Bài viết hướng dẫn giải các bài tập trong phần câu hỏi và bài tập và phần luyện tập của sách giáo khoa Giải tích 12 cơ bản: Nguyên hàm.
CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP
Bài 1. Trong các cặp hàm số dưới đây, hàm số nào là nguyên hàm của hàm số kia?
a) ${e^{ – x}}$ và $ – {e^{ – x}}.$
b) $\sin 2x$ và ${\sin ^2}x.$
c) ${\left( {1 – \frac{2}{x}} \right)^2}{e^x}$ và $\left( {1 – \frac{4}{x}} \right){e^x}.$
Lời giải:
a) Hàm số ${e^{ – x}}$ là một nguyên hàm của hàm số $ – {e^{ – x}}$ và hàm số $ – {e^{ – x}}$ cũng là một nguyên hàm của hàm số ${e^{ – x}}$ vì: $\left( {{e^{ – x}}} \right)’ = – {e^{ – x}}$ và $\left( { – {e^{ – x}}} \right)’ = {e^{ – x}}.$
b) Hàm số ${\sin ^2}x$ là một nguyên hàm của hàm số $\sin 2x$ vì: $\left( {{{\sin }^2}x} \right)’ = \sin 2x.$
c) Ta có: $\left[ {\left( {1 – \frac{4}{x}} \right){e^x}} \right]’$ $ = {e^x}.\frac{4}{{{x^2}}} + {e^x}\left( {1 – \frac{4}{x}} \right)$ $ = {e^x}\left( {\frac{4}{{{x^2}}} + 1 – \frac{4}{x}} \right)$ $ = {e^x}{\left( {1 – \frac{2}{x}} \right)^2}.$
Vậy: $\left( {1 – \frac{4}{x}} \right){e^x}$ là một nguyên hàm của hàm số ${e^x}{\left( {1 – \frac{2}{x}} \right)^2}$ với mọi $x \ne 0.$
Bài 2. Tìm một nguyên hàm của các hàm số dưới đây:
a) $f(x) = \frac{{x + \sqrt x + 1}}{{\sqrt[3]{x}}}.$
b) $f(x) = \frac{{{2^x} – 1}}{{{e^x}}}.$
c) $f(x) = \frac{1}{{{{\sin }^2}x.{{\cos }^2}x}}.$
d) $f(x) = \sin 5x.\cos 3x.$
e) $f(x) = {\tan ^2}x.$
g) $f(x) = {e^{3 – 2x}}.$
h) $f(x) = \frac{1}{{(1 + x)(1 – 2x)}}.$
Lời giải:
a) Ta có: $f(x) = \frac{{x + \sqrt x + 1}}{{\sqrt[3]{x}}}$ $ = \frac{x}{{{x^{\frac{1}{3}}}}} + \frac{{{x^{\frac{1}{2}}}}}{{{x^{\frac{1}{3}}}}} + \frac{1}{{{x^{\frac{1}{3}}}}}$ $ = {x^{\frac{2}{3}}} + {x^{\frac{1}{6}}} + {x^{ – \frac{1}{3}}}.$
Suy ra nguyên hàm của $f(x)$ là: $\frac{3}{5}{x^{\frac{5}{3}}} + \frac{6}{7}{x^{\frac{7}{6}}} + \frac{3}{2}{x^{\frac{2}{3}}}.$
b) $\frac{{{2^x} + 1 – \ln 2}}{{{e^x}(1 – \ln 2)}}.$
c) $ – 2\cot 2x.$
d) $\sin x + \cos x.$
e) $\tan x – x.$
g) $ – \frac{1}{2}{e^{3 – 2x}}.$
h) $\frac{1}{3}\ln \left| {\frac{{1 + x}}{{1 – 2x}}} \right|.$
Bài 3. Sử dụng phương pháp đổi biến số hãy tính:
a) $\int {{{(1 – x)}^9}} dx.$
b) $\int x {\left( {1 + {x^2}} \right)^{\frac{3}{2}}}dx.$
c) $\int {{{\cos }^3}} x.\sin xdx.$
d) $\int {\frac{{dx}}{{{e^x} + {e^{ – x}} + 2}}} .$
Lời giải:
a) Đặt $u = 1 – x$ ta có $du = – dx.$
Do đó: $\int {{{(1 – x)}^9}} dx$ $ = – \int {{u^9}} du$ $ = – \frac{1}{{10}}{u^{10}} + C.$
Thay $u = 1 – x$, ta được: $\int {{{(1 – x)}^9}} dx$ $ = – \frac{1}{{10}}{(1 – x)^{10}} + C.$
b) Đặt $u = 1 + {x^2}$ ta có: $du = 2xdx$ $ \Rightarrow xdx = \frac{{du}}{2}.$
Do đó: $\int x {\left( {1 + {x^2}} \right)^{\frac{3}{2}}}dx$ $ = \frac{1}{2}\int {{u^{\frac{3}{2}}}} du$ $ = \frac{1}{2}.\frac{1}{{\frac{3}{2} + 1}}{u^{\frac{3}{2} + 1}} + C$ $ = \frac{1}{5}{u^{\frac{5}{2}}} + C.$
Thay $u = 1 + {x^2}$, ta được: $\int x {\left( {1 + {x^2}} \right)^{\frac{3}{2}}}dx$ $ = \frac{1}{5}{\left( {1 + {x^2}} \right)^{\frac{5}{2}}} + C.$
c) Đặt $u = \cos x$ ta có: $du = – \sin xdx.$
Do đó: $\int {{{\cos }^3}} x.\sin xdx$ $ = – \int {{u^3}} du$ $ = – \frac{1}{4}{u^4} + C.$
Thay $u = \cos x$, ta được: $\int {{{\cos }^3}} x.\sin xdx$ $ = – \frac{1}{4}{\cos ^4}x + C.$
d) Đặt $u = {e^x}$ ta có $du = {e^x}dx.$
Do đó: $\int {\frac{{dx}}{{{e^x} + {e^{ – x}} + 2}}} $ $ = \int {\frac{{dx}}{{{e^x} + \frac{1}{{{e^x}}} + 2}}} $ $ = \int {\frac{{du}}{{{u^2} + 2u + 1}}} $ $ = \int {\frac{{du}}{{{{(u + 1)}^2}}}} $ $ = \int {\frac{{d(u + 1)}}{{{{(u + 1)}^2}}}} .$
$ = \int {{{(u + 1)}^{ – 2}}} d(u + 1)$ $ = – {(u + 1)^{ – 1}} + C$ $ = – \frac{1}{{u + 1}} + C.$
Thay $u = {e^x}$, ta được: $\int {\frac{{dx}}{{{e^x} + {e^{ – x}} + 2}}} $ $ = – \frac{1}{{{e^x} + 1}} + C.$
Cách khác:
Ta có: $\int {\frac{{dx}}{{{e^x} + {e^{ – x}} + 2}}} $ $ = \int {\frac{{dx}}{{{e^x} + \frac{1}{{{e^x}}} + 2}}} $ $ = \int {\frac{{{e^x}dx}}{{{{\left( {{e^x} + 1} \right)}^2}}}} $ $ = \int {\frac{{d\left( {{e^x} + 1} \right)}}{{{{\left( {{e^x} + 1} \right)}^2}}}} .$
$ = \int {{{\left( {{e^x} + 1} \right)}^{ – 2}}} d\left( {{e^x} + 1} \right)$ $ = – \frac{1}{{{e^x} + 1}} + C.$
Bài 4. Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, hãy tính:
a) $\int x \ln (1 + x)dx.$
b) $\int {\left( {{x^2} + 2x – 1} \right){e^x}dx} .$
c) $\int x \sin (2x + 1)dx.$
b) $\int {(1 – x)} \cos xdx.$
Lời giải:
a) Đặt $u = \ln (1 + x)$, $dv = xdx$ ta có: $du = \frac{1}{{1 + x}}dx$, $v = \frac{{{x^2}}}{2}.$
Áp dụng công thức tính nguyên hàm từng phần ta có:
$\int x \ln (1 + x)dx$ $ = \frac{{{x^2}}}{2}\ln (1 + x) – \frac{1}{2}\int {\frac{{{x^2}}}{{1 + x}}dx} .$
