;0} \right)$, $\left( { – \sqrt {1 + \sqrt 2 } ;0} \right).$
LUYỆN TẬP
Bài 45.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau: $y = {x^3} – 3{x^2} + 1.$
b) Tùy theo các giá trị của $m$ hãy biện luận số nghiệm của phương trình ${x^3} – 3{x^2} + m + 2 = 0.$
a) Tập xác định: $R.$
$y’ = 3{x^2} – 6x$ $ = 3x(x – 2) = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0}\\
{x = 2}
\end{array}} \right..$
$y’ > 0$ trên khoảng $( – \infty ;0) \cup (2; + \infty ).$
$y’ < 0$ trên khoảng $(0;2).$
${y_{CT}} = y(2) = – 3$, ${y_{CĐ}} = y(0) = 1.$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = – \infty $, $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty .$
$y” = 6x – 6$ $ = 6(x – 1) = 0$ $ \Leftrightarrow x = 1.$
Bảng xét dấu $y”$:
Hàm số lồi trên khoảng $( – \infty ;1).$
Hàm số lõm trên khoảng $(1; + \infty ).$
Hàm số có một điểm uốn $u(1; – 1).$
Bảng biến thiên:
Đồ thị: Giao với $Oy$ tại $(0;1).$
b) ${x^3} – 3{x^2} + m + 2 = 0$ $ \Leftrightarrow {x^3} – 3{x^2} + 1 = – 1 – m$ $(*).$
Số nghiệm của phương trình $(*)$ là số giao điểm của đồ thị $y = {x^3} – 3{x^2} + 1$ với đường thẳng $y = -1 – m.$
Dựa vào đồ thị ở câu a, ta có:
+ Nếu $ – 1 – m > 1$ $ \Leftrightarrow m < – 2:$ phương trình $(*)$ có $1$ nghiệm.
+ Nếu $ – 1 – m = 1$ $ \Leftrightarrow m = – 2:$ phương trình $(*)$ có $2$ nghiệm.
+ Nếu $ – 3 < – 1 – m < 1$ $ \Leftrightarrow – 2 < m < 2:$ phương trình $(*)$ có $3$ nghiệm.
+ Nếu $ – 1 – m = – 3$ $ \Leftrightarrow m = 2:$ phương trình $(*)$ có $2$ nghiệm.
+ Nếu $ – 1 – m < – 3$ $ \Leftrightarrow m > 2:$ phương trình $(*)$ có $1$ nghiệm.
Kết luận:
$\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m < – 2}\\
{m > 2}
\end{array}} \right.:$ phương trình $(*)$ có $1$ nghiệm.
$\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m = – 2}\\
{m = 2}
\end{array}} \right.:$ phương trình $(*)$ có $2$ nghiệm.
$ – 2 < m < 2:$ phương trình $(*)$ có $3$ nghiệm.
Bài 46. Cho hàm số $y = (x + 1)\left( {{x^2} + 2mx + m + 2} \right).$
a) Tìm các giá trị của $m$ để đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại $3$ điểm phân biệt.
b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với $m = -1.$
a) Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $\left( {{C_m}} \right)$ với trục hoành là nghiệm của phương trình:
$(x + 1)\left( {{x^2} + 2mx + m + 2} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x + 1 = 0}\\
{{x^2} + 2mx + m + 2 = 0}
\end{array}} \right..$
Đặt $f(x) = {x^2} + 2mx + m + 2.$
Để đồ thị hàm số $\left( {{C_m}} \right)$ cắt trục hoành tại $3$ điểm phân biệt thì phương trình $f(x) = 0$ phải có $2$ nghiệm phân biệt ${x_1}$, ${x_2}$ khác $-1.$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\Delta > 0}\\
{f( – 1) \ne 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{m^2} – m – 2 > 0}\\
{m \ne 3}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m < – 1}\\
{m > 2}
\end{array}} \right.}\\
{m \ne 3}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m < – 1}\\
{ – 2 < m < 3}\\
{m > 3}
\end{array}} \right.$ $(*).$
Vậy với $m$ thỏa mãn $(*)$ thì đồ thị hàm số $\left( {{C_m}} \right)$ sẽ cắt trục hoành tại $3$ điểm phân biệt.
