Bài viết hướng dẫn giải các bài tập trong phần câu hỏi và bài tập và phần luyện tập của sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao: Lũy thừa với số mũ hữu tỉ.
CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP
Bài 1. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?
a) Với số thực $a$ và các số nguyên $m$, $n$, ta có: ${a^m}.{a^n} = {a^{m.n}}$, $\frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{m:n}}.$
b) Với hai số thực $a$, $b$ cùng khác $0$ và số nguyên $n$, ta có ${(ab)^n} = {a^n}{b^n}$, ${\left( {\frac{a}{b}} \right)^n} = \frac{{{a^n}}}{{{b^n}}}.$
c) Với hai số thực $a$, $b$ thỏa mãn $0 < a < b$ và số nguyên $n$, ta có ${a^n} < {b^n}.$
d) Với số thực $a \ne 0$ và hai số nguyên $m$, $n$, ta có: Nếu $m > n$ thì ${a^m} > {a^n}.$
Lời giải:
a) Sai. ${a^m}.{a^n} = {a^{m + n}}$, $\frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{m – n}}.$
b) Đúng.
c) Sai. Chẳng hạn ${a^0} = {b^0}.$
d) Sai. Chẳng hạn ${( – 1)^3} < {( – 1)^2}.$
Bài 2. Xét khẳng định: “Với số thực $a$ và hai số hữu tỉ $r$, $s$ ta có ${\left( {{a^r}} \right)^s} = {a^{r.s}}.$ Với điều kiện nào trong các điều kiện sau thì khẳng định trên là đúng?
(A) $a$ bất kỳ.
(B) $a \ne 0.$
(C) $a > 0.$
(D) $a < 0.$
Lời giải:
Điều kiện (C). Vì theo tính chất của lũy thừa với số mũ hữu tỉ.
Bài 3. Viết các số sau dưới dạng số nguyên hay phân số tối giản:
${7^{ – 1}}.14.$
$\frac{4}{{{3^{ – 2}}}}.$
${\left( {\frac{4}{5}} \right)^{ – 2}}.$
$\frac{{{{( – 18)}^2}.5}}{{{{15}^2}.3}}.$
Lời giải:
${7^{ – 1}}.14 = \frac{1}{7}.14 = \frac{{14}}{7} = 2.$
$\frac{4}{{{3^{ – 2}}}} = {4.3^2} = 36.$
${\left( {\frac{4}{5}} \right)^{ – 2}} = {\left( {\frac{5}{4}} \right)^2} = \frac{{25}}{{16}}.$
$\frac{{{{( – 18)}^2}.5}}{{{{15}^2}.3}} = \frac{{{{18}^2}.5}}{{{{15}^2}.3}} = \frac{{12}}{5}.$
Bài 4. Thực hiện phép tính:
a) ${81^{ – 0,75}} + {\left( {\frac{1}{{125}}} \right)^{ – \frac{1}{3}}} – {\left( {\frac{1}{{32}}} \right)^{ – \frac{3}{5}}}.$
b) ${(0,001)^{ – \frac{1}{3}}} – {( – 2)^2}{.64^{\frac{2}{3}}} – {8^{ – 1\frac{1}{3}}} + {\left( {{9^0}} \right)^2}.$
c) ${27^{\frac{2}{3}}} + {\left( {\frac{1}{{16}}} \right)^{ – 0,75}} – {25^{0,5}}.$
d) ${( – 0,5)^{ – 4}} – {625^{0,25}} – {\left( {2\frac{1}{4}} \right)^{ – 1\frac{1}{2}}} + 19{( – 3)^{ – 3}}.$
Lời giải:
