Giải bài tập SGK Giải tích 12 nâng cao: Số phức


Bài viết hướng dẫn giải các bài tập trong phần câu hỏi và bài tập và phần luyện tập của sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao: Số phức.

CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

Bài 1. Cho các số phức $2 + 3i$, $1 + 2i$, $2 – i.$
a) Biểu diễn các số đó trong mặt phẳng phức.
b) Viết số phức liên hợp của mỗi số đó và biểu diễn chúng trong mặt phẳng phức.
c) Viết số đối của mỗi số phức đó và biểu diễn chung trong mặt phẳng phức.

Lời giải:
a) Các điểm $A$, $B$, $C$ trong mặt phẳng tọa độ (hình vẽ) là các điểm biểu diễn của các số phức: $1 + 2i$, $2 + 3i$, $2 – i.$

b) Số phức liên hợp của số $z = 2 + 3i$ là $\bar z = 2 – 3i.$
Số phức liên hợp của số $z’ = 1 + 2i$ là $\overline {z’} = 1 – 2i.$
Số phức liên hợp của số $z” = 2 – i$ là $\overline {z”} = 2 + i.$
Các điểm $M$, $N$, $P$ biểu diễn cho các số $\overline z $, $\overline {z’} $, $\overline {z”} $ như sau:

c) Số đối của số phức: $z = 2 + 3i$ là $ – z = – 2 – 3i.$
Số đối của số phức $z’ = 1 + 2i$ là $ – z’ = – 1 – 2i.$
Số đối của số phức $z” = 2 – i$ là $ – z” = – 2 + i.$
Các điểm $P$, $Q$, $R$ lần lượt biểu diễn cho các số $ – z$, $ – z’$, $ – z”.$

Bài 2. Xác định phần thực và phần ảo của các số sau:
a) $i + (2 – 4i) – (3 – 2i).$
b) ${(\sqrt 2 + 3i)^2}.$
c) $(2 + 3i)(2 – 3i).$
d) $i(2 – i)(3 + i).$

Lời giải:
a) Ta có: $i + (2 – 4i) – (3 – 2i)$ $ = – i – 1$ có phần thực là $-1$, phần ảo là $-1.$
b) Ta có: ${(\sqrt 2 + 3i)^2}$ $ = 2 + 6\sqrt 2 i + {(3i)^2}$ $ = 2 + 6\sqrt 2 i – 9$ $ = – 7 + 6\sqrt 2 i$ có phần thực là $-7$, phần ảo là $6\sqrt 2 .$
c) Ta có $(2 + 3i)(2 – 3i)$ $ = 4 – 6i + 6i – 9{i^2}$ $ = 4 + 9 = 13$ có phần thực là $13$, phần ảo là $0.$
d) $i(2 – i)(3 + i)$ $ = i(6 – i + 1)$ $ = 1 + 7i$ có phần thực là $1$, phần ảo là $7.$

Bài 3. Xác định các số phức biểu diễn bởi các đỉnh của một lục giác đều có tâm là gốc $O$ trong một mặt phẳng phức biết rằng một đỉnh biểu diễn số $i.$

Lời giải:

Gọi lục giác đều là $ABCDEF$, trong đó $A$ biểu diễn cho số $i.$
Suy ra $A(0;1)$ và $\widehat {AOB} = {60^0}$ (hình vẽ).
Từ đó suy ra $B\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2};\frac{1}{2}} \right)$, $C\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}; – \frac{1}{2}} \right)$, $D(0;1)$, $E\left( { – \frac{{\sqrt 3 }}{2}; – \frac{1}{2}} \right)$, $F\left( { – \frac{{\sqrt 3 }}{2};\frac{1}{2}} \right).$
Vậy sáu số phức cần tìm là:
$i$, $\frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2}i$, $\frac{{\sqrt 3 }}{2} – \frac{1}{2}i$, $ – i$, $ – \frac{{\sqrt 3 }}{2} – \frac{1}{2}i$, $ – \frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2}i.$

Bài 4. Thực hiện phép tính:
$\frac{1}{{2 – 3i}}$; $\frac{1}{{\frac{1}{2} – \frac{{\sqrt 3 }}{2}i}}$; $\frac{{3 – 2i}}{i}$; $\frac{{3 – 4i}}{{4 – i}}.$

