Bài viết hướng dẫn giải các bài tập trong phần câu hỏi và bài tập và phần luyện tập của sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao: Tính đơn điệu của hàm số.
CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP
Bài 1. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:
a) $y = 2{x^3} + 3{x^2} + 1.$
b) $y = {x^3} – 2{x^2} + x + 1.$
c) $y = x + \frac{3}{x}.$
d) $y = x – \frac{2}{x}.$
e) $y = {x^4} – 2{x^2} – 5.$
f) $y = \sqrt {4 – {x^2}} .$
a) Hàm số $y = 2{x^3} + 3{x^2} + 1$ xác định trên $R.$
Ta có: $y’ = 6{x^2} + 6x$ $ = 6x(x + 1).$
$y’ = 0$ $ \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = – 1.$
Chiều biến thiên của hàm số được nêu trong bảng sau:
Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $( – \infty ; – 1)$ và $(0; + \infty )$, nghịch biến trên $( – 1;0).$
b) Tập xác định: $R.$
Đạo hàm: $y’ = 3{x^2} – 4x + 1.$
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $\left( { – \infty ;\frac{1}{3}} \right)$ và $(1; + \infty )$, nghịch biến trên $\left( {\frac{1}{3};1} \right).$
c) Tập xác định: $R\backslash \left\{ 1 \right\}.$
$y’ = \frac{{{x^2} – 3}}{{{x^2}}}$ $(x \ne 0).$
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $( – \infty ; – \sqrt 3 )$ và $(\sqrt 3 ; + \infty )$, hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng $( – \sqrt 3 ;0)$ và $(0;\sqrt 3 ).$
d) Tập xác định: $R.$
$y’ = 1 + \frac{2}{{{x^2}}}$ $ = \frac{{{x^2} + 2}}{{{x^2}}} > 0$, $\forall x \ne 0.$
Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $( – \infty ;0)$ và $(0; + \infty ).$
e) Tập xác định: $R.$
$y’ = 4{x^3} – 4x$ $ = 4x\left( {{x^2} – 1} \right).$
$y’ = 0$ $ \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = \pm 1.$
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng $( – 1;0)$ và $(1; + \infty )$, nghịch biến trên mỗi khoảng $( – \infty ; – 1)$ và $(0;1).$
f) Hàm số $y = \sqrt {4 – {x^2}} $ xác định và liên tục trên $[ – 2;2].$
$y’ = \frac{{ – x}}{{\sqrt {4 – {x^2}} }}$, $y’ = 0$ $ \Leftrightarrow x = 0.$
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số đồng biến trên $[ – 2;0]$ và nghịch biến trên $[0;2].$
(Có thể trả lời: Hàm số đồng biến trên $(-2;0)$ và nghịch biến trên $(0;2)$).
Bài 2. Chứng minh rằng:
a) Hàm số $y = \frac{{x – 2}}{{x + 2}}$ đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
b) Hàm số $y = \frac{{ – {x^2} – 2x + 3}}{{x + 1}}$ nghịch biến trên mỗi khoảng của nó.
a) Hàm số xác định trên $R\backslash \{ – 2\} .$
Ta có: $y’ = \frac{4}{{{{(x + 2)}^2}}} > 0$, $\forall x \ne – 2.$
Nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $( – \infty ; – 2)$ và $( – 2; + \infty ).$
b) Hàm số xác định trên $R\backslash \{ – 1\} .$
$y’ = \frac{{ – {x^2} – 2x – 5}}{{{{(x + 1)}^2}}} < 0$, $\forall x \ne – 1.$
Nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng $( – \infty ; – 1)$ và $( – 1; + \infty ).$
Bài 3. Chứng minh rằng các hàm số sau đồng biến trên $R.$
a) $f(x) = {x^3} – 6{x^2} + 17x + 4.$
b) $f(x) = {x^3} + x – \cos x – 4.$
a) Hàm số $f(x) = {x^3} – 6{x^2} + 17x + 4$ xác định trên $R.$
Ta có $f'(x) = 3{x^2} – 12x + 17$ $ = 3{(x – 2)^2} + 5 > 0$, $\forall x \in R.$
Nên hàm số đồng biến trên $R.$
b) Hàm số $f(x)$ xác định trên $R.$
Và $f'(x) = 3{x^2} + 1 + \sin x > 0$, $x \in R$ (vì ${{x^2} \ge 0}$, ${1 + \sin x \ge 0}$, ${3{x^2} + 1 + \sin x = 0}$ vô nghiệm).
Nên hàm số đồng biến trên $R.$
Bài 4. Với giá trị nào của $a$, hàm số $y = ax – {x^3}$ nghịch biến trên $R$?
Hàm số xác định trên $R.$
$y’ = a – 3{x^2}.$
Cách 1.
