Bài viết hướng dẫn giải các bài tập trong phần câu hỏi và bài tập và phần luyện tập của sách giáo khoa Giải tích 12 cơ bản: Tích phân.
CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP
Bài 1. Tính các tích phân sau đây:
a) $\int_{ – \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} {\sqrt[3]{{{{(1 – x)}^2}}}} dx.$
b) $\int_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin } \left( {\frac{\pi }{4} – x} \right)dx.$
c) $\int_{\frac{1}{2}}^2 {\frac{1}{{x(x + 1)}}dx} .$
d) $\int_0^2 x {(x + 1)^2}dx.$
e) $\int_{\frac{1}{2}}^2 {\frac{{1 – 3x}}{{{{(x + 1)}^2}}}dx} .$
f) $\int_{ – \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\sin } 3x.\cos 5xdx.$
Lời giải:
a) Đặt $u = 1 – x$ ta có $du = – dx.$
Khi $x = – \frac{1}{2}$ thì $u = \frac{3}{2}$; khi $x = \frac{1}{2}$ thì $u = \frac{1}{2}.$
Do đó: $\int_{ – \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} {\sqrt[3]{{{{(1 – x)}^2}}}dx} $ $ = – \int_{\frac{3}{2}}^{\frac{1}{2}} {\sqrt[3]{{{u^2}}}} du$ $ = \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} {{u^{\frac{2}{3}}}} du$ $ = \left. {\frac{3}{5}{u^{\frac{5}{3}}}} \right|_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}}$ $ = \left. {\frac{3}{5}u\sqrt[3]{{{u^2}}}} \right|_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}}.$
$ = \frac{3}{5}\left( {\frac{3}{2}\sqrt[3]{{\frac{9}{4}}} – \frac{1}{2}\sqrt[3]{{\frac{1}{4}}}} \right)$ $ = \frac{3}{{10\sqrt[3]{4}}}(3\sqrt[3]{9} – 1).$
b) Đặt $u = \frac{\pi }{4} – x$ ta có $du = – dx.$
Khi $x = 0$ thì $u = \frac{\pi }{4}$; khi $x = \frac{\pi }{2}$ thì $u = – \frac{\pi }{4}.$
Do đó: $\int_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin } \left( {\frac{\pi }{4} – x} \right)dx$ $ = – \int_{\frac{\pi }{4}}^{ – \frac{\pi }{4}} {\sin udu} $ $ = \int_{ – \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}} {\sin udu} $ $ = – \left. {\cos u} \right|_{ – \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}$ $ = – \left( {\cos \frac{\pi }{4} – \cos \left( { – \frac{\pi }{4}} \right)} \right) = 0.$
Vậy $\int_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin } \left( {\frac{\pi }{4} – x} \right)dx = 0.$
c) Ta có: $\frac{1}{{x(x + 1)}} = \frac{1}{x} – \frac{1}{{x + 1}}.$
Do đó: $\int_{\frac{1}{2}}^2 {\frac{{dx}}{{x(x + 1)}}} $ $ = \int_{\frac{1}{2}}^2 {\left( {\frac{1}{x} – \frac{1}{{x + 1}}} \right)dx} $ $ = \int_{\frac{1}{2}}^2 {\frac{{dx}}{x}} – \int_{\frac{1}{2}}^2 {\frac{{dx}}{{x + 1}}} $ $ = \int_{\frac{1}{2}}^2 {\frac{{dx}}{x}} – \int_{\frac{1}{2}}^2 {\frac{{d(x + 1)}}{{x + 1}}} $ $ = \left. {\ln |x|} \right|_{\frac{1}{2}}^2 – \left. {\ln |x + 1|} \right|_{\frac{1}{2}}^2.$