a) ${81^{ – 0,75}} + {\left( {\frac{1}{{125}}} \right)^{ – \frac{1}{3}}} – {\left( {\frac{1}{{32}}} \right)^{ – \frac{3}{5}}}$ $ = {81^{ – \frac{3}{4}}} + {(125)^{\frac{1}{3}}} – {(32)^{\frac{3}{5}}}$ $ = \frac{1}{{{{81}^{\frac{3}{4}}}}} + \sqrt[3]{{125}} – \sqrt[5]{{{{32}^3}}}.$
$ = \frac{1}{{{{(\sqrt[4]{{81}})}^3}}} + \sqrt[3]{{125}} – {(\sqrt[5]{{32}})^3}$ $ = \frac{1}{{{3^3}}} + 5 – {2^3}$ $ = \frac{1}{{27}} – 3$ $ = – \frac{{80}}{{27}}.$
b) ${(0,001)^{ – \frac{1}{3}}} – {( – 2)^2}{.64^{\frac{2}{3}}} – {8^{ – 1\frac{1}{3}}} + {\left( {{9^0}} \right)^2}$ $ = \frac{1}{{\sqrt[3]{{0,001}}}} – 4.{(\sqrt[3]{{64}})^2} – \frac{1}{{{{(\sqrt[3]{8})}^4}}} + 1.$
$ = \frac{1}{{0,1}} – 4.16 – \frac{1}{{16}} + 1$ $ = \frac{{116}}{{16}}.$
c) ${27^{\frac{2}{3}}} + {\left( {\frac{1}{{16}}} \right)^{ – 0,75}} – {25^{0,5}}$ $ = {(\sqrt[3]{{27}})^2} + {16^{\frac{3}{4}}} – {25^{\frac{1}{2}}}$ $ = {3^2} + {2^3} – 5$ $ = 12.$
d) ${( – 0,5)^{ – 4}} – {625^{0,25}} – {\left( {2\frac{1}{4}} \right)^{ – 1\frac{1}{2}}} + 19{( – 3)^{ – 3}}$ $ = \frac{1}{{{{( – 0,5)}^4}}} – \sqrt[4]{{625}} – {\left( {\frac{4}{9}} \right)^{\frac{3}{2}}} + 19.\frac{1}{{ – 27}}.$
$ = 16 – 5 – \frac{8}{{27}} – \frac{{19}}{{27}}$ $ = 10.$
Bài 5. Đơn giản biểu thức:
a) $\frac{{{{(\sqrt[4]{{{a^3}{b^2}}})}^4}}}{{\sqrt[3]{{\sqrt {{a^{12}}{b^6}} }}}}.$
b) $\frac{{{a^{\frac{1}{3}}} – {a^{\frac{7}{3}}}}}{{{a^{\frac{1}{3}}} – {a^{\frac{4}{3}}}}} – \frac{{{a^{ – \frac{1}{3}}} – {a^{\frac{5}{3}}}}}{{{a^{\frac{2}{3}}} + {a^{ – \frac{1}{3}}}}}.$
Lời giải:
a) $\frac{{{{(\sqrt[4]{{{a^3}{b^2}}})}^4}}}{{\sqrt[3]{{\sqrt {{a^{12}}{b^6}} }}}} = \frac{{{a^3}{b^2}}}{{\sqrt[3]{{{a^6}{b^3}}}}}$ $ = \frac{{{a^3}{b^2}}}{{{a^2}b}} = ab.$
b) $\frac{{\sqrt[3]{a} – \sqrt[3]{{{a^7}}}}}{{\sqrt[3]{a} – \sqrt[3]{{{a^4}}}}} – \frac{{\frac{1}{{\sqrt[3]{a}}} – \sqrt[3]{{{a^5}}}}}{{\sqrt[3]{{{a^2}}} + \frac{1}{{\sqrt[3]{a}}}}}$ $ = \frac{{\sqrt[3]{a} – {a^2}.\sqrt[3]{a}}}{{\sqrt[3]{a} – a\sqrt[3]{a}}} – \frac{{1 – \sqrt[3]{{{a^6}}}}}{{\sqrt[3]{{{a^3}}} + 1}}$ $ = \frac{{\left( {1 – {a^2}} \right)\sqrt[3]{a}}}{{(1 – a)\sqrt[3]{a}}} – \frac{{1 – {a^2}}}{{a + 1}}.$
$ = (1 + a) – (1 – a) = 2a.$
Bài 6. So sánh các số:
a) $\sqrt 2 $ và $\sqrt[3]{3}.$
b) $\sqrt 3 + \sqrt[3]{{30}}$ và $\sqrt[3]{{63}}.$
c) $\sqrt[3]{7} + \sqrt {15} $ và $\sqrt {10} + \sqrt[3]{{28}}.$
Lời giải:
a) Giả sử $\sqrt 2 < \sqrt[3]{3}$ $ \Leftrightarrow {(\sqrt 2 )^3} < 3$ $ \Leftrightarrow 2\sqrt 2 < 3$ $ \Leftrightarrow 8 < 9$ đúng.
