Bài viết hướng dẫn giải các bài tập trong phần câu hỏi và bài tập và phần luyện tập của sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao: Hàm số mũ và hàm số lôgarit.
CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP
Bài 47. Khoảng $200$ năm trước, hai nhà khoa học Pháp là Clô-zi-ut và Cla-pay-rông đã thấy rằng áp lực $P$ của hơi nước (tính bằng milimét thủy ngân, viết tắt $mmHg$) gây ra khi nó chiếm khoảng trống phía trên của mặt nước chứa trong một bình kín được tính theo công thức $P = a \times {10^{\frac{k}{{t + 273}}}}$, trong đó $t$ là nhiệt độ $C$ của nước, $a$ và $b$ là hằng số. Cho biết $k \approx – 2258,624.$
a) Tính $a$ biết khi nhiệt độ của nước là ${100^0}C$ thì áp lực của hơi nước là $760mmHg$ (tính chính xác đến hàng phần chục).
b) Tính áp lực của hơi nước khi nhiệt độ của nước là ${40^0}C$ (tính chính xác đến hàng phần chục).
Lời giải:
a) Ta có: $P = 760mmHg$, $t = {100^0}C$, $k \approx – 2258,624.$
$ \Rightarrow 760 = a{.10^{\frac{{ – 2258,624}}{{100 + 273}}}}$ $ \Leftrightarrow 760 = a{.10^{ – \frac{{2258,624}}{{373}}}}$ $ \Rightarrow a = \frac{{760}}{{{{10}^{\frac{{ – 2258,624}}{{373}}}}}}$ $ = 863188840,3.$
b) $P = a{.10^{\frac{k}{{t + 273}}}}$ $ = 863188840,{3.10^{\frac{{ – 2258,624}}{{303}}}}$ $ \approx 52,5mmHg.$
Bài 48. Tìm các giới hạn sau:
a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^2} – {e^{3x + 2}}}}{x}.$
b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^{2x}} – {e^{5x}}}}{x}.$
Lời giải:
a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^2} – {e^{3x + 2}}}}{x}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^2}\left( {1 – {e^{3x}}} \right)}}{x}$ $ = – {e^2}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{3\left( {{e^{3x}} – 1} \right)}}{{3x}}$ $ = – 3{e^2}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^{3x}} – 1}}{{3x}}$ $ = – 3{e^2}.$
b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^{2x}} – {e^{5x}}}}{x}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^{2x}}}}{x} – \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^{5x}}}}{x}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2{e^{2x}}}}{{2x}} – \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{5{e^{5x}}}}{{5x}}.$
$ = 2\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^{2x}}}}{{2x}} – 5\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^{5x}}}}{{5x}}$ $ = 2 – 5 = – 3.$
Bài 49. Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) $y = (x – 1){e^{2x}}.$
b) $y = {x^2}\sqrt {{e^{4x}} + 1} .$
c) $y = \frac{1}{2}\left( {{e^x} – {e^{ – x}}} \right).$
d) $y = \frac{1}{2}\left( {{e^x} + {e^{ – x}}} \right).$
Lời giải:
a) $y’ = \left( {(x – 1){e^{2x}}} \right)’$ $ = {e^{2x}} + (x – 1)2.{e^{2x}}$ $ = {e^{2x}}(1 + 2x – 2)$ $ = {e^{2x}}(2x – 1).$
b) $y = {x^2}\sqrt {{e^{4x}} + 1} $ $ = 2x\sqrt {{e^{4x}} + 1} + {x^2}\frac{{\left( {{e^{4x}} + 1} \right)’}}{{2\sqrt {{e^{4x}} + 1} }}$ $ = 2x\sqrt {{e^{4x}} + 1} + {x^2}\frac{{4{e^{4x}}}}{{2\sqrt {{e^{4x}} + 1} }}.$
$ = \frac{{4x\left( {{e^{4x}} + 1} \right) + 4{x^2}{e^{4x}}}}{{2\sqrt {{e^{4x}} + 1} }}$ $ = \frac{{\left( {x + {x^2}} \right){e^{4x}} + x}}{{\sqrt {{e^{4x}} + 1} }}.$
c) $y’ = \left[ {\frac{1}{2}\left( {{e^x} – {e^{ – x}}} \right)} \right]’$ $ = \frac{1}{2}\left[ {\left( {{e^x}} \right)’ – \left( {{e^{ – x}}} \right)’} \right]$ $ = \frac{1}{2}\left( {{e^x} + {e^{ – x}}} \right).$
d) $y’ = \left[ {\frac{1}{2}\left( {{e^x} + {e^{ – x}}} \right)} \right]’$ $ = \frac{1}{2}\left( {{e^x} – {e^{ – x}}} \right).$
Bài 50. Trong các hàm số sau đây, hàm số nào đồng biến, hàm số nào nghịch biến trên $R.$
a) $y = {\left( {\frac{\pi }{3}} \right)^x}.$
b) $y = {\left( {\frac{3}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }}} \right)^x}.$
Lời giải:
a) Ta có $\frac{\pi }{3} > 1$ $ \Rightarrow $ hàm số $y = {\left( {\frac{\pi }{3}} \right)^x}$ đồng biến trên $R.$
b) Ta có $\frac{3}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }} < 1$ $ \Rightarrow $ hàm số $y = {\left( {\frac{3}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }}} \right)^x}$ nghịch biến trên $R.$