Nếu $a < 0$ $ \Rightarrow y’ < 0$, $\forall x \in R$ $ \Rightarrow $ hàm số nghịch biến trên $R.$
Nếu $a = 0$ $ \Rightarrow y’ = – 3{x^2} \le 0$, $\forall x \in R$, $y’ = 0$ $ \Leftrightarrow x = 0.$
Vậy hàm số nghịch biến trên $R.$
Nếu $a > 0$ thì $y’ = 0$ $ \Leftrightarrow x = \pm \sqrt {\frac{a}{3}} .$
Bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến trên $\left( { – \sqrt {\frac{a}{3}} ;\sqrt {\frac{a}{3}} } \right).$ Vậy $a > 0$ không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Cách 2. Hàm số nghịch biến trên $R$, điều kiện $y’ \le 0$, $\forall x \in R$, $y’ = 0$ chỉ tại một số hữu hạn điểm.
Ta có: $y’ \le 0$ $ \Leftrightarrow a – 3{x^2} \le 0$ $ \Leftrightarrow a \le 3{x^2}$, $\forall x \in R.$
$ \Leftrightarrow a \le \mathop {\min }\limits_R \left( {3{x^2}} \right)$, mà $3{x^2} \ge 0$, $\forall x \in R.$
Nên $\mathop {\min }\limits_R \left( {3{x^2}} \right) = 0.$ Vậy $a \le 0.$
Kết luận: Với $a \le 0$ thì $y = ax – {x^3}$ nghịch biến trên $R.$
Bài 5. Tìm các giá trị của tham số $a$ để hàm số $f(x) = \frac{1}{3}{x^3} + a{x^2} + 4x + 3$ đồng biến trên $R.$
$f(x)$ xác định trên $R.$
$f'(x) = {x^2} + 2ax + 4$, $\Delta {‘_{f’}} = {a^2} – 4.$
Cách 1.
Nếu ${a^2} – 4 < 0$ hay $ – 2 < a < 2$ thì $f'(x) > 0$, $\forall x \in R$, suy ra hàm số đồng biến trên $R.$
Nếu ${a^2} – 4 = 0$ hay $a = \pm 2:$
+ Với $a = 2$ thì $f'(x) = {(x + 2)^2} > 0$, $\forall x \ne – 2.$ Hàm số đồng biến trên $R.$
+ Với $a = – 2$ thì $f'(x) = {(x – 2)^2} > 0$, $\forall x \ne 2.$ Hàm số đồng biến trên $R.$
Nếu ${a^2} – 4 > 0$ hay $a < -2$ hoặc $a > 2$ thì $f'(x) = 0$ có hai nghiệm phân biệt ${x_1}$, ${x_2}$. Giả sử ${x_1} < {x_2}$ khi đó hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( {{x_1};{x_2}} \right).$ Vậy các giá trị này của $a$ không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Cách 2.
Hàm số đồng biến trên $R$ khi và chỉ khi $f'(x) \ge 0$, $\forall x \in R$, $f'(x) = 0$ chỉ tại một số hữu hạn điểm.
Ta có: ${x^2} + 2ax + 4 \ge 0$, $\forall x \in R$ $\Delta {‘_{f’}} \le 0$ $ \Leftrightarrow {a^2} – 4 \le 0$ $ \Leftrightarrow – 2 \le a \le 2.$
Kết luận: Hàm số đồng biến trên $R$ khi và chỉ khi $ – 2 \le a \le 2.$
LUYỆN TẬP
Bài 6. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:
a) $y = \frac{1}{3}{x^3} – 2{x^2} + 4x – 5.$
b) $y = – \frac{4}{3}{x^3} + 6{x^2} – 9x – \frac{2}{5}.$
c) $y = \frac{{{x^2} – 8x + 9}}{{x – 5}}.$
d) $y = \sqrt {2x – {x^2}} .$
e) $y = \sqrt {{x^2} – 2x + 3} .$
f) $y = \frac{1}{{x + 1}} – 2x.$
a) Hàm số đã cho xác định trên $R.$
$y’ = {x^2} – 4x + 4$ $ = {(x – 2)^2} > 0$, $\forall x \ne 2$, $y’ = 0$ chỉ tại $x = 2.$
Vậy hàm số đồng biến trên $R.$
b) Hàm số đã cho xác định trên $R.$
$y’ = – 4{x^2} + 12x – 9$ $ = – {(2x – 3)^2} \le 0$, $\forall x \in R$, $y’ = 0$ chỉ tại $x = \frac{3}{2}.$
Vậy hàm số nghịch biến trên $R.$
c) Hàm số đã cho xác định trên $D = R\backslash \{ 5\} .$
$y’ = \frac{{{x^2} – 10x + 31}}{{{{(x – 5)}^2}}} > 0$, $\forall x \in D.$
Nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $( – \infty ;5)$ và $(5; + \infty ).$
d) $y = \sqrt {2x – {x^2}} $ liên tục trên $[0;2].$
$y’ = \frac{{1 – x}}{{\sqrt {2x – {x^2}} }}$ với $x \in (0;2)$, $y’ = 0$ $ \Leftrightarrow x = 1.$
Chiều biến thiên của hàm số được nêu trong bảng sau:
Vậy hàm số đồng biến trên $[0;1]$ và nghịch biến trên $[1;2].$
(Có thể nói: Hàm số đồng biến trên $(0;1)$ và nghịch biến trên $(1;2)$).