$ = \ln 2 – \ln \frac{1}{2} – \ln 3 – \ln \frac{3}{2}$ $ = \ln 2.$
d) $\int_0^2 x {(x + 1)^2}dx$ $ = \int_0^2 {\left( {{x^3} + 2{x^2} + x} \right)dx} $ $ = \left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} + \frac{2}{3}{x^3} + \frac{1}{2}{x^2}} \right)} \right|_0^2$ $ = 4 + \frac{{16}}{3} + 2$ $ = \frac{{34}}{3}.$
e) Đặt $u = x + 1$ ta có $du = dx$ và $x = u – 1.$
Khi $x = \frac{1}{2}$ thì $u = \frac{3}{2}$; khi $x = 2$ thì $u = 3.$
Do đó: $\int_{\frac{1}{2}}^2 {\frac{{1 – 3x}}{{{{(x + 1)}^2}}}dx} $ $ = \int_{\frac{3}{2}}^3 {\frac{{1 – 3(u – 1)}}{{{u^2}}}du} $ $ = \int_{\frac{3}{2}}^3 {\frac{{4 – 3u}}{{{u^2}}}du} $ $ = 4\int_{\frac{3}{2}}^3 {\frac{{du}}{{{u^2}}}} – 3\int_{\frac{3}{2}}^3 {\frac{{du}}{u}} $ $ = – \left. {\frac{4}{u}} \right|_{\frac{3}{2}}^3 – \left. {3\ln u} \right|_{\frac{3}{2}}^3.$
$ = – \left( {\frac{4}{3} – \frac{4}{{\frac{3}{2}}}} \right) – 3\left( {\ln 3 – \ln \frac{3}{2}} \right)$ $ = \frac{4}{3} – 3\ln 2.$
f) Ta có: $\sin 3x.\cos 5x$ $ = \frac{1}{2}(\sin 8x – \sin 2x).$
Do đó: $\int_{ – \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\sin } 3x.\cos 5xdx$ $ = \frac{1}{2}\int_{ – \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {(\sin 8x – \sin 2x)dx} $ $ = \frac{1}{2}\int_{ – \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\sin 8xdx} – \frac{1}{2}\int_{ – \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\sin 2xdx} .$
$ = \left. { – \frac{1}{{16}}\cos 8x} \right|_{ – \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} + \left. {\frac{1}{4}\cos 2x} \right|_{ – \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}$ $ = – \frac{1}{{16}}[\cos 4\pi – \cos ( – 4\pi )]$ $ + \frac{1}{4}[\cos \pi – \cos ( – \pi )].$
$ = – \frac{1}{{16}}(1 – 1) + \frac{1}{4}( – 1 + 1) = 0.$
Bài 2. Tính các tích phân sau:
a) $\int_0^2 {|1 – x|dx} .$
b) $\int_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\sin }^2}xdx} .$
c) $\int_0^{\ln 2} {\frac{{{e^{2x + 1}} + 1}}{{{e^x}}}dx.} $
d) $\int_0^\pi {\sin 2x.{{\cos }^2}xdx.} $
Lời giải:
a) Ta có: $|1 – x|$ $ = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{1 – x\:{\rm{ với }}\:0 \le x \le 1}\\
{x – 1\:{\rm{ với }}\:1 \le x \le 2}
\end{array}} \right..$
Do đó:
$\int_0^2 {|1 – x|dx} $ $ = \int_0^1 {(1 – x)dx} + \int_1^2 {(x – 1)dx} $ $ = \left. {\left( {x – \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^1 + \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} – x} \right)} \right|_1^2$ $ = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1.$
b) Ta có: ${\sin ^2}x = \frac{{1 – \cos 2x}}{2}.$
