Bài viết hướng dẫn giải các bài tập trong phần câu hỏi và bài tập và phần luyện tập của sách giáo khoa Hình học 12 nâng cao: Phương trình đường thẳng.
CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP
Bài 24. Viết phương trình (tham số và chính tắc) của các đường thẳng sau đây:
a) Các trục tọa độ $Ox$, $Oy$ và $Oz.$
b) Các đường thẳng đi qua điểm ${M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ (với ${x_0}{y_0}{z_0} \ne 0$) và song song với mỗi trục tọa độ.
c) Đường thẳng đi qua $M(2;0; – 1)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow u ( – 1;3;5).$
d) Đường thẳng đi qua $N(2;1;2)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow u (0;0; – 3).$
e) Đường thẳng đi qua $N(3;2;1)$ và vuông góc với mặt phẳng: $2x – 5y + 4 = 0.$
g) Đường thẳng đi qua hai điểm $P(2;3; – 1)$ và $Q(1;2;4).$
Lời giải:
a) Trục $Ox$ là đường thẳng đi qua $O(0;0;0)$ và nhận $\overrightarrow i (1;0;0)$ làm vectơ chỉ phương nên có phương trình tham số là $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = t}\\
{y = 0}\\
{z = 0}
\end{array}} \right..$
Tương tự, trục $Oy$ có phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0}\\
{y = t}\\
{z = 0}
\end{array}} \right..$
Trục $Oz$ có phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0}\\
{y = 0}\\
{z = t}
\end{array}} \right..$
b) Đường thẳng đi qua ${M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ và song song với trục $Ox$ sẽ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow i (1;0;0)$ nên có phương trình tham số là: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = {x_0} + t}\\
{y = {y_0}}\\
{z = {z_0}}
\end{array}} \right..$
Tương tự ta có phương trình của đường thẳng đi qua ${M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ và song song với $Oy$ là: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = {x_0}}\\
{y = {y_0} + t}\\
{z = {z_0}}
\end{array}} \right..$
Phương trình của đường thẳng đi qua ${M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ và song song với $Oz$ là $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = {x_0}}\\
{y = {y_0}}\\
{z = {z_0} + t}
\end{array}} \right..$
c) Đường thẳng đi qua $M(2;0; – 1)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow u ( – 1;3;5)$ có phương trình tham số là $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2 – t}\\
{y = 3t}\\
{z = – 1 + 5t}
\end{array}} \right.$ có phương trình chính tắc là $\frac{{x – 2}}{{ – 1}} = \frac{y}{3} = \frac{{z + 1}}{5}.$
d) Đường thẳng đi qua $N( – 2;1;2)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow u (0;0; – 3)$ có phương trình tham số là $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 2}\\
{y = 1}\\
{z = 2 – 3t}
\end{array}} \right..$
Đường thẳng này không có phương trình chính tắc.
e) Đường thẳng đi qua $N(3;2;1)$ và vuông góc với mặt phẳng: $2x – 5y + 4 = 0$ nên nó nhận vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này là $\overrightarrow n (2; – 5;0)$ làm vectơ chỉ phương, nên nó có phương trình tham số là $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 3 + 2t}\\
{y = 2 – 5t}\\
{z = 1}
\end{array}} \right..$
Đường thẳng này không có phương trình chính tắc.
g) Đường thẳng đi qua $P(2;3; – 1)$ và $Q(1;2;4)$ sẽ nhận $\overrightarrow {PQ} ( – 1; – 1;5)$ làm vectơ chỉ phương, nên có phương trình tham số là $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2 – t}\\
{y = 3 – t}\\
{z = – 1 + 5t}
\end{array}} \right.$ và có phương trình chính tắc là $\frac{{x – 2}}{{ – 1}} = \frac{{y – 3}}{{ – 1}} = \frac{{z + 1}}{5}.$
Bài 25. Viết phương trình tham số, chính tắc (nếu có) của các đường thẳng sau đây:
a) Đường thẳng đi qua điểm $(4;3;1)$ và song song với đường thẳng có phương trình: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1 + 2t}\\
{y = – 3t}\\
{z = 3 + 2t}
\end{array}} \right..$
b) Đường thẳng đi qua điểm $( – 2;3;1)$ và song song với đường thẳng có phương trình: $\frac{{x – 2}}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z + 2}}{3}.$
Lời giải:
a) Vì hai đường thẳng song song có cùng vectơ chỉ phương nên đường thẳng cần tìm đi qua điểm $(4;3;1)$ và nhận vectơ chỉ phương của đường thẳng đã cho là $\overrightarrow u = (2; – 3;2)$ làm vectơ chỉ phương.