e) $y = \sqrt {{x^2} – 2x + 3} $ xác định trên $R$ (vì ${x^2} – 2x + 3$ $ = {(x – 1)^2} + 2 > 0$, $\forall x \in R$).
$y’ = \frac{{x – 1}}{{\sqrt {{x^2} – 2x + 3} }}$, $y’ = 0$ $ \Leftrightarrow x = 1.$
Hàm số nghịch biến trên $( – \infty ;1)$, đồng biến trên $(1; + \infty ).$
f) Hàm số xác định trên $D = R\backslash \{ – 1\} .$
Vì $y’ = \frac{{ – 1}}{{{{(x + 1)}^2}}} – 2 < 0$, $\forall x \in D$ nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng $( – \infty ; – 1)$ và $( – 1; + \infty ).$
Bài 7. Chứng minh rằng hàm số $f(x) = \cos 2x – 2x + 3$ nghịch biến trên $R.$
$f(x)$ xác định và liên tục trên $R$ nên liên tục trên mỗi đoạn $\left[ { – \frac{\pi }{4} + k\pi ; – \frac{\pi }{4} + (k + 1)\pi } \right]$, $k \in Z.$
$f'(x) = – 2(\sin 2x + 1) \le 0$, $\forall x \in R.$
$f'(x) = 0$ $ \Leftrightarrow \sin 2x = – 1$ $ \Leftrightarrow 2x = – \frac{\pi }{2} + k2\pi $ $ \Leftrightarrow x = – \frac{\pi }{4} + k\pi $, $k \in Z.$
Vậy hàm số nghịch biến trên mỗi đoạn $\left[ { – \frac{\pi }{4} + k\pi ; – \frac{\pi }{4} + (k + 1)\pi } \right]$, $k \in Z.$
Do đó hàm số nghịch biến trên $R.$
Bài 8. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) $\sin x < x$ với mọi $x > 0$, $\sin x > x$ với mọi $x < 0.$
b) $\cos x > 1 – \frac{{{x^2}}}{2}$ với mọi $x \ne 0.$
c) $\sin x > x – \frac{{{x^3}}}{6}$ với mọi $x > 0$, $\sin x < x – \frac{{{x^3}}}{6}$ với mọi $x < 0.$
a)
+ Hàm số $f(x) = x – \sin x$ liên tục trên nửa khoảng $\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right)$ và có đạo hàm $f'(x) = 1 – \cos x > 0$, $\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right).$
Do đó hàm số đồng biến trên $\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right).$
Suy ra: $f(x) > f(0)$, $\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right).$
Hay $x – \sin x > 0$, $\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right).$
Hiển nhiên $x > \sin x$, $\forall x \ge \frac{\pi }{2}$ (do $\sin x \le 1$).
Vậy $x > \sin x$ với mọi $x > 0.$
+ Hàm số $f(x) = x – \sin x$ liên tục trên $\left[ { – \frac{\pi }{2};0} \right]$ và có đạo hàm $f'(x) = 1 – \cos x > 0$, $\forall x \in \left( { – \frac{\pi }{2};0} \right).$ Do đó hàm số đồng biến trên $\left( { – \frac{\pi }{2};0} \right).$
Suy ra: $f(x) < f(0)$, $\forall x \in \left( { – \frac{\pi }{2};0} \right)$ hay $x – \sin x < 0$, $\forall x \in \left( { – \frac{\pi }{2};0} \right).$
Hiển nhiên: $x < \sin x$ với mọi $x \le – \frac{\pi }{2}$ (vì $\sin x \ge – 1$).
