Bài viết hướng dẫn giải các bài tập trong phần câu hỏi và bài tập và phần luyện tập của sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao: Một số phương pháp tính tích phân.
CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP
Bài 17. Dùng phương pháp đổi biến số tính các tích phân sau:
a) $\int_0^1 {\sqrt {x + 1} dx} .$
b) $\int_0^{\pi /4} {\frac{{\tan x}}{{{{\cos }^2}x}}dx} .$
c) $\int_0^1 {{t^3}} {\left( {1 + {t^4}} \right)^3}dx.$
d) $\int_0^1 {\frac{{5x}}{{{{\left( {{x^2} + 4} \right)}^2}}}dx.} $
e) $\int_0^{\sqrt 3 } {\frac{{4x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}dx} .$
f) $\int_0^{\pi /6} {(1 – \cos 3x)} \sin 3xdx.$
Lời giải:
a) Đặt $u = \sqrt {x + 1} $ $ \Rightarrow {u^2} = x + 1$ $ \Rightarrow 2udu = dx.$
$x = 0$ $ \Rightarrow u = 1$, $x = 1$ $ \Rightarrow u = \sqrt 2 .$
Suy ra: $\int_0^1 {\sqrt {x + 1} dx} $ $ = \int_1^{\sqrt 2 } u .2udu$ $ = \left. {2.\frac{{{u^3}}}{3}} \right|_1^{\sqrt 2 }$ $ = \frac{{4\sqrt 2 }}{3} – \frac{2}{3}.$
b) Tính $\int_0^{\pi /4} {\frac{{\tan x}}{{{{\cos }^2}x}}dx} .$
Đặt $u = \tan x$ $ \Rightarrow du = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx.$
$x = 0$ $ \Rightarrow u = 0$, $x = \frac{\pi }{4}$ $ \Rightarrow u = 1.$
Vậy $\int_0^{\pi /4} {\frac{{\tan x}}{{{{\cos }^2}x}}dx} $ $ = \int_0^1 u .du$ $ = \left. {\frac{{{u^2}}}{2}} \right|_0^1 = \frac{1}{2}.$
c) Đặt $u = 1 + {t^4}$ $ \Rightarrow du = 4{t^3}dt$ $ \Rightarrow {t^3}dt = \frac{{du}}{4}.$
$t = 0$ $ \Rightarrow u = 1$, $t = 1$ $ \Rightarrow u = 2.$
Suy ra: $\int_0^1 {{t^3}} {\left( {1 + {t^4}} \right)^3}dt$ $ = \int_1^2 {{u^3}} \frac{{du}}{4}$ $ = \left. {\left( {\frac{1}{4}.\frac{{{u^4}}}{4}} \right)} \right|_1^2$ $ = \frac{1}{{16}}(16 – 1) = \frac{{15}}{{16}}.$
Vậy $\int_0^1 {{t^3}} {\left( {1 + {t^4}} \right)^3}dt = \frac{{15}}{{16}}.$
d) Tính $\int_0^1 {\frac{{5x}}{{{{\left( {{x^2} + 4} \right)}^2}}}dx} .$
Đặt $u = {x^2} + 4$ $ \Rightarrow xdx = \frac{{du}}{2}$, $x = 0$ $ \Rightarrow u = 4$, $x = 1$ $ \Rightarrow u = 5.$
Suy ra: $\int_0^1 {\frac{{5x}}{{{{\left( {{x^2} + 4} \right)}^2}}}dx} $ $ = \frac{5}{2}\int_4^5 {\frac{{du}}{{{u^2}}}} $ $ = \frac{5}{2}\int_4^5 {{u^{ – 2}}} du$ $ = \left. {\frac{5}{2}.\frac{{{u^{ – 1}}}}{{ – 1}}} \right|_4^5.$