Vậy $\sqrt 2 < \sqrt[3]{3}.$
b) Giả sử $\sqrt 3 + \sqrt[3]{{30}} < \sqrt[3]{{63}}$ $ \Leftrightarrow 3\sqrt 3 + 9\sqrt[3]{{30}} + 3\sqrt 3 \sqrt[3]{{{{30}^2}}} < 63 – 30.$
$ \Leftrightarrow 3\sqrt 3 + 9\sqrt[3]{{30}} + 3\sqrt 3 \sqrt[3]{{{{30}^2}}} < 33$ $(*).$
Ta có: $3\sqrt[3]{3} > 3.$
$9\sqrt[3]{{30}} > 9\sqrt[3]{{27}} = 27.$
$3\sqrt 3 \sqrt[3]{{{{30}^2}}} > 3\sqrt[3]{{27.27}} = 27$ $ \Rightarrow \sqrt[3]{3} + 9\sqrt[3]{{30}} + 3\sqrt 3 \sqrt[3]{{{{30}^2}}} > 57 > 33.$
Vậy $(*)$ sai $ \Rightarrow \sqrt 3 + \sqrt[3]{{30}} > \sqrt[3]{{63}}.$
c) Giả sử $\sqrt[3]{7} + \sqrt {15} > \sqrt {10} + \sqrt[3]{{28}}$ $ \Leftrightarrow \sqrt {15} – \sqrt {10} > \sqrt[3]{{28}} – \sqrt[3]{7}.$
$ \Leftrightarrow 5 – 2\sqrt {150} > \sqrt[3]{{{{28}^2}}} – 2\sqrt[3]{{28.7}} + \sqrt[3]{{{7^2}}}.$
$ \Leftrightarrow 5 + 2\sqrt[3]{{28.7}} > \sqrt[3]{{{{28}^2}}} + 2\sqrt {155} + \sqrt[3]{{{7^2}}}$ $(*).$
Do:
$2\sqrt {155} > 2\sqrt {125} $ $ = 2.5 = 10 > 5.$
$\sqrt[3]{{{{28}^2}}} = \sqrt[3]{{{4^2}{{.7}^2}{{.4}^2}{{.7}^2}}}$ $ = 2\sqrt[3]{{{{2.7}^2}.28}} > 2\sqrt[3]{{28.7}}.$
Vậy $\sqrt[3]{{{{28}^2}}} + 2\sqrt {155} + \sqrt[3]{{{7^2}}} > 5 + 2\sqrt[3]{{28.7}}$ $ \Rightarrow (*)$ sai. Vậy $\sqrt[3]{7} + \sqrt {15} < \sqrt {10} + \sqrt[3]{{28}}.$
Bài 7. Chứng minh $\sqrt[3]{{7 + 5\sqrt 2 }} + \sqrt[3]{{7 – 5\sqrt 2 }} = 2.$
Lời giải:
Ta có:
$ \Leftrightarrow 7 + 5\sqrt 2 $ $ + 3\sqrt[3]{{{{(7 + 5\sqrt 2 )}^2}}}\sqrt[3]{{7 – 5\sqrt 2 }}$ $ + 3\sqrt[3]{{7 + 5\sqrt 2 }}\sqrt[3]{{{{(7 – 5\sqrt 2 )}^2}}}$ $ + 7 – 5\sqrt 2 = 8.$
$ \Leftrightarrow 14 + 3\sqrt[3]{{( – 1)(7 + 5\sqrt 2 )}}$ $ + 3\sqrt[3]{{ – 1(7 – 5\sqrt 2 )}} = 8.$
$ \Leftrightarrow 6 – 3\sqrt[3]{{7 + 5\sqrt 2 }} – 3\sqrt[3]{{7 – 5\sqrt 2 }} = 0$ $ \Leftrightarrow 6 – 3(\sqrt[3]{{7 + 5\sqrt 2 }} + \sqrt[3]{{7 – 5\sqrt 2 }}) = 0.$
$ \Leftrightarrow 6 – 3.2 = 0$ (điều phải chứng minh).