Lời giải:
Nhân cả tử và mẫu của số đã cho với lượng liên hợp ở mẫu ta được:
$\frac{1}{{2 – 3i}}$ $ = \frac{{2 + 3i}}{{(2 – 3i)(2 + 3i)}}$ $ = \frac{{2 + 3i}}{{4 + 9}}$ $ = \frac{2}{{13}} + \frac{3}{{13}}i.$
$\frac{1}{{\frac{1}{2} – \frac{{\sqrt 3 }}{2}i}}$ $ = \frac{{\frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i}}{{\left( {\frac{1}{2} – \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right)\left( {\frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right)}}$ $ = \frac{{\frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i}}{{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}}}$ $ = \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i.$
$\frac{{3 – 2i}}{i}$ $ = \frac{{(3 – 2i)( – i)}}{{i( – i)}}$ $ = \frac{{ – 3i – 2}}{1}$ $ = – 2 – 3i.$
$\frac{{3 – 4i}}{{4 – i}}$ $ = \frac{{(3 – 4i)(4 + i)}}{{(4 – i)(4 + i)}}$ $ = \frac{{16 – 13i}}{{17}}$ $ = \frac{{16}}{{17}} – \frac{{13}}{{17}}i.$

Bài 5. Cho $z = – \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i.$ Hãy tính $\frac{1}{z}$; $\overline z $; ${z^2}$; ${(\overline z )^3}$ và $1 + z + {z^2}.$

Lời giải:
Ta có: $\frac{1}{z}$ $ = \frac{1}{{ – \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i}}$ $ = \frac{{ – \frac{1}{2} – \frac{{\sqrt 3 }}{2}i}}{{\left( { – \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right)\left( { – \frac{1}{2} – \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right)}}$ $ = \frac{{ – \frac{1}{2} – \frac{{\sqrt 3 }}{2}i}}{{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}}}$ $ = – \frac{1}{2} – \frac{{\sqrt 3 }}{2}i.$
$\bar z = \overline { – \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} $ $ = – \frac{1}{2} – \frac{{\sqrt 3 }}{2}i.$
${z^2} = {\left( { – \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right)^2}$ $ = – \frac{1}{2} – \frac{{\sqrt 3 }}{2}i.$
${\left( {\overline z } \right)^3} = {\left( { – \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right)^3}$ $ = – \frac{1}{8} – 3.\frac{1}{4}.\frac{{\sqrt 3 }}{2}i$ $ – 3.\frac{1}{2}.\frac{3}{4}{i^2} – \frac{{3\sqrt 3 }}{8}{i^3}.$
$ = – \frac{1}{8} – \frac{{3\sqrt 3 i}}{8} + \frac{9}{8} + \frac{{3\sqrt 3 }}{8}i$ $ = \frac{8}{8} = 1.$
$1 + z + {z^2}$ $ = 1 + \left( { – \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right)$ $ + \left( { – \frac{1}{2} – \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right) = 0.$

Bài 6. Chứng minh:
a) Phần thực của số phức $z$ bằng $\frac{1}{2}(z + \bar z)$, phần ảo của số phức $z$ bằng $\frac{1}{{2i}}(z – \overline z ).$
b) Số phức $z$ là số ảo khi và chỉ khi $z = – \overline z .$
c) Với mọi số phức $z$, $z’$ ta có: $\overline {z + z’} = \overline z + \overline {z’} $, $\overline {zz’} = \overline z .\overline {z’} $ và nếu $z \ne 0$ thì $\frac{{\overline {z’} }}{{\overline z }} = \overline {\left( {\frac{{z’}}{z}} \right)} .$