Do đó: $\int_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\sin }^2}xdx} $ $ = \frac{1}{2}\int_0^{\frac{\pi }{2}} {(1 – \cos 2x)dx} $ $ = \frac{1}{2}\int_0^{\frac{\pi }{2}} {dx} – \frac{1}{2}\int_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos 2xdx} $ $ = \left. {\frac{1}{2}x} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} – \left. {\frac{1}{4}\sin 2x} \right|_0^{\frac{\pi }{2}}$ $ = \frac{\pi }{4}.$
c) $\int_0^{\ln 2} {\frac{{{e^{2x + 1}} + 1}}{{{e^x}}}dx} $ $ = \int_0^{\ln 2} {\left( {{e^{x + 1}} + {e^{ – x}}} \right)dx} $ $ = \int_0^{\ln 2} {{e^{x + 1}}} dx + \int_0^{\ln 2} {{e^{ – x}}} dx.$
$ = \int_0^{\ln 2} {{e^{x + 1}}} d(x + 1) – \int_0^{\ln 2} {{e^{ – x}}} d( – x)$ $ = \left. {{e^{x + 1}}} \right|_0^{\ln 2} – \left. {{e^{ – x}}} \right|_0^{\ln 2}.$
$ = {e^{\ln 2 + 1}} – {e^1} – {e^{ – \ln 2}} + 1$ $ = {e^{\ln 2 + 1}} – \frac{1}{{{e^{\ln 2}}}} – (e – 1)$ $ = e + \frac{1}{2}.$
d) $\int_0^\pi {\sin 2x.{{\cos }^2}xdx} $ $ = 2\int_0^\pi {\sin x.{{\cos }^3}xdx} $ $ = – 2\int_0^\pi {{{\cos }^3}xd(\cos x)} $ $ = – \left. {2.\frac{1}{4}{{\cos }^4}x} \right|_0^\pi .$
$ = – \frac{1}{2}\left( {{{\cos }^4}\pi – {{\cos }^4}0} \right) = 0.$
Bài 3. Sử dụng phương pháp đổi biến số, hãy tính:
a) $\int_0^3 {\frac{{{x^2}}}{{{{(1 + x)}^{\frac{3}{2}}}}}dx} .$
b) $\int_0^1 {\sqrt {1 – {x^2}} } dx.$
c) $\int_0^1 {\frac{{{e^x}(1 + x)}}{{1 + x{e^x}}}dx.} $
d) $\int_0^{\frac{a}{2}} {\frac{1}{{\sqrt {{a^2} – {x^2}} }}dx} $ $(a > 0).$
Lời giải:
a) Đặt $u = 1 + x$ ta có $du = dx$; ${x^2} = {(u – 1)^2}.$
Khi $x = 0$ thì $u = 1$; khi $x = 3$ thì $u = 4.$
Do đó: $\int_0^3 {\frac{{{x^2}}}{{{{(1 + x)}^{\frac{3}{2}}}}}dx} $ $ = \int_1^4 {\frac{{{{(u – 1)}^2}}}{{{u^{\frac{3}{2}}}}}du} $ $ = \int_1^4 {\frac{{{u^2} – 2u + 1}}{{{u^{\frac{3}{2}}}}}du} .$
$ = \int_1^4 {\left( {{u^{\frac{1}{2}}} – 2{u^{ – \frac{1}{2}}} + {u^{ – \frac{3}{2}}}} \right)du} $ $ = \int_1^4 {{u^{\frac{1}{2}}}} du – 2\int_1^4 {{u^{ – \frac{1}{2}}}} du + \int_1^4 {{u^{ – \frac{3}{2}}}} du.$
$ = \left. {\frac{2}{3}{u^{\frac{3}{2}}}} \right|_1^4 – \left. {4{u^{\frac{1}{2}}}} \right|_1^4 – \left. {2{u^{ – \frac{1}{2}}}} \right|_1^4$ $ = \frac{{16}}{3} – \frac{2}{3} – (8 – 4) – 2\left( {\frac{1}{2} – 1} \right)$ $ = \frac{{14}}{3} – 3$ $ = \frac{5}{3}.$
b) Cách 1: Đặt $x = \sin t$ ta có: $dx = \cos tdt.$
Khi $x = 0$ thì $t = 0$; khi $x = 1$ thì $t = \frac{\pi }{2}.$
Do đó: $\int_0^1 {\sqrt {1 – {x^2}} } dx$ $ = \int_0^{\frac{\pi }{2}} {\sqrt {1 – {{\sin }^2}t} } \cos tdt$ $ = \int_0^{\frac{\pi }{2}} | \cos t|.\cos tdt$ $ = \int_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\cos }^2}tdt} $ (vì $\cos t \ge 0$, $\forall t \in \left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]$).