LUYỆN TẬP
Bài 8. Đơn giản biểu thức:
a) $M = \frac{{\sqrt a – \sqrt b }}{{\sqrt[4]{a} – \sqrt[4]{b}}} – \frac{{\sqrt a + \sqrt[4]{{ab}}}}{{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}}}.$
b) $N = \frac{{a – b}}{{\sqrt[3]{a} – \sqrt[3]{b}}} – \frac{{a + b}}{{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}}.$
c) $E = \left[ {\frac{{a + b}}{{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}} – \sqrt[3]{{ab}}} \right]:{(\sqrt[3]{a} – \sqrt[3]{b})^2}.$
d) $F = \frac{{a – 1}}{{{a^{\frac{3}{4}}} + {a^{\frac{1}{2}}}}} \cdot \frac{{\sqrt a + \sqrt[4]{a}}}{{\sqrt a + 1}}.{a^{\frac{1}{4}}} + 1.$
Lời giải:
a) $M = \frac{{(\sqrt[4]{a} – \sqrt[4]{b})(\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b})}}{{\sqrt[4]{a} – \sqrt[4]{b}}}$ $ – \frac{{\sqrt[4]{a}(\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b})}}{{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}}}$ $ = \sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b} – \sqrt[4]{a}$ $ = \sqrt[4]{b}.$
b) $N = \frac{{(\sqrt[3]{a} – \sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{{{a^2}}} + \sqrt[3]{{ab}} + \sqrt[3]{{{b^2}}})}}{{\sqrt[3]{a} – \sqrt[3]{b}}}$ $ – \frac{{(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{{{a^2}}} – \sqrt[3]{{ab}} + \sqrt[3]{{{b^2}}})}}{{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}}.$
$ = \sqrt[3]{{{a^2}}} + \sqrt[3]{{ab}} + \sqrt[3]{{{b^2}}}$ $ – \sqrt[3]{{{a^2}}} + \sqrt[3]{{ab}} – \sqrt[3]{{{b^2}}}$ $ = 2\sqrt[3]{{ab}}.$
c) $E = \left[ {\frac{{(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{{{a^2}}} – \sqrt[3]{{ab}} + \sqrt[3]{{{b^2}}})}}{{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}} – \sqrt[3]{{ab}}} \right]$ $:{(\sqrt[3]{a} – \sqrt[3]{b})^2}.$
$ = (\sqrt[3]{{{a^2}}} – 2\sqrt[3]{{ab}} + \sqrt[3]{{{b^2}}}):{(\sqrt[3]{a} – \sqrt[3]{b})^2}$ $ = 1.$
d) $F = \frac{{(\sqrt a – 1)(\sqrt a + 1)}}{{{a^{\frac{3}{4}}} + {a^{\frac{1}{2}}}}}.\frac{{\left( {{a^{\frac{1}{2}}} + {a^{\frac{1}{4}}}} \right){a^{\frac{1}{4}}}}}{{\sqrt a + 1}} + 1$ $ = \frac{{(\sqrt a – 1)\left( {{a^{\frac{3}{4}}} + {a^{\frac{1}{2}}}} \right)}}{{{a^{\frac{1}{3}}} + {a^{\frac{1}{2}}}}} + 1$ $ = \sqrt a – 1 + 1$ $ = \sqrt a .$
Bài 9. Từ tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên dương, chứng minh $\sqrt[n]{{ab}} = \sqrt[n]{a}.\sqrt[n]{b}$ ($a \ge 0$, $b \ge 0$, $n$ nguyên dương).
