Bài viết hướng dẫn giải các bài tập trong phần câu hỏi và bài tập và phần luyện tập của sách giáo khoa Giải tích 12 cơ bản: Phép chia số phức.
CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP
Bài 1. Thực hiện các phép chia sau:
a) $\frac{{2 + i}}{{3 – 2i}}.$
b) $\frac{{1 + i\sqrt 2 }}{{2 + i\sqrt 3 }}.$
c) $\frac{{5i}}{{2 – 3i}}.$
d) $\frac{{5 – 2i}}{i}.$
Lời giải:
a) Ta có: $\frac{{2 + i}}{{3 – 2i}}$ $ = \frac{{(2 + i)(3 + 2i)}}{{{3^2} + {{( – 2)}^2}}}$ $ = \frac{4}{{13}} + \frac{7}{{13}}i.$
b) $\frac{{1 + i\sqrt 2 }}{{2 + i\sqrt 3 }}$ $ = \frac{{(1 + i\sqrt 2 )(2 – i\sqrt 3 )}}{{{2^2} + {{(\sqrt 3 )}^2}}}$ $ = \frac{{2 + \sqrt 6 }}{7} + \frac{{2\sqrt 2 – \sqrt 3 }}{7}i.$
c) $\frac{{5i}}{{2 – 3i}}$ $ = \frac{{5i(2 + 3i)}}{{{2^2} + {{( – 3)}^2}}}$ $ = – \frac{{15}}{{13}} + \frac{{10}}{{13}}i.$
d) $\frac{{5 – 2i}}{i}$ $ = \frac{{(5 – 2i)( – i)}}{{{0^2} + {1^2}}}$ $ = – 2 – 5i.$
Bài 2. Tìm nghịch đảo $\frac{1}{z}$ của các số phức:
a) ${1 + 2i.}$
b) ${\sqrt 2 – 3i.}$
c) ${i.}$
d) $5 + i\sqrt 3 .$
Lời giải:
a) Với $z = 1 + 2i$ $ \Rightarrow \frac{1}{z} = \frac{{1 – 2i}}{{{1^2} + {{(2)}^2}}}$ $ = \frac{{1 – 2i}}{5} = \frac{1}{5} – \frac{2}{5}i.$
b) Với $z = \sqrt 2 – 3i$ $ \Rightarrow \frac{1}{z} = \frac{{\sqrt 2 + 3i}}{{{{(\sqrt 2 )}^2} + {{( – 3)}^2}}}$ $ = \frac{{\sqrt 2 + 3i}}{{11}}$ $ = \frac{{\sqrt 2 }}{{11}} + \frac{3}{{11}}i.$
c) Với $z = i$ $ \Rightarrow \frac{1}{z} = \frac{{ – i}}{{{{(1)}^2}}} = – i.$
d) Với $z = 5 + i\sqrt 3 $ $ \Rightarrow \frac{1}{z} = \frac{{5 – i\sqrt 3 }}{{{5^2} + {{(\sqrt 3 )}^2}}}$ $ = \frac{5}{{28}} – \frac{{\sqrt 3 }}{{28}}i.$
Bài 3. Thực hiện các phép tính sau:
a) $2i(3 + i)(2 + 4i).$
b) $\frac{{{{(1 + i)}^2}{{(2i)}^3}}}{{ – 2 + i}}.$
c) $3 + 2i + (6 + i)(5 + i).$
d) $4 – 3i + \frac{{5 + 4i}}{{3 + 6i}}.$
Lời giải:
a) Ta có: $2i(3 + i)(2 + 4i)$ $ = 2i(2 + 14i)$ $ = – 28 + 4i.$
b) $\frac{{{{(1 + i)}^2}{{(2i)}^3}}}{{ – 2 + i}}$ $ = \frac{{2i( – 8i)}}{{ – 2 + i}}$ $ = \frac{{16}}{{ – 2 + i}}$ $ = \frac{{16( – 2 – i)}}{{{{( – 2)}^2} + {1^2}}}$ $ = \frac{{ – 32}}{5} – \frac{{16}}{5}i.$
c) $(3 + 2i) + (6 + i)(5 + i)$ $ = (3 + 2i) + (29 + 11i)$ $ = 32 + 13i.$
d) $4 – 3i + \frac{{5 + 4i}}{{3 + 6i}}$ $ = 4 – 3i + \frac{{(5 + 4i)(3 – 6i)}}{{{3^2} + {6^2}}}$ $ = 4 – 3i + \frac{{39}}{{45}} – \frac{{18}}{{45}}i$ $ = \frac{{73}}{{15}} – \frac{{17}}{5}i.$
Bài 4. Giải các phương trình sau:
a) $(3 – 2i)z + (4 + 5i)$ $ = 7 + 3i.$
b) $(1 + 3i)z – (2 + 5i)$ $ = (2 + i)z.$
c) $\frac{z}{{4 – 3i}} + (2 – 3i)$ $ = 5 – 2i.$
Lời giải:
a) $(3 – 2i)z + (4 + 5i) = 7 + 3i$ $ \Leftrightarrow (3 – 2i)z = 3 – 2i$ $ \Leftrightarrow z = \frac{{3 – 2i}}{{3 – 2i}} = 1.$
Vậy phương trình có một nghiệm $z = 1.$
b) $(1 + 3i)z – (2 + 5i) = (2 + i)z.$
$ \Leftrightarrow (1 + 3i)z – (2 + i)z = 2 + 5i$ $ \Leftrightarrow ( – 1 + 2i)z = 2 + 5i.$
$ \Leftrightarrow z = \frac{{2 + 5i}}{{ – 1 + 2i}}$ $ = \frac{{(2 + 5i)( – 1 – 2i)}}{5}$ $ \Leftrightarrow z = \frac{8}{5} – \frac{9}{5}i.$
c) $\frac{z}{{4 – 3i}} + (2 – 3i) = 5 – 2i.$
$ \Leftrightarrow \frac{z}{{4 – 3i}} = 3 + i$ $ \Leftrightarrow z = (4 – 3i)(3 + i)$ $ \Leftrightarrow z = 15 – 5i.$
Vậy phương trình có một nghiệm là: $z = 15 – 5i.$