Lời giải:
Giả sử $z = a + bi$ ta có $\bar z = a – bi$, nên:
$\frac{1}{2}(z + \bar z)$ $ = \frac{1}{2}(a + bi + a – bi)$ $ = \frac{{2a}}{2} = a.$
$\frac{1}{{2i}}(z – \overline z )$ $ = \frac{1}{{2i}}(a + bi – a + bi)$ $ = \frac{{2bi}}{{2i}} = b.$
b) Giả sử $z = a + bi.$
Theo bài ra $z = – \overline z $ $ \Leftrightarrow a + bi = – (a – bi)$ $ \Leftrightarrow a = – a$ $ \Leftrightarrow a = 0.$
Vậy $z = bi$ là một số ảo.
c) Giả sử $z = a + bi$, $z’ = a’ + b’i.$ Ta có:
$z + z’$ $ = \left( {a + a’} \right) + \left( {b + b’} \right)i$ $ \Rightarrow \overline {z + z’} $ $ = \left( {a + a’} \right) – \left( {b + b’} \right)i.$
$ = (a – bi) + \left( {a’ – b’i} \right)$ $ = \bar z + \overline {z’} .$
$z.z’ = (a + bi)\left( {a’ + b’i} \right)$ $ = \left( {aa’ – bb’} \right) + \left( {ab’ + a’b} \right)i.$
$ \Rightarrow \overline {z.z’} $ $ = \left( {aa’ – bb’} \right) + \left( {ab’ + a’b} \right)i$ $(1).$
Và $\overline z .\overline {z’} = (a – bi)\left( {a’ – b’i} \right)$ $ = \left( {aa’ – bb’} \right) – \left( {ab’ + a’b} \right)i$ $(2).$
Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra: $\overline {z.z’} = \overline z .\overline {z’} $ (điều phải chứng minh).
Giả sử $z = a + bi$ với $a,b \in R$ và ${a^2} + {b^2} \ne 0$, ta có:
$\frac{{z’}}{z} = \frac{{a’ + b’i}}{{a + bi}}$ $ = \frac{{\left( {a’ + b’i} \right)(a – bi)}}{{(a + bi)(a – bi)}}$ $ = \frac{{\left( {a’a + b’b} \right) + \left( {ab’ – a’b} \right)i}}{{{a^2} + {b^2}}}.$
$ \Rightarrow \overline {\left( {\frac{{z’}}{z}} \right)} $ $ = \frac{{\left( {a’a + b’b} \right) – \left( {ab’ – a’b} \right)i}}{{{a^2} + {b^2}}}$ $(1).$
$\frac{{\overline {z’} }}{{\bar z}} = \frac{{a’ – b’i}}{{a – bi}}$ $ = \frac{{\left( {a’ – b’i} \right)(a + bi)}}{{(a – bi)(a + bi)}}$ $ = \frac{{\left( {a’a + b’b} \right) – \left( {ab’ – a’b} \right)i}}{{{a^2} + {b^2}}}$ $(2).$
Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra: $\frac{{\overline {z’} }}{{\overline z }} = \overline {\left( {\frac{{z’}}{z}} \right)} $ (điều phải chứng minh).

Bài 7. Chứng minh rằng với mọi số nguyên $m > 0$, ta có:
${i^{4m}} = 1$; ${i^{4m + 1}} = i$; ${i^{4m + 2}} = – 1$; ${i^{4m + 3}} = – i.$

Lời giải:
Ta có: ${i^{4m}} = {\left( {{i^2}} \right)^{2m}}$ $ = {( – 1)^{2m}} = 1$, với mọi $m \in {N^*}.$
${i^{4m + 1}} = {i^{4m}}.i = 1.i = i.$
${i^{4m + 2}} = {i^{4m}}.{i^2} = 1( – 1) = – 1.$
${i^{4m + 3}} = {i^{4m}}.{i^3} = 1.{i^3}$ $ = {i^3} = {i^2}.i = – 1.i = – i.$

Bài 8. Chứng minh rằng:
a) Nếu vectơ $\overrightarrow u $ của một mặt phẳng phức biểu diễn số phức $z$ thì độ dài của vectơ $\overrightarrow u $ là $|\overrightarrow u | = |z|$, và từ đó nếu các điểm ${A_1}$, ${A_2}$ theo thức tự biểu diễn các số phức ${z_1}$, ${z_2}$ thì $\left| {\overrightarrow {{A_1}{A_2}} } \right| = \left| {{z_2} – {z_1}} \right|.$
b) Với mọi số phức $z$, $z’$ ta có $\left| {zz’} \right| = |z|.\left| {z’} \right|$ và khi $z \ne 0$ thì $\left| {\frac{{z’}}{z}} \right| = \frac{{\left| {z’} \right|}}{{|z|}}.$
c) Với mọi số phức $z$, $z’$ ta có $\left| {z + z’} \right| \le |z| + \left| {z’} \right|.$