Lời giải:
Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\sqrt[n]{a} = x}\\
{\sqrt[n]{b} = y}
\end{array}} \right.$ thì $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x \ge 0}\\
{y \ge 0}
\end{array}} \right..$ Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a = {x^n}}\\
{b = {y^n}}
\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow ab = {x^n}.{y^n}.$
Áp dụng tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên dương, ta có:
$ab = {(xy)^n}$ $ \Rightarrow xy = \sqrt[n]{{ab}}$ $ \Rightarrow \sqrt[n]{{ab}} = \sqrt[n]{a}.\sqrt[n]{b}.$
Bài 10. Chứng minh:
a) $\sqrt {4 + 2\sqrt 3 } – \sqrt {4 – 2\sqrt 3 } = 2.$
b) $\sqrt[3]{{9 + \sqrt {80} }} + \sqrt[3]{{9 – \sqrt {80} }} = 3.$
Lời giải:
a) $\sqrt {4 + 2\sqrt 3 } – \sqrt {4 – 2\sqrt 3 } $ $ = \sqrt {{{(\sqrt 3 + 1)}^2}} – \sqrt {{{(\sqrt 3 – 1)}^2}} $ $ = \sqrt 3 + 1 – (\sqrt 3 – 1)$ $ = 2.$
b) Đặt $x = \sqrt[3]{{9 + \sqrt {80} }} + \sqrt[3]{{9 – \sqrt {80} }}$ $ \Rightarrow {x^3} = {(\sqrt[3]{{9 + \sqrt {80} }} + \sqrt[3]{{9 – \sqrt {80} }})^3}.$
$ \Rightarrow {x^3} = 9 + \sqrt {80} + 9 – \sqrt {80} $ $ + 3\sqrt[3]{{9 + \sqrt {80} }}.\sqrt[3]{{9 – \sqrt {80} }}\left[ {\sqrt[3]{{9 + \sqrt {80} }} + \sqrt[3]{{9 – \sqrt {80} }}} \right].$
$ \Rightarrow {x^3} = 18 + 3x$ $ \Rightarrow {x^3} – 3x – 18 = 0.$
$ \Rightarrow (x – 3)\left( {{x^2} + 3x + 6} \right)$ $ \Rightarrow x = 3.$
Bài 11. So sánh các số:
a) ${(\sqrt 3 )^{ – \frac{5}{6}}}$ và $\sqrt[3]{{{3^{ – 1}}.\sqrt[4]{{\frac{1}{3}}}}}.$
b) ${3^{600}}$ và ${5^{400}}.$
c) ${\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ – \frac{5}{7}}}$ và $\sqrt 2 {.2^{\frac{3}{{14}}}}.$
d) ${7^{30}}$ và ${4^{40}}.$
Lời giải:
a) Ta có: ${(\sqrt 3 )^{ – \frac{5}{6}}} = {\left( {{3^{\frac{1}{2}}}} \right)^{ – \frac{5}{6}}} = {3^{ – \frac{5}{{12}}}}$ và $\sqrt[3]{{{3^{ – 1}}.\sqrt[4]{{\frac{1}{3}}}}} = {\left( {{3^{ – 1}}{{.3}^{ – \frac{1}{4}}}} \right)^{\frac{1}{3}}}$ $ = {3^{ – \frac{5}{{12}}}}.$
Vậy ${(\sqrt 3 )^{ – \frac{5}{6}}} = \sqrt[3]{{{3^{ – 1}}.\sqrt[4]{{\frac{1}{3}}}}}.$
b) ${\left( {{3^6}} \right)^{100}} = {729^{100}}$ và ${\left( {{5^4}} \right)^{100}} = {(625)^{100}}$ $ \Rightarrow {3^{600}} > {5^{400}}.$
c) ${\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ – \frac{5}{7}}} = {\left[ {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{ – 1}}} \right]^{\frac{5}{7}}} = {2^{\frac{5}{7}}}$ và $\sqrt 2 {.2^{\frac{3}{{14}}}} = {2^{\frac{1}{2}}}{.2^{\frac{3}{{14}}}}$ $ = {2^{\frac{1}{2} + \frac{3}{{14}}}} = {2^{\frac{5}{7}}}.$
Vậy ${\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ – \frac{5}{7}}} = \sqrt 2 {.2^{\frac{3}{{14}}}}.$
d) ${7^{30}} = {\left( {{7^3}} \right)^{10}} = {343^{10}}.$
${4^{40}} = {\left( {{4^4}} \right)^{10}} = {256^{10}}.$
Vì: $343 > 256 > 0$ nên: ${343^{10}} > {256^{10}}$ $ \Rightarrow {7^{30}} > {4^{40}}.$