$ = \left. {\frac{{ – 5}}{2}.\frac{1}{u}} \right|_4^5$ $ = \frac{5}{2}\left( {\frac{1}{4} – \frac{1}{5}} \right) = \frac{1}{8}.$
e) Tính $\int_0^{\sqrt 3 } {\frac{{4x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}dx} .$
Đặt $u = \sqrt {{x^2} + 1} $ $ \Leftrightarrow {u^2} = {x^2} + 1$ $ \Leftrightarrow udu = xdx.$
$x = 0$ $ \Rightarrow u = 1$, $x = \sqrt 3 $ $ \Rightarrow u = 2.$
Vậy $\int_0^{\sqrt 3 } {\frac{{4x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}dx} $ $ = 4\int_1^2 {\frac{{udu}}{u}} = 4\int_1^2 d u$ $ = \left. {4u} \right|_1^2 = 4.$
f) Tính $\int_0^{\pi /6} {(1 – \cos 3x)} \sin 3xdx.$
Đặt $u = 1 – \cos 3x$ $ \Rightarrow \frac{1}{3}du = \sin 3xdx.$
$x = 0$ $ \Rightarrow u = 0$, $x = \frac{\pi }{6}$ $ \Rightarrow u = 1.$
Vậy $\int_0^{\pi /6} {(1 – \cos 3x)} \sin 3xdx$ $ = \frac{1}{3}\int_0^1 {udu} $ $ = \left. {\frac{1}{3}\frac{{{u^2}}}{2}} \right|_0^1 = \frac{1}{6}.$
Bài 18. Dùng phương pháp tích phân từng phần để tính các tích phân sau:
a) $\int_1^2 {{x^5}} \ln xdx.$
b) $\int_0^1 {(x + 1){e^x}dx} .$
c) $\int_0^\pi {{e^x}} \cos xdx.$
d) $\int_0^{\pi /2} {x\cos xdx} .$
Lời giải:
a) Tính $\int_1^2 {{x^5}} \ln xdx.$
Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{u = \ln x}\\
{dv = {x^5}dx}
\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{du = \frac{1}{x}dx}\\
{v = \frac{{{x^6}}}{6}}
\end{array}} \right..$
Suy ra $\int_1^2 {{x^5}} \ln xdx$ $ = \left. {\frac{{{x^6}.\ln x}}{6}} \right|_1^2 – \int_1^2 {\frac{{{x^6}}}{6}} .\frac{1}{x}dx$ $ = \frac{{32}}{3}\ln 2 – \int_1^2 {\frac{{{x^5}}}{6}dx} .$
$ = \frac{{32}}{3}\ln 2 – \left. {\left( {\frac{{{x^6}}}{{36}}} \right)} \right|_1^2$ $ = \frac{{32}}{3}\ln 2 – \frac{7}{4}.$
b) Tính $\int_0^1 {(x + 1){e^x}dx} .$
Đặt $u = x + 1$, $dv = {e^x}dx$ $ \Rightarrow du = dx$, $v = {e^x}.$
Suy ra $\int_0^1 {(x + 1){e^x}dx} $ $ = \left. {{e^x}(x + 1)} \right|_0^1$ $ – \int_0^1 {{e^x}} dx$ $ = 2e – 1 – \left. {{e^x}} \right|_0^1$ $ = 2e – 1 – (e – 1) = e.$
c) Tính $\int_0^\pi {{e^x}} \cos xdx.$
Đặt $u = \cos x$, $dv = {e^x}dx$ $ \Rightarrow du = – \sin xdx$, $v = {e^x}.$
Suy ra $\int_0^\pi {{e^x}} \cos xdx$ $ = \left. {{e^x}\cos x} \right|_0^\pi + \int_0^\pi {{e^x}} \sin xdx$ $ = – {e^\pi } – 1 + {I_1}.$
Tính ${I_1} = \int_0^\pi {{e^x}} \sin xdx.$
Đặt ${u_1} = \sin x$, $d{v_1} = {e^x}dx$ $ \Rightarrow d{u_1} = \cos xdx$, ${v_1} = {e^x}.$