Lời giải:
Giả sử $z = a + bi$, $z’ = a’ + b’i.$
a) Nếu $\overrightarrow u $ là vectơ biểu diễn số phức $z = a + bi$ thì $\vec u = (a;b)$ suy ra $|\vec u| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} .$
Mà $|z| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} $, vậy $|\overrightarrow u | = |z|.$
Gọi ${A_1}$ là điểm biểu diễn số phức ${z_1} = {a_1} + {b_1}i$ $ \Rightarrow {A_1} = \left( {{a_1};{b_1}} \right).$
Gọi ${A_2}$ là điểm biểu diễn số phức ${z_2} = {a_2} + {b_2}i$ $ \Rightarrow {A_2} = \left( {{a_2};{b_2}} \right).$
Khi đó $\overrightarrow {{A_1}{A_2}} = \left( {{a_2} – {a_1};{b_2} – {b_1}} \right)$ $ \Rightarrow \left| {\overrightarrow {{A_1}{A_2}} } \right| = \sqrt {{{\left( {{a_2} – {a_1}} \right)}^2} + {{\left( {{b_2} – {b_1}} \right)}^2}} .$
Mặt khác ${z_2} – {z_1} = \left( {{a_2} – {a_1}} \right) + \left( {{b_2} – {b_1}} \right)i$ $ \Rightarrow \left| {{z_2} – {z_1}} \right|$ $ = \sqrt {{{\left( {{a_2} – {a_1}} \right)}^2} + {{\left( {{b_2} – {b_1}} \right)}^2}} .$
Vậy $|\overrightarrow {{A_1}{A_2}} | = \left| {{z_2} – {z_1}} \right|.$
b) Ta có: $z.z’ = (a + bi)\left( {a’ + b’i} \right)$ $ = \left( {aa’ – bb’} \right) + \left( {ab’ + ba’} \right)i.$
$ \Rightarrow \left| {z.z’} \right|$ $ = \sqrt {{{\left( {aa’ – bb’} \right)}^2} + {{\left( {ab’ + ba’} \right)}^2}} $ $ = \sqrt {{{\left( {aa’} \right)}^2} + {{\left( {bb’} \right)}^2} + {{\left( {ab’} \right)}^2} + {{\left( {a’b} \right)}^2}} .$
Mặt khác $|z|.\left| {z’} \right|$ $ = \sqrt {{a^2} + {b^2}} .\sqrt {a{‘^2} + b{‘^2}} $ $ = \sqrt {{{\left( {aa’} \right)}^2} + {{\left( {a’b} \right)}^2} + {{\left( {ab’} \right)}^2} + {{\left( {bb’} \right)}^2}} .$
Vậy $\left| {z.z’} \right| = |z|.\left| {z’} \right|.$
Khi $z \ne 0$ ta có:
$\frac{{z’}}{z} = \frac{{a’ + b’i}}{{a + bi}}$ $ = \frac{{\left( {a’ + b’i} \right)(a – bi)}}{{(a + bi)(a – bi)}}$ $ = \frac{{\left( {a’a + b’b} \right)}}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{{\left( {ab’ – a’b} \right)i}}{{{a^2} + {b^2}}}.$
Suy ra $\left| {\frac{{z’}}{z}} \right|$ $ = \sqrt {{{\left( {\frac{{a’a + b’b}}{{{a^2} + {b^2}}}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{ab’ – a’b}}{{{a^2} + {b^2}}}} \right)}^2}} $ $ = \frac{{\sqrt {{{\left( {a’a} \right)}^2} + {{\left( {b’b} \right)}^2} + {{\left( {ab’} \right)}^2} + {{\left( {a’b} \right)}^2}} }}{{{a^2} + {b^2}}}.$
Mặt khác: $\frac{{|z’|}}{{|z|}} = \frac{{\sqrt {a{‘^2} + b{‘^2}} }}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$ $ = \frac{{\sqrt {\left( {a{‘^2} + b{‘^2}} \right)\left( {{a^2} + {b^2}} \right)} }}{{{a^2} + {b^2}}}$ $ = \frac{{\sqrt {{{\left( {a’a} \right)}^2} + {{\left( {b’a} \right)}^2} + {{\left( {ba’} \right)}^2} + {{\left( {b’b} \right)}^2}} }}{{{a^2} + {b^2}}}.$
Vậy $\left| {\frac{{z’}}{z}} \right| = \frac{{|z’|}}{{|z|}}.$
c) Với mọi số phức $z$, $z’$ ta có: $z + z’$ $ = \left( {a + a’} \right) + \left( {b + b’} \right)i.$
Nên $\left| {z + z’} \right| = \sqrt {{{\left( {a + a’} \right)}^2} + {{\left( {b + b’} \right)}^2}} .$
Mặt khác $|z| + \left| {z’} \right|$ $ = \sqrt {{a^2} + {b^2}} + \sqrt {a{‘^2} + b{‘^2}} .$
Theo yêu cầu của bài toán ta cần chứng minh:
$\left| {z + z’} \right| \le |z| + |z’|$ $ \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {a + a’} \right)}^2} + {{\left( {b + b’} \right)}^2}} $ $ \le \sqrt {{a^2} + {b^2}} + \sqrt {a{‘^2} + b{‘^2}} .$
$ \Leftrightarrow {\left( {a + a’} \right)^2} + {\left( {b + b’} \right)^2}$ $ \le \left( {{a^2} + {b^2}} \right)$ $ + 2\sqrt {\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {a{‘^2} + b{‘^2}} \right)} $ $ + \left( {a{‘^2} + b{‘^2}} \right).$
$ \Leftrightarrow aa’ + bb’$ $ \le \sqrt {\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {a{‘^2} + b{‘^2}} \right)} $ $(*).$
Theo Bunhicốpxki ta có bất đẳng thức $(*)$ đúng với mọi $a$, $b$, $a’$, $b’ \in R$ nên $\left| {z + z’} \right| \le |z| + \left| {z’} \right|.$