Vậy đường thẳng đó có phương trình tham số là $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 4 + 2t}\\
{y = 3 – 3t}\\
{z = 1 + 2t}
\end{array}} \right.$ và có phương trình chính tắc là: $\frac{{x – 4}}{2} = \frac{{y – 3}}{{ – 3}} = \frac{{z – 1}}{2}.$
b) Tương tự câu a, ta có đường thẳng đi qua $( – 2;3;1)$ và song song với đường thẳng: $\frac{{x – 2}}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z + 2}}{3}$ có phương trình tham số là $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 2 + 2t}\\
{y = 3 + t}\\
{z = 1 + 3t}
\end{array}} \right.$ và có phương trình chính tắc là: $\frac{{x + 2}}{2} = \frac{{y – 3}}{1} = \frac{{z – 1}}{3}.$
Bài 26. Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng $(d):$ $\frac{{x – 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{3} = \frac{{z – 3}}{1}$ trên mỗi mặt phẳng tọa độ.
Lời giải:
Cách 1.
Gọi $(P)$ là mặt phẳng chứa $d$ và $(P)$ vuông góc với $mp(Oxy).$ Khi đó hình chiếu vuông góc của $d$ lên $mp(Oxy)$ chính là giao tuyến của $(P)$ với $mp(Oxy).$
$mp(P)$ đi qua ${M_0}(1; – 2;3) \in d$ và nhận $\vec n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow k } \right]$ làm vectơ pháp tuyến, với $\overrightarrow u (2;3;1)$ là vectơ chỉ phương của $d$ và $\overrightarrow k = (0;0;1)$ là vectơ pháp tuyến của $mp(Oxy)$, từ đó ta tính được $\vec n = (3; – 2;0).$
Vậy phương trình của $(P)$ là: $3(x – 1) – 2(y + 2) = 0$ $ \Leftrightarrow 3x – 2y – 7 = 0.$
Mà $mp(Oxy)$ có phương trình là: $z = 0$ nên phương trình hình chiếu của $(d)$ lên $mp(Oxy)$ là: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{3x – 2y – 7 = 0}\\
{z = 0}
\end{array}} \right..$
Cách 2. Đường thẳng $d:$ $\frac{{x – 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{3} = \frac{{z – 3}}{1}$ đi qua điểm ${M_0} = (1; – 2;3)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow u = (2;3;1).$ Nếu chiếu vuông góc lên $mp(Oxy)$ thì ta có:
Điểm ${M_0} = (1; – 2;3)$ biến thành điểm ${M_1} = (1; – 2;0).$
Vectơ $\overrightarrow u (2;3;1)$ biến thành vectơ $\overrightarrow {{u_1}} (2;3;0).$
Nên hình chiếu của $d$ lên $mp(Oxy)$ có phương trình là: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1 + 2t}\\
{y = – 2 + 3t}\\
{z = 0}
\end{array}} \right..$
Tương tự, hình chiếu của $d$ lên $mp(Oxz)$ có phương trình là: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1 + 2t}\\
{y = 0}\\
{z = 3 + t}
\end{array}} \right..$
Hình chiếu của $d$ lên $mp(Oyz)$ có phương trình là: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0}\\
{y = – 2 + 3t}\\
{z = 3 + t}
\end{array}} \right..$
Bài 27. Cho đường thẳng $d:$ $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = t}\\
{y = 8 + 4t}\\
{z = 3 + 2t}
\end{array}} \right.$ và mặt phẳng $(P):$ $x + y + z – 7 = 0.$
a) Tìm một vectơ chỉ phương của $d$ và một điểm nằm trên $d.$
b) Viết phương trình mặt phẳng đi qua $d$ và vuông góc với $mp(P).$
c) Viết phương trình hình chiếu vuông góc của $d$ trên $mp(P).$
Lời giải:
a) Đường thẳng $d$ đi qua ${M_0}(0;8;3)$ và có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = (1;4;2).$