b) Với $m = – 1$. Ta có: $y = (x + 1)\left( {{x^2} – 2x + 1} \right)$ $ = {x^3} – {x^2} – x + 1.$
Tập xác định: $R.$
$y’ = 3{x^2} – 2x – 1 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1}\\
{x = – \frac{1}{3}}
\end{array}} \right..$
$y’ > 0$ trên khoảng $\left( { – \infty ; – \frac{1}{3}} \right) \cup (1; + \infty ).$
$y’ < 0$ trên khoảng $\left( { – \frac{1}{3};1} \right).$
${y_{CT}} = y(1) = 0$, ${y_{CĐ}} = y\left( { – \frac{1}{3}} \right) = \frac{{32}}{{27}}.$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = – \infty $, $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty .$
$y” = 6x – 2$ $ = 2(3x – 1) = 0$ $ \Leftrightarrow x = \frac{1}{3}.$
Bảng xét dấu $y”$:
Hàm số lồi trên khoảng $\left( { – \infty ;\frac{1}{3}} \right).$
Hàm số lõm trên khoảng $\left( {\frac{1}{3}; + \infty } \right).$
Hàm số có một điểm uốn $\left( {\frac{1}{3};\frac{{16}}{{27}}} \right).$
Bảng biến thiên:
Đồ thị: Giao với $Ox$ tại $( – 1;0)$, $(1;0)$, giao $Oy$ tại $(0;1)$, đi qua $(2;3).$
Bài 47. Cho hàm số $y = {x^4} – (m + 1){x^2} + m.$
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với $m = 2.$
b) Chứng minh rằng đồ thị của hàm số đã cho luôn đi qua hai điểm cố định với mọi giá trị của $m.$
a) Với $m = 2$ ta có $y = {x^4} – 3{x^2} + 2.$
Tập xác định: $R.$
$y’ = 4{x^3} – 6x = 0$ $ \Leftrightarrow 2x\left( {2{x^2} – 3} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0}\\
{x = \pm \sqrt {\frac{3}{2}} }
\end{array}} \right..$
$y’ > 0$ trên khoảng $\left( { – \sqrt {\frac{3}{2}} ;0} \right) \cup \left( {\sqrt {\frac{3}{2}} ; + \infty } \right).$
$y’ < 0$ trên khoảng $\left( { – \infty ; – \sqrt {\frac{3}{2}} } \right) \cup \left( {0;\sqrt {\frac{3}{2}} } \right).$
${y_{CĐ}} = y(0) = 2$, ${y_{CT}} = y\left( { \pm \sqrt {\frac{3}{2}} } \right) = – \frac{1}{4}.$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = + \infty $, $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty .$
Bảng xét dấu $y”$:
Hàm số lồi trên khoảng $\left( { – \frac{1}{{\sqrt 2 }};\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right).$
Hàm số lõm trên khoảng $\left( { – \infty ; – \frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right) \cup \left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}; + \infty } \right).$
Hàm số có hai điểm uốn ${u_1}\left( { – \frac{1}{{\sqrt 2 }};\frac{3}{4}} \right)$ và ${u_2}\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }};\frac{3}{4}} \right).$
Bảng biến thiên:
Đồ thị đi qua $(1;0)$, $( – 1;0)$, $( – \sqrt 2 ;0)$, $(\sqrt 2 ;0)$, $(0;2).$
b) Giả sử điểm $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ là điểm cố định mà đồ thị hàm số đã cho luôn đi qua với mọi $m.$
Ta có: ${y_0} = x_0^4 – (m + 1)x_0^2 + m$, $\forall m.$
$ \Leftrightarrow {y_0} = x_0^4 – mx_0^2 – x_0^2 + m$, $\forall m.$
$ \Leftrightarrow \left( {1 – x_0^2} \right)m + x_0^4 – x_0^2 – {y_0} = 0$, $\forall m.$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{1 – x_0^2 = 0}\\
{x_0^4 – x_0^2 – {y_0} = 0}
\end{array}} \right.$ $\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}
{x_{0}=\pm 1} \\
{y_{0}=0}
\end{array}\right.$
Vậy hàm số đã cho luôn đi qua hai điểm cố định: ${M_1}( – 1;0)$, ${M_2}(1;0).$
Bài 48. Cho hàm số $y = {x^4} – 2m{x^2} + 2m.$
a) Tìm các giá trị của $m$ sao cho hàm số có ba cực trị.
b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với $m = \frac{1}{2}.$ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại hai điểm uốn.
a) Ta có $y’ = 4{x^3} – 4mx$ $ = 4x\left( {{x^2} – m} \right).$
Để hàm số đã cho có $3$ cực trị thì phương trình $y’ = 0$ có $3$ nghiệm phân biệt.