Bài 9. Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức $z$ thỏa mãn từng điều kiện sau:
a) $|z – i| = 1.$
b) $\left| {\frac{{z – i}}{{z + i}}} \right| = 1.$
c) $|z| = |\bar z – 3 + 4i|.$

Lời giải:
a) Giả sử $z = a + bi$ $ \Rightarrow z – i = a + (b – 1)i$ $ \Rightarrow |z – i| = \sqrt {{a^2} + {{(b – 1)}^2}} .$
Theo bài ra: $|z – i| = 1$ $ \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + {{(b – 1)}^2}} = 1$ $ \Leftrightarrow {a^2} + {(b – 1)^2} = 1.$
Vậy quỹ tích các điểm $M(a;b)$ biểu diễn số phức $z = a + bi$ thỏa mãn $|z – i| = 1$ là đường tròn tâm $I(0;1)$, bán kính $R = 1.$
b) Giả sử $z = a + bi$ $ \Rightarrow \frac{{z – i}}{{z + i}} = \frac{{a + (b – 1)i}}{{a + (b + 1)i}}$ $\left( {{a^2} + {{(b + 1)}^2} \ne 0} \right).$
Theo bài 8b ta có: $\left| {\frac{{z’}}{z}} \right| = \frac{{\left| {z’} \right|}}{{|z|}}$, $\forall z \ne 0$ nên:
$\left| {\frac{{z – i}}{{z + i}}} \right| = \frac{{|a + (b – 1)i|}}{{|a + (b + 1)i|}}$ $ = \sqrt {\frac{{{a^2} + {{(b – 1)}^2}}}{{{a^2} + {{(b + 1)}^2}}}} .$
Theo bài ra ta có: $\frac{{{a^2} + {{(b – 1)}^2}}}{{{a^2} + {{(b + 1)}^2}}} = 1$ $ \Leftrightarrow {a^2} + {(b – 1)^2}$ $ = {a^2} + {(b + 1)^2}.$
$ \Leftrightarrow b = 0.$
Vậy $z = a$, hay tập hợp các điểm cần tìm là trục thực.
c) Giả sử $z = a + bi$ $ \Rightarrow \overline z = a – bi.$
$ \Rightarrow \bar z – 3 + 4i$ $ = a – bi – 3 + 4i$ $ = (a – 3) + (4 – b)i.$
Theo bài ra, ta có: $|z| = |\bar z – 3 + 4i|$ $ \Leftrightarrow |z| = |(a – 3) + (4 – b)i|.$
$ \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + {b^2}} = \sqrt {{{(a – 3)}^2} + {{(4 – b)}^2}} $ $ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = {(a – 3)^2} + {(4 – b)^2}.$
$ \Leftrightarrow 6a + 8b = 25.$
Vậy quỹ tích các điểm cần tìm nằm trên đường thẳng có phương trình: $6x + 8y = 25$ trong mặt phẳng phức $(Oxy).$

LUYỆN TẬP

Bài 10. Chứng minh rằng với mọi số phức $z \ne 1$, ta có:
$1 + z + {z^2} + \ldots + {z^9}$ $ = \frac{{{z^{10}} – 1}}{{z – 1}}.$

Lời giải:
Vì $z \ne 1$ nên theo tính chất của số phức ta có đẳng thức cần chứng minh tương đương với: $\left( {1 + z + {z^2} + \ldots + {z^9}} \right)(z – 1)$ $ = {z^{10}} – 1.$
$ \Leftrightarrow z + {z^2} + {z^3} + \ldots + {z^{10}}$ $ – 1 – z – {z^2} – {z^3} – \ldots – {z^9}$ $ = {z^{10}} – 1.$
$ \Leftrightarrow {z^{10}} – 1 = {z^{10}} – 1$ (đúng).
Vậy ta có điều cần chứng minh.