b) Mặt phẳng đi qua $d$ và vuông góc với $mp(P)$ là mặt phẳng đi qua ${M_0}(0;8;3) \in d$ và nhận $\overrightarrow n = [\overrightarrow u ,\overrightarrow {{n_1}} ]$ làm vectơ pháp tuyến, trong đó $\overrightarrow u = (1;4;2)$ là chỉ phương của $d$, $\overrightarrow {{n_1}} = (1;1;1)$ là vectơ pháp tuyến của $(P)$ ta tính được $\overrightarrow n = (2;1; – 3)$ nên mặt phẳng cần tìm có phương trình là: $2(x – 0) + (y – 8) – 3(z – 3) = 0$ $ \Leftrightarrow 2x + y – 3z + 1 = 0.$
c) Hình chiếu vuông góc của $d$ lên $mp(P)$ là giao tuyến của $mp(P)$ và $mp(Q)$ chứa $d$ và vuông góc với $mp(P).$ Theo câu b, ta có $mp(Q)$ có phương trình: $2x + y – 3z + 1 = 0.$ Vậy phương trình hình chiếu của $d$ lên $mp(P)$ là:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{2x + y – 3z + 1 = 0}\\
{x + y + z – 7 = 0}
\end{array}} \right.$ hay $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 8 + 4t}\\
{y = 15 – 5t}\\
{z = t}
\end{array}} \right..$
Bài 28. Xác định vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng $d$ và $d’$ cho bởi phương trình:
a) $d:\frac{{x – 1}}{2} = y – 7 = \frac{{z – 3}}{4}$ và $d’:\frac{{x – 3}}{6} = \frac{{y + 1}}{{ – 2}} = \frac{{z + 2}}{1}.$
b) $d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = t}\\
{y = – 3 – 4t}\\
{z = – 3 – 3t}
\end{array}} \right.$ và $d’$ là giao tuyến của hai mặt phẳng: ${(\alpha ):x + y – z = 0}$, ${\left( {\alpha ‘} \right):2x – y + 2z = 0.}$
Lời giải:
a) Đường thẳng $(d)$ đi qua ${M_0}(1;7;3)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow u = (2;1;4)$, đường thẳng $(d’)$ đi qua ${M_0}'(3; – 1; – 2)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {u’} = (6; – 2;1).$
Nên ta tính được $[\overrightarrow u ,\overrightarrow {u’} ].\overrightarrow {{M_0}{M_0}’} = – 108 \ne 0.$
Vậy $d$ và $d’$ chéo nhau.
b) Thay $x$, $y$, $z$ ở phương trình tham số của $d$ vào phương trình $(\alpha )$ ta được: $t – 3 – 4t + 3 + 3t = 0$ $ \Leftrightarrow 0 = 0$ (đúng với mọi $t$).
Vậy $d \subset (\alpha )$ $(1).$
Thay $x$, $y$, $z$ ở phương trình tham số của $d$ vào phương trình $\left( {\alpha ‘} \right)$ ta được:
$2t + 3 + 4t – 6 – 6t = 0$ $ \Leftrightarrow – 3 = 0$ (vô nghiệm).
Vậy $d//\left( {\alpha ‘} \right)$ $(2).$
Từ $(1)$ và $(2)$ ta suy ra: $d // d’.$
Cách khác:
Vì $d’ = (\alpha ) \cap \left( {\alpha ‘} \right)$ nên ta tìm được điểm ${M_0}'(0;0;0) \in d’$ và $\overrightarrow {u’} = (1; – 4; – 3)$ là một vectơ chỉ phương của $d’.$
Đường thẳng $d$ đi qua ${M_0}(0; – 3; – 3)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow u = (1; – 4; – 3)$ nên ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u’} } \right] = \vec 0}\\
{\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {{M_0}{M_0}’} } \right] \ne \vec 0}
\end{array}} \right.$ suy ra $d//d’.$
Bài 29. Viết phương trình đường thẳng đi qua $A(1; – 1;1)$ và cắt cả hai đường thẳng sau đây: $d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1 + 2t}\\
{y = t}\\
{z = 3 – t}
\end{array}} \right.$; $d’:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = t’}\\
{y = – 1 – 2t’}\\
{z = 2 + t’}
\end{array}} \right..$
Lời giải:
Gọi $\Delta $ là đường thẳng cần tìm, ta có $\Delta = (P) \cap (Q)$; trong đó $(P)$ chứa $A$ và $d$ và $(Q)$ chứa $A$ và $d’.$ Đường thẳng $d$ đi qua ${M_0}(1;0;3)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow u = (2;1; – 1)$ nên $mp(P)$ đi qua $A(1; -1; 1)$ và nhận $\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {{M_0}A} } \right] = ( – 3;4; – 2)$ làm vectơ pháp tuyến, suy ra $mp(P)$ có phương trình:
$ – 3x + 4y – 2z + 9 = 0.$
Tương tự $mp(Q)$ có phương trình: $x + y + z – 1 = 0.$
Vậy phương trình của $\Delta $ là: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{ – 3x + 4y – 2z + 9 = 0}\\
{x + y + z – 1 = 0}
\end{array}} \right.$ hay $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1 – 6t}\\
{y = – 1 – t}\\
{z = 1 + 7t}
\end{array}} \right..$
Bài 30. Viết phương trình đường thẳng song song với ${d_1}$ và cắt cả hai đường thẳng ${d_2}$ và ${d_3}$, biết phương trình của ${d_1}$, ${d_2}$ và ${d_3}$ là:
${d_{1:}}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1}\\
{y = – 2 + 4t}\\
{z = 1 – t}
\end{array}} \right.$; ${d_2}:\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{4} = \frac{{z – 2}}{3}$; ${d_3}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 4 + 5t’}\\
{y = – 7 + 9t’}\\
{z = t’}
\end{array}} \right..$
Lời giải:
Gọi $\Delta $ là đường thẳng cần tìm, thì $\Delta = (P) \cap (Q)$, trong đó $(P)$ là mặt phẳng chứa ${d_2}$ và $(P)//{d_1}$, $(Q)$ là mặt phẳng chứa ${d_3}$ và $(Q)//{d_1}.$
${d_1}$, ${d_2}$, ${d_3}$ lần lượt có các vectơ chỉ phương là: $\overrightarrow {{u_1}} = (0;4; – 1)$, $\overrightarrow {{u_2}} = (1;4;3)$, $\overrightarrow {{u_3}} = (5;9;1).$
Ta viết được phương trình $mp(P)$ là: $16x – y – 4z – 10 = 0$, phương trình $mp(Q)$ là: $13x – 5y – 20z + 17 = 0.$
Vậy phương trình của $\Delta $ là $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{16x – y – 4z – 10 = 0}\\
{13x – 5y – 20z + 17 = 0}
\end{array}} \right..$
Hay $\Delta $ có phương trình tham số là $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1}\\
{y = – 2 + 4t}\\
{z = 2 – t}
\end{array}} \right..$
Bài 31. Cho hai đường thẳng: ${d_1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 8 + t}\\
{y = 5 + 2t}\\
{z = 8 – t}
\end{array}} \right.$ và ${d_2}:\frac{{3 – x}}{7} = \frac{{y – 1}}{2} = \frac{{z – 1}}{3}.$
a) Chứng tỏ rằng hai đường thẳng đó chéo nhau.
b) Viết phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ $O$ và song song với ${d_1}$ và ${d_2}.$
c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng ${d_1}$ và ${d_2}.$
d) Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng đó.
Lời giải:
a) Đường thẳng $\left( {{d_1}} \right)$ đi qua ${M_1}(8;5;8)$ và có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {{u_1}} = (1;2; – 1).$
Đường thẳng $\left( {{d_2}} \right)$ đi qua ${M_2}(3;1;1)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_2}} = ( – 7;2;3).$
Ta có $\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = (8;4;16)$, $\overrightarrow {{M_2}{M_1}} = (5;4;7)$ nên $\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{M_2}{M_1}} = 168 \ne 0$, suy ra ${d_1}$ và ${d_2}$ chéo nhau (điều phải chứng minh).
b) Mặt phẳng đi qua $O(0;0;0)$ và song song với ${d_1}$ và ${d_2}$ sẽ nhận vectơ $\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = (8;4;16)$ làm vectơ pháp tuyến, nên phương trình của mặt phẳng đó là: $8(x – 0) + 4(y – 0) + 16(z – 0) = 0$ $ \Leftrightarrow 2x + y + 4z = 0.$
c) Khoảng cách giữa ${d_1}$ và ${d_2}$ là:
$h = \frac{{\left| {[\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} ].\overrightarrow {{M_2}{M_1}} } \right|}}{{\left| {[\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} ]} \right|}}$ $ = \frac{{168}}{{\sqrt {64 + 16 + 256} }} = 2\sqrt {21} $ (dựa theo câu a).