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m \ne 0}\\
{m > 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow m > 0.$
Vậy với $m > 0$ thì hàm số đã cho có $3$ điểm cực trị.
b) Với $m = \frac{1}{2}$ ta có $y = {x^4} – {x^2} + 1.$
Tập xác định: $R.$
$y’ = 4{x^3} – 2x$ $ = 2x\left( {2{x^2} – 1} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0}\\
{x = \pm \frac{{\sqrt 2 }}{2}}
\end{array}} \right..$
$y’ > 0$ trên khoảng $\left( { – \frac{{\sqrt 2 }}{2};0} \right) \cup \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}; + \infty } \right).$
$y’ < 0$ trên khoảng $\left( { – \infty ; – \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) \cup \left( {0;\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right).$
${y_{CT}} = y\left( { \pm \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) = \frac{3}{4}$, ${y_{CĐ}} = y(0) = 1.$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = + \infty $, $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty .$
$y” = 12{x^2} – 2$ $ = 2\left( {6{x^2} – 1} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow x = \pm \frac{{\sqrt 6 }}{6}.$
Bảng xét dấu $y”$:
Hàm số lồi trên khoảng $\left( { – \frac{{\sqrt 6 }}{6};\frac{{\sqrt 6 }}{6}} \right).$
Hàm số lõm trên khoảng $\left( { – \infty ; – \frac{{\sqrt 6 }}{6}} \right) \cup \left( {\frac{{\sqrt 6 }}{6}; + \infty } \right).$
Hàm số có hai điểm uốn ${u_1}\left( { – \frac{{\sqrt 6 }}{6};\frac{{31}}{{36}}} \right)$, ${u_2}\left( {\frac{{\sqrt 6 }}{6};\frac{{31}}{{36}}} \right).$
Bảng biến thiên:
Đồ thị đi qua $(0;1).$
$y = {x^4} – {x^2} + 1.$
Hàm số có hai điểm uốn là ${u_1}\left( { – \frac{{\sqrt 6 }}{6};\frac{{31}}{{36}}} \right)$, ${u_2}\left( {\frac{{\sqrt 6 }}{6};\frac{{31}}{{36}}} \right).$
Ta có $y’ = 4{x^3} – 2x$, $y’\left( { – \frac{{\sqrt 6 }}{6}} \right) = \frac{4}{{3\sqrt 6 }}$, $y’\left( {\frac{{\sqrt 6 }}{6}} \right) = – \frac{4}{{3\sqrt 6 }}.$
Phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn ${u_1}\left( { – \frac{{\sqrt 6 }}{6};\frac{{31}}{{36}}} \right)$ là:
$y = \frac{4}{{3\sqrt 6 }}\left( {x + \frac{{\sqrt 6 }}{6}} \right) – \frac{{31}}{{36}}$ $ = \frac{4}{{3\sqrt 6 }}x + \frac{{13}}{{12}}.$
Phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn ${u_2}\left( {\frac{{\sqrt 6 }}{6};\frac{{31}}{{36}}} \right)$ là:
$y = – \frac{4}{{3\sqrt 6 }}\left( {x – \frac{{\sqrt 6 }}{6}} \right) – \frac{{31}}{{36}}$ $ = – \frac{4}{{3\sqrt 6 }}x + \frac{{13}}{{12}}.$
Vậy hai phương trình tiếp tuyến tại hai điểm uốn là:
$y = \frac{4}{{3\sqrt 6 }}x + \frac{{13}}{{12}}$, $y = – \frac{4}{{3\sqrt 6 }}x + \frac{{13}}{{12}}.$
