Bài viết hướng dẫn giải các bài tập trong phần câu hỏi và bài tập và phần luyện tập của sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao: Bất phương trình mũ và lôgarit.
CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP
Bài 80. Giải các bất phương trình:
a) ${2^{3 – 6x}} > 1.$
b) ${16^x} > 0,125.$
Lời giải:
a) ${2^{3 – 6x}} > 1$ $ \Leftrightarrow {2^3} > {2^{6x}}$ $ \Leftrightarrow 3 > 6x$ $ \Leftrightarrow x < \frac{1}{2}.$
b) ${16^x} > 0,125$ $ \Leftrightarrow {2^{4x}} > {2^{ – 3}}$ $ \Leftrightarrow 4x > – 3$ $ \Leftrightarrow x > – \frac{3}{4}.$
Bài 81. Giải các bất phương trình:
a) ${\log _5}(3x – 1) < 1.$
b) ${\log _{\frac{1}{3}}}(5x – 1) > 0.$
c) ${\log _{0,5}}\left( {{x^2} – 5x + 6} \right) \ge – 1.$
d) ${\log _3}\frac{{1 – 2x}}{x} \le 0.$
Lời giải:
a) ${\log _5}(3x – 1) < 1.$
Điều kiện: $x > \frac{1}{3}.$
Bất phương trình $ \Leftrightarrow {\log _5}(3x – 1) < {\log _5}5$ $ \Leftrightarrow 3x – 1 < 5$ $ \Leftrightarrow x < 2.$
Kết hợp với điều kiện ta được $\frac{1}{3} < x < 2.$
b) ${\log _{\frac{1}{3}}}(5x – 1) > 0.$
Điều kiện: $5x – 1 > 0$ $ \Leftrightarrow x > \frac{1}{5}.$
Bất phương trình tương đương với: $5x – 1 < 1$ $ \Leftrightarrow x < \frac{2}{5}.$
Kết hợp với điều kiện ta được: $\frac{1}{5} < x < \frac{2}{5}.$
c) ${\log _{0,5}}\left( {{x^2} – 5x + 6} \right) \ge – 1.$
Điều kiện: ${x^2} – 5x + 6 > 0.$
Bất phương trình tương đương với: ${x^2} – 5x + 6 \le {(0,5)^{ – 1}}$ $ \Leftrightarrow {x^2} – 5x + 4 \le 0.$
$ \Leftrightarrow 1 \le x \le 4.$
Kết hợp với điều kiện ta được tập nghiệm $S = (1;2) \cup (3;4].$
Cách khác:
${\log _{0,5}}\left( {{x^2} – 5x + 6} \right) \ge – 1$ $ \Leftrightarrow 0 < {x^2} – 5x + 6 \le {(0,5)^{ – 1}}.$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x^2} – 5x + 6 > 0}\\
{{x^2} – 5x + 4 \le 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x < 2\,\,{\rm{hoặc}}\,\,x > 3}\\
{1 \le x \le 4}
\end{array}} \right..$
$ \Leftrightarrow 1 \le x < 2$ hoặc $3 < x \le 4.$
Tập nghiệm: $S = [1;2) \cup (3;4].$
d) ${\log _3}\frac{{1 – 2x}}{x} \le 0.$
Điều kiện: $x \ne 0$ và $\frac{{1 – 2x}}{x} > 0.$
Bất phương trình trên tương đương với: $0 < \frac{{1 – 2x}}{x} \le 1.$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{{1 – 2x}}{x} > 0}\\
{\frac{{1 – 3x}}{x} \le 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{0 < x < \frac{1}{2}}\\
{x \ge \frac{1}{3}\,\,{\rm{hoặc}}\,\,x < 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \frac{1}{3} \le x < \frac{1}{2}.$
Tập nghiệm của bất phương trình là: $S = \left[ {\frac{1}{3};\frac{1}{2}} \right).$
Bài 82. Giải các bất phương trình:
a) $\log _{0,5}^2x + {\log _{0,5}}x – 2 \le 0.$
b) ${2^x} + {2^{ – x + 1}} – 3 < 0.$
Lời giải:
a) $\log _{0,5}^2x + {\log _{0,5}}x – 2 \le 0.$
Đặt $t = {\log _{0,5}}x.$
Ta được: ${t^2} + t – 2 \le 0.$
$ \Leftrightarrow – 2 \le t \le 1$ $ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{{\log }_{0,5}}x \ge – 2}\\
{{{\log }_{0,5}}x \le 1}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x \le {{(0,5)}^{ – 2}}}\\
{x \ge {{(0,5)}^1}}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow 0,5 \le x \le 4.$
b) ${2^x} + {2^{ – x + 1}} – 3 < 0$ $ \Leftrightarrow {2^{2x}} – {3.2^x} + 2 < 0.$
Đặt $t = {2^x}$ $(t > 0)$, ta được: ${t^2} – 3t + 2 < 0$ $ \Leftrightarrow 1 < t < 2.$
$ \Rightarrow 1 < {2^x} < 2$ $ \Leftrightarrow 0 < x < 1.$
Vậy tập nghiệm của hệ phương trình $S = (0;1).$
Bài 83. Giải các bất phương trình:
a) ${\log _{0,1}}\left( {{x^2} + x – 2} \right) > {\log _{0,1}}(x + 3).$
b) ${\log _{\frac{1}{3}}}\left( {{x^2} – 6x + 5} \right) + 2{\log _3}(2 – x) \ge 0.$
Lời giải:
a) ${\log _{0,1}}\left( {{x^2} + x – 2} \right) > {\log _{0,1}}(x + 3).$
$ \Leftrightarrow 0 < {x^2} + x – 2 < x + 3$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x^2} + x – 2 > 0}\\
{{x^2} – 5 < 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x < – 2\,\,{\rm{hoặc}}\,\,x > 1}\\
{ – \sqrt 5 < x < \sqrt 5 }
\end{array}} \right..$
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = ( – \sqrt 5 ; – 2) \cup (1;\sqrt 5 ).$
b) ${\log _{\frac{1}{3}}}\left( {{x^2} – 6x + 5} \right) + 2{\log _3}(2 – x) \ge 0.$
Điều kiện: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{2 – x > 0}\\
{{x^2} – 6x + 5 > 0}
\end{array}} \right..$
Ta có: ${\log _{\frac{1}{3}}}\left( {{x^2} – 6x + 5} \right) + 2{\log _3}(2 – x) \ge 0.$
$ \Leftrightarrow {\log _{\frac{1}{3}}}\left( {{x^2} – 6x + 5} \right) \ge – {\log _3}{(2 – x)^2}$ $ \Leftrightarrow {\log _{\frac{1}{3}}}\left( {{x^2} – 6x + 5} \right) \ge {\log _{\frac{1}{3}}}{(2 – x)^2}.$
$ \Leftrightarrow {x^2} – 6x + 5 \le {(2 – x)^2}$ $ \Leftrightarrow 2x – 1 \ge 0.$
Bất phương trình đã cho tương đương với:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x^2} – 6x + 5 > 0}\\
{2 – x > 0}\\
{2x – 1 \ge 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x < 1\,\,{\rm{hoặc}}\,\,x > 5}\\
{x < 2}\\
{x \ge \frac{1}{2}}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \frac{1}{2} \le x < 1.$
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left[ {\frac{1}{2};1} \right).$