Bài 11. Hỏi mỗi số sau đây là số thực hay số ảo ($z$ là số phức tùy ý cho trước sao cho biểu thức xác định)?
${z^2} + {(\bar z)^2}$; $\frac{{z – \bar z}}{{{z^3} + {{(\bar z)}^3}}}$; $\frac{{{z^2} – {{(\overline z )}^2}}}{{1 + z.\bar z}}.$

Lời giải:
Giả sử $z = a + bi$ $ \Rightarrow \bar z = a – bi.$
Ta có: ${z^2} + {(\bar z)^2}$ $ = {(a + bi)^2} + {(a – bi)^2}.$
$ = {a^2} + 2abi – {b^2}$ $ + {a^2} – 2abi + {b^2}$ $ = 2{a^2}.$
Vậy ${z^2} + {(\bar z)^2}$ là một số thực.
$\frac{{z – \overline z }}{{{z^3} + {{\left( {\overline z } \right)}^3}}}$ $ = \frac{{a + bi – a + bi}}{{{{(a + bi)}^3} + {{(a – bi)}^3}}}$ $ = \frac{{2bi}}{{2{a^3} – 6a{b^2}}}.$
Vậy $\frac{{z – \overline z }}{{{z^3} + {{(\overline z )}^3}}}$ là một số ảo.
$\frac{{{z^2} – {{(\overline z )}^2}}}{{1 + z.\overline z }}$ $ = \frac{{{{(a + bi)}^2} – {{(a – bi)}^2}}}{{1 + (a + bi)(a – bi)}}$ $ = \frac{{4abi}}{{1 + {a^2} + {b^2}}}.$
Vậy $\frac{{{z^2} – {{(\overline z )}^2}}}{{1 + z.\overline z }}$ là một số ảo.

Bài 12. Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức $z$ thỏa mãn từng điều kiện sau:
a) ${z^2}$ là số thực âm.
b) ${z^2}$ là số ảo.
c) ${z^2} = {(\bar z)^2}.$
d) $\frac{1}{{z – i}}$ là số ảo.

Lời giải:
Giả sử $z = a + bi.$
a) Ta có ${z^2} = {(a + bi)^2}$ $ = \left( {{a^2} – {b^2}} \right) + 2abi.$
Vì ${z^2}$ là số thực âm nên $a = 0$, $b \ne 0.$ Vậy các điểm cần tìm là trục ảo trừ đi điểm gốc $O(0;0).$
b) ${z^2} = \left( {{a^2} – {b^2}} \right) + 2abi$ là số ảo khi ${a^2} – {b^2} = 0$ $ \Leftrightarrow a = \pm b.$
Vậy tập hợp các điểm là hai đường phân giác của góc tạo bởi trục thực và trục ảo.
c) ${z^2} = {(\overline z )^2}$ $ \Leftrightarrow {(a + bi)^2} = {(a – bi)^2}$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a + bi = a – bi}\\
{a + bi = – a + bi}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{2bi = 0}\\
{2a = 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{b = 0}\\
{a = 0}
\end{array}} \right..$
Vậy tập hợp các điểm cần tìm là hợp của trục thực và trục ảo.
d) $\frac{1}{{z – i}} = \frac{1}{{a + (b – 1)i}}$ $ = \frac{{a – (b – 1)i}}{{{a^2} + {{(b – 1)}^2}}}$ $ = \frac{a}{{{a^2} + {{(b – 1)}^2}}}$ $ – \frac{{(b – 1)}}{{{a^2} + {{(b – 1)}^2}}}i.$
Theo bài ra: $\frac{1}{{z – i}}$ là số ảo nên: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a = 0}\\
{b \ne 1}
\end{array}} \right..$
Vậy tập hợp các điểm là trục ảo bỏ điểm $I(0;1)$ biểu diễn số $i.$

Bài 13. Giải phương trình sau (với ẩn $z$).
a) $iz + 2 – i = 0.$
b) $(2 + 3i)z = z – 1.$
c) $(2 – i)\bar z – 4 = 0.$
d) $(iz – 1)(z + 3i)(\bar z – 2 + 3i) = 0.$
e) ${z^2} + 4 = 0.$