Suy ra ${I_1} = \left. {{e^x}.\sin x} \right|_0^\pi – \int_0^\pi {{e^x}} \cos xdx$ $ = – I.$
Vậy $I = – \left( {{e^\pi } + 1} \right) – I$ $ \Leftrightarrow 2I = – \left( {{e^\pi } + 1} \right).$
Vậy $\int_0^\pi {{e^x}} \cos xdx = – \frac{{{e^\pi } + 1}}{2}.$
d) Đặt $u = x$, $dv = \cos xdx$ $ \Rightarrow du = dx$, $v = \sin x.$
Suy ra: $\int_0^{\pi /2} x \cos xdx$ $ = \left. {x.\sin x} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} – \int_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin xdx} $ $ = \frac{\pi }{2} + \left. {(\cos x)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}}$ $ = \frac{\pi }{2} – 1.$
Vậy $\int_0^{\pi /2} x \cos xdx = \frac{\pi }{2} – 1.$
LUYỆN TẬP
Bài 19. Tính:
a) $\int_0^1 {\sqrt {{t^5} + 2t} } \left( {2 + 5{t^4}} \right)dt.$
b) $\int_0^{\pi /2} x \sin x\cos xdx.$
Lời giải:
a) Đặt $\sqrt {{t^5} + 2t} = u$ $ \Rightarrow {u^2} = {t^5} + 2t$ $ \Rightarrow 2udu = \left( {5{t^4} + 2} \right)dt.$
Với $t = 0$ $ \Rightarrow u = 0$, $t = 1$ $ \Rightarrow u = \sqrt 3 .$
Suy ra $\int_0^1 {\sqrt {{t^5} + 2t} } \left( {2 + 5{t^4}} \right)dt$ $ = \int_0^{\sqrt 3 } 2 {u^2}du$ $ = \left. {\frac{2}{3}{u^3}} \right|_0^{\sqrt 3 } = 2\sqrt 3 .$
b) Ta có: $\int_0^{\pi /2} x \sin x\cos xdx$ $ = \frac{1}{2}\int_0^{\pi /2} x \sin 2xdx.$
Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{u = x}\\
{dv = \sin 2xdx}
\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{du = dx}\\
{v = – \frac{1}{2}\cos 2x}
\end{array}} \right..$
Suy ra $\frac{1}{2}\int_0^{\pi /2} x \sin 2xdx$ $ = – \left. {\frac{1}{4}x\cos 2x} \right|_0^{\frac{\pi }{2}}$ $ + \frac{1}{4}\int_0^{\pi /2} {\cos 2xdx} .$
$ = – \frac{1}{4}\left( { – \frac{\pi }{2} – 0} \right)$ $ + \left. {\frac{1}{4}.\frac{1}{2}\sin 2x} \right|_0^{\pi /2}$ $ = \frac{\pi }{8}.$
Vậy $\int_0^{\pi /2} x \sin x\cos xdx = \frac{\pi }{8}.$
Bài 20. Tính:
a) $\int_0^\pi 5 {(5 – 4\cos t)^{\frac{1}{4}}}\sin tdt.$
b) $\int_0^{\sqrt 3 } {\frac{{{x^3}dx}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}} .$
Lời giải:
a) Đặt $5 – 4\cos t = u$ $ \Rightarrow du = 4\sin tdt$ $ \Rightarrow \sin tdt = \frac{{du}}{4}.$
$t = 0$ $ \Rightarrow u = 1$, $t = \pi $ $ \Rightarrow u = 9.$