Bài 32. Cho đường thẳng $(d)$ và mặt phẳng $(\alpha )$ có phương trình: $(d):\frac{{x – 2}}{2} = \frac{{y + 1}}{3} = \frac{{z – 1}}{5}$; $(\alpha ):2x + y + z – 8 = 0.$
a) Tìm góc giữa $d$ và $(\alpha ).$
b) Tìm tọa độ giao điểm của $d$ và $(\alpha ).$
c) Viết phương trình hình chiếu vuông góc của $(d)$ trên $(\alpha ).$
Lời giải:
a) Đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = (2;3;5).$
Mặt phẳng $(\alpha )$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = (2;1;1).$
Ta có $\sin (d,(\alpha )) = |\cos (\overrightarrow u ,\overrightarrow n )|$ $ = \frac{{|\overrightarrow u .\overrightarrow n |}}{{|\overrightarrow u |.|\overrightarrow n |}}$ $ = \frac{{4 + 3 + 5}}{{\sqrt {38} .\sqrt 4 }} = \frac{6}{{\sqrt {38} }}.$
b) Tọa độ giao điểm của $d$ và $(\alpha )$ là nghiệm của hệ:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{{x – 2}}{2} = \frac{{y + 1}}{3} = \frac{{z – 1}}{5}}\\
{2x + y + z – 8 = 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{{x – 2}}{2} = \frac{{y + 1}}{3}}\\
{\frac{{y + 1}}{3} = \frac{{z – 1}}{5}}\\
{2x + y + z – 8 = 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{3x = 2y + 8}\\
{3z = 5y + 8}\\
{2x + y + z – 8 = 0}
\end{array}} \right.$ $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \frac{8}{3}}\\
{y = 0}\\
{z = \frac{8}{3}}
\end{array}} \right..$
Vậy $d$ cắt $(\alpha )$ tại $M = \left( {\frac{8}{3};0;\frac{8}{3}} \right).$
c) Hình chiếu vuông góc của $d$ lên $(\alpha )$ là đường thẳng đi qua giao điểm $M\left( {\frac{8}{3};0;\frac{8}{3}} \right)$ của $d$ và $(\alpha )$ và nhận vectơ: $\left[ {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right],\overrightarrow n } \right]$ làm vectơ chỉ phương, trong đó $\overrightarrow u = (2;3;5)$ là vectơ chỉ phương của $(d)$, $\overrightarrow n = (2;1;1)$ là vectơ pháp tuyến của $(\alpha ).$
Ta tính được $[\overrightarrow u ,\overrightarrow n ] = ( – 2;8; – 4)$, $[[\overrightarrow u ,\overrightarrow n ],\overrightarrow n ] = (12; – 6; – 18).$
Vậy đường thẳng cần tìm có phương trình là: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \frac{8}{3} + 12t}\\
{y = – 6t}\\
{z = \frac{8}{3} – 18t}
\end{array}} \right..$
Bài 33. Cho đường thẳng $\Delta $ và $mp(P)$ có phương trình:
$\Delta :\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y – 2}}{2} = \frac{{z – 3}}{2}$; $(P):2x + z – 5 = 0.$
a) Xác định tọa độ giao điểm $A$ của $\Delta $ và $(P).$
b) Viết phương trình đường thẳng đi qua $A$, nằm trong $(P)$ và vuông góc νới $\Delta .$
Lời giải:
a) Tọa độ giao điểm $A$ của $\Delta $ và $(P)$ là nghiệm của hệ phương trình:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y – 2}}{2} = \frac{{z – 3}}{2}}\\
{2x + z – 5 = 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y – 2}}{2}}\\
{\frac{{y – 2}}{2} = \frac{{z – 3}}{2}}\\
{2x + z – 5 = 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{y = 2x}\\
{z = y + 1}\\
{2x + (y + 1) – 5 = 0}
\end{array}} \right..$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{y = 2x}\\
{z = y + 1}\\
{2x + 2x – 4 = 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{y = 2}\\
{z = 3}\\
{x = 1}
\end{array}} \right..$
Vậy $A = (1;2;3).$
b) Đường thẳng đi qua $A(1;2;3)$, nằm trong $(P)$ và vuông góc với $\Delta $ có vectơ chỉ phương là $\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right]$, trong đó: $\overrightarrow u = (1;2;2)$ là vectơ chỉ phương của $\Delta $; $\overrightarrow n = (2;0;1)$ là vectơ pháp tuyến của $(\alpha ).$ Ta tính được $\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right] = (2;3; – 4).$
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là $\frac{{x – 1}}{2} = \frac{{y – 2}}{3} = \frac{{z – 3}}{{ – 4}}.$
Bài 34.