$ = \frac{{{x^2}}}{2}\ln (1 + x)$ $ – \frac{1}{2}\int {\frac{{{x^2} – 1 + 1}}{{1 + x}}dx} $ $ = \frac{{{x^2}}}{2}\ln (1 + x)$ $ – \frac{1}{2}\int {\left( {x – 1 + \frac{1}{{1 + x}}} \right)dx.} $
$ = \frac{{{x^2}}}{2}\ln (1 + x)$ $ – \frac{1}{2}\int {(x – 1)dx} $ $ – \frac{1}{2}\int {\frac{{dx}}{{1 + x}}} .$
$ = \frac{{{x^2}}}{2}\ln (1 + x)$ $ – \frac{1}{2}\left( {\frac{{{x^2}}}{2} – x} \right)$ $ – \frac{1}{2}\ln (1 + x) + C.$
$ = \frac{{{x^2}}}{2}\ln (1 + x)$ $ – \frac{{{x^2}}}{4} + \frac{x}{2}$ $ – \frac{1}{2}\ln (1 + x) + C$ $ = \frac{1}{2}\left( {{x^2} – 1} \right)\ln (1 + x)$ $ – \frac{{{x^2}}}{4} + \frac{x}{2} + C.$
b) $\int {\left( {{x^2} + 2x – 1} \right){e^x}dx} .$
Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{u = {x^2} + 2x – 1}\\
{dv = {e^x}dx}
\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{du = 2(x + 1)dx}\\
{v = {e^x}}
\end{array}} \right..$
Áp dụng công thức tính nguyên hàm từng phần ta có:
$\int {\left( {{x^2} + 2x – 1} \right){e^x}dx} $ $ = \left( {{x^2} + 2x – 1} \right){e^x}$ $ – 2\int {(x + 1){e^x}dx} .$
Lại đặt: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} = x + 1}\\
{d{v_1} = {e^x}dx}
\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{d{u_1} = dx}\\
{{v_1} = {e^x}}
\end{array}} \right..$
Áp dụng công thức tính nguyên hàm từng phần ta có:
$\int {(x + 1){e^x}dx} $ $ = (x + 1){e^x} – \int {{e^x}} dx$ $ = (x + 1){e^x} – {e^x} + {C_1}$ $ = x{e^x} + {C_1}.$
Vậy $\int {\left( {{x^2} + 2x – 1} \right){e^x}dx} $ $ = \left( {{x^2} + 2x – 1} \right){e^x} – 2x{e^x} + C$ $ = \left( {{x^2} – 1} \right){e^x} + C.$
c) Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{u = x}\\
{dv = \sin (2x + 1)dx}
\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{du = dx}\\
{v = – \frac{1}{2}\cos (2x + 1)}
\end{array}} \right..$
Áp dụng công thức tính nguyên hàm từng phần ta có:
$\int x \sin (2x + 1)dx$ $ = – \frac{1}{2}x.\cos (2x + 1)$ $ + \frac{1}{2}\int {\cos (2x + 1)dx} .$
$ = – \frac{1}{2}x\cos (2x + 1)$ $ + \frac{1}{4}\int {\cos (2x + 1)d(2x + 1)} .$
$ = – \frac{1}{2}x\cos (2x + 1)$ $ + \frac{1}{4}\sin (2x + 1) + C.$
d) Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{u = 1 – x}\\
{dv = \cos xdx}
\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{du = – dx}\\
{v = \sin x}
\end{array}} \right..$
Áp dụng công thức tính nguyên hàm từng phần ta có:
$\int {(1 – x)} \cos xdx$ $ = (1 – x)\sin x + \int {\sin xdx} $ $ = (1 – x)\sin x – \cos x + C.$