Vậy $x < \sin x$ với mọi $x < 0.$
b)
Cách 1. Hàm số $g(x) = \cos x – 1 + \frac{{{x^2}}}{2}.$ Xác định trên $R$ và có đạo hàm $g'(x) = x – \sin x.$
Theo câu a: $g'(x) > 0$, $\forall x > 0$, $g'(x) < 0$, $\forall x < 0$, $g'(0) = 0.$
Chiều biến thiên của $g(x)$ được thể hiện trong bảng sau:
Vậy $g(x) > 0$, $\forall x \ne 0.$
Cách 2. Xét $g(x) = \cos x – 1 + \frac{{{x^2}}}{2}$ liên tục trên nửa khoảng $[0; + \infty )$ và có đạo hàm $g'(x) = x – \sin x.$
Theo câu a: $g'(x) > 0$ với mọi $x > 0.$
Do đó hàm số $g$ đồng biến trên $[0; + \infty ).$
Và ta có: $g(x) > g(0)$, $\forall x > 0.$
Tức là $\cos x – 1 + \frac{{{x^2}}}{2} > 0$ với mọi $x > 0$ $(1).$
Từ đó suy ra với mọi $x < 0$, ta có:
$\cos ( – x) + 1 + \frac{{{{( – x)}^2}}}{2} > 0$ hay $\cos x + 1 + \frac{{{x^2}}}{2} > 0$ với mọi $x < 0$ $(2).$
Từ $(1)$ và $(2)$, ta có: $g(x) > 0$, $\forall x \ne 0$ hay $\cos x > 1 – \frac{{{x^2}}}{2}$, $\forall x \ne 0.$
c) Xét $h(x) = \sin x – x + \frac{{{x^3}}}{6}$ xác định trên $R$ và có đạo hàm $h'(x) = \cos x – 1 + \frac{{{x^2}}}{2} > 0$, $\forall x \ne 0$, $h'(0) = 0$ (theo câu b).
Suy ra $h(x)$ đồng biến trên $R$ và ta có:
$h(x) > h(0)$ với mọi $x > 0$ và $h(x) < h(0)$ với mọi $x < 0.$
Suy ra $\sin x > x – \frac{{{x^3}}}{6}$ với mọi $x > 0$ và $\sin x < x – \frac{{{x^3}}}{6}$ với mọi $x < 0.$
Bài 9. Chứng minh rằng: $\sin x + \tan x > 2x$ với mọi $x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right).$
Đặt $f(x) = \sin x + \tan x – 2x.$
Ta có: $f(x)$ liên tục trên $\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right)$ và $f'(x) = \cos x + \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} – 2.$
$ \Rightarrow f'(x) > {\cos ^2}x + \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} – 2 > 0$ với mọi $x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)$ (vì ${\cos ^2}x + \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} > 2$, $\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)$).
Do đó hàm số $f$ đồng biến trên $\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right)$ và ta có $f(x) > f(0)$, $\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right).$
Hay $\sin x + \tan x > 2x$ với mọi $x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right).$
Bài 10. Số dân của một thị trấn sau $t$ năm kể từ năm 1970 ước tính bởi công thức $f(t) = \frac{{26t + 10}}{{t + 5}}$ ($f(t)$ được tính bằng nghìn người).
a) Tính số dân của thị trấn vào đầu năm 1980 và đầu năm 1995.
b) Xem $f$ là một hàm số xác định trên nửa khoảng $[0; + \infty ).$ Tính $f'(t)$ và xét chiều biến thiên của $f$ trên nửa khoảng $[0; + \infty ).$
c) Đạo hàm của hàm số $f$ biểu thị tốc độ tăng dân số của thị trấn (tính bằng nghìn người/năm).
+ Tính tốc độ tăng dân số vào đầu năm 1990 của thị trấn.
+ Tính tốc độ tăng dân số được dự kiến vào đầu năm 2008.
+ Vào năm nào thì tốc độ tăng dân số là $0,125$ nghìn người/năm.
a) Vào đầu năm 1980, ta có $t = 10$, $f(10) = 18.$
Vậy số dân của thị trấn vào đầu năm $1980$ là $18$ nghìn người.
Vào đầu năm 1995, ta có $t = 25$, $f(25) = 22.$
Số dân của thị trấn vào đầu năm 1995 là $22$ nghìn người.
b) $f'(t) = \frac{{120}}{{{{(t + 5)}^2}}}$ với mọi $t > 0$, $f(t)$ liên tục trên $[0; + \infty )$ (vì liên tục trên khoảng $( – 5; + \infty )$).
Vậy hàm số đồng biến trên $[0; + \infty ).$
c) Tốc độ tăng dân số vào đầu năm 1990 là:
$f'(20) = \frac{{120}}{{{{25}^2}}} = 0,192$ (do $t = 1990 – 1970 = 20$).
Tốc độ tăng dân số được dự kiến vào năm 2008 của thị trấn là:
$f'(38) = \frac{{120}}{{{{43}^2}}} \approx 0,065$ (do $t = 2008 – 1970 = 38$).
Ta có $f'(t) = 0,125.$
$ \Leftrightarrow \frac{{120}}{{{{(t + 5)}^2}}} = 0,125$ $ \Leftrightarrow t + 5 = \sqrt {\frac{{120}}{{0,125}}} \approx 31$ $ \Rightarrow t \approx 26.$
Vậy vào năm 1996. Tốc độ tăng dân số của thị trấn là $0,125.$