Suy ra $\int_0^\pi 5 {(5 – 4\cos t)^{\frac{1}{4}}}\sin tdt$ $ = \frac{5}{4}\int_1^9 {{u^{1/4}}} du$ $ = \left. {\frac{5}{4}.\frac{{{u^{\frac{1}{4} + 1}}}}{{\frac{1}{4} + 1}}} \right|_1^9$ $ = \left. {{u^{\frac{5}{4}}}} \right|_1^9 = {9^{\frac{5}{4}}} – 1.$
b) Đặt $u = \sqrt {{x^2} + 1} $ $ \Rightarrow {u^2} = {x^2} + 1$ $ \Rightarrow {x^2} = {u^2} – 1.$
$ \Rightarrow udu = xdx.$
Đổi cận: ${x = 0 \Rightarrow u = 1}$, ${x = \sqrt 3 \Rightarrow u = 2.}$
Suy ra $\int_0^{\sqrt 3 } {\frac{{{x^3}}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}dx} $ $ = \int_0^{\sqrt 3 } {\frac{{{x^2}}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}xdx} .$
$ = \int_1^2 {\frac{{{u^2} – 1}}{u}udu} $ $ = \int_1^2 {\left( {{u^2} – 1} \right)du} $ $ = \left. {\left( {\frac{{{u^3}}}{3} – u} \right)} \right|_1^2.$
${ = \frac{8}{3} – 2 – \left( {\frac{1}{3} – 1} \right)}$ ${ = \frac{4}{3}.}$
Bài 21. Giả sử $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm $\frac{{\sin x}}{x}$ trên $(0; + \infty ).$ Khi đó $\int_1^3 {\frac{{\sin 2x}}{x}dx} $ là:
(A) $F(3) – F(1).$
(B) $F(6) – F(2).$
(C) $F(4) – F(2).$
(D) $F(6) – F(4).$
Lời giải:
Đáp án (B) vì $\frac{{\sin x}}{x}$ có nguyên hàm là $F(x).$
Suy ra: $\frac{{2\sin 2x}}{{2x}}$ có nguyên hàm là $F(2x).$
Suy ra: $\int_1^3 {\frac{{\sin 2x}}{x}dx} = \left. {F(2x)} \right|_1^3$ $ = F(6) – F(2).$
Bài 22. Chứng minh rằng:
a) $\int_0^1 f (x)dx = \int_0^1 f (1 – x)dx.$
b) $\int_{ – 1}^1 f (x)dx$ $ = \int_0^1 {[f(x) + f( – x)]dx} .$
Lời giải:
a) Xét $VT = \int_0^1 f (x)dx.$
Đặt $x = 1 – t$ $ \Rightarrow dx = – dt$, $x = 0 \Rightarrow t = 1$, $x = 1 \Rightarrow t = 0.$
Suy ra $VT = \int_1^0 f (1 – t)( – dt)$ $ = \int_0^1 f (1 – t)dt.$
Mà $\int_a^b f (x)dx = \int_a^b f (t)dt.$
Suy ra: $VT = \int_0^1 f (1 – x)dx = VP.$
b) $VT = \int_{ – 1}^1 f (x)dx$ $ = \int_{ – 1}^0 f (x)dx + \int_0^1 f (x)dx$ $(*).$
Xét $I = \int_{ – 1}^0 f (x)dx.$
Đặt $t = – x$ $ \Rightarrow dx = – dt$, $x = – 1 \Rightarrow t = 1$, $x = 0 \Rightarrow t = 0.$
Suy ra $I = \int_1^0 f ( – t)( – dt)$ $ = \int_0^1 f ( – t)dt$ $ = \int_0^1 f ( – x)dx.$
Thay vào $(*)$ ta được:
$VT = \int_0^1 f (x)dx + \int_0^1 f ( – x)dx$ $ = \int_0^1 {(f(} x) + f( – x))dx = VP.$
Bài 23. Cho $\int_0^1 f (x)dx = 3.$ Tính $\int_{ – 1}^0 f (x)dx$ trong các trường hợp sau:
a) $f(x)$ là hàm số lẻ.
b) $f(x)$ là hàm số chẵn.