$ \Rightarrow \int_0^1 {\sqrt {1 – {x^2}} } dx$ $ = \int_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\cos }^2}tdt} $ $ = \frac{1}{2}\int_0^{\frac{\pi }{2}} {(1 + \cos 2t)dt} .$
$ = \frac{1}{2}\int_0^{\frac{\pi }{2}} {dt} + \frac{1}{4}\int_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos 2td(2t)} $ $ = \left. {\frac{1}{2}t} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} + \left. {\frac{1}{4}\sin 2t} \right|_0^{\frac{\pi }{2}}$ $ = \frac{\pi }{4} + 0 = \frac{\pi }{4}.$
Vậy $\int_0^1 {\sqrt {1 – {x^2}} } dx = \frac{\pi }{4}.$
Cách 2: Ta có $y = \sqrt {1 – {x^2}} $, $0 \le x \le 1$ là phương trình của cung của đường tròn tâm $O$, bán kính $R = 1.$
Vậy tích phân $\int_0^1 {\sqrt {1 – {x^2}} } dx$ bằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi cung $AB$ và hai trục tọa độ. Hình phẳng đó là một phần tư đường tròn bán kính $1$, do đó: $\int_0^1 {\sqrt {1 – {x^2}} } dx = \frac{\pi }{4}.$
c) Đặt $u = x{e^x}$ ta có: $du = \left( {{e^x} + x{e^x}} \right)dx$ $ = {e^x}(x + 1)dx.$
Khi $x = 0$ thì $u = 0$; khi $x = 1$ thì $u = e.$
Do đó: $\int_0^1 {\frac{{{e^x}(x + 1)}}{{1 + x{e^x}}}dx} $ $ = \int_0^e {\frac{{du}}{{1 + u}}} $ $ = \left. {\ln (1 + u)} \right|_0^e$ $ = \ln (e + 1).$
d) Đặt $x = a\sin t$ ta có: $dx = a\cos tdt.$
Khi $x = 0$ thì $t = 0$; khi $x = \frac{a}{2}$ thì $t = \frac{\pi }{6}.$
Do đó: $\int_0^{\frac{a}{2}} {\frac{1}{{\sqrt {{a^2} – {x^2}} }}dx} $ $ = \int_0^{\frac{\pi }{6}} {\frac{{a\cos tdt}}{{\sqrt {{a^2} – {a^2}{{\sin }^2}t} }}} $ $ = \int_0^{\frac{\pi }{6}} {\frac{{a\cos tdt}}{{|a\cos t|}}} .$
Vì $a > 0$ và $\cos t \ge 0$, $\forall t \in \left[ {0;\frac{\pi }{6}} \right]$ nên $\int_0^{\frac{\pi }{6}} {\frac{{a\cos tdt}}{{|a.\cos t|}}} $ $ = \int_0^{\frac{\pi }{6}} d t = \left. t \right|_0^{\frac{\pi }{6}} = \frac{\pi }{6}.$
Vậy $\int_0^{\frac{a}{2}} {\frac{1}{{\sqrt {{a^2} – {x^2}} }}dx} = \frac{\pi }{6}.$
Bài 4. Sử dụng phương pháp tích phân từng phần hãy tính:
a) $\int_0^{\frac{\pi }{2}} {(x + 1)} \sin xdx.$
b) $\int_1^e {{x^2}} \ln xdx.$
c) $\int_0^1 {\ln } (1 + x)dx.$
d) $\int_0^1 {\left( {{x^2} – 2x – 1} \right){e^{ – x}}dx} .$
Lời giải:
a) Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{u = x + 1}\\
{dv = \sin xdx}
\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{du = dx}\\
{v = – \cos x}
\end{array}} \right..$
Áp dụng công thức tính tích phân từng phần ta có:
$\int_0^{\frac{\pi }{2}} {(x + 1)} \sin xdx$ $ = – \left. {(x + 1)\cos x} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} + \int_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos xdx} .$