Bài 51. Vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a) $y = {(\sqrt 2 )^x}.$
b) $y = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^x}.$
Lời giải:
a) Hàm số $y = {(\sqrt 2 )^x}$ có hệ số $a = \sqrt 2 > 1$ $ \Rightarrow $ hàm đồng biến trên $R.$
Với $x = 0 \Rightarrow y = 1.$
Với $x = 1 \Rightarrow y = \sqrt 2 .$
b) Hàm số $y = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^x}$ có cơ số $a = \frac{2}{3} < 1$ nên hàm số nghịch biến trên $R.$
Với $x = 0 \Rightarrow y = 1.$
Với $x = 1 \Rightarrow y = \frac{2}{3}.$
Bài 52. Sử dụng công thức $L = 10\log \frac{I}{{{I_0}}}$, hãy tính gần đúng, chính xác đến hàng đơn vị, độ lớn $(dB)$ của âm thanh có tỉ số $\frac{I}{{{I_0}}}$ cho trong bảng sau rồi điền vào cột ô trống:
| STT | Loại âm thanh | $\frac{I}{{{I_0}}}$ | Độ lớn $(L)$ |
| 1 | Ngưỡng nghe | $1$ | |
| 2 | Nhạc êm dịu | $40.000$ | |
| 3 | Nhạc mạnh phát từ loa | $6,{8.10^8}$ | |
| 4 | Tiếng máy bay phản lực | $2,{3.10^{12}}$ | |
| 5 | Ngưỡng đau tai | ${10^{13}}$ |
Lời giải:
Ngưỡng nghe $L = 0dB.$
Nhạc dịu êm $L = 36dB.$
Nhạc mạnh phát ra từ loa: $L = 88dB.$
Tiếng máy bay phản lực: $L = 124dB.$
Ngưỡng đau tai: $L = 130dB.$
Bài 53. Tìm các giới hạn sau:
a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln (1 + 3x)}}{x}.$
b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln \left( {1 + {x^2}} \right)}}{x}.$
Lời giải:
a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln (1 + 3x)}}{x}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{3\ln (1 + 3x)}}{{3x}}$ $ = 3\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln (1 + 3x)}}{{3x}} = 3.$
b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln \left( {1 + {x^2}} \right)}}{x}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x\ln \left( {1 + {x^2}} \right)}}{{{x^2}}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} x.\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln \left( {1 + {x^2}} \right)}}{{{x^2}}}$ $ = 0.1 = 0.$
Bài 54. Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) $y = (3x – 2){\ln ^2}x.$
b) $y = \sqrt {{x^2} + 1} \ln {x^2}.$
c) $y = x.\ln \frac{1}{{1 + x}}.$
d) $y = \frac{{\ln \left( {{x^2} + 1} \right)}}{x}.$
Lời giải:
a) $y’ = 3{\ln ^2}x + (3x – 2)2\ln x.\frac{1}{x}$ $ = 3{\ln ^2}x + \frac{{2(3x – 2)}}{x}\ln x.$
b) $y’ = \left( {\sqrt {{x^2} + 1} \ln {x^2}} \right)’$ $ = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\ln {x^2} + \sqrt {{x^2} + 1} .\frac{{2x}}{{{x^2}}}$ $ = \frac{{x\ln {x^2}}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} + \frac{{2\sqrt {{x^2} + 1} }}{{{x^2}}}.$
c) $y’ = 1.\ln \frac{1}{{1 + x}}$ $ + x\left[ { – \frac{1}{{{{(1 + x)}^2}}}} \right].\frac{1}{{\frac{1}{{1 + x}}}}$ $ = \ln \frac{1}{{1 + x}} – \frac{x}{{1 + x}}.$
d) $y’ = \frac{{2x\ln \left( {{x^2} + 1} \right).x – \ln \left( {{x^2} + 1} \right)}}{{{x^2}}}$ $ = \left( {2{x^2} – 1} \right)\ln \left( {{x^2} + 1} \right).$
Bài 55. Trong các hàm số sau đây, hàm số nào đồng biến, hàm số nào nghịch biến trên tập xác định của nó?
a) $y = {\log _{\frac{2}{c}}}x.$
b) $y = {\log _a}x$ với $a = \frac{1}{{3(\sqrt 3 – \sqrt 2 )}}.$
Lời giải:
a) Nếu $\frac{2}{c} > 1$ $ \Rightarrow c < 2$ và $c > 0$ thì hàm số $y = {\log _{\frac{2}{c}}}x$ đồng biến trên $(0; + \infty ).$
Nếu $0 < \frac{2}{c} < 1$ $ \Leftrightarrow c > 2$ thì hàm số $y = {\log _{\frac{2}{c}}}x$ nghịch biến trên $(0; + \infty ).$
b) Vì $a = \frac{1}{{3(\sqrt 3 – \sqrt 2 )}} > 1$ nên hàm số $y = {\log _a}x$ đồng biến trên $(0; + \infty ).$
Bài 56. Vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a) $y = {\log _{\sqrt 2 }}x.$
b) $y = {\log _{\frac{2}{3}}}x.$
Lời giải:
a) Hàm số $y = {\log _{\sqrt 2 }}x$ có: $a = \sqrt 2 > 1$ nên hàm số đồng biến trên $(0; + \infty ).$
Nếu $x = 1$ $ \Rightarrow y = 0.$
Nếu $x = \sqrt 2 $ $ \Rightarrow y = 1.$
b) Hàm số $y = {\log _{\frac{2}{3}}}x$ có $a = \frac{2}{3} < 1$ nên hàm số nghịch biến trên $(0; + \infty ).$
Nếu $x = 1 \Rightarrow y = 0.$
Nếu $x = \frac{2}{3} \Rightarrow y = 1.$