Lời giải:
a) $iz + 2 – i = 0$ $ \Leftrightarrow z = \frac{{i – 2}}{i}$ $ = \frac{{(i – 2)i}}{{{i^2}}} = \frac{{{i^2} – 2i}}{{{i^2}}}$ $ = 1 + 2i.$
b) $(2 + 3i)z = z – 1$ $ \Leftrightarrow (1 + 3i)z = – 1.$
$ \Leftrightarrow z = \frac{{ – 1}}{{1 + 3i}}$ $ = \frac{{ – 1(1 – 3i)}}{{(1 + 3i)(1 – 3i)}} = \frac{{ – 1 + 3i}}{{10}}$ $ = \frac{{ – 1}}{{10}} + \frac{3}{{10}}i.$
c) $(2 – i)\overline z – 4 = 0$ $ \Leftrightarrow \overline z = \frac{4}{{2 – i}}$ $ = \frac{{4(2 + i)}}{{(2 – i)(2 + i)}}$ $ = \frac{{8 + 4i}}{5}.$
$ \Leftrightarrow \bar z = \frac{8}{5} + \frac{4}{5}i$ $ \Rightarrow z = \frac{8}{5} – \frac{4}{5}i.$
d) $(iz – 1)(z + 3i)(\overline z – 2 + 3i) = 0.$
$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{iz – 1 = 0}\\
{z + 3i = 0}\\
{\overline z – 2 + 3i = 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{iz = 1}\\
{z = – 3i}\\
{\overline z = 2 – 3i}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{z = – i}\\
{z = – 3i}\\
{z = 2 + 3i}
\end{array}} \right..$
e) ${z^2} + 4 = 0$ $ \Leftrightarrow {z^2} = – 4$ $ \Leftrightarrow {z^2} = 4{i^2}$ $ \Leftrightarrow z = \pm 2i.$

Bài 14.
a) Cho số phức $z = x + yi$ $(x;y \in R).$ Khi $z \ne i$, hãy tìm phần thực và phần ảo của số phức $\frac{{z + i}}{{z – i}}.$
b) Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức $z$ thỏa mãn điều kiện: $\frac{{z + i}}{{z – i}}$ là số thực dương.

Lời giải:
a) $\frac{{z + i}}{{z – i}}$ $ = \frac{{x + (y + 1)i}}{{x + (y – 1)i}}$ $ = \frac{{[x + (y + 1)i][x – (y – 1)i]}}{{[x + (y – 1)i][x – (y – 1)i]}}.$
$ = \frac{{{x^2} + {y^2} – 1 + 2xi}}{{{x^2} + {{(y – 1)}^2}}}$ $ = \frac{{{x^2} + {y^2} – 1}}{{{x^2} + {{(y – 1)}^2}}}$ $ + \frac{{2xi}}{{{x^2} + {{(y – 1)}^2}}}.$
Vậy phần thực là $\frac{{{x^2} + {y^2} – 1}}{{{x^2} + {{(y – 1)}^2}}}$ và phần ảo là $\frac{{2x}}{{{x^2} + {{(y – 1)}^2}}}.$
b) Để số $\frac{{z + i}}{{z – i}}$ là số thực dương thì:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{{2x}}{{{x^2} + {{(y – 1)}^2}}} = 0}\\
{\frac{{{x^2} + {y^2} – 1}}{{{x^2} + {{(y – 1)}^2}}} > 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0}\\
{{y^2} – 1 > 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0}\\
{{y^2} > 1}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0}\\
{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{y > 1}\\
{y < – 1}
\end{array}} \right.}
\end{array}} \right..$
Vậy quỹ tích cần tìm là trục ảo bỏ đi đoạn $IJ$, trong đó $I(0;1)$, $J(0; – 1).$

Bài 15.
a) Trong mặt phẳng phức, cho ba điểm $A$, $B$, $C$ không thẳng hàng theo thứ tự biểu diễn các số phức ${z_1}$, ${z_2}$, ${z_3}.$ Hỏi trọng tâm của tam giác $ABC$ biểu diễn số phức nào?
b) Xét ba điểm $A$, $B$, $C$ của mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn ba số phức phân biệt ${z_1}$, ${z_2}$, ${z_3}$ thỏa mãn $|{z_1}| = |{z_2}| = \left| {{z_3}} \right|.$ Chứng minh rằng $A$, $B$, $C$ là ba đỉnh của một tam giác đều khi và chỉ khi ${z_1} + {z_2} + {z_3} = 0.$

