Giải bài tập SGK Giải tích 12 cơ bản: Số phức


Bài viết hướng dẫn giải các bài tập trong phần câu hỏi và bài tập và phần luyện tập của sách giáo khoa Giải tích 12 cơ bản: Số phức.

CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

Bài 1. Tìm phần thực và phần ảo của số phức $z$, biết:
a) $z = 1 – \pi i.$
b) $z = \sqrt 2 – i.$
c) $z = 2\sqrt 2 .$
d) $z = – 7i.$

Lời giải:
a) Số phức $z = 1 – \pi i$ có phần thực bằng $1$, phần ảo bằng $\pi .$
b) Số phức $z = \sqrt 2 – i$ có phần thực bằng $2$, phần ảo bằng $-1.$
c) Số phức $z = 2\sqrt 2 $ có phần thực bằng $2\sqrt 2 $, phần ảo bằng $0.$
d) Số phức $z = – 7i$ có phần thực bằng $0$, phần ảo bằng $-7.$

Bài 2. Tìm số thực $x$ và $y$ biết:
a) $(3x – 2) + (2y + 1)i$ $ = (x + 1) – (y – 5)i.$
b) $(1 – 2x) – i\sqrt 3 $ $ = \sqrt 5 + (1 – 3y)i.$
c) $(2x + y) + (2y – x)i$ $ = (x – 2y + 3) + (y + 2x + 1)i.$

Lời giải:
a) $(3x – 2) + (2y + 1)i$ $ = (x + 1) – (y – 5)i.$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{3x – 2 = x + 1}\\
{2y + 1 = – y + 5}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{2x = 3}\\
{3y = 4}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \frac{3}{2}}\\
{y = \frac{4}{3}}
\end{array}} \right..$
b) $(1 – 2x) – i\sqrt 3 $ $ = \sqrt 5 + (1 – 3y)i$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{1 – 2x = \sqrt 5 }\\
{ – \sqrt 3 = 1 – 3y}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \frac{{1 – \sqrt 5 }}{2}}\\
{y = \frac{{1 + \sqrt 3 }}{2}}
\end{array}} \right..$
c) $(2x + y) + (2y – x)i$ $ = (x – 2y + 3) + (y + 2x + 1)i.$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{2x + y = x – 2y + 3}\\
{2y – x = y + 2x + 1}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x + 3y – 3 = 0}\\
{ – 3x + y – 1 = 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0}\\
{y = 1}
\end{array}} \right..$

Bài 3. Trên mặt phẳng tọa độ tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức $z$ thỏa mãn điều kiện:
a) Phần thực của $z$ bằng $-2.$
b) Phần ảo của $z$ bằng $3.$
c) Phần thực của $z$ thuộc khoảng $(-1;2).$
d) Phần ảo của $z$ thuộc đoạn $[1;3].$
e) Phần thực và phần ảo của $z$ đều thuộc đoạn $[-2;2].$

Lời giải:
a) Tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức $z$ có phần thực bằng $–2$ là đường thẳng song song với trục $Oy$, cắt trục $Ox$ tại điểm có tọa độ $(-2;0)$ như hình 1.

b) Tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức $z$ có phần ảo bằng $3$ là một đường thẳng song song với trục $Ox$ và cắt trục $Oy$ tại điểm có tọa độ là $(0;3)$ như hình 2.

c) Tập hợp các điểm trên mặt phẳng phức biểu diễn cho số phức $z$ có phần thực thuộc khoảng $(-1;2)$ là một phần mặt phẳng được giới hạn bởi hai đường $x = -1$ và $x = 2$, như hình 3, không kể các điểm nằm trên hai đường thẳng này.

d) Tập hợp các điểm trên mặt phẳng phức biểu diễn cho số phức $z$ có phần ảo thuộc đoạn $[1;3]$ là phần mặt phẳng được giới hạn bởi các đường $y = 1$ và $y = 3$, như hình 4, lấy cả những điểm trên đường thẳng $y = 1$ và $y = 3.$

e) Tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức $z$ có phần thực và phần ảo đều thuộc đoạn $[-2;2]$ là phần phẳng giới hạn bởi các đường $x = -2$, $y = -2$, $x = 2$ và $y = 2$ như hình 5, lấy tất cả những điểm nằm trên biên.

Bài 4. Tính $|z|$, với:
a) $z = – 2 + i\sqrt 3 .$
b) $z = \sqrt 2 – 3i.$
c) $z = -5.$
d) $z = i\sqrt 3 .$

Lời giải:
a) $z = – 2 + i\sqrt 3 $ $ \Rightarrow |z| = \sqrt {{{( – 2)}^2} + {{(\sqrt 3 )}^2}} = \sqrt 7 .$
b) $z = \sqrt 2 – 3i$ $ \Rightarrow |z| = \sqrt {{{(\sqrt 2 )}^2} + {{( – 3)}^2}} = \sqrt {11} .$
c) $z = – 5$ $ \Rightarrow |z| = \sqrt {{{( – 5)}^2} + {0^2}} = 5.$
d) $z = i\sqrt 3 $ $ \Rightarrow |z| = \sqrt {{0^2} + {{(\sqrt 3 )}^2}} = \sqrt 3 .$

Bài 5. Trên mặt phẳng tọa độ tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức $z$ thỏa mãn điều kiện:
a) ${|z| = 1.}$
b) ${|z| \le 1.}$
c) ${1 < |z| \le 2.}$
d) ${|z| = 1}$ và phần ảo của $z$ bằng $1.$

Lời giải:
a) Tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức $z$ thỏa mãn $|z| = 1$ là tập hợp các điểm thuộc đường tròn tâm $O(0;0)$ có bán kính $R = 1$ như hình 6.

b) Tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức $z$ thỏa mãn $|z| \le 1$ là một hình tròn có bán kính $R = 1$ và tâm $O(0;0)$, thuộc miền gạch sọc như hình 7.

c) Tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức $z$ thỏa mãn điều kiện $1 < |z| \le 2$ là miền phẳng được giới hạn bởi hai đường tròn tâm $O$ bán kính $R = 1$ và $R = 2$, miền gạch sọc như hình 8 lấy cả những điểm thuộc đường tròn bán kính $R = 2$, nhưng không lấy những điểm thuộc đường tròn có bán kính bằng $1.$

d) Tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức $z$ thỏa mãn yêu cầu bài toán là giao điểm của đường tròn tâm $O$ bán kính $R = 1$ và đường thẳng $y = 1$ như hình 9 chỉ có một điểm $(0;1).$

Bài 6. Tìm $\overline z $, biết:
a) $z = 1 – i\sqrt 2 .$
b) $z = – \sqrt 2 + i\sqrt 3 .$
c) $z = 5.$
d) $z = 7i.$

Lời giải:
a) $z = 1 – i\sqrt 2 $ $ \Rightarrow \bar z = 1 + i\sqrt 2 .$
b) $z = – \sqrt 2 + i\sqrt 3 $ $ \Rightarrow \bar z = – \sqrt 2 – i\sqrt 3 .$
c) $z = 5$ $ \Rightarrow \bar z = 5.$
d) $z = 7i$ $ \Rightarrow \overline z = – 7i.$



Ghi chú: Quý thầy, cô hoặc bạn đọc muốn đóng góp tài liệu cho TOANMATH.com, vui lòng gửi về:
Fanpage: TOÁN MATH
Email: toanmath.com@gmail.com