Lời giải:
a) Nếu $f(x)$ là hàm số lẻ thì: $\int_{ – 1}^1 f (x)dx = 0.$
$ \Leftrightarrow \int_{ – 1}^0 f (x)dx + \int_0^1 f (x)dx = 0$ $ \Leftrightarrow \int_{ – 1}^0 f (x)dx + 3 = 0$ $ \Rightarrow \int_{ – 1}^0 f (x)dx = – 3.$
b) Nếu $f(x)$ là hàm số chẵn thì: $\int_{ – 1}^0 f (x)dx = \int_0^1 f (x)dx = 3.$
Bài 24. Tính các tích phân sau:
a) $\int_1^2 {{x^2}} {e^{{x^3}}}dx.$
b) $\int_1^3 {\frac{1}{x}} {(\ln x)^2}dx.$
c) $\int_0^{\sqrt 3 } x \sqrt {1 + {x^2}} dx.$
d) $\int_0^1 {{x^2}} {e^{3{x^3}}}dx.$
e) $\int_0^{\pi /2} {\frac{{\cos x}}{{1 + \sin x}}dx.} $
Lời giải:
a) Tính $I = \int_1^2 {{x^2}} {e^{{x^3}}}dx.$
Đặt $u = {x^3}$ $ \Rightarrow du = 3{x^2}dx$ $ \Leftrightarrow {x^2}dx = \frac{{du}}{3}.$
Với $x = 1 \Rightarrow u = 1$, $x = 2 \Rightarrow u = 8.$
Suy ra: $I = \frac{1}{3}\int_1^8 {{e^u}} du$ $ = \left. {\frac{1}{3}{e^u}} \right|_1^8 = \frac{{{e^8} – e}}{3}.$
b) Tính $J = \int_1^3 {\frac{1}{x}} {(\ln x)^2}dx.$
Đặt $u = \ln x$ $ \Rightarrow du = \frac{1}{x}dx$, $x = 1 \Rightarrow u = 0$, $x = 3 \Rightarrow u = \ln 3.$
Suy ra $J = \int_0^{\ln 3} {{u^2}} du$ $ = \left. {\frac{{{u^3}}}{3}} \right|_0^{\ln 3} = \frac{{{{(\ln 3)}^3}}}{3}.$
c) Đặt $u = \sqrt {1 + {x^2}} $ $ \Rightarrow {u^2} = 1 + {x^2}$ $ \Leftrightarrow udu = xdx.$
$x = 0 \Rightarrow u = 1$, $x = \sqrt 3 \Rightarrow u = 2.$
Suy ra $\int_0^2 {{u^2}} du = \left. {\frac{{{u^3}}}{3}} \right|_1^2 = \frac{7}{3}.$
Vậy $\int_0^{\sqrt 3 } x \sqrt {1 + {x^2}} dx = \frac{7}{3}.$
d) Tính $K = \int_0^1 {{x^2}} {e^{3{x^3}}}dx.$
Đặt $u = 3{x^3}$ $ \Rightarrow du = 9{x^2}dx$ $ \Rightarrow {x^2}dx = \frac{{du}}{9}$, $x = 0 \Rightarrow u = 0$, $x = 1 \Rightarrow u = 3.$
Suy ra: $K = \int_0^3 {{e^u}} \frac{{du}}{9}$ $ = \left. {\frac{1}{9}{e^u}} \right|_0^3 = \frac{1}{9}\left( {{e^3} – 1} \right).$
e) Tính $L = \int_0^{\pi /2} {\frac{{\cos x}}{{1 + \sin x}}dx} .$
Đặt $u = 1 + \sin x$ $ \Rightarrow \cos xdx = du$, $x = 0 \Rightarrow u = 1$, $x = \frac{\pi }{2} \Rightarrow u = 2.$
Suy ra $L = \int_1^2 {\frac{{du}}{u}} $ $ = \left. {\ln |u|} \right|_1^2 = \ln |2| = \ln 2.$
Bài 25. Tính các tích phân sau:
a) $\int_0^{\pi /4} x \cos 2xdx.$
b) $\int_0^1 {\frac{{\ln (2 – x)}}{{2 – x}}} dx.$
c) $\int_0^{\pi /2} {{x^2}} \cos xdx.$
d) $\int_0^1 {{x^2}} \sqrt {{x^3} + 1} dx.$
e) $\int_0^e {{x^2}} \ln xdx.$
Lời giải:
a) Tính $I = \int_0^{\pi /4} x \cos 2xdx.$
Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{u = x}\\