Lời giải:
Giả sử:
${{z_1} = {a_1} + {b_1}i}$ ${ \Rightarrow A\left( {{a_1};{b_1}} \right).}$
${{z_2} = {a_2} + {b_2}i}$ ${ \Rightarrow B\left( {{a_2};{b_2}} \right).}$
${{z_3} = {a_3} + {b_3}i}$ ${ \Rightarrow C\left( {{a_3};{b_3}} \right).}$
a) Suy ra trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ là $G = \left( {\frac{{{a_1} + {a_2} + {a_3}}}{3};\frac{{{b_1} + {b_2} + {b_3}}}{3}} \right)$ là điểm biểu diễn số phức $z = \frac{{{a_1} + {a_2} + {a_3}}}{3} + \frac{{{b_1} + {b_2} + {b_3}}}{3}i.$
b) Vì $\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = \left| {{z_3}} \right|$ $ \Leftrightarrow \sqrt {a_1^2 + b_1^2} $ $ = \sqrt {a_2^2 + b_2^2} $ $ = \sqrt {a_3^2 + b_3^2} .$
$ \Leftrightarrow OA = OB = OC$ (với $O$ là gốc tọa độ).
Vậy $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC.$ Để $\Delta ABC$ là tam giác đều thì $O$ cũng là trọng tâm của $\Delta ABC.$
Theo câu a trọng tâm tam giác $ABC$ là $G\left( {\frac{{{a_1} + {a_2} + {a_3}}}{3};\frac{{{b_1} + {b_2} + {b_3}}}{3}} \right).$
Để $O \equiv G$ thì $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{a_1} + {a_2} + {a_3} = 0}\\
{{b_1} + {b_2} + {b_3} = 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow {z_1} + {z_2} + {z_3} = 0.$

Bài 16. Đố vui: Trong mặt phẳng phức cho các điểm: $O$ (gốc tọa độ), $A$ biểu diễn số $1$, $B$ biểu diễn số phức $z$ không thực, $A’$ biểu diễn số phức $z’ \ne 0$ và $B’$ biểu diễn số phức $zz’.$ Hai tam giác $OAB$ và $OA’B’$ có phải là hai tam giác đồng dạng không?

Lời giải:
Gọi $z = a + bi$ $(ab \ne 0)$, $z’ = a’ + b’i$ $\left( {a’b’ \ne 0} \right).$
Suy ra $zz’$ $ = \left( {aa’ – bb’} \right) + \left( {a’b + b’a} \right)i.$
Ta có: $OA = 1$, $OA’ = \left| {z’} \right| = \sqrt {a{‘^2} + b{‘^2}} $, $OB = |z| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} .$
$OB’ = \left| {zz’} \right| = |z|.\left| {z’} \right|$ $ = \sqrt {\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {a{‘^2} + b{‘^2}} \right)} .$
Từ đó ta có: $\frac{{OA’}}{{OA}} = \frac{{OB’}}{{OB}}$ $ = \sqrt {a{‘^2} + b{‘^2}} = \left| {z’} \right|.$
Mặt khác $AB = \sqrt {{{(a – 1)}^2} + {b^2}} $ $ = \sqrt {{a^2} + {b^2} – 2a + 1} .$
$A’B’$ $ = \sqrt {{{\left( {aa’ – bb’ – a’} \right)}^2} + {{\left( {a’b + b’a – b’} \right)}^2}} $ $ = \sqrt {\left[ {{{\left( {a’} \right)}^2} + {{\left( {b’} \right)}^2}} \right]\left( {{a^2} + {b^2} – 2a + 1} \right)} .$
Nên $\frac{{A’B’}}{{AB}} = \sqrt {a{‘^2} + b{‘^2}} = \left| {z’} \right|.$
Vậy ta có $\frac{{OA’}}{{OA}} = \frac{{OB’}}{{OB}} = \frac{{A’B’}}{{AB}}$ $ = \left| {z’} \right| \ne 0$ nên tam giác $OAB$ đồng dạng với $OA’B’.$



Ghi chú: Quý thầy, cô hoặc bạn đọc muốn đóng góp tài liệu cho TOANMATH.com, vui lòng gửi về:
Fanpage: TOÁN MATH
Email: toanmath.com@gmail.com