$ = – \left[ {\left( {\frac{\pi }{2} + 1} \right)\cos \frac{\pi }{2} – \cos 0} \right] + \left. {\sin x} \right|_0^{\frac{\pi }{2}}$ $ = 2.$
b) Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{u = \ln x}\\
{dv = {x^2}dx}
\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{du = \frac{{dx}}{x}}\\
{v = \frac{{{x^3}}}{3}}
\end{array}} \right..$
Áp dụng công thức tính tích phân từng phần ta có:
$\int_1^e {{x^2}} \ln xdx$ $ = \left. {\frac{{{x^3}}}{3}\ln x} \right|_1^e – \frac{1}{3}\int_1^e {{x^2}} dx$ $ = \frac{{{e^3}}}{3} – \left. {\frac{1}{9}{x^3}} \right|_1^e$ $ = \frac{{{e^3}}}{3} – \frac{1}{9}\left( {{e^3} – 1} \right)$ $ = \frac{2}{9}{e^3} + \frac{1}{9}.$
c) Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{u = \ln (1 + x)}\\
{dv = dx}
\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{du = \frac{1}{{1 + x}}dx}\\
{v = x}
\end{array}} \right.$
Ta có: $\int_0^1 {\ln } (1 + x)dx$ $ = \left. {x\ln (1 + x)} \right|_0^1 – \int_0^1 {\frac{x}{{1 + x}}dx.} $
$ = \ln 2 – \int_0^1 {\frac{{x + 1 – 1}}{{1 + x}}dx} $ $ = \ln 2 – \int_0^1 d x + \int_0^1 {\frac{{dx}}{{1 + x}}} .$
$ = \ln 2 – \left. x \right|_0^1 + \left. {\ln (1 + x)} \right|_0^1$ $ = \ln 2 – 1 + \ln 2$ $ = 2\ln 2 – 1.$
d) Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{u = {x^2} – 2x – 1}\\
{dv = {e^{ – x}}dx}
\end{array}} \right.$$ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{du = (2x – 2)dx}\\
{v = – {e^{ – x}}}
\end{array}} \right..$
Áp dụng công thức tính tích phân từng phần ta có:
$\int_0^1 {\left( {{x^2} – 2x – 1} \right){e^{ – x}}dx} $ $ = – \left. {{e^{ – x}}\left( {{x^2} – 2x – 1} \right)} \right|_0^1$ $ + \int_0^1 {(2x – 2){e^{ – x}}dx} $ $ = \frac{2}{e} – 1 + 2\int_0^1 {(x – 1){e^{ – x}}dx.} $
Tiếp tục đặt: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} = x – 1}\\
{d{v_1} = {e^{ – x}}dx}
\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{d{u_1} = du}\\
{{v_1} = – {e^{ – x}}}
\end{array}} \right..$
Ta có: $\int_0^1 {(x – 1){e^{ – x}}dx} $ $ = – \left. {{e^{ – x}}(x – 1)} \right|_0^1 + \int_0^1 {{e^{ – x}}} dx$ $ = – 1 – \left. {{e^{ – x}}} \right|_0^1$ $ = – 1 – \frac{1}{e} + 1$ $ = – \frac{1}{e}.$
Vậy $\int_0^1 {\left( {{x^2} – 2x – 1} \right){e^{ – x}}dx} $ $ = \frac{2}{e} – 1 – \frac{2}{e} = – 1.$
Bài 5. Tính các tích phân sau:
a) $\int_0^1 {{{(1 + 3x)}^{\frac{3}{2}}}dx} .$
b) $\int_0^{\frac{1}{2}} {\frac{{{x^3} – 1}}{{{x^2} – 1}}dx.} $
c) $\int_1^2 {\frac{{\ln (1 + x)}}{{{x^2}}}dx} .$
Lời giải:
a) Đặt $u = 1 + 3x$ ta có: $du = 3dx.$