{dv = \cos 2xdx}
\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{du = dx}\\
{v = \frac{1}{2}\sin 2x}
\end{array}} \right..$
Suy ra $I = \int_0^{\pi /4} x \cos 2xdx$ $ = \left. {\frac{1}{2}x.\sin 2x} \right|_0^{\frac{\pi }{4}}$ $ – \frac{1}{2}\int_0^{\pi /4} {\sin } 2xdx.$
$ = \frac{\pi }{8} + \left. {\frac{1}{4}(\cos 2x)} \right|_0^{\frac{\pi }{4}}$ $ = \frac{\pi }{8} – \frac{1}{4}.$
b) Xét $J = \int_0^1 {\frac{{\ln (2 – x)}}{{2 – x}}dx} .$
Đặt $u = \ln (2 – x)$ $ \Rightarrow du = – \frac{1}{{2 – x}}dx.$
$x = 0 \Rightarrow u = \ln 2$, $x = 1 \Rightarrow u = 0.$
Suy ra $J = – \int_{\ln 2}^0 {udu} $ $ = \int_0^{\ln 2} {udu} = \left. {\frac{{{u^2}}}{2}} \right|_0^{\ln 2}$ $ = \frac{{{{\ln }^2}2}}{2}.$
Vậy $\int_0^1 {\frac{{\ln (2 – x)}}{{2 – x}}dx} = \frac{{{{\ln }^2}2}}{2}.$
c) Đặt $K = \int_0^{\pi /2} {{x^2}} \cos xdx.$
Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{u = {x^2}}\\
{dv = \cos xdx}
\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{du = 2xdx}\\
{v = \sin x}
\end{array}} \right..$
Suy ra $K = \left. {{x^2}.\sin x} \right|_0^{\pi /2}$ $ – 2\int_0^{\pi /2} x \sin xdx$ $ = \frac{{{\pi ^2}}}{4} – 2{K_1}.$
Tính ${K_1} = \int_0^{\pi /2} x \sin xdx.$
Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} = x}\\
{d{v_1} = \sin xdx}
\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{d{u_1} = dx}\\
{{v_1} = – \cos x}
\end{array}} \right..$
Suy ra ${K_1} = – \left. {x\cos x} \right|_0^{\pi /2} + \int_0^{\pi /2} {\cos xdx} $ $ = \left. {\sin x} \right|_0^{\pi /2} = 1.$
Vậy $K = \frac{{{\pi ^2}}}{4} – 2.$
d) Đặt $u = \sqrt {{x^3} + 1} $ $ \Rightarrow {u^2} = {x^3} + 1$ $ \Leftrightarrow 2udu = 3{x^2}dx.$
$x = 0$ $ \Rightarrow u = 1$, $x = 1$ $ \Rightarrow u = \sqrt 2 .$
Suy ra $\int_0^1 {{x^2}} \sqrt {{x^3} + 1} dx$ $ = \frac{2}{3}\int_1^{\sqrt 2 } {{u^2}} du$ $ = \left. {\frac{2}{3}.\frac{{{u^3}}}{3}} \right|_1^{\sqrt 2 }$ $ = \frac{2}{9}(2\sqrt 2 – 1).$
e) Xét $L = \int_0^e {{x^2}} \ln xdx.$
Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{u = \ln x}\\
{dv = {x^2}dx}
\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{du = \frac{1}{x}dx}\\
{v = \frac{{{x^3}}}{3}}
\end{array}} \right..$
Suy ra $L = \left. {\frac{{{x^3}}}{3}\ln x} \right|_0^e – \int_0^e {{x^2}} \frac{{dx}}{3}$ $ = \frac{{{e^3}}}{3} – \left. {\frac{1}{9}{x^3}} \right|_0^e = \frac{2}{9}{e^3}.$
Vậy $\int_0^e {{x^2}} \ln xdx = \frac{2}{9}{e^3}.$