a) Tính khoảng cách từ điểm $M(2;3;1)$ đến đường thẳng $\Delta $ có phương trình: $d:\frac{{x + 2}}{1} = \frac{{y – 1}}{2} = \frac{{z + 1}}{{ – 2}}.$
b) Tính khoảng cách từ điểm $N(2;3; – 1)$ đến đường thẳng $d$ đi qua điểm ${M_0}\left( { – \frac{1}{2};0; – \frac{3}{4}} \right)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow u = ( – 4;2; – 1).$
Lời giải:
a) Đường thẳng $(d):\frac{{x + 2}}{1} = \frac{{y – 1}}{2} = \frac{{z + 1}}{{ – 2}}$ đi qua ${M_0}( – 2;1; – 1)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow u = (1;2; – 2).$
Khoảng cách từ $M(2;3;1)$ đến đường thẳng $(d)$ là:
$h = d(M,d) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {M{M_0}} ,\overrightarrow u } \right]} \right|}}{{|\overrightarrow u |}}.$
Với $\overrightarrow {M{M_0}} = ( – 4; – 2; – 2)$ nên $\left[ {\overrightarrow {M{M_0}} ,\overrightarrow u } \right] = (8; – 10; – 6).$
Suy ra $d(M,d) = \frac{{\sqrt {64 + 100 + 36} }}{{\sqrt {1 + 4 + 4} }}$ $ = \frac{{\sqrt {200} }}{{\sqrt 9 }} = \frac{{10\sqrt 2 }}{3}.$
b) Ta có $\overrightarrow {N{M_0}} = \left( { – \frac{5}{2}; – 3;\frac{1}{4}} \right)$ $ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {N{M_0}} ,\overrightarrow u } \right] = \left( {\frac{5}{2}; – \frac{7}{2}; – 17} \right).$
Khoảng cách từ $N$ đến đường thẳng $d$ đi qua ${M_0}$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow u $ là $d = d(N,d)$ $ = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {N{M_0}} ,\overrightarrow u } \right]} \right|}}{{|\overrightarrow u |}}$ $ = \frac{{\sqrt {\frac{{25}}{4} + \frac{{49}}{4} + 289} }}{{\sqrt {16 + 4 + 1} }}$ $ = \frac{{\sqrt {1230} }}{{2\sqrt {21} }} = \frac{{\sqrt {2870} }}{{14}}.$
Bài 35. Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng sau:
a) $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1 + t}\\
{y = – 1 – t}\\
{z = 1}
\end{array}} \right.$ và $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2 – 3t’}\\
{y = – 2 + 3t’}\\
{z = 3}
\end{array}} \right..$
b) $\frac{x}{{ – 1}} = \frac{{y – 4}}{1} = \frac{{z + 1}}{{ – 2}}$ và $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – t’}\\
{y = 2 + 3t’}\\
{z = – 4 + 3t’}
\end{array}.} \right.$
Lời giải:
a) Đường thẳng $d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1 + t}\\
{y = – 1 – t}\\
{z = 1}
\end{array}} \right.$ đi qua $M(1; – 1;1)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow n = (1; – 1;0).$
Đường thẳng $d’:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2 – 3t’}\\
{y = – 2 + 3t’}\\
{z = 3}
\end{array}} \right.$ đi qua $M'(2; – 2;3)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {n’} = ( – 3;3;0)$ nên ta thấy $d//d’.$
Vậy khoảng cách giữa $d$ và $d’$ là khoảng cách từ $M(1; – 1;1) \in d$ đến đường thẳng $d’$ và bằng: $\frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {MM’} ,\overrightarrow {n’} } \right]} \right|}}{{\overrightarrow {n’} }}.$
Ta có $\overrightarrow {MM’} = (1; – 1;2)$, suy ra $[\overrightarrow {MM’} ,\overrightarrow {n’} ] = ( – 6; – 6;0).$
Vậy khoảng cách cần tìm là: $\frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {MM’} ,\overrightarrow {n’} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {n’} } \right|}}$ $ = \frac{{\sqrt {36 + 36} }}{{\sqrt {9 + 9} }} = 2.$
b) Đường thẳng $d:\frac{x}{{ – 1}} = \frac{{y – 4}}{1} = \frac{{z + 1}}{{ – 2}}$ đi qua $M(0;4; – 1)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow u ( – 1;1; – 2).$
Đường thẳng $d’:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – t’}\\
{y = 2 + 3t’}\\
{z = – 4 + 3t’}
\end{array}} \right.$ đi qua $M'(0;2; – 4)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {u’} = ( – 1;3;3).$
Khoảng cách giữa $(d)$ và $(d’)$ là: $h = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u’} } \right].\overrightarrow {MM’} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u’} } \right]} \right|}}$ $ = \frac{{2\sqrt {110} }}{{55}}.$