Khi $x = 0$ thì $u = 1$; khi $x = 1$ thì $u = 4.$
Do đó: $\int_0^1 {{{(1 + 3x)}^{\frac{3}{2}}}} dx$ $ = \frac{1}{3}\int_1^4 {{u^{\frac{3}{2}}}} du$ $ = \left. {\frac{1}{3}.\frac{2}{5}{u^{\frac{5}{2}}}} \right|_1^4$ $ = \frac{2}{{15}}\left( {{4^{\frac{5}{2}}} – 1} \right)$ $ = \frac{{62}}{{15}}.$
b) $\int_0^{\frac{1}{2}} {\frac{{{x^3} – 1}}{{{x^2} – 1}}dx} $ $ = \int_0^{\frac{1}{2}} {\frac{{(x – 1)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{{(x – 1)(x + 1)}}dx} $ $ = \int_0^{\frac{1}{2}} {\frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}dx} $ $ = \int_0^{\frac{1}{2}} {\left( {x + \frac{1}{{x + 1}}} \right)dx.} $
$ = \left. {\frac{{{x^2}}}{2}} \right|_0^{\frac{1}{2}} + \left. {\ln (x + 1)} \right|_0^{\frac{1}{2}}$ $ = \frac{1}{8} + \ln \frac{3}{2}.$
c) Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{u = \ln (1 + x)}\\
{dv = \frac{{dx}}{{{x^2}}}}
\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{du = \frac{1}{{1 + x}}dx}\\
{v = – \frac{1}{x}}
\end{array}} \right..$
Ta có: $\int_1^2 {\frac{{\ln (1 + x)}}{{{x^2}}}dx} $ $ = – \left. {\frac{1}{x}\ln (1 + x)} \right|_1^2 + \int_1^2 {\frac{{dx}}{{x(1 + x)}}} $ $ = – \frac{1}{2}\ln 3 + \ln 2 + \int_1^2 {\frac{{dx}}{{x(1 + x)}}} .$
Xét $\int_1^2 {\frac{{dx}}{{(x + 1)x}}} .$ Ta có: $\frac{1}{{x(1 + x)}} = \frac{1}{x} – \frac{1}{{x + 1}}.$
Do đó: $\int_1^2 {\frac{{dx}}{{x(x + 1)}}} $ $ = \int_1^2 {\left( {\frac{1}{x} – \frac{1}{{x + 1}}} \right)dx} $ $ = \int_1^2 {\frac{{dx}}{x}} – \int_1^2 {\frac{{dx}}{{x + 1}}} $ $ = \left. {\ln x} \right|_1^2 – \left. {\ln (1 + x)} \right|_1^2.$
$ = \ln 2 – \ln 3 + \ln 2.$
Vậy $\int_1^2 {\frac{{\ln (1 + x)}}{{{x^2}}}dx} $ $ = – \frac{1}{2}\ln 3 + \ln 2 + \ln 2 – \ln 3 + \ln 2.$
$ = 3\ln 2 – \frac{3}{2}\ln 3$ $ = \ln 8 – \frac{3}{2}\ln 3$ $ = 3\ln \frac{{2\sqrt 3 }}{3}.$
Bài 6. Tính $\int_0^1 {{x^2}} {(1 – x)^5}dx$ bằng hai phương pháp:
a) Đổi biến số $u = 1 – x.$
b) Tích phân từng phần.
Lời giải:
a) Đặt $u = 1 – x$ ta có: $du = – dx.$
Đổi cận:
| x | 0 | 1 |
| u | 1 | 0 |
Ta có: $x = 1 – u$ nên:
$J = \int_1^0 {(u – 1){u^5}du} $ $ = \int_1^0 {{u^6}} du – \int_1^0 {{u^5}} du$ $ = \left. {\frac{{{u^7}}}{7}} \right|_1^0 – \left. {\frac{{{u^6}}}{6}} \right|_1^0$ $ = \frac{1}{{42}}.$
b) $J = – \frac{1}{6}\int_0^1 {xd} {(x – 1)^6}$ $ = – \frac{1}{6}\left[ {\left. {x{{(x – 1)}^6}} \right|_0^1 – \int_0^1 {{{(x – 1)}^6}} dx} \right].$
$ = – \frac{1}{6}\left[ { – \int_0^1 {{{(x – 1)}^6}} d(x – 1)} \right]$ $ = \left. {\frac{1}{{42}}{{(x – 1)}^7}} \right|_0^1 = \frac{1}{{42}}.$
